לינארית 2/ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות
תהי [math]\displaystyle{ A\in M_n\left( \mathbb{F}\right) }[/math]. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי (ע"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math], אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{F}^n }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math].
הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
אוסף כל הערכים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא הספקטרום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left (A\right ) }[/math].
יכול להיות המצב [math]\displaystyle{ spec(A)=\emptyset }[/math].
הרעיון בערכים עצמיים ווקטורים עצמיים הוא לדעת אילו וקטורים המטריצה מותחת או מכווצת. הווקטור העצמי - מי ההעתקה מותחת או מכווצת, והערך העצמי - פי כמה. בהמשך נראה שלערכים העצמיים ולווקטורים העצמיים יש תפקיד משמעותי ב"הבנת" מטריצות.
[math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A }[/math] איננה הפיכה.
הוכחה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]
- נניח [math]\displaystyle{ \lambda =0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. זאת אומרת שקיים וקטור [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Av=0 }[/math]. נסמן \begin{displaymjx}v=\left ( \begin{matrix} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right ),\quad A=\left ( \begin{matrix} a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} נוכל להגיד שלפיכך \begin{displaymjx}\left \{ \begin{matrix} a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ \vdots\\ a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0 \end{matrix} \right.\end{displaymjx} היא מערכת הומוגנית (בת [math]\displaystyle{ n }[/math] משוואות מ-[math]\displaystyle{ n }[/math] נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]
- נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה. נתבונן במערכת [math]\displaystyle{ Av=0 }[/math]. יש לה פתרון לא טריוויאלי [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math], ולכן מתקיים [math]\displaystyle{ Av=0=0\cdot v }[/math], זאת אומרת ש-[math]\displaystyle{ \lambda =0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].
∎
[math]\displaystyle{ A }[/math] איננה הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det\left (A\right )=0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי של מטריצה [math]\displaystyle{ A\in M_{n}(\mathbb{F}) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det\left (\lambda I-A\right )=0 }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] קיים [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] קיים [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \lambda v-Av=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] קיים [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \left (\lambda I-A\right )v=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] המטריצה [math]\displaystyle{ \lambda I-A }[/math] אינה הפיכה [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \det(\lambda I-A)=0 }[/math].
∎
המשפט מאפשר לנו לחשב ערכים עצמיים מבלי לנסות לכפול וקטורים במטריצה בתקווה ש"ייצא טוב". לפי המשפט, כדי למצוא ערכים עצמיים של המטריצה נוכל לפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ \det\left (\lambda I-A\right )=0 }[/math]. זהו פולינום ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math], ובהמשך נקרא לו "הפולינום האופייני" של [math]\displaystyle{ A }[/math], והוא ישחק תפקיד חשוב בתיאוריה שלנו.
נציג כעת מספר דוגמאות למציאת ערכים עצמיים.
ניקח [math]\displaystyle{ A=I_n }[/math], ונחפש את [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(A\right) }[/math]. נבדוק בשתי שיטות:
- שיטה ראשונה - חישוב ישיר
נניח ש-[math]\displaystyle{ I_n v=\lambda v }[/math]. מכאן, [math]\displaystyle{ v=\lambda v }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lambda = 1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\} }[/math].
- שיטה שנייה - לפי המשפט
נשים לב כי \begin{displaymjx}\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda-1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-1 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} לכן, [math]\displaystyle{ \det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n }[/math] אם כן, [math]\displaystyle{ \lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\} }[/math].
לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.
נסמן \begin{displaymjx}A=D=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} נרצה לדעת מהו [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(D\right) }[/math]. על פי המשפט, נסתכל על [math]\displaystyle{ \lambda I-D }[/math]: \begin{displaymjx}\lambda I-D=\left ( \begin{matrix} \lambda-\alpha_1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-\alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} הדטרמיננטה: [math]\displaystyle{ \lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0 }[/math].
קיבלנו ש-[math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \} }[/math].
אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_n }[/math] פי [math]\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n }[/math] בהתאמה.
ניקח \begin{displaymjx}A=T=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & & \star\\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} מטריצה משולשת עליונה.
על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \} }[/math].
ניקח מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] את המטריצה \begin{displaymjx}A=\left ( \begin{matrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי \begin{displaymjx}\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda & -1\\ 1 & \lambda \end{matrix} \right )\end{displaymjx} לפי חישוב, [math]\displaystyle{ \det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0 }[/math], אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
אם כן, [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset }[/math].
נשאלת השאלה מה הקשר בין וקטורים עצמיים הקשורים לערכים עצמיים שונים. במילים אחרות, מה הקשר בין המרחבים העצמיים של מטריצה (או של אופרטור).
ו"ע הקשורים לע"ע שונים הם בת"ל.
הוכחה.
יהיו [math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_s }[/math] ע"ע שונים, ונסמן [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_s }[/math] הקשורים ל-[math]\displaystyle{ \lambda_1,\dots,\lambda_s }[/math] בהתאמה. נוכיח [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_s \right \} }[/math] בת"ל. בשלילה, נניח ש-[math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_s \right \} }[/math] ת"ל. אם כן, קיימת לה תת-קבוצה ת"ל מינימלית, נסמנה [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_t \right \} }[/math].
ניקח צירוף לינארי [math]\displaystyle{ \left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0 }[/math], כאשר קיים [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq t }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ \alpha_i\neq 0 }[/math]. נפעיל את האופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math]: [math]\displaystyle{ T\left (\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t \right )=T\left (0 \right ) }[/math]. אבל אלו וקטורים עצמיים, ולכן [math]\displaystyle{ \left ( \star \right )\quad\alpha_1\lambda_1v_1 +\cdots+\alpha_t\lambda_tv_t=0 }[/math].
נחזור ל-[math]\displaystyle{ \left(1\right) }[/math], ונכפול את המשוואה ב-[math]\displaystyle{ \lambda_t }[/math]: [math]\displaystyle{ \left ( \star\star \right )\quad\alpha_1\lambda_tv_1 +\cdots+\alpha_t\lambda_tv_t=0 }[/math].
נחסר [math]\displaystyle{ \left ( \star \right )-\left ( \star\star \right ) }[/math]. נקבל את המשוואה [math]\displaystyle{ \alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t\right )v_1 +\cdots+\alpha_t\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t\right )v_t=0 }[/math].
כיוון ש-[math]\displaystyle{ t-1<t }[/math], ותת-הקבוצה [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_t \right \} }[/math] היא הקטנה ביותר ות"ל, כל המקדמים בצירוף הלינארי מתאפסים, כלומר \begin{displaymjx}\left\{\begin{matrix} \alpha_1\left(\lambda_1-\lambda_t \right )=0\\ \vdots\\ \alpha_{t-1}\left(\lambda_{t-1}-\lambda_t \right )=0 \end{matrix} \right.\end{displaymjx} כל הע"ע שונים, לכן [math]\displaystyle{ \alpha_1=\cdots=\alpha_{t-1}=0 }[/math]. נציב ב-[math]\displaystyle{ \left(1\right) }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ \alpha_t v_t=0 }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ v_t\neq 0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \alpha_t=0 }[/math].
לסיכום, קיבלנו שאם [math]\displaystyle{ \left ( 1 \right )\quad\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_t v_t=0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \alpha_1=\cdots=\alpha_t=0 }[/math], בסתירה להיות הקבוצה ת"ל.
לכן [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_s \right \} }[/math] בת"ל, כדרוש.
∎
מרחבים עצמיים
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית, ויהי [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. נגדיר \begin{displaymjx}V_\lambda\left(A\right)=\left\{v\in\mathbb{F}^n\mid Av=\lambda v\right\}\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ V_\lambda\left(A\right) }[/math] נקרא המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
בעצם, זוהי קבוצת כל הווקטורים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשורים ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math], ביחד עם וקטור האפס.
[math]\displaystyle{ V_\lambda\left(A\right) }[/math] הוא תת-מרחב וקטורי של [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^n }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ 0\in V_\lambda\left(A\right) }[/math] - טריוויאלי, מכיוון ש-[math]\displaystyle{ A\cdot 0=0=\lambda\cdot 0 }[/math].
כמו כן, אם [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V_\lambda\left(A\right) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math], מתקיים \begin{displaymjx}A\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)=\alpha Av_1+\beta Av_2=\alpha\lambda v_1+\beta\lambda v_2=\lambda\left(\alpha v_1+\beta v_2\right)\end{displaymjx} ומכאן [math]\displaystyle{ \alpha v_1+\beta v_2\in V_\lambda\left(A\right) }[/math].
∎
מציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
נניח שנתונה [math]\displaystyle{ A\in M_n\left(\mathbb{F}\right) }[/math].
- מוצאים ערכים עצמיים על ידי פתרון המשוואה [math]\displaystyle{ \det\left(x\cdot I-A\right)=0 }[/math].
- לכל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוצאים בסיס למרחב העצמי על ידי מציאת בסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N\left(\lambda\cdot I-A\right) }[/math].