לינארית 2/ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של העתקות
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטורים
אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] הוא העתקה לינארית מ-[math]\displaystyle{ V }[/math] לעצמו.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי (ע"ע) של האופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ 0\ne v\in V }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Tv=T(v)=\lambda v }[/math]. הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של [math]\displaystyle{ T }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, יהי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A }[/math] המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math], הוא גם ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] .
הוכחה.
נסמן \begin{displaymjx}\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ A }[/math] היא המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B }[/math] . [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math], אזי קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Tv=\lambda v }[/math], זאת אומרת [math]\displaystyle{ A\cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].
∎
נגדיר לכל ע"ע של אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T }[/math], מרחב [math]\displaystyle{ V_\lambda\left(T\right)=\left\{v\in V\mid Tv=\lambda v\right\} }[/math]. [math]\displaystyle{ V_\lambda\left(T\right) }[/math] נקרא המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
כמו במטריצות, זהו אוסף הווקטורים העצמיים עם אפס, וגם זה מרחב וקטורי (הוכחה דומה).
נניח שנתון אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math], ורוצים למצוא לו ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים.
- בוחרים בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math], ומוצאים את המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B }[/math], נסמנה [math]\displaystyle{ A }[/math].
- מוצאים את הערכים העצמיים ואת הווקטורים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math].
- הערכים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] הם בדיוק הערכים העצמיים של [math]\displaystyle{ T }[/math], והווקטורים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] הם וקטורי הקואורדינטות של הווקטורים העצמיים של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B }[/math].