לינארית 2/סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים

חזרה למערכי ההרצאה

סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים

כעת ננסה לראות מה קורה אם אנו מפרקים את המרחב לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, ומסתכלים על מטריצה מייצגת של אופרטור. כך יתחברו שלושה מושגים שלמדנו לאחרונה - מטריצה אלכסונית בלוקים, סכום ישר ומרחבים אינווריאנטיים.

למה

יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי.

1. יהי [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math] סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים. יהי [math]\displaystyle{ B_i }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ U_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ B=B_1\cup\dots\cup B_k=\bigcup_{i=1}^kB_i }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}\left[T \right ]_{B_1}\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline \left[T\right]_{B_k} \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}
2. אם [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ואם \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_1 \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי אפשר לחלק את [math]\displaystyle{ B }[/math] לאיחוד זר [math]\displaystyle{ B=B_1\cup\dots\cup B_k }[/math], כך ש-[math]\displaystyle{ \operatorname{Span}\left(B_i\right)=U_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math] (העובדה ש-[math]\displaystyle{ V=\oplus U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math] נובעת מהאיחוד של [math]\displaystyle{ B_i }[/math]).

הוכחה.

1. עבור [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] אין מה להוכיח. נניח ש-[math]\displaystyle{ k\ge 2 }[/math], ונשתמש באינדוקציה לפי [math]\displaystyle{ k }[/math].

   בסיס האינדוקציה

   [math]\displaystyle{ k=2 }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus U_2 }[/math], [math]\displaystyle{ B_1 }[/math] בסיס ל-[math]\displaystyle{ U_1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B_2 }[/math] בסיס ל-[math]\displaystyle{ U_2 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ B_1=\left \{ v_1,\dots,v_r \right \} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B_2=\left \{ u_1,\dots,u_s \right \} }[/math]. אזי \begin{displaymjx}B=B_1\cup B_2=\left \{ v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s \right \}\end{displaymjx}

   נחשב את [math]\displaystyle{ \left[T\right]_B }[/math].

   [math]\displaystyle{ U_1 }[/math] תת-מרחב אינווריאנטי, ולכן לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,r }[/math], [math]\displaystyle{ T\left(v_i\right)\in U_1 }[/math], ומכאן \begin{displaymjx}\left[T\left(v_i \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix} \left[T\left(v_i \right ) \right ]_{B_1} \\ 0 \end{matrix} \right ) \begin{matrix} r\\ s \end{matrix}\end{displaymjx}

   באופן דומה, לכל [math]\displaystyle{ j=1,\dots,s }[/math], \begin{displaymjx}\left[T\left(u_j \right ) \right ]_B=\left(\begin{matrix} 0\\ \left[T\left(u_j \right ) \right ]_{B_2} \end{matrix} \right ) \begin{matrix} r\\ s \end{matrix}\end{displaymjx}

   בסך הכל, קיבלנו שמתקיים \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B},\dots,\left[T\left(u_s \right ) \right ]_B \end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c} \left[T\left(v_1 \right ) \right ]_{B_1} \cdots \left[T\left(v_r \right ) \right ]_{B_1} & 0\\\hline 0 & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_{B_2} \cdots \left[T\left(u_s \right ) \right ]_{B_2} \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

   צעד האינדוקציה

   נניח כי [math]\displaystyle{ V=\left(U_1\oplus\cdots\oplus U_{k-1}\right)\oplus U_k }[/math], וכן [math]\displaystyle{ B=\bigcup_{i=1}^kB_i }[/math]. לפי המקרה [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] שהוכחנו, \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B= \left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c} \left[T \right ]_{B_1\cup\dots\cup B_{k-1}} & 0\\ \hline 0 & B_k \end{array}\end{matrix} \right ) \overset{\textrm{hypothesis}}{=} \left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}\left[T \right ]_{B_1}\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline \left[T\right]_{B_k} \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} כדרוש.

2. נתונה המטריצה המייצגת \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_1 \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} יחסית לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] כלשהו.

   עבור [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] אין מה להוכיח. נניח [math]\displaystyle{ k\ge2 }[/math], ונשתמש באינדוקציה לפי [math]\displaystyle{ k }[/math].

   בסיס האינדוקציה

   [math]\displaystyle{ k=2 }[/math], כלומר \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c} A_1 & 0\\\hline 0 & A_2 \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

   נניח [math]\displaystyle{ A_1\in M_r\left(\mathbb{F}\right) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ A_2\in M_s\left(\mathbb{F}\right) }[/math]. נסמן את איברי [math]\displaystyle{ B }[/math] כך: \begin{displaymjx}B=\left \{v_1,\dots,v_r,u_1,\dots,u_s \right \}\end{displaymjx} ונגדיר [math]\displaystyle{ B_1=\left \{v_1,\dots,v_r \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ B_2=\left \{u_1,\dots,u_s \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ U_1=\operatorname{Span}\left(B_1\right) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ U_2=\operatorname{Span}\left(B_2\right) }[/math]. אזי: \begin{displaymjx}\left(\begin{matrix} \left[T\left(v_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(v_r \right ) \right ]_B & \left[T\left(u_1 \right ) \right ]_B & \cdots & \left[T\left(u_s \right ) \right ]_B \end{matrix} \right )=\left[T \right ]_B=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c} A_1 & 0\\\hline 0 & A_2 \end{array} \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix}\begin{array}{c|c} A_1e_1\cdots A_1e_r & 0\\\hline 0 & A_2e_1\cdots A_2e_s \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

   אם כן, על פי שוויון כל עמודה, לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,r }[/math], [math]\displaystyle{ \left[T\left(v_i\right)\right]_B=A_1e_i }[/math], וכן לכל [math]\displaystyle{ j=1,\dots,s }[/math], [math]\displaystyle{ \left[T\left(u_j\right)\right]_B=A_2e_j }[/math].

   כלומר, לכל [math]\displaystyle{ v_i\in B_1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ T\left(v_i\right)\in \operatorname{Span}\left(B_1\right)=U_1 }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ v\in U_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T\left(v\right)\in U_1 }[/math], זאת אומרת ש-[math]\displaystyle{ U_1 }[/math] תת-מרחב אינווריאנטי. באופן דומה, גם [math]\displaystyle{ U_2 }[/math] אינווריאנטי, כדרוש.

   צעד האינדוקציה

   נתונה המטריצה המייצגת \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array} \end{matrix} \right )=\left (\begin{array}{c|c}\tilde{A} & 0\\\hline 0 & A_k \end{array} \right )\end{displaymjx}

   מהמקרה [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] שהוכחנו, נקבל חלוקה של [math]\displaystyle{ B }[/math] לאיחוד זר [math]\displaystyle{ B=\tilde{B}\cup B_k }[/math], כך ש-[math]\displaystyle{ \tilde{U}=\operatorname{Span}\tilde{B} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ U_k=\operatorname{Span}\left(B_k \right ) }[/math] הם תתי-מרחבים אינווריאנטיים. לפי הנחת האינדוקציה, נחלק את [math]\displaystyle{ \tilde{B} }[/math] לאיחוד זר, [math]\displaystyle{ \tilde{B}=B_1\cup\dots\cup B_{k-1} }[/math], שעבורו [math]\displaystyle{ U_i=\operatorname{Span}\left(B_i\right) }[/math] תתי-מרחבים אינווריאנטיים לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k-1 }[/math], כדרוש.

∎

מהמשפט הזה נגיע למספר מסקנות חשובות.

מסקנה

אם [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \left[T\right]_B }[/math] אלכסונית בלוקים, \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי לכל [math]\displaystyle{ \sigma\in S_k }[/math] קיים בסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] שעבורו \begin{displaymjx}\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_{\sigma\left(1\right)}\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_{\sigma\left(k\right)} \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

הוכחה.

מהחלק השני של הלמה הקודמת, קיימת חלוקה של [math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ k }[/math] חלקים זרים, כך שהמטריצה המייצגת תהיה \begin{displaymjx}\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} נסדר את החלקים [math]\displaystyle{ B'=B_{\sigma\left(1 \right )}\cup\dots\cup B_{\sigma\left(k \right )} }[/math]. לפי החלק הראשון של הלמה, נקבל \begin{displaymjx}\left[T \right ]_{B'}=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_{\sigma\left(1\right)}\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_{\sigma\left(k\right)} \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

∎

מסקנה

שתי מטריצות אלכסוניות בעלות אותן בלוקים בסדר שונה דומות זו לזו; לכל [math]\displaystyle{ \sigma\in S_k }[/math], \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_1\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_k \end{array} \end{matrix} \right )\sim\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}A_{\sigma\left(1\right)}\\\hline \end{array} & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{array}{|c}\hline A_{\sigma\left(k\right)} \end{array} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}

הוכחה.

שתי המטריצות הן מייצגות של אותו אופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית לבסיסים שונים.

∎

נזכיר כי ברצוננו למצוא לכל אופרטור בסיס, שבו המטריצה המייצגת תהיה מצורה מסוימת (שקול: לכל מטריצה למצוא מטריצה דומה מהצורה הזו). כעת ברור שאם נצליח לפרק את המרחב שלנו לתתי-מרחבים אינווריאנטיים, אזי נוכל להגיע לצורה אלכסונית בלוקים. בחלק הבא, לאחר הלמה שנוכיח מיד, נמצא את המרחבים האלו, ולאחר מכן נראה מהם הבלוקים.

למה

יהי [math]\displaystyle{ V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k }[/math] סכום ישר של תתי-מרחבים אינווריאנטיים תחת האופרטור הלינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math]. אזי מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ \ker T=\ker T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus\ker T|_{U_k} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \operatorname{im} T=\operatorname{im} T|_{U_1}\oplus\cdots\oplus \operatorname{im} T|_{U_k} }[/math]

הוכחה.

כל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] ניתן להצגה בצורה [math]\displaystyle{ v=u_1+\cdots+u_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ u_i\in U_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math]. לכן, [math]\displaystyle{ T\left (v \right )=T\left (u_1 \right )+\cdots+T\left (u_k \right ) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ w=w_1+\cdots+w_k }[/math], כאשר לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ w_i\in U_i }[/math] כי [math]\displaystyle{ U_i }[/math] אינווריאנטי. \begin{displaymjx}u_i\in\ker T|_{U_i}\Leftrightarrow\left(i=1,\dots,k \right )w_i=0\Leftrightarrow w=0\Leftrightarrow T\left(v \right )=0\Leftrightarrow v\in\ker T\end{displaymjx} \begin{displaymjx}w_i\in \operatorname{im} T|_{U_i}\Leftrightarrow w\in \operatorname{im} T\end{displaymjx}

שני הסכומים הם ישרים, כי המחוברים הם תתי-מרחבים של [math]\displaystyle{ U_i }[/math].

∎

חזרה למערכי ההרצאה