מספרים מרוכבים
המספרים המרוכבים הם הרחבה של שדה המספרים הממשיים, שבה גם למשוואה [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math] יש פתרון. בפרק על שדות בקורס אלגברה לינארית 1 בונים את [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] באופן פורמלי כקבוצת זוגות סדורים של ממשיים עם פעולות חיבור וכפל מתאימות, ומוכיחים שמדובר בשדה של ממש. לכל מספר מרוכב יש גם ייצוג גיאומטרי כנקודה במישור (מישור גאוס), ולצידו ייצוג קוטבי (פולרי) שבעזרתו מבצעים כפל, חזקות ושורשים של מספרים מרוכבים בפשטות רבה. שדה זה משמש בהמשך הקורס כשדה סקלרים אפשרי למרחבים וקטוריים, ומופיע גם ביישומים כמו סיבוב נקודות במישור.
הגדרה
מגדירים
- [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
עם פעולות
- [math]\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) }[/math]
מסמנים [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math] (כך שהממשיים מוטבעים בתוך [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]) ו-[math]\displaystyle{ i=(0,1) }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ i^2=(0,1)\cdot(0,1)=(-1,0)=-1 }[/math], ונובע מהגדרת החיבור והכפל כי לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ a+b\cdot i=(a,b) }[/math]
זוהי הצורה הקרטזית (האלגברית) הרגילה של מספר מרוכב.
עבור [math]\displaystyle{ z=a+b\cdot i }[/math] מגדירים:
- [math]\displaystyle{ \overline{z}=a-b\cdot i }[/math] (הצמוד המרוכב)
- [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math] (הערך המוחלט, המרחק של [math]\displaystyle{ z }[/math] מראשית הצירים)
- [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math], [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math] (החלק הממשי והחלק המדומה)
הצורה הקוטבית (הפולרית): לכל מספר מרוכב [math]\displaystyle{ z=a+bi\neq 0 }[/math] יש מרחק [math]\displaystyle{ r=|z| }[/math] מראשית הצירים, וזווית [math]\displaystyle{ \theta }[/math] הנמדדת נגד כיוון השעון מהכיוון החיובי של ציר [math]\displaystyle{ x }[/math]. מתקיים
- [math]\displaystyle{ a+b\cdot i=r\cdot cis(\theta) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ cis(\theta):=\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta) }[/math]
המעבר מצורה קוטבית לקרטזית מיידי: [math]\displaystyle{ a=r\cos\theta }[/math], [math]\displaystyle{ b=r\sin\theta }[/math]. המעבר ההפוך:
- [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right) }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b>0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b<0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=-\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a<0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi }[/math]
(פיצול המקרים נובע מכך שפונקציית arctan מחזירה זוויות רק בטווח [math]\displaystyle{ (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}) }[/math], המתאים לרביע ראשון ורביעי בלבד.)
משפטים ותכונות
משפט: [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] הוא שדה. הסגירות לחיבור ולכפל נובעת ישירות מההגדרה (סכום ומכפלה של שתי נקודות במישור הם שוב נקודה במישור). קיבוץ, חילוף ופילוג מתקבלים בהצבה ישירה של זוגות כלליים בנוסחאות, ואלו חישובים טכניים.
- איבר נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ 0=(0,0) }[/math].
- איבר נייטרלי לכפל: [math]\displaystyle{ 1=(1,0) }[/math].
- נגדי: הנגדי ל-[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (-a,-b) }[/math].
- הופכי: לכל [math]\displaystyle{ z=a+bi\neq 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ z\cdot\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2 }[/math], שהוא מספר ממשי שונה מאפס. לכן
- [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math]
תכונות הצמוד והערך המוחלט (לכל [math]\displaystyle{ z,w\in\mathbb{C} }[/math]): כל התכונות הבאות מוכחות בהצבה ישירה לפי ההגדרות, וכדאי לתרגל את ההוכחה עצמאית.
- [math]\displaystyle{ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w} }[/math]
- [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2\cdot Re(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ z^{-1}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math]
משפט (שורשים צמודים לפולינום ממשי): יהי [math]\displaystyle{ p(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0 }[/math] פולינום שכל מקדמיו [math]\displaystyle{ a_0,\dots,a_n }[/math] ממשיים. אם [math]\displaystyle{ z\in\mathbb{C} }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ p(z)=0 }[/math], אזי גם [math]\displaystyle{ p(\overline{z})=0 }[/math].
- הוכחה: צמוד של מספר ממשי שווה לעצמו, ולכן [math]\displaystyle{ \overline{a_k}=a_k }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k }[/math]. באמצעות התכונות [math]\displaystyle{ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} }[/math] מקבלים
- [math]\displaystyle{ p(\overline{z})=a_n\overline{z}^{\,n}+\dots+a_0=\overline{a_n z^n+\dots+a_0}=\overline{p(z)}=\overline{0}=0 }[/math]
- חשוב: הטענה מובטחת רק עבור מקדמים ממשיים; עבור מקדמים מרוכבים כלליים היא אינה נכונה בהכרח (למשל עבור [math]\displaystyle{ p(x)=x-i }[/math] השורש [math]\displaystyle{ i }[/math] אינו מגיע עם הצמוד שלו).
משפט (כפל בצורה קוטבית): [math]\displaystyle{ r_1 cis(\theta_1)\cdot r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2\cdot cis(\theta_1+\theta_2) }[/math], כלומר בכפל מספרים מרוכבים האורכים מוכפלים והזוויות מצטברות.
- הוכחה: די להראות [math]\displaystyle{ cis(\theta_1)\cdot cis(\theta_2)=cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]. לפי הגדרת הכפל, החלק הממשי של המכפלה הוא [math]\displaystyle{ \cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2 }[/math] והחלק המדומה הוא [math]\displaystyle{ \cos\theta_1\sin\theta_2+\sin\theta_1\cos\theta_2 }[/math] — אלו בדיוק נוסחאות הסכום של קוסינוס וסינוס, ולכן המכפלה שווה ל-[math]\displaystyle{ \cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)=cis(\theta_1+\theta_2) }[/math].
חוק דה-מואבר: לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי, [math]\displaystyle{ (r\, cis(\theta))^n=r^n\, cis(n\theta) }[/math].
- הוכחה: העלאה בחזקת [math]\displaystyle{ n }[/math] טבעי היא כפל של המספר בעצמו [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים. לפי משפט הכפל בצורה קוטבית, האורכים מוכפלים [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים (מתקבל [math]\displaystyle{ r^n }[/math]) והזוויות מצטברות [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים (מתקבל [math]\displaystyle{ n\theta }[/math]).
משפט (שורשים של מספר מרוכב): יהי [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] טבעי ויהי [math]\displaystyle{ a+bi\neq 0 }[/math] מספר מרוכב. למשוואה [math]\displaystyle{ z^n=a+bi }[/math] יש בדיוק [math]\displaystyle{ n }[/math] פתרונות מרוכבים שונים, הנתונים על ידי הנוסחה הבאה: כותבים [math]\displaystyle{ a+bi=r\, cis(\theta) }[/math], ואז הפתרונות הם
- [math]\displaystyle{ z_k=\sqrt[n]{r}\cdot cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) }[/math], עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,\dots,n-1 }[/math]
- רעיון ההוכחה: מציבים [math]\displaystyle{ z=t\,cis(\alpha) }[/math] ודורשים [math]\displaystyle{ t^n cis(n\alpha)=r\,cis(\theta) }[/math]. שתי צורות קוטביות שוות אם ורק אם האורכים שווים והזוויות שוות עד כדי כפולה שלמה של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ t=\sqrt[n]{r} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ n\alpha=\theta+2\pi k }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k }[/math] שלם כלשהו. מציבים [math]\displaystyle{ k=0,1,\dots,n-1 }[/math] ומראים שהזוויות המתקבלות שונות זו מזו ואינן חוזרות על עצמן (כל הפרש זוויות בין שני ערכי [math]\displaystyle{ k }[/math] שכאלה קטן מ-[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]), ושכל ערך שלם אחר של [math]\displaystyle{ k }[/math] נותן זווית שכבר התקבלה. כך מקבלים בדיוק [math]\displaystyle{ n }[/math] פתרונות שונים ולא יותר.
שיטה / איך מחשבים
- מעבר מקרטזית לקוטבית: בהינתן [math]\displaystyle{ a+bi }[/math], מחשבים [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math] ואז את [math]\displaystyle{ \theta }[/math] לפי טבלת המקרים בסעיף ההגדרה (בהתאם לסימני [math]\displaystyle{ a }[/math] ו-[math]\displaystyle{ b }[/math]).
- מעבר מקוטבית לקרטזית: בהינתן [math]\displaystyle{ r\,cis(\theta) }[/math], מחשבים [math]\displaystyle{ a=r\cos\theta }[/math], [math]\displaystyle{ b=r\sin\theta }[/math].
- חישוב הופכי: כופלים מונה ומכנה בצמוד: [math]\displaystyle{ \dfrac{1}{a+bi}=\dfrac{a-bi}{a^2+b^2} }[/math].
- העלאה בחזקה: ממירים לצורה קוטבית ומפעילים את חוק דה-מואבר — מעלים את [math]\displaystyle{ r }[/math] בחזקה, מכפילים את [math]\displaystyle{ \theta }[/math].
- מציאת שורשים מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math]: ממירים את המספר לצורה קוטבית [math]\displaystyle{ r\,cis(\theta) }[/math], ואז מציבים [math]\displaystyle{ k=0,1,\dots,n-1 }[/math] בנוסחה [math]\displaystyle{ z_k=\sqrt[n]{r}\, cis\!\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) }[/math].
דוגמאות
דוגמה 1 — פעולות לפי ההגדרה. עבור [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (-1,3) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ (1,2)+(-1,3)=(0,5) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (1,2)\cdot(-1,3)=(1\cdot(-1)-2\cdot 3,\ 1\cdot 3+2\cdot(-1))=(-7,1) }[/math]
ההופכי של [math]\displaystyle{ 1+2i }[/math]: לפי הנוסחה [math]\displaystyle{ z^{-1}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ |1+2i|^2=1^2+2^2=5 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (1+2i)^{-1}=\dfrac{1-2i}{5} }[/math]. אכן [math]\displaystyle{ (1+2i)(1-2i)=1+4=5 }[/math].
דוגמה 2 — מעבר בין צורות. עבור [math]\displaystyle{ z=cis(\pi) }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]): [math]\displaystyle{ \cos\pi=-1,\ \sin\pi=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ z=-1 }[/math]. בכיוון ההפוך, עבור הנקודה [math]\displaystyle{ (\sqrt2,\sqrt2) }[/math]: [math]\displaystyle{ r=\sqrt{2+2}=2 }[/math], ומאחר ש-[math]\displaystyle{ a=\sqrt2>0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \theta=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ \sqrt2+\sqrt2 i=2\,cis\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) }[/math].
דוגמה 3 — חוק דה-מואבר. נחשב [math]\displaystyle{ (1+i)^6 }[/math]. ראשית ממירים לצורה קוטבית: [math]\displaystyle{ 1+i=\sqrt2\,cis\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) }[/math]. לפי דה-מואבר, [math]\displaystyle{ (1+i)^6=(\sqrt2)^6\,cis\!\left(6\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)=8\,cis\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=8\cdot(-i)=-8i }[/math].
דוגמה 4 — שורשים מסדר 3 של 1. כותבים [math]\displaystyle{ 1=cis(0) }[/math], ולכן לפי נוסחת השורשים עם [math]\displaystyle{ n=3 }[/math], [math]\displaystyle{ r=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta=0 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ z_0=cis(0)=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ z_1=cis\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i }[/math]
- [math]\displaystyle{ z_2=cis\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i }[/math]
שלושת הפתרונות יושבים על מעגל היחידה במרחקים שווים זה מזה (הפרש זווית של [math]\displaystyle{ 120^\circ }[/math]).
שאלות תרגול
שאלה 1. חשבו את ההופכי של [math]\displaystyle{ 3+4i }[/math].
- פתרון
[math]\displaystyle{ |3+4i|^2=9+16=25 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (3+4i)^{-1}=\dfrac{3-4i}{25} }[/math].
שאלה 2. הביאו את המספר [math]\displaystyle{ -\dfrac{1}{\sqrt2}-\dfrac{1}{\sqrt2}i }[/math] לצורתו הקוטבית.
- פתרון
[math]\displaystyle{ r=\sqrt{\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac12+\dfrac12}=1 }[/math]. מאחר ש-[math]\displaystyle{ a=-\dfrac{1}{\sqrt2}<0 }[/math], הזווית היא [math]\displaystyle{ \theta=\arctan\!\left(\dfrac{-1/\sqrt2}{-1/\sqrt2}\right)+\pi=\arctan(1)+\pi=\dfrac{\pi}{4}+\pi=\dfrac{5\pi}{4} }[/math]. לכן המספר שווה ל-[math]\displaystyle{ cis\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) }[/math].
שאלה 3. חשבו [math]\displaystyle{ (1-i)^8 }[/math] בעזרת חוק דה-מואבר.
- פתרון
[math]\displaystyle{ 1-i=\sqrt2\,cis\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ (1-i)^8=(\sqrt2)^8\,cis\!\left(8\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=16\,cis(-2\pi)=16\cdot 1=16 }[/math].
שאלה 4. מצאו את כל הפתרונות המרוכבים למשוואה [math]\displaystyle{ z^4=1 }[/math].
- פתרון
[math]\displaystyle{ 1=cis(0) }[/math], [math]\displaystyle{ n=4 }[/math], [math]\displaystyle{ r=1 }[/math]. הפתרונות: [math]\displaystyle{ z_k=cis\!\left(\dfrac{2\pi k}{4}\right) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,2,3 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ z_0=1,\ z_1=i,\ z_2=-1,\ z_3=-i }[/math].
שאלה 5. יהי [math]\displaystyle{ p(x)=x^2-2x+5 }[/math] פולינום עם מקדמים ממשיים, ונתון ש-[math]\displaystyle{ 1+2i }[/math] הוא שורש שלו. מהו שורשו השני?
- פתרון
לפי המשפט על שורשים צמודים של פולינום ממשי, אם [math]\displaystyle{ 1+2i }[/math] שורש אזי גם הצמוד [math]\displaystyle{ \overline{1+2i}=1-2i }[/math] הוא שורש. (ואכן [math]\displaystyle{ (1+2i)+(1-2i)=2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ (1+2i)(1-2i)=1+4=5 }[/math], בהתאמה למקדמי הפולינום.)
טעויות נפוצות
- שימוש בנוסחה [math]\displaystyle{ \theta=\arctan(b/a) }[/math] בלי לבדוק את רביע הנקודה — פונקציית ה-arctan מחזירה זווית רק בין [math]\displaystyle{ -\tfrac{\pi}{2} }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \tfrac{\pi}{2} }[/math], ולכן ברביע שני ושלישי (כאשר [math]\displaystyle{ a<0 }[/math]) חובה להוסיף [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
- בלבול בין ההופכי של מספר מרוכב לבין הצמוד שלו — ההופכי הוא [math]\displaystyle{ \overline{z}/|z|^2 }[/math] ולא [math]\displaystyle{ \overline{z} }[/math] בלבד.
- שכחה שבכפל מספרים מרוכבים בצורה קוטבית הזוויות מצטברות והאורכים מוכפלים — לא להפך, ולא לחבר את האורכים.
- בחיפוש שורשים מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math], מציאת פתרון אחד בלבד ושכחת ההוספה השיטתית של [math]\displaystyle{ 2\pi k/n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k=0,\dots,n-1 }[/math].
- הפעלת המשפט על שורשים צמודים של פולינום כאשר המקדמים אינם ממשיים — המשפט דורש במפורש מקדמים ממשיים ואינו נכון עבור מקדמים מרוכבים כלליים.
שאלות ממבחנים
- מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תלות/אי-תלות לינארית של אותה קבוצת וקטורים מעל C לעומת מעל R, וקשר בין המימדים dimR U2 = 2·dimC U1)
- בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בדיקת תלות לינארית של שלושה וקטורים ב-C³ התלויים בפרמטר a, ובדיקת שייכות וקטור נתון ל-Span שלהם)
- מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 4ד — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון: העתקת ההצמדה המרוכבת T(v)=v̄ על V=C (מעל שדה C) היא העתקה לינארית)
- מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5ג — מבחן (חישוב z^4446 עבור מספר מרוכב נתון בעזרת צורה קוטבית)
- מועד א' קיץ תשעא, שאלה 5א — מבחן · פתרון (פתרון משוואה במספרים מרוכבים בעזרת הצבה z=x+iy והרחבת שבר בצמוד)
- פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 5 — מבחן (טענות אמת/שקר על תת-קבוצות של קבוצות בת"ל/פורשות, ועל תלות לינארית של קבוצות קונקרטיות ב-ℂ² וב-P₂[x])
- פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 9 — מבחן (בדיקה האם קבוצת מטריצות עם רכיבים מרוכבים היא תת-מרחב מעל C ומעל R)
- בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 3ב — מבחן (חישוב חזקה גבוהה (z^4446) של מספר מרוכב בעזרת המרה לצורה קוטבית ומשפט דה-מואבר)
הרשימה המלאה, לפי מבחן ולפי נושא: אלגברה לינארית 1/אינדקס שאלות.
סרטונים
הגדרת המספרים המרוכבים כזוגות סדורים של ממשיים, הגדרת החיבור והכפל, והוכחה שמדובר בשדה (כולל מציאת איברים נגדיים והופכיים).
סימונים נוספים — צמוד מרוכב וערך מוחלט ותכונותיהם, והוכחת המשפט שלפיו שורש מרוכב של פולינום ממשי מגיע יחד עם צמודו.
הגדרת הצורה הקוטבית (הפולרית) של מספר מרוכב, הקשר לצורה הקרטזית, ונוסחאות המעבר בין הצורות.
כפל מספרים מרוכבים בצורה קוטבית (מכפלת אורכים וסכום זוויות) ויישום לסיבוב נקודות במישור.
חוק דה-מואבר להעלאה בחזקה, והמשפט על מציאת כל השורשים המרוכבים מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] של מספר נתון.
