חזרה למערכי ההרצאה
שילוש אוניטרי
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור במרחב מכפלה פנימית [math]\displaystyle{ V }[/math]. למדנו שאם הפולינום האופייני שלו מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים, קיים לו בסיס, שעבורו המטריצה המייצגת היא משולשת (עליונה). כעת, נרצה לבנות בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ A=\left[T\right]_B }[/math] משולשת.
נזכור כי תנאי הכרחי לשילוש באופן כללי הוא שהפולינום האופייני מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. נוכיח שתנאי זה מספיק לקיום בסיס אורתונורמלי כנ"ל.
משפט
נניח ש-[math]\displaystyle{ p_T\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי קיים בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ A=\left[T\right]_V }[/math] משולשת.
הוכחה.
קודם כל, לפי משפט השילוש, קיים בסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ A'=\left[T\right]_{B'} }[/math] מטריצה משולשת עליונה. כעת, נשתמש בתהליך גראם-שמידט; נעבור מ-[math]\displaystyle{ B' }[/math] לבסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ A=\left[T\right]_B }[/math].
נסמן ב-[math]\displaystyle{ C }[/math] את מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B' }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math]. כפי שנאמר קודם, [math]\displaystyle{ C }[/math] מטריצה משולשת עליונה, ולכן [math]\displaystyle{ C^{-1} }[/math] אף היא משולשת עליונה, ולכן [math]\displaystyle{ A=C^{-1}A'C }[/math] גם היא מטריצה משולשת עליונה, כדרוש.
∎
הערה
בכיוון ההפוך המשפט מתקיים גם כן, כי פירוק של [math]\displaystyle{ p_T\left(x\right) }[/math] למכפלה של גורמים לינאריים הוא תנאי הכרחי לשילוש.
משפט
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית. נניח ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. אזי קיימת מטריצה אוניטרית [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] מטריצה משולשת.
לעיתים מנסחים את המשפט ש-[math]\displaystyle{ P^*AP }[/math] משולשת, אך זה אותו הדבר, כי עבור מטריצות אוניטריות [math]\displaystyle{ P^*=P^{-1} }[/math].
הוכחה.
נתבונן באופרטור [math]\displaystyle{ T=L_A:\mathbb{F}^n\rightarrow\mathbb{F}^n }[/math], המוגדר על ידי [math]\displaystyle{ T\left(v\right)=Av }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ v\in\mathbb{F}^n }[/math]. לכן, אם [math]\displaystyle{ E }[/math] הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math], [math]\displaystyle{ A=\left[T\right]_E }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ \left \langle \;,\; \right \rangle }[/math] המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math].
לפי המשפט הקודם, קיים בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \tilde{A}=\left[T\right]_B }[/math] משולשת. נסמן ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] את מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ E }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \tilde{A}=P^{-1}AP }[/math] מטריצה משולשת, ו-[math]\displaystyle{ P }[/math] אוניטרית כמטריצת מעבר מבסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ E }[/math] לבסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B }[/math].
∎
הערה
מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] מדברים על שילוש אורתוגונלי; המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא אורתוגנולית (ז"א [math]\displaystyle{ P^{-1}=P^t }[/math]).
הערה
מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], כל אופרטור וכל מטריצה ניתנים לשילוש אוניטרי, כי התנאי על הפירוק של [math]\displaystyle{ p_T\left(x\right) }[/math] מתקיים אוטומטית (מעל המרוכבים, לכל פולינום יש פירוק למכפלה של גורמים לינאריים).
הערה
אלגוריתם לחיפוש מפורש של מטריצה משלשת אוניטרית [math]\displaystyle{ P }[/math]
- משלשים את המטריצה הנתונה בעזרת מטריצה משלשת [math]\displaystyle{ Q }[/math].
- משתמשים בתהליך גראם-שמידט על [math]\displaystyle{ Q }[/math], בעזרת מטריצה [math]\displaystyle{ C }[/math].
- מקבלים [math]\displaystyle{ P=CQ }[/math].
חזרה למערכי ההרצאה
