לינארית 2/שילוש מטריצות
שילוש מטריצות
סיימנו לדבר על לכסון מטריצות; הקריטריונים שבידינו ללכסון מטריצות הם רחבים ומספקים. עם זאת, ראינו שלא תמיד ניתן ללכסן מטריצות - למשל, ראינו את בלוק ז’ורדן. נרצה לדבר על מושג "חלש" יותר מלכסון, כזה שיהיה גם למטריצות שאינן לכסינות וגם למטריצות לכסינות. ואם לא מטריצה אלכסונית, אז ננסה משולשת (=משולשית):
אומרים ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] מטריצה משולשת. המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math] נקראת המטריצה המשלשת.
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה [math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל:
אם [math]\displaystyle{ C }[/math] מטריצה משולשת עליונה, אזי [math]\displaystyle{ C }[/math] דומה למטריצה משולשת תחתונה.
הוכחה.
נגדיר את המטריצה \begin{displaymjx}P=\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} (כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים [math]\displaystyle{ i+j=n+1 }[/math], ובשאר אפסים).
קל לבדוק כי [math]\displaystyle{ P^2=I }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ P^{-1}=P }[/math].
נסתכל על [math]\displaystyle{ P^{-1}CP }[/math]. מתקיים \begin{displaymjx}\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} c_{11} & & \star\\ & \ddots & \\ 0 & & c_{nn} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}= \left ( \begin{matrix} 0 & & c_{nn}\\ & \dots & \\ c_{11} & & \star \end{matrix} \right ) \left(\begin{matrix} 0 & &1 \\ & \dots & \\ 1 & &0 \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} c_{nn} & &0 \\ & \ddots & \\ \star & & c_{11} \end{matrix} \right )\end{displaymjx}.
∎
הגדרנו שילוש מטריצות, והמטרה הייתה להחליש את הדרישות של לכסון; שיהיו בידינו יותר מטריצות שניתן לשלש מאשר ללכסן. המשפט הבא יראה לנו שהקריטריון לשילוש יחסית חלש, כלומר מטריצות רבות מקיימות אותו.
מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] ניתנת לשילוש אם ורק אם [math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.
הוכחה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]
נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] ניתנת לשילוש, זאת אומרת [math]\displaystyle{ A\sim C }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] משולשת. אזי, \begin{displaymjx}p_A\left(x \right )=p_C\left(x \right )=\det\left(xI-C \right )=\det\left(\begin{matrix} x-c_{11} & & \star\\ & \ddots & \\ 0 & & x-c_{nn} \end{matrix} \right )=\prod_{j=1}^n\left(x-c_{jj} \right )\end{displaymjx} כדרוש.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]
נניח ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.
יהי [math]\displaystyle{ \left(x-\lambda\right) }[/math] אחד מהגורמים, כאשר [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ v }[/math] ו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
נשלים את הקבוצה [math]\displaystyle{ \left\{v\right\} }[/math] לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ B=\left \{ v,v_2,\dots,v_n \right \} }[/math]. נסמן ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] את מטריצת המעבר בין הבסיסים (הסטנדרטי ו-[math]\displaystyle{ B }[/math]). אזי יחסית לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] נקבל: \begin{displaymjx}P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} \lambda & \star & \cdots & \star\\ 0 & & & \\ \vdots & & \tilde{A} & \\ 0 & & & \end{matrix} \right )=A_1\end{displaymjx}
לכן, [math]\displaystyle{ p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )=\left(x-\lambda \right )\cdot p_{\tilde{A}}\left(x \right ) }[/math].
אם כן, [math]\displaystyle{ p_{\tilde{A}}\left(x\right) }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים. נשלים את ההוכחה באינדוקציה.
עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] אין מה להוכיח.
נניח שהמשפט נכון ל-[math]\displaystyle{ n-1 }[/math], ונוכיח ל-[math]\displaystyle{ n }[/math]. בסימונים הנ"ל, [math]\displaystyle{ \tilde{A} }[/math] ניתנת לשילוש, כלומר קיימת [math]\displaystyle{ Q }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Q^{-1}\tilde{A}Q }[/math] משולשת.
נגדיר \begin{displaymjx}C=P\cdot \left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי \begin{displaymjx}C^{-1}AC=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )^{-1}P^{-1}AP\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q^{-1} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &\tilde{A} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0 &Q \end{matrix} \right )=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &Q^{-1}\tilde{A}Q \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \lambda & & & \star\\ & \star & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \star \end{matrix} \right )\end{displaymjx}
כדרוש.
∎
תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in M_n\left(\mathbb{F}\right) }[/math], כך ש-[math]\displaystyle{ p_A\left(x\right) }[/math] מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.
נמצא לכל ערך עצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] בסיס למרחב העצמי, ונסמן את איחוד הבסיסים האלו ב-[math]\displaystyle{ \tilde{B} }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ \left|\tilde{B}\right|=k }[/math].
נשלים אותו לבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math].
נסמן ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] את המטריצה שעמודותיה הן הווקטורים של [math]\displaystyle{ B }[/math], ונחשב את [math]\displaystyle{ \tilde{A}_2=P^{-1}AP }[/math].
אם [math]\displaystyle{ \tilde{A}_2 }[/math] משולשת, עוברים לשלב הבא.
אחרת, נסמן ב-[math]\displaystyle{ A_2 }[/math] את המטריצה המתקבלת מ-[math]\displaystyle{ \tilde{A}_2 }[/math] על ידי מחיקת [math]\displaystyle{ k }[/math] השורות והעמודות הראשונות, ונפעיל עליה את האלגוריתם עד שנקבל מטריצה משלשת [math]\displaystyle{ P_1 }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ P'=\left(\begin{matrix}I_k&0\\0&P_1\end{matrix}\right) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \left(P'\right)^{-1}P^{-1}APP' }[/math] משולשת עליונה.