לינארית 2/פונקציונלים לינאריים

חזרה למערכי ההרצאה

פונקציונלים לינאריים

הגדרה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. נתבונן ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] בתור מרחב וקטורי מעל עצמו ([math]\displaystyle{ \dim_{\mathbb{F}}\mathbb{F}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \left\{1\right\} }[/math] בסיס). אומרים שהעתקה לינארית [math]\displaystyle{ \varphi:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] היא פונקציונל לינארי על [math]\displaystyle{ V }[/math].

דוגמה

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ a\in V }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ \varphi_a:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] כך: \begin{displaymjx}\varphi_a\left(x \right )=\left \langle x,a \right \rangle\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ \varphi_a }[/math] הוא פונקציונל לינארי, מפני שמתקיים: \begin{displaymjx}\varphi_a\left(\alpha x_1+\beta x_2 \right )=\left \langle \alpha x_1+\beta x_2,a \right \rangle =\alpha\left \langle x_1,a \right \rangle+\beta\left \langle x_2,a \right \rangle=\alpha\varphi_a\left(x_1 \right )+\beta\varphi_a\left(x_2 \right )\end{displaymjx}

משפט

משפט ההצגה של ריס

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ממימד סופי, ויהי [math]\displaystyle{ \varphi:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] פונקציונל לינארי. אזי קיים וקטור [math]\displaystyle{ a\in V }[/math] אחד ויחיד (התלוי ב-[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]), שעבורו לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math], \begin{displaymjx}\varphi\left(x \right )=\left \langle x,a \right \rangle\end{displaymjx}

הוכחה.

קיום

נבחר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] את הבסיס [math]\displaystyle{ \left\{1\right\} }[/math]. נבחר במרחב [math]\displaystyle{ V }[/math] בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B }[/math]. נבנה מטריצה מייצגת של [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] יחסית לבסיסים [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ \left\{1\right\} }[/math]. זו מטריצה מגודל [math]\displaystyle{ 1\times n }[/math], ז"א שורה, נסמן אותה [math]\displaystyle{ b }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ x\in V }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \varphi\left(x \right )=b\left[x \right ]_B=\left(b\left[x \right ]_B \right )^t=\left[x \right ]_B^tb^t }[/math] (מותר לשחלף כי מדובר במטריצה [math]\displaystyle{ 1\times 1 }[/math], כלומר סקלר).

מצד שני, ידוע שמתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle x,a \right \rangle=\left[x \right ]_B^tG_B\overline{\left[a \right ]_B}=\left[x \right ]_B^t\overline{\left[a \right ]_B} }[/math] (ידוע [math]\displaystyle{ G_B=I }[/math], כי [math]\displaystyle{ B }[/math] אורתונורמלי).

לכן, אם נבחר [math]\displaystyle{ a }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ \left[a \right ]_B=\overline{b}^t=b^* }[/math], נקבל הדרוש.

יחידות

אם יש [math]\displaystyle{ a,a' }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \varphi\left(x \right )=\left \langle x,a \right \rangle=\left \langle x,a' \right \rangle }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle x,a-a' \right \rangle=0 }[/math]. ניקח [math]\displaystyle{ x=a-a' }[/math], ונקבל [math]\displaystyle{ \left \langle a-a',a-a' \right \rangle=0 }[/math], ולפי האי-שליליות [math]\displaystyle{ a-a'=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a=a' }[/math].

∎

חזרה למערכי ההרצאה