ממד
הממד של מרחב וקטורי מוגדר כמספר האברים של בסיס למרחב.
עיונים בהגדרה[עריכה]
כדי שהממד יהיה מוגדר היטב, יש לדעת שני דברים:
- לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
- לכל שני בסיסים יש אותו מספר אברים.
העובדה הראשונה קלה אם למרחב יש קבוצה פורשת סופית, אבל המקרה הכללי הוא משפט המל השקול לאקסיומת הבחירה.
תלות בשדה הבסיס[עריכה]
הממד של מרחב וקטורי תלוי בשדה הבסיס. לדוגמא, את שדה המספרים המרוכבים [math]\displaystyle{ \C }[/math] אפשר לראות כמרחב וקטורי מעל עצמו, מעל שדה המספרים הממשיים [math]\displaystyle{ \R }[/math] , או מעל שדה המספרים הרציונליים [math]\displaystyle{ \Q }[/math] . הממד שלו הוא 1 במקרה הראשון (כל קבוצה בת איבר אחד, שונה מאפס, היא בסיס); 2 במקרה השני ([math]\displaystyle{ \{1,i\} }[/math] הוא בסיס מעל הממשיים); ואינסוף במקרה האחרון.
הסיבה לתלות של הממד בשדה הבסיס פשוטה: אם B קבוצה של וקטורים ב-V, הקבוצה הנפרשת על B היא אוסף הצירופים הלינאריים של וקטורים מ-B, עם סקלרים משדה הבסיס. יתכן בהחלט ש-B תפרוש את V מעל שדה אחד, אבל לא מעל שדה קטן יותר.
הממד מגדיר את המרחב[עריכה]
לשני מרחבים איזומורפיים יש אותו ממד. מאידך,
- כל שני מרחבים וקטוריים עם אותו ממד מעל אותו בסיס, הם איזומורפיים.
מכאן שכל מרחב וקטורי מממד [math]\displaystyle{ n }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math] , איזומורפי למרחב הוקטורים [math]\displaystyle{ {\mathbb F}^n }[/math] .