לינארית 2/פולינומים על קצה המזלג
פולינומים (על קצה המזלג)
פולינום הוא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{F} }[/math].
ניתן להגדיר לכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ f\left(\alpha\right)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0 }[/math].
נגדיר חיבור וכפל פולינומים באופן הבא: עבור [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g\left(x\right)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0 }[/math],
- \begin{displaymjx}f+g:=\sum_{j=0}^{\max\left\{ m,n\right \}}\left(a_j+b_j\right)x^j\end{displaymjx} (כאשר לכל [math]\displaystyle{ i>n }[/math], [math]\displaystyle{ a_i=0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ i>m }[/math], [math]\displaystyle{ b_i=0 }[/math]). במילים אחרות - חיבור לפי החזקות.
- \begin{displaymjx}fg=f\cdot g:=a_0b_0+\left(a_1b_0+a_0b_1 \right )x+\left(a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2 \right )x^2+\cdots\end{displaymjx}
עם ההגדרות הללו מתקיים [math]\displaystyle{ \left(f+g \right )\left(\alpha \right )=f\left(\alpha \right )+g\left(\alpha \right ) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \left(fg \right )\left(\alpha \right )=f\left(\alpha \right )g\left(\alpha \right ) }[/math].
נתחיל ממשפט, המוכר מהלימודים כבר בתיכון. אנו יודעים כי אם יש לנו שני פולינומים, אפשר לחלק אחד בשני, ולקבל מנה ושארית. המשפט הבא מנסח את הטענה באופן כללי:
יהיו [math]\displaystyle{ f\left ( x \right ),g\left ( x \right )\in\mathbb{F}\left [ x \right ] }[/math] פולינומים, [math]\displaystyle{ \deg\left ( f \right )\ge1 }[/math], [math]\displaystyle{ \deg\left ( g \right )\ge1 }[/math] (כזכור, [math]\displaystyle{ \deg }[/math] = הדרגה של הפולינום). אזי קיימים פולינומים [math]\displaystyle{ q\left ( x \right ) }[/math] (המנה) ו-[math]\displaystyle{ r\left ( x \right ) }[/math] (השארית) שעבורם:
- [math]\displaystyle{ f\left ( x \right )=q\left ( x \right )g\left ( x \right )+r\left ( x \right ) }[/math].
- [math]\displaystyle{ r\left ( x \right )=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \deg\left ( r \right )<\deg\left ( g \right ) }[/math].
לא נוכיח את המשפט בקורס זה.
נעיר מספר הערות על המשפט.
- בתנאי השני, הסיבה למקרה v [math]\displaystyle{ r\left ( x \right )=0 }[/math] היא ש-[math]\displaystyle{ \deg\left(0\right) }[/math] אינו מוגדר.
- אם [math]\displaystyle{ \deg\left ( f \right )<\deg\left ( g \right ) }[/math], אז החלוקה הינה [math]\displaystyle{ f\left ( x \right )=0\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right ) }[/math].
- השוויון בתנאי הראשון הוא שוויון פולינומים (ולא רק של קבוצות הערכים שלהם). בדוגמה הבאה נראה דוגמה לשני פולינומים שונים, המקבלים אותה קבוצת ערכים.
נדגים שני פולינומים שונים עם אותן קבוצות ערכים, זאת אומרת [math]\displaystyle{ f\neq g }[/math], אבל לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=g\left(x\right) }[/math].
עבור השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Z}_2 }[/math], הפולינומים [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=x }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g\left(x\right)=x^2 }[/math] מקיימים את הדרישות האלו. זה נכון, מפני שמתקיים \begin{displaymjx}0^2=0,\quad 1^2=1\end{displaymjx}
נדגים את חלוקת הפולינומים [math]\displaystyle{ f\left ( x \right )=x^3-2 }[/math] ב-[math]\displaystyle{ g\left ( x \right )=x-2 }[/math]. כאן אין הבדל אם השדה יהיה [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], אך בדוגמאות אחרות ייתכן שיהיה הבדל בין החלוקות (לפי המקדמים של הפולינומים - למשל, אם יש מקדם אי רציונלי, אי אפשר לעבוד מעל הרציונליים).
[math]\displaystyle{ \quad\quad\quad x^2+2x+4\\ \overline{x^3\quad\quad\quad\quad\quad-2}|x-2\\ \underline{x^3-2x^2}\\ \hphantom\quad\quad\,2x^2\\ \hphantom\quad\quad\,\underline{2x^2+4x}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad4x-2\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\underline{4x-8}\\ \hphantom\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;6\\ }[/math]
לסיכום, מתקיים [math]\displaystyle{ x^3-2=\left(x^2+2x+4\right)\left(x-2\right)+6 }[/math].
המשפט הבא מאוד אינטואיטיבי, ואכן הוכחתו גם כן איננה מאתגרת במיוחד. המשפט מאפיין מתי סקלר מהשדה הוא שורש של פולינום כלשהו.
יהי [math]\displaystyle{ f\in\mathbb{F}\left[x\right] }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] שורש של [math]\displaystyle{ f }[/math] (זאת אומרת, [math]\displaystyle{ f\left(\alpha\right)=0 }[/math]). אזי קיים פולינום [math]\displaystyle{ g\in\mathbb{F}\left[x\right] }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ f=\left(x-\alpha\right)g }[/math].
הוכחה.
נשתמש בחילוק עם שארית לזוג הפולינומים [math]\displaystyle{ f }[/math] ו-[math]\displaystyle{ x-\alpha }[/math]. לפי המשפט על חילוק פולינומים, קיימים פולינומים [math]\displaystyle{ g\left(x \right ),r\left(x \right )\in\mathbb{F}\left[x \right ] }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ f=\left(x-\alpha \right )g+r }[/math], כאשר מתקיים [math]\displaystyle{ r\equiv0 }[/math] (כלומר, מקבל ערך אפס תמיד) או [math]\displaystyle{ \deg\left(r\right)<\deg\left(x-\alpha\right) }[/math]. קל לראות כי התנאים האלו אומרים, למעשה, כי [math]\displaystyle{ r }[/math] הוא סקלר כלשהו מ-[math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. נציב בשוויון הפולינומים [math]\displaystyle{ f=\left(x-\alpha \right )g+r }[/math] את האיבר [math]\displaystyle{ x=\alpha }[/math]; אזי [math]\displaystyle{ f\left(\alpha \right )=0\cdot g\left(\alpha \right )+r }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ f\left(\alpha\right)=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ 0=0+r }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ r=0 }[/math].
נקבל [math]\displaystyle{ f=\left(x-\alpha\right)g }[/math].
∎
פולינום [math]\displaystyle{ g\left(x\right) }[/math] מחלק את הפולינום [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math], אם קיים פולינום [math]\displaystyle{ h\left(x\right) }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ f=gh }[/math] בשוויון פולינומים. מסמנים [math]\displaystyle{ g|f }[/math].
במשפט הקודם הוכחנו שאם [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] שורש של [math]\displaystyle{ f }[/math], אזי [math]\displaystyle{ x-\alpha }[/math] מחלק את הפולינום [math]\displaystyle{ f }[/math].