אלגברה לינארית 1/אינדקס שאלות

בקצרה: טבלה של כל השאלות במבחני אלגברה לינארית 1 שבאתר, לפי מועד ולפי נושא, עם קישור למבחן ולפתרון. מיועדת לאיתור מהיר של שאלות לתרגול בנושא מסוים.

דף זה מפרט את השאלות בכל מבחן ובוחן שמופיעים בדף אלגברה לינארית 1/מבחנים, מתויגות לפי נושאי הקורס כפי שהם בדף אלגברה לינארית - ארז שיינר. התיוג נעשה בעזרת AI ונבדק מדגמית; אם מצאתם טעות, תקנו בבקשה ישירות בדף. הרשימה לפי נושא מופיעה בסוף הדף.

לפי מבחן

מבחן	שאלה	נושאים	נק'	קבצים	על מה השאלה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו	1	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	27 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	מציאת בסיס לחיתוך הגרעינים N(A)∩N(B), בניית מטריצה C בגרעין המשותף, וקביעת כל האפשרויות לדרגת C
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו	2	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, פרישה ותלות לינארית, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	18 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	קביעה לפי פרמטר a האם קיימת/יחידה/אינסוף/אין העתקה לינארית עם Tu_i=v_i, כולל דרישת היות ההעתקה על על הטווח המצומצם
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו	3א	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	9	מבחן · פתרון	מציאת מטריצה B כך ש-det(BAB^t)=det(A)+det(B) בעזרת תכונת כפליות הדטרמיננטה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו	3ב	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד	9	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ל-span{w1,w2,w3,w4} כצירופים של ארבעה וקטורים בת"ל מעל שדה כללי F^k
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו	3ג	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שחלוף	9	מבחן · פתרון	הוכחה כי אם A^tB הפיכה אז גם B^tA הפיכה (שימוש בשחלוף)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו	4	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים	18 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה: אם [T]^B_B מטריצה סקלרית או אלכסונית, האם [T]^C_C בהכרח מאותו סוג בכל בסיס אחר C
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו	5	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, בסיס ומימד	16 (6+5+5)	מבחן · פתרון	הוכחה כי {T_i,j} בסיס ל-Hom(V,W), וכי {SR_i} וגם {R_iS} בסיסים ל-Hom(V,V) אמ"מ S הפיכה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו	1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, משפט הדרגה, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	33 (11 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	מציאת בסיס למרחב השורות R(A), בסיס לחיתוך C(A)∩N(A²), והפרכת קיום מטריצה B עם C(B)=C(A) ו-N(B)=R(A) בעזרת משפט הדרגה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו	2	בסיס ומימד, פרישה ותלות לינארית	18 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	קביעת ערכי a שעבורם {A1,A2,A3} בסיס לתת-המרחב W (מטריצות עם עקבה 0), והשלמה לבסיס R^{2x2}
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו	3	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים	18 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה: קיום שורת אפסים במטריצה המייצגת [T]^C_B לעומת [T]^C_C או [T]^B_B
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו	4א	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות, תתי מרחבים	9	מבחן · פתרון	הוכחה כי W={(a,b,c): קיים B עם det(AA^t)=det(-B^tB)} תת-מרחב, ומציאת בסיס לו
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו	4ב	דרגה של מטריצה, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	9	מבחן · פתרון	הוכחה כי A^tA אינה הפיכה כאשר A∈R^{3x4} ו-rank(A)=3
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו	5	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, מטריצה מייצגת העתקה	18 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחה כי T על גוררת קיום S עם T∘S=I, וגרסה מטריציונית: T_A על גוררת קיום B עם AB=I
בוחן קיץ תשפ"ו	1א	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	20	מבחן · פתרון	הוכחה: ל-A ול-B אותה מטריצה מדורגת קנונית אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה E כך ש-EA=B
בוחן קיץ תשפ"ו	1ב	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	20	מבחן · פתרון	הוכחה או הפרכה: אם AA^t=BB^t אז A=B (הפרכה בדוגמה נגדית 2x2)
בוחן קיץ תשפ"ו	2	פרישה ותלות לינארית, תתי מרחבים	40	מבחן · פתרון	לאילו ערכי פרמטר a הווקטור w שייך ל-span{v1,v2}, ולאילו ערכים הקבוצה w+span{v1,v2} היא תת מרחב של R^3
בוחן קיץ תשפ"ו	3	פרישה ותלות לינארית, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	40	מבחן · פתרון	הוכחה ששני פתרונות שונים למערכת Ax=b (b≠0) הם בלתי תלויים לינארית, ובדיקת הטענה span{v1}∩span{v2}={0}
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה	1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, דרגה של מטריצה	10+8+8	מבחן · פתרון	בסיסים ל-N(A)+C(A) ו-N(A)∩C(A), הפיכות A ומציאת B≠0 כך ש-AB=0, והאפשרויות ל-rank(B)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה	2	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה	8 לכל סעיף (24 סה"כ)	מבחן · פתרון	העתקה T תלוית פרמטר a: לאילו a הפיכה, בדיקת שוויון תמונות/חד-חד-ערכיות, ובסיס עם עמודות ושורות אפסים במטריצה המייצגת
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה	3	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד, הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי	8 לכל סעיף (24 סה"כ)	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך שלושה משפטים על איחוד spanים כתת-מרחב, תלות לינארית של איחוד קבוצות, ובנייה מחדש של בסיס
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה	4	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	8 לכל סעיף (16 סה"כ)	מבחן · פתרון	הוכחה ש-rank(A^2)=rank(A) שקול לכך ש-F^n=C(A)⊕N(A), והוכחת rank(A)+rank(B)≤n כאשר AB=0
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה	5	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה	8 לכל סעיף (16 סה"כ)	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: עמודת אפסים או איבר אפס בכל מטריצה מייצגת גוררים שההעתקה היא העתקת האפס
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	1א	דירוג מטריצה עם פרמטר, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	8	מבחן · פתרון	קביעה לכל ערך פרמטר a האם למערכת A(a)x=(1,0,1) פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	1ב-ג	הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי, תתי מרחבים, מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)	8+8	מבחן · פתרון	הוכחה ש-U={v:Av=5v} תת-מרחב של R^3, וחישוב dim U עבור a=2 (מרחב עצמי)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	2א	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, משפט המימדים	10	מבחן · פתרון	בסיסים ל-U∩W ו-U+W בתת-המרחבים של R2[x] והסקת dim(U∩W)=1, dim(U+W)=3
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	2ב-ג	גרעין ותמונה, משפט הדרגה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	8+8	מבחן · פתרון	קיום העתקה T עם W=Img(T) ו-U∩W=ker(T), והוכחה/הפרכה שהעתקה עם Img(T)=U+W הפיכה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	3א-ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שחלוף	8+8	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: מטריצה אנטי-סימטרית אינה הפיכה, ו-AB=A+B עם A הפיכה גורר B הפיכה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	3ג	פרישה ותלות לינארית, הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי	8	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: תנאי חיתוך spanים ו-dim span(B)=1 גוררים שאיחוד ה-spanים תת-מרחב
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	4	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	9+7+7	מבחן · פתרון	המרחב המאונך W⊥: הוכחה שהוא תת-מרחב, נוסחת (U+W)⊥=U⊥∩W⊥, והוכחה/הפרכה ש-R^4=W⊕W⊥ עבור W נתון
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה	5	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	7 לכל סעיף (14 סה"כ)	מבחן · פתרון	הוכחות על העתקות לינאריות S,T המוגדרות לפי פעולה על וקטורי בסיס, תוך שימוש ב-TS=ST
בוחן קיץ תשפ"ה	1	משתנים חופשיים ותלויים, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	35	מבחן · פתרון	מטריצה A שדורגה ל-U נתונה: מציאת הפתרון הכללי של Ax=0, הוכחת שקילות Av=b ו-Au=b כאשר v-u נתון, ובדיקת קיום פתרון למערכת נתונה
בוחן קיץ תשפ"ה	2	תתי מרחבים	30	מבחן · פתרון	∃α: A^t=αA} ו-Wα={A|A^t=αA} הן תת מרחב של מרחב המטריצות הריבועיות
בוחן קיץ תשפ"ה	3	מטריצות מעבר בין בסיסים, מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)	45	מבחן · פתרון	יחס דמיון בין מטריצות (P^-1AP=B): הוכחת טרנזיטיביות, הפרכה עבור A=αI, והוכחה שמטריצה נתונה דומה למטריצה אלכסונית לפי שני וקטורים נתונים
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	1א	דירוג מטריצה עם פרמטר, דרגה של מטריצה	10	מבחן · פתרון	קביעת דרגת המטריצה A(a) התלויה בפרמטר a∈C
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	1ב	תתי מרחבים, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	10	מבחן · פתרון	הוכחה כי U={v:Av=A^tv} תת-מרחב של C^3, כגרעין של A-A^t
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	1ג	בסיס ומימד	10	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ומימד ל-U מעל C עבור a=i
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	2א	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, פרישה ותלות לינארית	8	מבחן · פתרון	קביעת מספר ההעתקות הלינאריות T:R2[x]→R2[x] המקיימות שלושה תנאים נתונים, כולל בדיקת תלות לינארית של הפולינומים
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	2ב	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, קואורדינטות	8	מבחן · פתרון	מציאת נוסחה מפורשת ל-T(a+bx+cx²) לפי הצגת הפולינום הכללי בבסיס הנתון
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	2ג	גרעין ותמונה, משפט הדרגה	8	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ומימד לגרעין ולתמונה של ההעתקה T שנמצאה בסעיף הקודם
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	3א	תכונות של אלגברת מטריצות	7	מבחן · פתרון	הוכחה כי לכל A∈U={A:AM=A} ולכל B∈F^{n×n} מתקיים BA∈U
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	3ב	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	7	מבחן · פתרון	הוכחה כי A∈U אם ורק אם C(M-I)⊆N(A)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	4	משפט המימדים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	21 (7 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	חקירת ממד חיתוך על-מישורים (תתי-מרחב ממימד n-1) לפי משפט המימדים, כולל בניה עבור שני על-מישורים והפרכה עבור שלושה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד	5	מטריצה מייצגת העתקה, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	20 (10 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחה כי T²+I=0 שקול לקיום בסיס עם מטריצה מייצגת ספציפית (dim V=2), והוכחה שלא ייתכן T²+I=0 כאשר dim V=3
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד	1	דירוג מטריצה עם פרמטר, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	30 (10 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם A אינה הפיכה, ובסיס ומימד ל-C(A), N(A) ולחיתוך שלהם עבור a=-1
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד	2	בסיס ומימד, גרעין ותמונה, מטריצה מייצגת העתקה	21 (7 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחת בסיס B ל-R2[x], מציאת גרעין ותמונה של T לפי מטריצה מייצגת, ומציאת בסיס C שעבורו מתקבלת מטריצה מייצגת נתונה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד	3	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד	21 (7 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחת אי-תלות ובסיס ל-R3, ומציאת ערכי פרמטר a המקיימים תנאי תלות/אי-תלות בין ארבעה וקטורים
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד	4	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	16 (8 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה של שתי טענות על חיתוך וסכום תתי מרחבים ועל בסיסים של תת-מרחב W
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד	5	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה	21 (7 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	גרעין ותמונה של צמצום S ושל ההרכבה ST, ותנאי שוויון במשפט הדרגה
בוחן לינארית תיכוניסטים 2024	1	דירוג מטריצה עם פרמטר, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	60	מבחן · פתרון	מטריצה עם פרמטר a המייצגת מערכת לא הומוגנית: סיווג מספר הפתרונות (יחיד/אינסוף/אין) ומציאת קבוצת הפתרונות מעל R, וחזרה על הסיווג מעל C
בוחן לינארית תיכוניסטים 2024	2	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	40	מבחן · פתרון	הוכחה או הפרכה של טענות על שייכות סכום/הפרש של וקטורים מ-U ומ-W לחיתוך U∩W
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג	1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)	27	מבחן · פתרון	הוכחת תת-מרחב U (מרחב עצמי כפתרון (A-2I)v=0), בסיס ומימד ל-U,W ולחיתוך U∩W
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג	2	בסיס ומימד, גרעין ותמונה, משפט הדרגה	20	מבחן · פתרון	הוכחת בסיס B ל-R2[x], ומציאת גרעין ותמונה של העתקה תלוית-פרמטר Ta לכל ערך של a
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג	3	תתי מרחבים, גרעין ותמונה, משפט הדרגה	21	מבחן · פתרון	הכלה בין תת-מרחב חד-מימדי לתת-מרחב אחר, והוכחה/הפרכה של הכלות בין גרעין לתמונה של T לפי מימד V
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג	4	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות, עקבה, מטריצה נלווית	18	מבחן · פתרון	אי-תלות הדטרמיננטה והעקבה בבחירת בסיס למטריצה מייצגת, והפרכת אותה טענה עבור המטריצה הנלווית
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג	5	שדה המרוכבים, פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד	21	מבחן · פתרון	תלות/אי-תלות לינארית של אותה קבוצת וקטורים מעל C לעומת מעל R, וקשר בין המימדים dimR U2 = 2·dimC U1
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג	1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, דרגה של מטריצה	27 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	בסיסים ומימדים ל-C(A), N(A), C(A)+N(A), C(A)∩N(A), והוכחה שהעמודה הרביעית של A^2 היא עמודת אפסים
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג	2	פרישה ותלות לינארית, תתי מרחבים, בסיס ומימד	20 (10 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחת תלות לינארית v1+v2,v2+v3,v3+v4, ותת-המרחב W המוגדר לפי תנאי תלות - בסיס ומימד
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג	3א-ב	גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	8+8	מבחן · פתרון	מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם Ta חד-חד-ערכית, ובסיס ומימד ל-ker T0 ו-Im T0
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג	3ג	מטריצה נלווית, דרגה של מטריצה	8	מבחן · פתרון	הוכחה ש-C(adj([T2]))=N([T2]) עבור a=2, באמצעות דרגת המטריצה המייצגת
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג	4	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות, דרגה של מטריצה	18 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	דוגמה למטריצות A,B≠0 עם det(A+BC)≠1 לכל C, והוכחה/הפרכה על det(A+DBC)≠0 באמצעות אי-שוויוני דרגה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג	5	גרעין ותמונה, משפט הדרגה	18 (9 לכל סעיף)	מבחן · פתרון	הוכחת קיום T עם Im T=Im T^2=U, והפרכת קיום T עם Im T=U, Im T^2=W עבור W⊊U
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב	1	תתי מרחבים	14	מבחן · פתרון	הוכחה כי לכל w בתת-מרחב W בעל בסיס {v1,v2} מתקיים W={tv1+sv2+w}, וההפך: אם {tv1+sv2+v} תת-מרחב אז v בהכרח ב-W
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב	2	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	30	מבחן · פתרון	הוכחה ש-U תת-מרחב של R2x2 ומציאת בסיס ומימד ל-U,W,U+W ו-U∩W
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב	3	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, גרעין ותמונה	30	מבחן · פתרון	לאילו ערכי פרמטר a קיימת העתקה T:R3→R3 המקיימת תנאים נתונים, מתי היא אינה חח"ע, ומתי ker T שווה למרחב נתון
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב	4	דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	15	מבחן · פתרון	הוכחה שדרגת BA היא 6 כאשר AB הפיכה (A∈R6x7, B∈R7x6), ומציאת בסיס ל-N(BA) ממטריצה נתונה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב	5	מטריצה מייצגת העתקה, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	21	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה של שלוש טענות המקשרות בין T²=0 לבין ריבוע המטריצה המייצגת [T]ᴮᶜ=0 עבור בסיסים שונים
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב	1	דירוג מטריצה עם פרמטר, משתנים חופשיים ותלויים, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית	24	מבחן · פתרון	קביעת מספר הפתרונות של Ax=0 ושל Ax=b לכל ערך פרמטר a, ובדיקה האם קיים a שעבורו לכל w יש פתרון
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב	2	תתי מרחבים, בסיס ומימד	24	מבחן · פתרון	הוכחת תת-מרחב Uc של פולינומים המתאפסים ב-±c, ומציאת בסיס ומימד ל-U1 ולמקרה בו dim Uc=3
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב	3	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	18	מבחן · פתרון	בניית מטריצה B עם אותם מרחבי שורה ועמודה ודטרמיננטה הפוכה בסימן, בהבחנה בין n=3 ל-n=2
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב	4	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, בסיס ומימד, קואורדינטות	20	מבחן · פתרון	קיום בסיס של V שבו כל התמונות תחת T שונות מאפס, והוכחה/הפרכה לגבי ייצוג וקטור בקואורדינטות כווקטור אחדות
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב	5	גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	24	מבחן · פתרון	תכונות ההעתקה S המקיימת TST=T (חיתוך גרעין ותמונה, הפרכת ker S={0}), וקיום העתקה כזו
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב	1	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד, קואורדינטות	24	מבחן · פתרון	מימד תת-המרחב U הנפרש ע"י שלושה וקטורים תלויי-פרמטר a כתלות ב-a, האם v∈U, ולעבור a=1 מציאת בסיס ל-U וקואורדינטות [v]_B
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב	2	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, מטריצות מעבר בין בסיסים	24	מבחן · פתרון	בהינתן [T]ᴮᶜ, מציאת בסיס ומימד ל-N ו-C שלה, הבעת בסיסי גרעין ותמונה של T באמצעות איברי B,C, ומציאת [T]ᴰᶜ לבסיס D נתון
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב	3	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, משפט המימדים	18	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה: (א) אם U+W=V אז dimU+dimW=dimV+1; (ב) אם U∩W={0} קיים W1⊇W עם U⊕W1=V
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב	4	גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	20	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה: אם ImT∩ImS={0} אז kerT∩kerS={0}; והוכחה ש-ImT⊆ImS אם"ם קיימת R:V→V עם T=SR
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב	5	דרגה של מטריצה, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	24	מבחן · פתרון	עבור A ריבועית מדרגה k: הוכחות/הפרכות על מתי A+B הפיכה/לא הפיכה בהתאם לדרגת B ביחס ל-n-k
בוחן קיץ תשפ"ב	1	פרישה ותלות לינארית, שדה המרוכבים	30	מבחן · פתרון	בדיקת תלות לינארית של שלושה וקטורים ב-C³ התלויים בפרמטר a, ובדיקת שייכות וקטור נתון ל-Span שלהם
בוחן קיץ תשפ"ב	2	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית, כפל מטריצות	40	מבחן · פתרון	חישוב הצורה המדורגת הקנונית של המטריצה vv^t ופתרון מערכות הומוגנית ולא-הומוגנית המתאימות לה
בוחן קיץ תשפ"ב	3	תכונות של אלגברת מטריצות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	40	מבחן · פתרון	הוכחות על מטריצות משולשיות עליונות: מכפלת שתי משולשיות עליונות, הופכי של משולשית עליונה, והפרכת טענה הפוכה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א	1	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	21	מבחן · פתרון	הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לחיתוך ולסכום של תתי-מרחבים ב-R^3
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א	2	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	21	מבחן · פתרון	מטריצה מייצגת עם פרמטר: הפיכות ההעתקה, חישוב העתקה הופכית וגרעין ותמונה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א	3	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	21	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה של זהויות על חיתוך וסכום תתי-מרחבים כלליים
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א	4	פרישה ותלות לינארית, קואורדינטות	21	מבחן · פתרון	ייצוג וקטור כצי"ל של וקטורים נתונים בעזרת קואורדינטות ופתרון מערכות ליניאריות
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א	5	מטריצה מייצגת העתקה, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	21	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה על מטריצות מייצגות של העתקות מתחלפות ביחס לבחירת בסיסים שונים
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א	1	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	21	מבחן · פתרון	שייכות וקטור לפרישה עם פרמטר, מימד מרחב הפרישה וחישוב דטרמיננטה תלוית-פרמטר
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א	2	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	21	מבחן · פתרון	מטריצה מייצגת להעתקת A-A^t, גרעין ותמונה וחישוב הרכבת ההעתקה עם עצמה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א	3	תתי מרחבים, בסיס ומימד, משפט המימדים	21	מבחן · פתרון	תת-מרחב של פולינומים כפולים ב-(x-a), בסיס ומימד ומשפט המימדים לסכום שני תתי-מרחבים כאלה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א	4	משפט הדרגה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, שחלוף	21	מבחן · פתרון	קשר בין מרחב האפס של מטריצה ושל שחלופתה לבין קיום מטריצה סימטרית שמתאפסת בכפל
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א	5	מטריצה מייצגת העתקה, משפט הדרגה, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	21	מבחן · פתרון	קיום בסיסים שבהם מטריצה מייצגת שווה להופכית, וקשר בין שוויון מטריצות מייצגות לבין דרגה וגרעין
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א	1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	21	מבחן · פתרון	מציאת בסיסים ומימדים למרחב השורות R(A), מרחב העמודות C(A), מרחב האפס N(A), ולחיתוך R(A)∩C(A) של מטריצה נתונה
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א	2	פרישה ותלות לינארית, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	21	מבחן · פתרון	לאילו ערכי פרמטר a מתקיים v4∈span{v1,v2,v3}, וכמה העתקות T:R3→R3 שונות מקיימות Tv1=Tv2=Tv3=0 או =Tv4=(1,1,1)
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א	3	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים, גרעין ותמונה	21	מבחן · פתרון	עבור אופרטור T עם [T]ᴮᴮ נתונה: הוכחה שאין בסיס C עם [T]ᶜᶜ=I, מציאת בסיס C עם [T]ᶜᴮ=I, ובסיסים ל-ker(T²-T) ו-Im(T²-T)
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א	4	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה	21	מבחן · פתרון	עבור T,S:V→V עם T∘S=T: הוכחה/הפרכה ש-kerT=kerS, הוכחת dimImT≤dimImS, והוכחת dimIm(S-I)+dimImT≤n
מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א	5	דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	21	מבחן · פתרון	הוכחה שאם AB=0 אז rank(A)≤n/2 או rank(B)≤n/2, הפרכת ההפך, והוכחת dimN(AB)≤dimN(A)+dimN(B)
בוחן קיץ תשפ"א	1	שחלוף, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, כפל מטריצות	60	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על שורה חמישית אפס וקשר להפיכות, עבור המכפלות ABᵗ, BᵗA, AAᵗ, AᵗA
בוחן קיץ תשפ"א	2א	הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות, משתנים חופשיים ותלויים	21	מבחן · פתרון	מציאת וקטורי b1,b2,b3 עבורם למערכת Ax=b יש פתרון יחיד / אין פתרון / יותר מפתרון אחד, עבור מטריצה 3x2 נתונה
בוחן קיץ תשפ"א	2ב	תתי מרחבים	21	מבחן · פתרון	בדיקה האם הקבוצות W1, W2, W3 (המוגדרות לפי מספר פתרונות המערכת Ax=b עם b1,b2,b3 הקודמים) הן תת-מרחב
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ	1	מטריצה מייצגת העתקה, עקבה, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות		מבחן · פתרון	חישוב עקבה ודטרמיננטה של מטריצה מייצגת T(A)=M·A לפי בסיסים שונים של R^{2x2}, ומציאת מטריצה A כך שדטרמיננטה נתונה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ	2	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים		מבחן · פתרון	מציאת בסיסים למרחב העמודות, מרחב השורות, סכומם וחיתוכם עבור מטריצה נתונה ב-R^{3x3}
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ	3	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, דירוג מטריצה עם פרמטר		מבחן · פתרון	מציאת המטריצה ההופכית B^{-1} ובדיקת מספר הפתרונות של מערכות Ax=b ו-AB^t x=b התלויות בפרמטר a
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ	4	מטריצה מייצגת העתקה, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה		מבחן · פתרון	מציאת בסיס B למרחב הפולינומים כך שבמטריצה המייצגת עבור העתקה המוגדרת ע"י משפט ההגדרה יש שורת אפסים ועמודת אפסים
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ	5	פרישה ותלות לינארית, דרגה של מטריצה		מבחן · פתרון	הוכחות/הפרכות על תלות לינארית של v,Av,...,A^{m-1}v ועל הדרגה, עבור מטריצה נילפוטנטית A המקיימת A^m=0
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ	6	פרישה ותלות לינארית, תתי מרחבים		מבחן · פתרון	הוכחות/הפרכות על קבוצת הוקטורים Q שעבורם v1+v,...,vn+v תלויים לינארית (האם תת-מרחב, הכלה בפרישה, ותיאור מפורש)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ	1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, בסיס ומימד		מבחן · פתרון	בסיסים למרחב האפס ומרחב העמודות של מטריצה ושל חזקותיה A^2, A^3
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ	2	דירוג מטריצה עם פרמטר, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות		מבחן · פתרון	קביעת קיום/יחידות/אינסוף פתרונות למערכות עם מטריצת מקדמים תלוית-פרמטר בעזרת דטרמיננטה
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ	3	פעולות דירוג אלמנטריות, דרגה של מטריצה		מבחן · פתרון	שחזור מטריצה ממכפלת מטריצות אלמנטריות נתונות וחישוב דרגה של מטריצה נגזרת
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ	4	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, קואורדינטות		מבחן · פתרון	חישוב העתקה והופכית שלה דרך מטריצה מייצגת, ובסיס עם עמודת/שורת אפסים לגרעין ותמונה של הרכבות
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ	5	תתי מרחבים, בסיס ומימד, כפל מטריצות		מבחן · פתרון	תת-מרחב מטריצות עם סכום עמודות אפס: מימד, סגירות לכפל מטריצות וקשר לגרעין משותף
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ	6	פרישה ותלות לינארית, תתי מרחבים		מבחן · פתרון	תלות לינארית ותת-מרחביות של קבוצת הוקטורים המזיזה קבוצה בלתי-תלויה נתונה בוקטור קבוע
בוחן קיץ תש"פ	1	פרישה ותלות לינארית, דירוג מטריצה עם פרמטר		מבחן · פתרון	מציאת ערכי פרמטר a עבורם וקטור b שייך/לא שייך ל-Span{v1,v2,v3} (ול-Span{v1,v2}), מקרה התלות הלינארית של v1,v2,v3, ומציאת מקדמי צירוף לינארי המבטא את b
בוחן קיץ תש"פ	2	כפל מטריצות, תכונות של אלגברת מטריצות		מבחן · פתרון	שאלות נכון/לא נכון על כפל שלוש מטריצות B,C,D: השפעת שינוי איבר ב-D על איבר במכפלה BCD, שורות/עמודות אפס, וריבועיות המכפלה
בוחן קיץ תש"פ	3	תתי מרחבים, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, כפל מטריצות		מבחן · פתרון	הוכחת תכונות קבוצת המטריצות F={[[a,b],[-b,a]]}: סגירות לכפל, חילופיות הכפל בתוך F, קיום הופכי ב-F, והיותה תת-מרחב וקטורי של R^(2x2)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט	1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	23	מבחן · פתרון	מציאת תנאי על a להשתייכות וקטור למרחב העמודות, הוכחת יחידות a,b במרחב האפס של המשוחלפת, ופירוק A=BC
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט	2	גרעין ותמונה, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, מטריצה מייצגת העתקה	27	מבחן · פתרון	מציאת בסיס לגרעין ולתמונה, בדיקת הפיכות, נוסחה מפורשת ומטריצה מייצגת אלכסונית עבור העתקה מהפולינומים ל-R^3
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט	3	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, הגדרת הדטרמיננטה ותכונות	18	מבחן · פתרון	הוכחת קיום בסיסים B,C להעתקה הפיכה כך שדטרמיננטת המטריצה המייצגת שווה 1, והפרכת קיום בסיס יחיד B עם אותה תכונה
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט	4	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	21	מבחן · פתרון	הוכחות/הפרכות: N(A-I)⊆N(A), האם N(BA)≠N(A) עבור B≠0, והאם rank(A)=rank(A^2) גורר C(A)=C(A^2)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט	5	שחלוף, מטריצה נלווית	16	מבחן · פתרון	הוכחה ש-A סימטרית ו-B אנטי-סימטרית מתוך A-A^t=B+B^t, וכי המטריצה הנלווית adj(A) סימטרית גם היא
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט	1	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	23	מבחן · פתרון	מטריצה תלוית פרמטר – הפיכות, שייכות למרחב העמודות, בסיס למרחב האפס וחיתוך עם מרחב העמודות
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט	2	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	24	מבחן · פתרון	מטריצה מייצגת העתקה ביחס לזוגות בסיסים שונים, הפיכות ההעתקה וחישוב [T²]
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט	3	דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	21	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה: קשרים בין דרגת חזקות מטריצה למרחב העמודות שלהן
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט	4	גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	16	מבחן · פתרון	קיום בסיס שכל איבריו אינם מתאפסים תחת T, וקיום/אי-קיום בסיס השייך ל-Im(T)+ker(T)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט	5	מטריצה נלווית, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	16	מבחן · פתרון	מציאת מטריצה הפיכה A המקיימת A=adj(2A) (ממשית) ו-A=adj(-2A) (מרוכבת)
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט	1	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	30	מבחן · פתרון	הוכחות/הפרכות על הפיכות אופרטורים לינאריים T,S לפי תנאים כגון S=T^2+T והפיכות T או S, וגם (T-S)^2=0
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט	2	כפל מטריצות, שחלוף	9	מבחן · פתרון	הוכחה שקיימת A כך ש-BA=B^t עבור מטריצה נתונה B, או מציאת דוגמת נגד למטריצה B שעבורה לא קיימת A כזו
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט	3	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	30	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ומימד ל-C(A)∩R(A), ל-C(A)∩N(A), ל-C(A)+N(A), ומציאת ערכי x שעבורם (1,x,x^2)∈C(A)
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט	4	גרעין ותמונה, מטריצה מייצגת העתקה	20	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ומימד לתמונה ולגרעין של העתקה נתונה לפי מטריצה מייצגת [T]^B_C, ובדיקת קיום בסיסים D,F חלופיים
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט	5	תכונות של אלגברת מטריצות, שחלוף	21	מבחן · פתרון	בניית מטריצות מפורשות המקיימות A^2+I=0 מעל R (2x2) ומעל C (3x3), וכן A·A^t=0 עם A≠0 ב-C^{2x2}
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט	1	פרק 5 - העתקות לינאריות	30	מבחן · פתרון	הרכבת העתקות ואופרטורים, הפיכות (TST=I⇒TS=ST), וקשר לגרעין/תמונה (Im S⊆ker T); בניית T,S הפיכות עם (T+S)²=0
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט	2	פרק 3 - אלגברת מטריצות	10	מבחן · פתרון	הוכחה כי AB=0 ו-BC=I (עבור מטריצות ריבועיות, C הפיכה) גוררים A=0
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט	3	פרק 4 - מרחבים וקטוריים, פרק 3 - אלגברת מטריצות	30	מבחן · פתרון	בסיסים ומימדים לתתי-המרחבים U={A סימטרית} ו-W={[[a,b],[-b,a]]} של M2x2, לחיתוך ולסכום שלהם, ובדיקת סגירות לכפל מטריצות בכל אחד מהם
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט	4	פרק 5 - העתקות לינאריות	24	מבחן · פתרון	מטריצות מייצגות [T]_D^B=I ו-[S]_C^D נתונות עבור D לא-ידוע; מציאת גרעין/תמונה, בירור מתי אפשר לקבוע בסיס לגרעין/תמונה בלי לדעת את D, ונוסחה מפורשת ל-S∘T
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט	5	פרק 4 - מרחבים וקטוריים, פרק 2 - מערכות משוואות לינאריות	16	מבחן · פתרון	מציאת ערכי x ממשיים ואז מרוכבים עבורם וקטור התלוי ב-x שייך למרחב העמודות C(A) של מטריצה 3x3 קבועה (דירוג עם פרמטר)
בוחן קיץ תשע"ט	1א	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	20	מבחן · פתרון	הוכחה: אם A+A³+A⁴ הפיכה אז A³ הפיכה
בוחן קיץ תשע"ט	1ב	הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	20	מבחן · פתרון	הוכחה: אם ל-Ax=b אין פתרון אז גם ל-Ax=2b אין פתרון
בוחן קיץ תשע"ט	1ג	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית	20	מבחן · פתרון	הפרכה: הצורה הקנונית של m-1 השורות הראשונות של מטריצה אינה בהכרח שווה לצורה הקנונית של אותן שורות במטריצה המקורית
בוחן קיץ תשע"ט	2.1	תתי מרחבים, פרישה ותלות לינארית	40	מבחן · פתרון	BA=AB} תת-מרחב של R2x2 עבור A נתונה, ומציאת מטריצות C,D כך ש-W פרוש על ידן (שאלת בחירה מס' 1 בחלק 2)
בוחן קיץ תשע"ט	2.2	דירוג מטריצה עם פרמטר, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	40	מבחן · פתרון	קביעה לאילו ערכי פרמטר k יש למערכת (2x2 ו-2x4) פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (שאלת בחירה מס' 2 בחלק 2)
מבחן דמה תשע"ח	1	גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	28	מבחן · פתרון	קביעה והוכחה/הפרכה של קיום העתקות לינאריות המקיימות תנאים על ker=Im, T³=-T, ו-Tv=v או Tv=0
מבחן דמה תשע"ח	2	שחלוף, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	12	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה: R(A)⊆C(A) עבור מטריצה סימטרית A
מבחן דמה תשע"ח	3	דירוג מטריצה עם פרמטר, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	25	מבחן · פתרון	מטריצה ממשית עם שני פרמטרים a,t – הפיכות, שייכות וקטור למרחב העמודות וחיתוך C(A)∩R(A)≠0
מבחן דמה תשע"ח	4	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	25	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ל-Im(T) ול-ker(T), נוסחה מפורשת ל-T והופכי T⁻¹ מתוך [T]_C^B=I
מבחן דמה תשע"ח	5	פרישה ותלות לינארית, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	20	מבחן · פתרון	בסיס ומימד לתתי-מרחבי פולינומים U,W ולסכומם וחיתוכם
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח	1א	פרק 4 - מרחבים וקטוריים	12 (לשאלה כולה, לא מפוצל)	מבחן · פתרון	הוכחת יחידות ההצגה של וקטור כצירוף לינארי של איברי בסיס סדור
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח	1ב	פרק 5 - העתקות לינאריות	12 (לשאלה כולה, לא מפוצל)	מבחן · פתרון	הוכחת השקילות: T חח"ע אם ורק אם ker T={0}
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח	2	פרק 5 - העתקות לינאריות	24	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על הפיכות, חח"ע/על, גרעין ותמונה עבור העתקות T,S:V→W
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח	3	פרק 4 - מרחבים וקטוריים, פרק 2 - מערכות משוואות לינאריות	10	מבחן · פתרון	קיום ויחידות פתרון C למשוואה A=BC (עם A,B נתונות) גוררים rank B=k
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח	4 (א-ג)	פרק 4 - מרחבים וקטוריים, מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)	22	מבחן · פתרון	תת-המרחב U=N(A-I) (פתרונות Av=v) ותת-המרחב הפרמטרי W ב-R^3: הוכחת תת-מרחב, בסיסים ומימדים, וחישוב U∩W ו-U+W באמצעות משפט המימדים
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח	4ד	פרק 3 - אלגברת מטריצות	7	מבחן · פתרון	מציאת מטריצה B המקיימת ABA=I בעזרת חישוב A^{-1} (סעיף עצמאי, ללא קשר לשאר השאלה)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח	5	פרק 6 - דטרמיננטות, פרק 3 - אלגברת מטריצות	30	מבחן · פתרון	חישוב דטרמיננטה של מטריצה 3x3 עם פרמטר a, מציאת ההופכית בנוסחת לפלס/מטריצה נלווית, שימוש בהופכית למציאת אילו וקטורים הם עמודות שלה, ומציאת a שעבורו A-I ו-A^{-1}-I אינן הפיכות
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח	1	פרק 5 - העתקות לינאריות	12	מבחן · פתרון	הוכחת משפט הדרגה: dim ker T + dim Im T = dim V
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח	2	פרק 5 - העתקות לינאריות	24	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על גרעין, תמונה, הרכבה והפיכות של T:V→W ו-S:W→V
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח	3	פרק 5 - העתקות לינאריות	10	מבחן · פתרון	קיום בסיס סדור C כך שמטריצת המעבר מ-B ל-C שווה למטריצה הפיכה נתונה A
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח	4	פרק 4 - מרחבים וקטוריים, פרק 2 - מערכות משוואות לינאריות	29	מבחן · פתרון	הוכחת תת-מרחב U (מישור פרמטרי ב-R^3), מציאת U∩W עם ישר נתון W, ומציאת תתי-מרחבים דו-מימדיים V כך ש-V⊕W=R^3 וכך ש-W⊆V
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח	5א	פרק 6 - דטרמיננטות	10	מבחן · פתרון	קביעת ערכי הפרמטרים a,b,c,x עבורם מטריצה 3x3 פרמטרית הפיכה, לפי חישוב הדטרמיננטה (תלות בדיסקרימיננטה b²-4ac)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח	5ב	פרק 4 - מרחבים וקטוריים, פרק 2 - מערכות משוואות לינאריות	10	מבחן · פתרון	עבור a=1,b=3,c=2 קבועים, מציאת ערכי x עבורם הוקטור (1,1,x) שייך למרחב העמודות C(A)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח	5ג	פרק 4 - מרחבים וקטוריים, פרק 1 - שדות	10	מבחן · פתרון	עבור a=1,b=0,c=1 קבועים, מציאת x מרוכב כך ש-det(A)=0, ומציאת בסיס למרחב האפס N(A) מעל המרוכבים
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח	1	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה	30	מבחן · פתרון	הוכחות נכון/לא נכון על הפיכות T ו-S וקשרי הרכבה, גרעין ותמונה ביניהם
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח	2	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	10	מבחן · פתרון	הוכחה ש-C(A)=C(B) כאשר B=AP ו-P הפיכה
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח	3	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	30	מבחן · פתרון	קיום ויחידות העתקה לינארית לפי תמונות וקטורי בסיס, מימדי גרעין ותמונה והפיכות כתלות בפרמטר a
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח	4	מטריצה מייצגת העתקה, קואורדינטות, מטריצות מעבר בין בסיסים	20	מבחן · פתרון	מציאת מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי, מטריצת מעבר בין בסיסים ואיברי בסיס B
מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח	5	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	20	מבחן · פתרון	הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W ולחיתוך שלהם ב-R^4
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח	1	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה	30	מבחן · פתרון	הוכחות נכון/לא נכון על הפיכות T,S ועל קשרי גרעין/תמונה בין ההעתקות
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח	2	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	10	מבחן · פתרון	הוכחת C(A)=C(B) מתוך N(A)=N(B) וכן AB=B, באמצעות משפט הדרגה
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח	3	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	27	מבחן · פתרון	הפיכות T לפי דטרמיננטת המטריצה המייצגת, מציאת הגרעין וההעתקה ההופכית
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח	4	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	18	מבחן · פתרון	מציאת A כך ש-AB=C, ובדיקת קיומה של A לפי הפיכות B ו-C (דטרמיננטות)
מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח	5	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	25	מבחן · פתרון	הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, לחיתוך ולסכום שלהם ב-R^4
בוחן קיץ תשע"ח	1א	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שחלוף		מבחן · פתרון	הוכחה: אם A סימטרית והפיכה אז A⁻¹ סימטרית
בוחן קיץ תשע"ח	1ב	הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות, צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית		מבחן · פתרון	הפרכה: אם ל-Ax=b יש אינסוף פתרונות, לא בהכרח קיים c כך של-Ax=c אין פתרון
בוחן קיץ תשע"ח	1ג	הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות, צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית		מבחן · פתרון	הפרכה: אם ל-Ax=b אין פתרון, לא בהכרח קיים c כך של-Ax=c יש אינסוף פתרונות
בוחן קיץ תשע"ח	2	דירוג מטריצה עם פרמטר, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות		מבחן · פתרון	עבור מערכת 3 משוואות ב-4 נעלמים עם פרמטר k: סיווג לפי k (אפס/אינסוף/יחיד פתרונות) ומציאת הפתרון הכללי עבור k=1
בוחן קיץ תשע"ח	3א	פעולות דירוג אלמנטריות		מבחן · פתרון	שחזור המטריצה A לפי סדרת פעולות שורה אלמנטריות ידועה והתוצאה שהתקבלה ממנה
בוחן קיץ תשע"ח	3ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, פעולות דירוג אלמנטריות		מבחן · פתרון	הוכחה ש-B הפיכה אם ורק אם C הפיכה, כאשר C מתקבלת מ-B על ידי אותן פעולות שורה שהעבירו את A ל-B (מטריצות אלמנטריות)
מועד א' קיץ תשע"ז	1	משפט המימדים	16	מבחן · פתרון	הוכחת משפט המימדים dim(U+W)+dim(U∩W)=dim(U)+dim(W)
מועד א' קיץ תשע"ז	2	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, דרגה של מטריצה, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	24	מבחן · פתרון	נכון/לא נכון על שורות אפסים בצורה המדורגת הקנונית של A מול A^2 והקשר לדרגה ולהפיכות
מועד א' קיץ תשע"ז	3	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה	10	מבחן · פתרון	הוכחה שלהעתקה אידמפוטנטית T∘T=T עם Tv≠v יש איבר לא-אפס בגרעין
מועד א' קיץ תשע"ז	4	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	30	מבחן · פתרון	שייכות וקטור למרחב העמודות, מציאת מטריצה עם אותו מרחב שורות, בסיס ל-C(A)∩N(A), ופרמטר במטריצה שקולה
מועד א' קיץ תשע"ז	5	הגדרת הדטרמיננטה ותכונות, נוסחת לפלס, דרגה של מטריצה	28	מבחן · פתרון	זהות על דטרמיננטות של מטריצה לא הפיכה, חישוב דרגה ממינור 2x2, והוכחת הפיכות לכל t≠i
מועד ב' קיץ תשע"ז	1	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד	16	מבחן · פתרון	הוכחת משפטון ההחלפה של שטייניץ
מועד ב' קיץ תשע"ז	2	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה	24	מבחן · פתרון	נכון/לא נכון על אופרטור T:V→V - הפיכות, קיום S כך ש-T+S הפיכה, יחס גרעין-תמונה כש-T^n=0, והשלכת T²≠0 על כל החזקות
מועד ב' קיץ תשע"ז	3	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, דרגה של מטריצה	10	מבחן · פתרון	A+B|=1
מועד ב' קיץ תשע"ז	4	בסיס ומימד, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, פרישה ותלות לינארית	30	מבחן · פתרון	מרחב מטריצות 2x2: מציאת בסיס לתת-מרחב פרוש S, מטריצה שאינה בתת-המרחב, בסיס לפי וקטור קואורדינטות נתון, וחיתוך עם תת-מרחב המטריצות האנטי-סימטריות
מועד ב' קיץ תשע"ז	5	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים, גרעין ותמונה	28	מבחן · פתרון	אופרטור T(x,y,z)=(0,x,y): מציאת פרמטר במטריצה מייצגת [T]_C^B, הצגת קואורדינטות, הוכחת השתייכות לתמונה, ומטריצה מייצגת בבסיסים סדורים אחרים
מועד א' חורף תשע"ז	1	משפט המימדים, בסיס ומימד		מבחן · פתרון	ניסוח והוכחת משפט המימדים לתתי מרחבים וקטוריים
מועד א' חורף תשע"ז	2	בסיס ומימד, מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה		מבחן · פתרון	הוכחת בסיס למרחב הפולינומים ממעלה≤2, מציאת העתקה לינארית מפורשת מהמטריצה המייצגת שלה, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס ומימד לגרעין ולתמונה
מועד א' חורף תשע"ז	3	גרעין ותמונה, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, מטריצה מייצגת העתקה		מבחן · פתרון	העתקת הסימטריזציה S(A)=½(A+Aᵀ) על מרחב המטריצות 3x3: לינאריות, גרעין ותמונה (אנטי-סימטריות/סימטריות), סכום ישר V=KerS⊕ImS, ומטריצה מייצגת בבסיס מאוחד
מועד א' חורף תשע"ז	4א	פרישה ותלות לינארית		מבחן · פתרון	נכון/לא נכון: אם u,v,w בת"ל אז הקבוצה {v+u, v+w, u+w} בת"ל
מועד א' חורף תשע"ז	4ב	פרישה ותלות לינארית		מבחן · פתרון	נכון/לא נכון: איחוד של שתי קבוצות בת"ל זרות הוא בת"ל
מועד א' חורף תשע"ז	4ג	דרגה של מטריצה, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית		מבחן · פתרון	נכון/לא נכון: אם למערכת ההומוגנית Ax=0 (עבור A 2x2) יש פתרון לא טריוויאלי, אז קיים v שעבורו למערכת הלא הומוגנית Ax=v אין פתרון
מועד א' חורף תשע"ז	4ד	שדה המרוכבים, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות		מבחן · פתרון	נכון/לא נכון: העתקת ההצמדה המרוכבת T(v)=v̄ על V=C (מעל שדה C) היא העתקה לינארית
בוחן חורף תשע"ז	1א	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	16	מבחן · פתרון	בדיקה האם מטריצה נתונה (3x3 מעל R) הפיכה
בוחן חורף תשע"ז	1ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	20	מבחן · פתרון	אם המטריצה הפיכה: מציאת המטריצה ההופכית ופתרון מערכת Ax=(1,1,1) בעזרתה (ואם לא הפיכה: מציאת פתרון לא טריוויאלי להומוגנית)
בוחן חורף תשע"ז	2	פתרון כללי למערכת לא הומוגנית	36	מבחן · פתרון	בהינתן שני פתרונות ידועים של מערכת לא הומוגנית Ax=b, קביעה האם וקטורים נתונים (המתקבלים מהפרש/סכום/כפל בסקלר שלהם) פותרים את המערכת ההומוגנית או הלא הומוגנית
בוחן חורף תשע"ז	3	תתי מרחבים	36	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה שקבוצות נתונות הן תת-מרחב: (א) מטריצות המתחלפות עם A ב-Fnxn, (ב) פולינומים ב-R3[x] עם P(0)·P(1)=1, (ג) פולינומים ב-R3[x] עם P(0)+P(1)=0
מועד א' קיץ תשע"ו	1	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	20	מבחן · פתרון	הוכחת המשפט: עבור מטריצות ריבועיות AB=I אם ורק אם BA=I
מועד א' קיץ תשע"ו	2	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, בסיס ומימד	20	מבחן · פתרון	אופרטור הזזה על בסיס נתון (Tv1=0, Tv_i=v_{i-1}): מציאת המטריצה המייצגת [T]_B^B ובסיס ומימד לגרעין ולתמונה
מועד א' קיץ תשע"ו	3	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	10	מבחן · פתרון	הוכחה שדטרמיננטת המטריצה המייצגת אופרטור T אינה תלויה בבחירת הבסיס (det[T]_B^B=det[T]_C^C)
מועד א' קיץ תשע"ו	4	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד, משפט המימדים	20	מבחן · פתרון	שני תתי מרחבים U (span) ו-W (תיאור אלגברי) ב-R^4: מציאת בסיס ומימד לכל אחד, לחיתוכם ולסכומם
מועד א' קיץ תשע"ו	5א	גרעין ותמונה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	12	מבחן · פתרון	בדיקת קיום ובניית העתקה לינארית T:R^4→R^4 המקיימת T²=0 ושני וקטורים נתונים נמצאים ב-Im(T)
מועד א' קיץ תשע"ו	5ב	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	8	מבחן · פתרון	הוכחה בעזרת שחלוף: A סימטרית, B אנטי-סימטרית, AB אנטי-סימטרית ⇒ AB=BA
מועד א' קיץ תשע"ו	6א	כפל מטריצות, תמורות	12	מבחן · פתרון	חישוב A^2016 ו-A^2017 עבור מטריצת תמורה (permutation) מחזורית נתונה
מועד א' קיץ תשע"ו	6ב	פרישה ותלות לינארית, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	8	מבחן · פתרון	מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם קבוצת שלושה וקטורים תלויית-פרמטר היא בת"ל, באמצעות חישוב דטרמיננטה ופתרון משוואה ריבועית
מועד ב' קיץ תשע"ו	1	משפט הדרגה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	20	מבחן · פתרון	הוכחת משפט הדרגה: dim ker(T) + dim Im(T) = dim V
מועד ב' קיץ תשע"ו	2	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, כפל מטריצות	20	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה על הפיכות AB ו-BA כאשר במכפלה AB יש שורת אפסים
מועד ב' קיץ תשע"ו	3	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים	10	מבחן · פתרון	הוכחה שמטריצה מייצגת הקבועה לכל זוג בסיסים חייבת להיות מטריצת האפס
מועד ב' קיץ תשע"ו	4	פרישה ותלות לינארית, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	20	מבחן · פתרון	בסיס ומימד לתתי-מרחבים U (פרוש) ו-W (מערכת משוואות) של R⁴, לחיתוכם ולסכומם
מועד ב' קיץ תשע"ו	5	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, אלגברת מטריצות, דרגה של מטריצה	12, 8	מבחן · פתרון	בסיס לפתרונות Av=v ובניית מטריצה B בדרגה 2 המקיימת (A-I)B=0
מועד ב' קיץ תשע"ו	6א	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	10	מבחן · פתרון	הוכחה כי A≠B בהינתן C(A)⊕R(B)=R³
מועד ב' קיץ תשע"ו	6ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, אלגברת מטריצות	10	מבחן · פתרון	הוכחת הפיכות A-2I בהינתן A²=0
מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו	1	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן	הוכחה כי אם A,B∈F^(n×n) ו-AB=I אז A ו-B הפיכות
מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו	2	בסיס ומימד, מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה		מבחן	בסיס B={1,1+x,1+x+x²} ל-R2[x]: הוכחת בסיס, מציאת העתקה T עם [T]ᴮᴮ=A, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס לגרעין ולתמונה
מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו	3	תתי מרחבים, בסיס ומימד, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים		מבחן	V=Rⁿ, U מישור הומוגני (a·x=0), W=span{a}: הוכחת תתי-מרחב, מימדים והוכחת V=U⊕W
מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו	4א	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים		מבחן	הוכח/הפרך: U+Z=W+Z גורר U=W (הפרכה)
מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו	4ב	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות		מבחן	הוכח/הפרך: dim V=dim W ו-T≠0 גוררים ש-T איזומורפיזם (הפרכה)
מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו	4ג	דרגה של מטריצה, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן	הוכח/הפרך: אם דרגת A∈F^(2×3) היא 2 אז קיימת B∈F^(3×2) כך ש-AB=I (הוכחה)
מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו	4ד	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות		מבחן	הוכח/הפרך: ST=0 גורר S=0 או T=0 (הפרכה)
בוחן קיץ תשע"ו	1א	דירוג מטריצה עם פרמטר, צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית	15	מבחן · פתרון	דירוג מערכת משוואות עם פרמטר k וקביעה מתי יש פתרון יחיד/אינסוף/אין פתרון
בוחן קיץ תשע"ו	1ב	פרישה ותלות לינארית, דירוג מטריצה עם פרמטר	10	מבחן · פתרון	הצגת וקטור נתון כצירוף לינארי של שלושה וקטורים, בעזרת חישובי הסעיף הקודם
בוחן קיץ תשע"ו	1ג	פרישה ותלות לינארית, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	10	מבחן · פתרון	הוכחה כי span(W∪S)=W+span(S) עבור תת-מרחב W ותת-קבוצה S (סעיף עצמאי, אין קשר לקודמים)
בוחן קיץ תשע"ו	2א	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, כפל מטריצות	25	מבחן · פתרון	פתרון Ax=0 עבור מטריצה 3x3 נתונה, הסקת אי-הפיכות, ובניית מטריצה B≠0 כך ש-AB=0
בוחן קיץ תשע"ו	2ב	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד, פרישה ותלות לינארית	15	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ומימד לחיתוך של שני תתי-מרחבים הנפרשים ע"י וקטורים נתונים
בוחן קיץ תשע"ו	3	תתי מרחבים, גרעין ותמונה, מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)	35 (10+15+10)	מבחן · פתרון	Av=v}, W={v|Av=-v} הם תתי-מרחבים; U∩W=ker(A²-I); הוכח/הפרך קשרי פתרונות בין Av=b ל-A²v=b
בוחן חורף תשע"ו	1א	דירוג מטריצה עם פרמטר, צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, משתנים חופשיים ותלויים	25	מבחן · פתרון	דירוג מערכת משוואות עם פרמטר a וקביעה מתי פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (כולל כתיבת הפתרון הכללי)
בוחן חורף תשע"ו	1ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	15	מבחן · פתרון	בדיקת הפיכות מטריצה נתונה ומציאת ההופכית תוך שימוש (ברמז) בקשר לסעיף הקודם
בוחן חורף תשע"ו	2א	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	15	מבחן · פתרון	הוכחה: עבור A לא סימטרית, אם αA+βA^t סימטרית אזי α=β (אין קשר לסעיף ב')
בוחן חורף תשע"ו	2ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, תכונות של אלגברת מטריצות	25	מבחן · פתרון	בהינתן A³-2A²-A+2I=0 עבור A ריבועית ממשית, קביעת מספר הפתרונות ל-Ax=0
בוחן חורף תשע"ו	3	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	30 (15+15)	מבחן · פתרון	עבור מטריצה אנטי-סימטרית A: קביעת a+b+c כאשר A·(1,1,1)^t=(a,b,c)^t, ולאחר מכן חישוב סכום עמודה שלישית בהינתן ערכים מספריים
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	1	משפט הדרגה	20	מבחן · פתרון	הוכחת משפט הדרגה: dim Im T + dim ker T = dim V
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	2	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	10	מבחן · פתרון	T(A)=BA על מטריצות R^(2×2): הוכחה ש-T הפיכה אם"ם B הפיכה
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	3	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, דרגה של מטריצה, בסיס ומימד	20	מבחן · פתרון	A עם Avi=vi לכל i≤n-1 (v1..vn בסיס): הוכח/הפרך Avn=vn⟺A=I, והוכחה ש-C(A)=span{v1,...,vn-1} אם"ם A אינה הפיכה
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	4א	מטריצה מייצגת העתקה	20 (משותף לסעיפים א+ב)	מבחן · פתרון	בסיס B={1+x²,-1+x,x-x²} ל-R2[x], נתונה A: מציאת T במפורש עבורה [T]ᴮᴮ=A
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	4ב	מטריצות מעבר בין בסיסים, קואורדינטות	20 (משותף לסעיפים א+ב)	מבחן · פתרון	בסיס B={1+x²,-1+x,x-x²}, נתונה A: מציאת בסיס C עבורו [I]ᴮ_C=A
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	5	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	20	מבחן · פתרון	מטריצה A נתונה: מציאת בסיס ומימד ל-R(A), ל-C(A)∩N(A) ול-C(A)+N(A)
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	6א	דירוג מטריצה עם פרמטר	20 (משותף לסעיפים א+ב)	מבחן · פתרון	מערכת משוואות תלוית פרמטר a: קביעה מתי יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה	6ב	מטריצה נלווית, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	20 (משותף לסעיפים א+ב)	מבחן · פתרון	A∈R^(3×3) עם AᵀA²=-I: ביטוי adj(A) באמצעות A
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	1	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	20	מבחן · פתרון	משפט ההגדרה: קיום ויחידות של העתקה לינארית המוגדרת ע"י ערכיה על בסיס
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	2	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, כפל מטריצות	20	מבחן · פתרון	U=N(A-I), W=N(A+I): הוכחת U+W⊆N((A-I)(A+I)), ובהינתן U+W=Rⁿ הוכחת A²=I ו-U⊕W=Rⁿ
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	3	גרעין ותמונה, משפט הדרגה	10	מבחן · פתרון	T:V→V עם Im T∩ker T={0}: הוכחה שלכל v קיים w בתמונה כך ש-Tv=Tw
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	4	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	20	מבחן · פתרון	תתי-מרחבים U,W של R3[x]: מציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, ל-U∩W ול-U+W
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	5א	גרעין ותמונה, מטריצה מייצגת העתקה	10	מבחן · פתרון	T(x,y)=(2x-3y, αx+βy) עם Ker T=Im T: מציאת ערכי α,β
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	5ב	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)	10	מבחן · פתרון	T:R³→R³ לפי הנתונים ker(Id-T)=sp{(2,1,0),(0,1,2)}, ker(Id+T)=sp{(1,-2,1)}: מציאת נוסחה מפורשת ל-T(a,b,c)
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	6א	דירוג מטריצה עם פרמטר	12	מבחן · פתרון	מערכת משוואות תלוית פרמטר a: קביעה מתי יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה	6ב	מטריצה נלווית, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	8	מבחן · פתרון	A|=2: חישוב |3·A·Aᵀ·A⁻¹·adj(A)|
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	1א	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	10	מבחן · פתרון	חיתוך תת-המרחב של מטריצות משולשיות עליונות עם תת-המרחב של מטריצות משולשיות תחתונות ב-R^{4x4}, ומציאת בסיס לו
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	1ב	תתי מרחבים, הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי	20 (10+10)	מבחן · פתרון	z1+z̄2=z3} הוא תת-מרחב, כאשר V=C^3 מעל השדה C לעומת מעל השדה R
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	2א	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	15	מבחן · פתרון	I)
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	2ב	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, פרישה ותלות לינארית	15	מבחן · פתרון	הוכחה כי span{v1,v2}⊕span{v3}=R^3 עבור שלושה וקטורים נתונים
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	2ג	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שחלוף, כפל מטריצות	10	מבחן · פתרון	מציאת מטריצה C המקיימת C·A^t=B, בעזרת (A^t)^{-1}
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	3א	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	10	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: אם W+W1=W+W2 עבור תתי-מרחבים אזי W1=W2
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	3ב	פרישה ותלות לינארית	10	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: span(A∪B)=span(A)∪span(B) עבור תתי-קבוצות A,B
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	3ג	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	10	מבחן · פתרון	הוכחה כי v^tAv=0 לכל וקטור v, עבור מטריצה אנטי-סימטרית A
בוחן קיץ תשע"ה + פתרון	3ד	פרישה ותלות לינארית	10	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: אם v1..vn בת"ל, אזי גם w1=v1, wi=v1+vi (עבור i≥2) בת"ל
מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד	1	—	20	מבחן · פתרון	הוכחת "משפט כלשהו מרשימת המשפטים" - שאלת דוגמה גנרית ללא משפט מסוים (הפתרון אומר רק "הוכחתם בהרצאה")
מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד	2	גרעין ותמונה	15	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: אם Im(T+S)⊆Im(T) אז Im(S)⊆Im(T); ואם ker(T+S)⊆ker(T) אז ker(S)⊆ker(T)
מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד	3	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	15	מבחן · פתרון	AB=0 גורר C(B)⊆N(A); A²=0 גורר rank(A)≤n/2
מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד	4	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	20	מבחן · פתרון	מציאת ערכי a לקיום העתקה T לפי תמונות על בסיס v1,v2,v3, בניית הנוסחה המפורשת עבור a=1 ומציאת ההעתקה ההופכית
מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד	5	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	20	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W עבור תת-מרחבי פולינומים U=span{...}, W={p:p(1)=p(2)}
מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד	6א	מטריצה נלווית	20 (משותף לסעיפים א+ב)	מבחן · פתרון	A|=0)
מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד	6ב	מטריצה מייצגת העתקה	20 (משותף לסעיפים א+ב)	מבחן · פתרון	חישוב המטריצה המייצגת של T^n לפי הבסיס הסטנדרטי של R^4, לכל n (באינדוקציה)
מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד	1	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	20	מבחן	הוכחת אפיון סכום ישר: V=U⊕W אם ורק אם לכל v קיימת הצגה יחידה v=u+w
מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד	2	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה	15	מבחן	נתון T∘S=Id_V; הוכיחו ש-ker S={0} ו-ker T={0}
מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד	3	מטריצה נלווית, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	15	מבחן	AB|=1 והוכיחו AB=BA
מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד	4	גרעין ותמונה, דירוג מטריצה עם פרמטר	20	מבחן	עבור T_A(v)=Av עם פרמטר a: מתי וקטור נתון ב-Im(T_A), מתי T_A חח"ע, מתי T_A על
מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד	5	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	20	מבחן	מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W כאשר U מרחב השורות של מטריצה נתונה ו-W מרחב הפתרונות של מערכת נתונה
מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד	6	גרעין ותמונה, מטריצה מייצגת העתקה	20	מבחן	נתון T(v1)+T(v2)=T(v3), T(v1)+T(v3)=T(v2): הוכיחו v1∈ker T ו-dim Im T≤2, ומצאו את [T]_B בנתונים נוספים
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	1	משפט המימדים	20	מבחן · פתרון	הוכחת משפט המימדים: dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W)
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	2	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה	15	מבחן · פתרון	נתון T∘S=0_V; הוכח/הפרך: אם T≠0 אז S אינה הפיכה, וכי dim(ker S)+dim(ker T)≥dim V
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	3	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, מטריצה נלווית	15	מבחן · פתרון	A|
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	4	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	20	מבחן · פתרון	מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W כאשר U מרחב פתרונות מערכת ו-W span נתון
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	5א	תכונות של אלגברת מטריצות	20 (משותף לארבעת הסעיפים)	מבחן · פתרון	הפרכה: (A+B)²=A²+2AB+B² לכל שתי מטריצות
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	5ב	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	20 (משותף לארבעת הסעיפים)	מבחן · פתרון	הפרכה: אם A הפיכה אז N(B)=N(BA)
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	5ג	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	20 (משותף לארבעת הסעיפים)	מבחן · פתרון	הוכחה: אם A²=0 אז A+I הפיכה
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	5ד	דטרמיננטת המשוחלפת, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	20 (משותף לארבעת הסעיפים)	מבחן · פתרון	הוכחה: n אי-זוגי ו-A אנטי-סימטרית (A^T=-A) גוררים ש-A אינה הפיכה
מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד	6	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	20	מבחן · פתרון	מציאת ערכי a לקיום העתקה T לפי תמונות על בסיס v1,v2,v3, נוסחה מפורשת עבור a=0 ומציאת ההעתקה ההופכית
מבחן מועד א' חורף תשעד	1	פרישה ותלות לינארית, דרגה של מטריצה	30	מבחן · פתרון	תלות לינארית של עמודות AB לעומת B, ותנאי הכרחי rk(A)≥k לתלות לינארית של עמודות AB
מבחן מועד א' חורף תשעד	2א	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	15	מבחן · פתרון	קיום תת-מרחב משלים U כך ש-F^n=U⊕V לתת-מרחב נתון V
מבחן מועד א' חורף תשעד	2ב	דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	20	מבחן · פתרון	כאשר rk(A+B)=rk(A)+rk(B): הוכחת חיתוך טריוויאלי של מרחבי העמודות ושל מרחבי השורות
מבחן מועד א' חורף תשעד	3	מטריצה נלווית, דרגה של מטריצה	35	מבחן · פתרון	הגדרת המטריצה הצמודה הקלאסית adjA, והוכחת rk(adjA)=1 כאשר rk(A)=n-1
בוחן חורף תשע"ד + פתרון	שאלה 1	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן	הוכחה: A הפיכה אם ורק אם לכל b∈F^n קיים פתרון יחיד למערכת Ax=b
בוחן חורף תשע"ד + פתרון	שאלה 2 (א+ב)	שחלוף		מבחן	הוכחת (AB)'=B'A' והוכחה שהמטריצה AA' סימטרית לכל A
בוחן חורף תשע"ד + פתרון	שאלה 3	תכונות של אלגברת מטריצות, כפל מטריצות		מבחן	הוכחת אסוציאטיביות כפל מטריצות: A(BC)=(AB)C
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	1	משפט המימדים	20 (מתוך 40 לבחירת 2 מ-3, חלק א)	מבחן	הוכחת נוסחת המימד לסכום שני תתי-מרחבים: dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W)
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	2	גרעין ותמונה	20 (מתוך 40 לבחירת 2 מ-3, חלק א)	מבחן	שרשרת התמונות im(T^k) של העתקה לינארית T:V→V ותנאי השקילות T^n=0⇔T^(n+1)=0
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	3	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	20 (מתוך 40 לבחירת 2 מ-3, חלק א)	מבחן	הוכח/הפרך: T,S מתחלפות גורר T^nS=ST^n; והוכח/הפרך T^2=I גורר T=±I
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	4	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות, שדות סופיים	20 (מתוך 40 לבחירת 2 מ-3, חלק ב)	מבחן	הערכים האפשריים ל-det A כאשר A^{-1}=A^2, מעל R, מעל C ומעל Z7
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	5	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, משפט הדרגה	20 (מתוך 40 לבחירת 2 מ-3, חלק ב)	מבחן	מטריצה מייצגת להעתקה תלוית-פרמטר t על פולינומים R2[x], חד-חד-ערכיות/עליוּת, גרעין ותמונה
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	6	בסיס ומימד, מטריצות מעבר בין בסיסים, קואורדינטות	20 (מתוך 40 לבחירת 2 מ-3, חלק ב)	מבחן	הוכחת בסיס ל-R^3, מציאת בסיס B לפי מטריצת מעבר P=[I]_A^B, וחישוב קואורדינטות וקטור נתון
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	7	הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות, שדות סופיים	5 (מתוך 20 לבחירת 4 מ-5, חלק ג)	מבחן	נכון/לא נכון: קיימת מערכת הומוגנית מעל שדה כלשהו עם בדיוק 6 פתרונות
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	8	הגדרת הדטרמיננטה ותכונות	5 (מתוך 20 לבחירת 4 מ-5, חלק ג)	מבחן	נכון/לא נכון: מטריצה ממשית עם כל האיברים חיוביים ⇒ הדטרמיננטה חיובית
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	9	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שחלוף	5 (מתוך 20 לבחירת 4 מ-5, חלק ג)	מבחן	נכון/לא נכון: אם A הפיכה אז גם המשוחלפת A^t הפיכה
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	10	שחלוף, הגדרה ותכונות של שדה	5 (מתוך 20 לבחירת 4 מ-5, חלק ג)	מבחן	נכון/לא נכון: מטריצה סימטרית וגם אנטי-סימטרית מעל כל שדה גוררת A=0
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות	11	כפל מטריצות, תכונות של אלגברת מטריצות	5 (מתוך 20 לבחירת 4 מ-5, חלק ג)	מבחן	נכון/לא נכון: AB=BA וגם AC=CA גוררים BC=CB
מבחן מועד א' חורף תשע"ג	1 (א-ג)	משפט המימדים, בסיס ומימד	5+15+15	מבחן · פתרון	א) הוכחה שאם dim U+dim W>dim V אז U∩W≠{0}; ב) הוכחה שאם dim(U+W)=dim(U∩W)+1 אז אחד התתי-מרחבים מוכל בשני; ג) קיום ובניית שרשרת מקסימלית של n+1 תתי-מרחבים 0=U_0⊂U_1⊂...⊂U_n=V וקשר לכך ש-dimV=n
מבחן מועד א' חורף תשע"ג	2א	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	17	מבחן · פתרון	הוכחת קיום מטריצה C כך ש-A=BC מתוך הכלת מרחבי עמודות Cspan(A)⊆Cspan(B)
מבחן מועד א' חורף תשע"ג	2ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	17	מבחן · פתרון	הוכחה שאם AB אינה הפיכה ו-Cspan(B)∩Null(A)={0} אז B אינה הפיכה
מבחן מועד א' חורף תשע"ג	3 (א-ב)	גרעין ותמונה	17+17	מבחן · פתרון	א) קיום פונקציונל φ:V→F עם Ker(φ)=U נתון (dimU=dimV-1); ב) קיום פונקציונל φ המפריד שני וקטורים בת"ל (φ(v)=0, φ(u)=1)
בוחן קיץ תשע"ג	1	שדות סופיים, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות		מבחן	מספר הפתרונות A למשוואת המטריצות [[1,2],[2,4]]A=[[2,2,3],[4,4,6]] מעל השדה הסופי Z7
בוחן קיץ תשע"ג	2	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן	בהינתן סדרת פעולות שורה שהביאה A הפיכה לצורה מדורגת קנונית, מציאת פעולות שורה עבור A^{-1} ומציאת A ו-A^{-1}
בוחן קיץ תשע"ג	3א	פרישה ותלות לינארית, הגדרה ותכונות של שדה		מבחן	הוכחה/הפרכה: אם v1,v2,v3 בת"ל מעל שדה שמאפיינו אינו 2, אז גם v1+v2, v2+v3, v1+v3 בת"ל
בוחן קיץ תשע"ג	3ב	תתי מרחבים		מבחן	הוכחה/הפרכה: איחוד U∪W של שני תתי מרחבים של V הוא תת מרחב של V
בוחן קיץ תשע"ג	3ג	הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית		מבחן	הוכחה/הפרכה: אם v1,v2 פתרונות של מערכת לא הומוגנית Ax=b אז גם v1+v2 פתרון של המערכת
בוחן 1 חורף תשע"ג	1 (כולל בונוס)	דירוג מטריצה עם פרמטר, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית, שדות סופיים	50 (+ בונוס 10)	מבחן · פתרון	מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם למערכת פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות מעל R, ובבונוס פתרון מעל Z2
בוחן 1 חורף תשע"ג	2 (כולל בונוס)	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	50 (+ בונוס 10)	מבחן · פתרון	הוכחת (AB)^t=B^tA^t, סימטריות וסדר המטריצות A^tA ו-AA^t, ובבונוס קשר בין סימטריות AB להחלפה של A,B סימטריות
בוחן 2 חורף תשע"ג	1 (א-ג)	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	60 (10+20+30)	מבחן · פתרון	הגדרת דרגה, מרחב אפס ומרחב עמודות; AB=0 אמ"ם מרחב העמודות של B מוכל במרחב האפס של A; והוכחה כי AB≠0 עבור A,B ב-M3x3 עם דרגה 2
בוחן 2 חורף תשע"ג	2 (א-ב)	בסיס ומימד, פרישה ותלות לינארית	40 (10+30)	מבחן · פתרון	הגדרת בסיס ומימד; הוכחה שהסרת איבר מקבוצה בת"ל A גורמת לכך ש-A\{a} אינה פורשת את V
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק א' - שאלה 1 (א+ב)	משפט הדרגה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	25	מבחן	ניסוח והוכחת משפט הדרגה להעתקה לינארית, ובדיקת חד-חד-ערכיות אפשרית עבור העתקה על מממד גבוה למממד נמוך
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק א' - שאלה 2 (א+ב)	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד	25	מבחן	ניסוח והוכחת למת ההחלפה של שטייניץ, והשלמת קבוצה בת"ל לבסיס של מרחב הפולינומים R3[x]
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק א' - שאלה 3 (א+ב+ג)	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	30	מבחן	קשר בין AB=0 למרחב העמודות והאפס, יישום לדרגות A,B ולחסם rank(A)≤n/2 כאשר A^2=0
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 1	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	5	מבחן	היגד נכון/שגוי על הקשר בין מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס של מטריצה ריבועית
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 10	מטריצה נלווית	5	מבחן	ערך A·Adj(A) עבור מטריצה 5x5מ מדרגה 3 (חסרת דרגה מלאה)
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 2	דירוג מטריצה עם פרמטר, שדות סופיים	5	מבחן	מערכת משוואות עם פרמטר a מעל השדה הסופי Z5 ומספר ערכי a עבורם יש בדיוק 5 פתרונות
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 3	כפל מטריצות	5	מבחן	זיהוי הטענה הנכונה על חזקות ונילפוטנטיות של מטריצה 3x3 נתונה
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 4	פרישה ותלות לינארית	5	מבחן	תכונה נכונה בהכרח של קבוצה סופית פורשת במרחב וקטורי
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 5	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, משפט המימדים	5	מבחן	אפשרויות למימד W1+W2+W3 בהינתן מימדי שלושת תתי-המרחבים וחיתוך בין שניים מהם
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 6	מטריצות מעבר בין בסיסים, קואורדינטות	5	מבחן	מספר הבסיסים C כך שמטריצת המעבר מהבסיס הסטנדרטי שווה למטריצה נתונה
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 7	גרעין ותמונה, משפט הדרגה	5	מבחן	אפשרויות למימד הגרעין של העתקה לינארית לא-אפס מממד 4 לממד 2
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 8	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, שדות סופיים	5	מבחן	מספר ההעתקות הלינאריות המקיימות תנאים נתונים על תמונות וקטורים תלויים לינארית מעל Zp, כתלות ב-p
מבחן מועד א' קיץ תשע"ב	חלק ב' - שאלה 9	תמורות, מטריצות מעבר בין בסיסים	5	מבחן	דטרמיננטת מטריצת המעבר בין בסיס B לבסיס B' המתקבל מהחלפת סדר האיברים לפי תמורה
מבחן מועד א' חורף תשעב	1 (א-ב)	גרעין ותמונה, משפט הדרגה	24+9	מבחן · פתרון	האופרטור T_A(X)=A·X על מטריצות: א) חישוב Ker(T_A) וקשרו ל-Null(A); ב) חישוב dim Ker(T_A) ו-dim Im(T_A)
מבחן מועד א' חורף תשעב	2א	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	17	מבחן · פתרון	הוכחת קיום מטריצה C כך ש-B=CA מתוך הכלת גרעינים Null(A)⊆Null(B)
מבחן מועד א' חורף תשעב	2ב	דרגה של מטריצה	17	מבחן · פתרון	פירוק מטריצה A מדרגה r לסכום B_1+...+B_r של r מטריצות מדרגה 1
מבחן מועד א' חורף תשעב	3א	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	17	מבחן · פתרון	קיום משלים ישר W ל-U כך ש-V=U⊕W, ולאיזה U המשלים יחיד
מבחן מועד א' חורף תשעב	3ב	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	17	מבחן · פתרון	קיום איזומורפיזם בין שני מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל אותו שדה באותו ממד
מועד ב' חורף תשעב	1 (א-ב)	גרעין ותמונה	17+17	מבחן · פתרון	א) קיום אופרטור T:V→V עם Ker(T)=U נתון; ב) קיום אופרטור S:V→V עם Im(S)=U נתון
מועד ב' חורף תשעב	2 (א-ב)	גרעין ותמונה, משפט הדרגה	25+9	מבחן · פתרון	האופרטור T_A(X)=A·X על מטריצות: א) חישוב Im(T_A) וקשרו ל-Cspan(A); ב) חישוב dim Im(T_A) ו-dim Ker(T_A)
מועד ב' חורף תשעב	3א	שדות סופיים	17	מבחן · פתרון	ספירת מספר ההעתקות הלינאריות T:F^n→F^n מעל שדה סופי F=Z_p (p ראשוני)
מועד ב' חורף תשעב	3ב	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	17	מבחן · פתרון	הוכחת קיום מטריצה C כך ש-A=BC מתוך הכלת מרחבי עמודות Cspan(A)⊆Cspan(B)
בוחן קיץ תשע"ב	1	פעולות דירוג אלמנטריות, כפל מטריצות	30	מבחן	מציאת מטריצות אלמנטריות E1,...,Ek כך ש-E1⋯EkA=B עבור A,B נתונות עם פרמטרים
בוחן קיץ תשע"ב	2	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, משתנים חופשיים ותלויים, דירוג מטריצה עם פרמטר	40 (10+10+10+10)	מבחן	מציאת ערכי פרמטרים במטריצת מקדמים (3x9 עם עמודת אפסים) לפי היותה מדורגת, מדורגת קנונית, ובעלת שני משתנים חופשיים, ומציאת הפתרון הכללי
בוחן קיץ תשע"ב	3א	תתי מרחבים, בסיס ומימד	20	מבחן	p(1)=p(0)} תת מרחב, ומציאת בסיס ומימד ל-U
בוחן קיץ תשע"ב	3ב	פרישה ותלות לינארית	20	מבחן	הוכחה/הפרכה עבור תתי קבוצות A,B של מ"ו: sp(A∩B)=spA∩spB וכן sp(spA)=spA
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	1	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	20	מבחן · פתרון	נסח והוכח את משפט ההגדרה להעתקות לינאריות (קביעת העתקה לפי ערכיה על בסיס)
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	2	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	20	מבחן · פתרון	הוכחה ש-ℝⁿ=R(A)⊕N(A) (סכום ישר של מרחב השורות וגרעין המטריצה), עבור A∈ℝ^{m×n}
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	3א	גרעין ותמונה, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	15	מבחן · פתרון	הוכחת קיום פירוק v=w1+w2 עבור T המקיימת T²=Id, כאשר Tw1=w1 ו-Tw2=-w2
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	3ב	בסיס ומימד, גרעין ותמונה	15	מבחן · פתרון	הוכחת קיום בסיס ל-V שבו Tvi=vi או Tvi=-vi לכל איבר, עבור T המקיימת T²=Id
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	4א	שחלוף, דרגה של מטריצה	5	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: דרגת מטריצה A=Aᵗ מסדר 2n×2n היא בהכרח זוגית
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	4ב	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	15	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: AAᵗ=0 גורר A=0, וגם BAAᵗ=0 גורר BA=0
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	4ג	משפט המימדים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	15	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: אי-אפסות סכום ממדי חיתוכי תתי-מרחבים V1,V2,U1,U2 המקיימים V=V1+V2=U1+U2, dimV=2n+1
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	5א	דירוג מטריצה עם פרמטר, שדות סופיים	10	מבחן · פתרון	מספר הפתרונות של Ax=b מעל ℤ₃ עבור מטריצה עם פרמטר a, לכל ערך של a
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	5ב	הגדרת הדטרמיננטה ותכונות, שחלוף	8	מבחן · פתרון	מציאת כל האפשרויות למטריצה סימטרית עם דטרמיננטה 0 בהינתן חלק מערכיה
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	5ג	צורה קרטזית וצורה קוטבית, שדה המרוכבים	7	מבחן · פתרון	חישוב z^4446 עבור מספר מרוכב נתון בעזרת צורה קוטבית
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	6א	מטריצה מייצגת העתקה, שלוש צורות הצגת ההעתקה	9	מבחן · פתרון	מציאת [Tⁿ] לכל n טבעי עבור העתקה לינארית נתונה על ℝ⁴
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	6ב	גרעין ותמונה	8	מבחן · פתרון	מציאת בסיס לגרעין ולתמונה של ההעתקה T(x,y,z,w)=(x+y,w,0,z)
מבחן דמה 1 קיץ תשעא	6ג	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים	8	מבחן · פתרון	מציאת המטריצה המייצגת [T³]_E ביחס לבסיס E נתון
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	1	בסיס ומימד	20	מבחן · פתרון	הוכחת יחידות מספר האיברים בכל שני בסיסים של מרחב וקטורי נוצר סופית
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	2	מטריצה נלווית, הגדרת הדטרמיננטה ותכונות	20	מבחן · פתרון	A|·I עבור A∈ℝ^{n×n}
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	3א	גרעין ותמונה, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	15	מבחן · פתרון	הוכחה ש-V=kerT⊕ImT עבור T המקיימת T²=-T
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	3ב	גרעין ותמונה, משפט הדרגה	10	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: T אינה על, בהינתן dimV=5 ו-T²=-T
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	4א	בסיס ומימד, פרישה ותלות לינארית	15	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך שקילות בין היות {v1,...,vn} בסיס לבין היות {v1+v2,v1-v2,v3,...,vn} בסיס
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	4ב	הגדרת הדטרמיננטה ותכונות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)	15	מבחן · פתרון	A-λI|=0
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	5א	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	10	מבחן · פתרון	מציאת כל האפשרויות למטריצה A בהינתן שלמערכת ההומוגנית Ax=0 יש בדיוק 2 פתרונות
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	5ב	מטריצות מעבר בין בסיסים, קואורדינטות	15	מבחן · פתרון	מציאת בסיס F כך שמטריצת המעבר [I]_F^E שווה למטריצה A נתונה
מבחן דמה 2 קיץ תשעא	6	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	25	מבחן · פתרון	הוכחה שעבור T המתחלפת עם כל העתקה לינארית S קיים בסיס v1,...,vn שבו {Tvi,vi} תלוי לינארית לכל i
מועד א' קיץ תשעא	1	משפט המימדים		מבחן · פתרון	ניסוח והוכחת משפט המימדים (בחירה 1 מתוך 2, חלק א)
מועד א' קיץ תשעא	2	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן · פתרון	הוכחה כי לכל A,B ריבועיות: BA=I ⇔ AB=I (בחירה 1 מתוך 2, חלק א)
מועד א' קיץ תשעא	3א	דרגה של מטריצה, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	10	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: מכפלה AB של מטריצות A (6×5) ו-B (5×6) יכולה להיות הפיכה (AB=I) — הפרכה לפי דרגה
מועד א' קיץ תשעא	3ב	הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	10	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: A הפיכה גוררת שלמערכות Bx=b ו-ABx=b אותם פתרונות לכל b≠0
מועד א' קיץ תשעא	3ג	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	10	מבחן · פתרון	הוכח/הפרך: אם U1⊕U2=V וגם U1⊕U3=V אז U2=U3
מועד א' קיץ תשעא	4	גרעין ותמונה, משפט הדרגה, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	30	מבחן · פתרון	העתקה T עם T²=Id: הוכחת הפיכות, ker(I±T)=Im(I∓T), פירוק V=ker(I+T)⊕ker(I-T) ומטריצה מייצגת לפי בסיס מאוחד
מועד א' קיץ תשעא	5א	שדה המרוכבים	8	מבחן · פתרון	פתרון משוואה במספרים מרוכבים בעזרת הצבה z=x+iy והרחבת שבר בצמוד
מועד א' קיץ תשעא	5ב	שדות סופיים	7	מבחן · פתרון	פתרון משוואה פולינומיאלית מדרגה רביעית מעל השדה הסופי Z7 על ידי פירוק לגורמים
מועד א' קיץ תשעא	5ג	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, שחלוף	10	מבחן · פתרון	השלמת איברים חסרים במטריצה סימטרית הפיכה A ובהופכית A^{-1} שלה
מועד א' קיץ תשעא	6	מטריצה מייצגת העתקה, קואורדינטות, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	25	מבחן · פתרון	בדיקת בסיסים B,C בעזרת דטרמיננטה, חישוב [T]_C^B, שחזור נוסחת S ממטריצה מייצגת, ומציאת H כך ש-HT=S
מועד א' חורף תשעא + פתרון	שאלה 1 (א+ב)	דרגה של מטריצה, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית	17+17	מבחן	מבנה קבוצת הפתרונות של Ax=0 כש-rank(A)=m-1 (פרופורציונליות), וקריטריון קיום פתרון ל-Ax=b לפי דרגת המטריצה המורחבת
מועד א' חורף תשעא + פתרון	שאלה 2 (א+ב+ג)	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	5+15+13	מבחן	הגדרת מרחב האפס ומרחב העמודות; הוכחת AB≠0 כש-rankA+rankB>n; הוכחת Cspan(A)⊆Null(A) כש-A^2=0
מועד א' חורף תשעא + פתרון	שאלה 3א	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, דרגה של מטריצה	17	מבחן	הוכחת rank(A)≥rank(B) כאשר Cspan(B)∩Null(A)={0}
מועד א' חורף תשעא + פתרון	שאלה 3ב	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, שדות סופיים	17	מבחן	ספירת תתי-המרחבים W המשלימים לסכום ישר עם U (dimU=1) במרחב ממימד 2 מעל Z2
מועד א' חורף תשעא + פתרון	שאלה 4 (א+ב)	דרגה של מטריצה	10+23	מבחן	rank(A)-rank(B)|≤rank(A+B)
בוחן דמה קיץ תשע"א	1	דרגה של מטריצה, משפט המימדים		מבחן	הוכחות אי-שוויון: AB=0 גורר dim(N(A))≥rank(B), וכן D²=0 (D בגודל n×n) גורר rank(D)≤n/2
בוחן דמה קיץ תשע"א	2א	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, בסיס ומימד		מבחן	מציאת בסיסים ומימדים לשלושת מרחבי המטריצה (מרחב שורות, עמודות, ואפס) מעל הממשיים, למטריצה עם פרמטר t
בוחן דמה קיץ תשע"א	2ב	דירוג מטריצה עם פרמטר, שדות סופיים		מבחן	מספר הפתרונות למערכת Ax=b מעל Z3 עבור כל ערכי הפרמטרים a,t
בוחן דמה קיץ תשע"א	3	מטריצות מעבר בין בסיסים, קואורדינטות		מבחן	מציאת מטריצות מעבר בין שני בסיסים B,C של R⁴ (בשני הכיוונים) וייצוג קואורדינטות וקטורים נתונים בכל בסיס
בוחן דמה קיץ תשע"א	4	הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי, בסיס ומימד		מבחן	בהינתן שקבוצת החזקה P(A) עם הפרש סימטרי כחיבור וכפל בסקלר מ-Z2 היא מרחב וקטורי: מציאת וקטור האפס והוכחתו, ומציאת המימד עם הוכחה
בוחן קיץ תשע"א + פתרון	1	דרגה של מטריצה, פרישה ותלות לינארית		מבחן	הוכחה שאם עמודות AB בת"ל אז גם עמודות B בת"ל (באמצעות טענות על דרגת מכפלת מטריצות)
בוחן קיץ תשע"א + פתרון	2	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים		מבחן	חישוב dim(C(B)∩N(A)) עבור מטריצות A,B נתונות
בוחן קיץ תשע"א + פתרון	3	בסיס ומימד, קואורדינטות, מטריצות מעבר בין בסיסים		מבחן	בדיקה ש-B={1+x+x²,1+2x+2x²,1+2x+3x²} בסיס ל-R2[x], מציאת מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי ל-B, ומציאת וקטור קואורדינטות של f(x)=bx²+cx+d לפי B
בוחן קיץ תשע"א + פתרון	4	שדות סופיים, דירוג מטריצה עם פרמטר		מבחן	פתרון מערכת משוואות ליניארית עם פרמטר a מעל השדה Z5, וקביעת מספר הפתרונות (אין/יחיד/אינסוף) לפי ערכי a
פתרון מועד א' קיץ תשע	1	תתי מרחבים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות	25 (מתוך 2 מ-3 שאלות בחלק א)	מבחן · פתרון	הוכחה ש-V=U⊕W עבור U={T(u)=-u},W={T(w)=w} כאשר T²=I (מעל שדה שמאפיינו≠2), וכן הפרכת הטענה שכל וקטור מקיים T(v)=v או T(v)=-v
פתרון מועד א' קיץ תשע	2א	דירוג מטריצה עם פרמטר, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	25 (מתוך 2 מ-3 שאלות בחלק א)	מבחן · פתרון	פתרון וסיווג מערכת משוואות עם פרמטר a (פתרון יחיד/אין פתרונות/אינסוף פתרונות) בהתאם לערך a
פתרון מועד א' קיץ תשע	2ב	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	25 (מתוך 2 מ-3 שאלות בחלק א)	מבחן · פתרון	מציאת בסיס לחיתוך U∩W כאשר U=Sp{שלושה וקטורים ב-ℝ⁴} ו-W מרחב הפתרונות ההומוגני של מטריצה הפיכה
פתרון מועד א' קיץ תשע	3א	בסיס ומימד, פרישה ותלות לינארית	25 (מתוך 2 מ-3 שאלות בחלק א)	מבחן · פתרון	הוכחה שהקבוצה C={v1+vn,v2+vn,...,v_{n-1}+vn,vn} היא בסיס ל-V, בהינתן בסיס B={v1,...,vn}
פתרון מועד א' קיץ תשע	3ב	מטריצות מעבר בין בסיסים	25 (מתוך 2 מ-3 שאלות בחלק א)	מבחן · פתרון	מציאת מטריצת המעבר מבסיס B לבסיס C הנ"ל
פתרון מועד א' קיץ תשע	3ג	מטריצה מייצגת העתקה, מטריצות מעבר בין בסיסים	25 (מתוך 2 מ-3 שאלות בחלק א)	מבחן · פתרון	מציאת [T]_C בהינתן [T]_B=diag(1,2,...,n) ומטריצות המעבר בין B ל-C
פתרון מועד א' קיץ תשע	4	שדות סופיים, פתרון כללי למערכת לא הומוגנית, דרגה של מטריצה	10 (מקסימום; מתוך 5 מ-6 שאלות בחלק ב)	מבחן · פתרון	מסקנות הכרחיות ממערכת הומוגנית Ax=0 מעל ℤ₅ עם פתרון לא טריוויאלי (קיום/יחידות/אינסוף פתרונות ל-Ax=b, ודרגת A)
פתרון מועד א' קיץ תשע	5	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד, שדה המרוכבים	10 (מקסימום; מתוך 5 מ-6 שאלות בחלק ב)	מבחן · פתרון	טענות אמת/שקר על תת-קבוצות של קבוצות בת"ל/פורשות, ועל תלות לינארית של קבוצות קונקרטיות ב-ℂ² וב-P₂[x]
פתרון מועד א' קיץ תשע	6	גרעין ותמונה, משפט הדרגה, עקבה	10 (מקסימום; מתוך 5 מ-6 שאלות בחלק ב)	מבחן · פתרון	תכונות ההעתקות T (הערכת פולינום באפס) ו-S (הכפלה בפולינום קבוע) - לינאריות, מימד גרעין, היות T על, ועקבת ההרכבה S∘T
פתרון מועד א' קיץ תשע	7	פרישה ותלות לינארית, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה	10 (מקסימום; מתוך 5 מ-6 שאלות בחלק ב)	מבחן · פתרון	הגדרת שני מושגים מתוך: קבוצה בלתי תלויה לינארית, Hom(V,W), גרעין של העתקה (KerT)
פתרון מועד א' קיץ תשע	8	העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות, גרעין ותמונה, יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה	10 (מקסימום; מתוך 5 מ-6 שאלות בחלק ב)	מבחן · פתרון	טענות אמת/שקר על קיום, גרעין וחח"ע/על של העתקה לינארית ב-ℝ³ המוגדרת ע"י תמונותיהם של שלושה וקטורים תלויים לינארית
פתרון מועד א' קיץ תשע	9	תכונות של אלגברת מטריצות, כפל מטריצות, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	10 (מקסימום; מתוך 5 מ-6 שאלות בחלק ב)	מבחן · פתרון	טענות אמת/שקר כלליות: נוסחת הבינום למטריצות שאינן מתחלפות, האם Bv=Av גורר B=A, חח"ע של העתקה על בין מרחבים שווי מימד, והאם אינסוף פתרונות גורר מערכת הומוגנית
פתרון מועד ב' קיץ תשע	1	בסיס ומימד, משפט המימדים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	25 (חלק א', לבחור 2 מתוך 3)	מבחן	הוכחה שאם dim(U)=dim(V) לתת-מרחב U אז U=V, ושאיחוד בסיסים של U,W עם V=U⊕W הוא בסיס ל-V
פתרון מועד ב' קיץ תשע	2א	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, כפל מטריצות	25 (חלק א', לבחור 2 מתוך 3)	מבחן	הוכחה שאם A הפיכה אז AB ו-BA דומות לכל מטריצה B
פתרון מועד ב' קיץ תשע	2ב	דרגה של מטריצה, בסיס ומימד, תתי מרחבים	25 (חלק א', לבחור 2 מתוך 3)	מבחן	הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לקבוצת שלשות (a,b,c) שדרגת מטריצה מחזורית הנבנית מהן קטנה-שווה 2
פתרון מועד ב' קיץ תשע	2ג	דירוג מטריצה עם פרמטר, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, משפט המימדים	25 (חלק א', לבחור 2 מתוך 3)	מבחן	מציאת בסיס ומימד למרחב עמודות W(a) ומרחב פתרונות U(b) התלויים בפרמטרים, לחיתוך ולסכום שלהם, ואימות משפט המימדים
פתרון מועד ב' קיץ תשע	3	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, משפט הדרגה	25 (חלק א', לבחור 2 מתוך 3)	מבחן	העתקת הזזה T(x,y,z,w)=(y,z,w,0) על F^4: הוכחת לינאריות, מטריצה מייצגת ל-T^n, גרעין ותמונה, והחזקה n המינימלית שבה Ker(T^n)=Ker(T^{n+1})
פתרון מועד ב' קיץ תשע	4	דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, פעולות דירוג אלמנטריות	10 (חלק ב', לבחור 5 מתוך 6)	מבחן	טענות נכון/לא נכון: שימור מרחב שורות ואי-שימור מרחב עמודות בין מטריצות שקולות-שורה, ושוויון הדרגות
פתרון מועד ב' קיץ תשע	5	פתרון כללי למערכת לא הומוגנית, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	10 (חלק ב', לבחור 5 מתוך 6)	מבחן	טענות נכון/לא נכון על תכונות של שני פתרונות של מערכת משוואות לינארית לא הומוגנית
פתרון מועד ב' קיץ תשע	6	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, שחלוף	10 (חלק ב', לבחור 5 מתוך 6)	מבחן	טענות נכון/לא נכון על ההעתקה T(A)=A-A^t במרחב המטריצות 2x2: מטריצה מייצגת, מימד גרעין, חח"ע ועל
פתרון מועד ב' קיץ תשע	7	בסיס ומימד, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, גרעין ותמונה	10 (5 נק' לכל סעיף, בחר 2 מתוך 3)	מבחן	הגדרת 2 מתוך 3 מושגים: קבוצה פורשת מינימלית, מטריצה הפיכה, Im(T)
פתרון מועד ב' קיץ תשע	8	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, שדות סופיים, משפט הדרגה	10 (חלק ב', לבחור 5 מתוך 6)	מבחן	טענות נכון/לא נכון על העתקות לינאריות בין מרחבים מעל שדות סופיים, המוגדרות ע"י תמונות וקטורים נתונים
פתרון מועד ב' קיץ תשע	9	שדה המרוכבים, תתי מרחבים, הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי	10 (חלק ב', לבחור 5 מתוך 6)	מבחן	בדיקה האם קבוצת מטריצות עם רכיבים מרוכבים היא תת-מרחב מעל C ומעל R
מועד א' חורף תשע	1	דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, מבוא למטריצות ולמערכות משוואות	5+5+5+5+13 נק' (סה"כ 33)	מבחן · פתרון	הוכחה/הפרכה של חמש טענות עבור A עם rankA=m: קיום פתרון לכל b, גרעין טריוויאלי, מרחב שורות שווה ל-F^n, אי-תלות שורות, ותלות עמודות כאשר m≠n
מועד א' חורף תשע	2	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	5+15+15 נק' (סה"כ 35)	מבחן · פתרון	הגדרת גרעין ומרחב עמודות; הוכחה שאם rank(AB)≠rank(BA) אז A,B אינן הפיכות; הוכחה ש-C(A)⊆N(A) עבור A המקיימת A²=0
מועד א' חורף תשע	3א	משפט המימדים, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים	17 נק'	מבחן · פתרון	הוכחה ש-rankA≥rankB בהינתן C(B)∩N(A)={0}, באמצעות משפט הדרגה ומשפט המימדים
מועד א' חורף תשע	3ב	שדות סופיים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	17 נק'	מבחן · פתרון	ספירת מספר תתי-המרחבים המשלימים W (כך ש-V=U⊕W) במרחב וקטורי מעל Z2 כאשר dimV=2, dimU=1 (התשובה: 2)
מועד א' חורף תשע	4א	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, משפט המימדים	10 נק'	מבחן · פתרון	הוכחת הנוסחה dim C(AB)=dim C(B)−dim(N(A)∩C(B)) עבור A,B∈F^{n×n}
מועד א' חורף תשע	4ב	בסיס ומימד, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	25 נק'	מבחן · פתרון	הוכחה שלכל תת-קבוצה B של בסיס A במרחב V מתקיים V=span(B)⊕span(A\B)
בוחן קיץ תש"ע + פתרון	1	דירוג מטריצה עם פרמטר, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	34	מבחן	קביעה עבור אילו ערכי פרמטר a למערכת משוואות לינארית יש פתרון יחיד, אין פתרון, או יותר מפתרון אחד, לפי דירוג המטריצה
בוחן קיץ תש"ע + פתרון	2	הגדרה ותכונות של שדה	34	מבחן	הוכחת תכונות יסוד בשדה כללי: 0_F·a=0_F, והפיכות המכפלה ab עבור a,b שונים מאפס יחד עם נוסחת ההופכי
בוחן קיץ תש"ע + פתרון	3א	שדות סופיים	34	מבחן	מציאת הופכיים כפליים ב-Z13 (3⁻¹ ו-4⁻¹) בעזרת חזקות מודולריות
בוחן קיץ תש"ע + פתרון	3ב	צורה קרטזית וצורה קוטבית	34	מבחן	חישוב חזקה גבוהה (z^4446) של מספר מרוכב בעזרת המרה לצורה קוטבית ומשפט דה-מואבר
בוחן קיץ תש"ע + פתרון	4	שחלוף, תכונות של אלגברת מטריצות	34	מבחן	הוכחה/הפרכה: האם AAᵀ=AᵀA גורר שהמטריצה A סימטרית (הפרכה באמצעות מטריצה אנטי-סימטרית)
מועד א' חורף תשסט	1	פרישה ותלות לינארית, דרגה של מטריצה	5+15+15 נק' (סה"כ 35)	מבחן · פתרון	הגדרות (קבוצה בת"ל, דרגת מטריצה); הוכחה שעמודות X בת"ל גוררות שעמודות AX בת"ל, ותנאי הכרחי (על דרגת A) לכך שעמודות AX יהיו בת"ל
מועד א' חורף תשסט	2	בסיס ומימד, פרישה ותלות לינארית	5+15+15 נק' (סה"כ 35)	מבחן · פתרון	הגדרות (בסיס, מימד); יחידות הצגת וקטור לפי בסיס; הרחבת קבוצה בת"ל שאינה פורשת V לקבוצה בת"ל גדולה יותר ע"י הוספת וקטור
מועד א' חורף תשסט	3א	שדות סופיים, מבוא למטריצות ולמערכות משוואות	15 נק'	מבחן · פתרון	ספירת מספר הפתרונות של מערכת משוואות לינארית מעל השדה הסופי Z3 (התשובה: 9=3^2 פתרונות)
מועד א' חורף תשסט	3ב	קואורדינטות	15 נק'	מבחן · פתרון	חישוב קואורדינטות של הפולינום x^3 ביחס לבסיס B נתון של מרחב הפולינומים
מועד א' חורף תשסט	4	משפט המימדים, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים	10+25(+5 בונוס) נק'	מבחן · פתרון	שימוש במשפט המימדים להראות ש-dim(U+W)>0 כש-U∩W≠{0} מוגדר, ולהוכיח שבתנאי נתון מתקיים V=U⊕W או U⊆W או W⊆U
מועד א' חורף תשסח	1	דרגה של מטריצה	14+20 נק' (סה"כ 34)	מבחן · פתרון	rank(A)-rank(B)|≤rank(A+bB) לכל b≠0 עבור A,B∈Mat_{m×n}(F)
מועד א' חורף תשסח	2א	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	17 נק'	מבחן · פתרון	פירוק מרחב המטריצות הריבועיות V=Mat_n(F) לסכום ישר U⊕W של תת-המרחב הסימטרי U ותת-המרחב המשולשי-עליון-ממש W, וחישוב dimU,dimW
מועד א' חורף תשסח	2ב	פרישה ותלות לינארית, בסיס ומימד	17 נק'	מבחן · פתרון	הוכחה שקבוצה בת"ל A היא בסיס, בהינתן קבוצה פורשת D המקיימת D⊆Sp(A)
מועד א' חורף תשסח	3	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, הצגה פרמטרית ואלגברית	17+17 נק' (סה"כ 34)	מבחן · פתרון	אפיון סכום ישר (V=U+W ו-U∩W={0}) לפי יחידות הצגה v=u+w, והפעלה על U={x1+...+xn=0}, W={x1=...=xn} עבור e=(1,0,...,0)
מועד א' חורף תשסח	4	מטריצות מעבר בין בסיסים, קואורדינטות	34 נק'	מבחן · פתרון	חישוב מטריצת מעבר בין הבסיסים {1,x,...,x^n} ו-{1,(x-a),...,(x-a)^n} של מרחב הפולינומים בעזרת נוסחת טיילור, ובדיקת הפיכותה ישירות
מועד א' חורף תשסו	1 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ה	שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים, פרישה ותלות לינארית, דרגה של מטריצה	22 (4+5+5+5+3)	מבחן	נתון A כך שלכל b יש פתרון ל-Ax=b: בדיקת יחידות פתרון, מרחב עמודות, בת"ל שורות/עמודות ויחס m≤n
מועד א' חורף תשסו	2 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ג	פרישה ותלות לינארית, דרגה של מטריצה, כפל מטריצות	22 (3+10+9)	מבחן	הגדרת בת"ל ודרגה; אם עמודות AB בת"ל אז עמודות B בת"ל, ותנאי הכרחי Rank A≥k לבת"ל של עמודות AB
מועד א' חורף תשסו	3 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ג	בסיס ומימד, פרישה ותלות לינארית	22 (3+10+9)	מבחן	הגדרת בסיס ומימד, הצגה יחידה של וקטור ביחס לבסיס עם אילוץ, והרחבת קבוצה בת"ל שאינה פורשת
מועד א' חורף תשסו	4 (חלק ב')	בסיס ומימד, תתי מרחבים	8	מבחן	trA=0} שכולל וקטור נתון
מועד א' חורף תשסו	5 (חלק ב')	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, בסיס ומימד	8	מבחן	חישוב בסיס ל-V+U עבור V פרוש על ידי שני וקטורים ו-U מוגדר על ידי משוואה
מועד א' חורף תשסו	6 (חלק ב')	קואורדינטות	8	מבחן	חישוב קואורדינטות הפולינום x^3 ביחס לבסיס נתון של P3[x]
מועד א' חורף תשסו	7 (חלק ב')	חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	8	מבחן	חישוב דטרמיננטה 3x3 סימטרית במחזור (x,y,x+y) ומתן תשובה מפושטת
מועד א' חורף תשסו	8 (חלק ב')	שדות סופיים, הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות	8	מבחן	ספירת מספר הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית מעל Z3
מועד א' חורף תשסו	9 (חלק ב')	מטריצה נלווית, חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות	8	מבחן	חישוב det(A) בהינתן C=adj(A) ו-det(C)=c
מועד א' חורף תשסו	10 (חלק ב')	הצגה פרמטרית ואלגברית	8	מבחן	חישוב מרחק שתי נקודות נתונות מישר נתון ובדיקה אם הן באותו צד של הישר (שאלת גיאומטריה אנליטית שאינה מכוסה ישירות באוצר הנושאים)
פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	1	גרעין ותמונה, מטריצה מייצגת העתקה, שדות סופיים		מבחן	(בר-אילן קיץ תשס"ח, מצרי וצבאן) העתקה לינארית מעל שדה סופי: הוכחת לינאריות, בסיס ומספר איברי הגרעין והתמונה, איחוד הבסיסים כבסיס למרחב, וחישוב [T]_S
פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	1ב	חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, משפט המימדים		מבחן	(תל-אביב תשס"ב מועד א') שלושה תתי-מרחבים בתנאי על סכום המימדים - הוכחה שהסכום שווה לאחד מהם והחיתוך שווה לשני
פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	2	יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה, תתי מרחבים		מבחן	(מקבץ טכניון/תל-אביב) הוכח/הפרך קיום העתקה לינארית לכל תת-מרחב פרופר לפי משפט ההגדרה
פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	3	גרעין ותמונה, תתי מרחבים, משפט הדרגה		מבחן	(בר-אילן קיץ תשס"ח) מציאת גרעין ותמונה של העתקה נתונה ע"י מטריצה, הוכחת תת-מרחב U ומציאת מימדו בעזרת משפט הדרגה
פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	4	גרעין ותמונה, חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים, משפט הדרגה		מבחן	(בר-אילן קיץ תשס"ח) הוכח/הפרך טענות על הגרעין והתמונה של אופרטור T:V→V - איחוד, סכום ישר, ומשפט המימדים
פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	7	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן	(בר-אילן 2000 מועד א') טענות על הפיכות מטריצה A לפי תנאים על מכפלות עם מטריצה B
פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	12	אלגברת מטריצות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן	(בר-אילן 1999 מועד א') טענות כלליות נכון/לא נכון על דרגה והפיכות של מטריצות A,B
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	1	מטריצות מעבר בין בסיסים, קואורדינטות		מבחן	הוכח/הפרך קיום בסיס סדור C כך ש-[I]_C^B=A עבור A הפיכה נתונה
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	2	מטריצה נלווית		מבחן	הוכחה שהמטריצה הנלווית adj(A) סימטרית כאשר A סימטרית
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	3	דרגה של מטריצה, שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים		מבחן	הוכח/הפרך: rank(A+B) ≤ rank(A)+rank(B)
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	4	הגדרת הדטרמיננטה ותכונות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות		מבחן	הוכחת קיום מטריצה B מדרגה 1 כך ש-A+B הפיכה ובעלת דטרמיננטה 1, עבור A הפיכה נתונה
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	5	צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית, דרגה של מטריצה		מבחן	הוכח/הפרך: אם לצורה המדורגת הקנונית של מטריצה ריבועית יש יותר שורות אפס מלא-אפס (דרגה קטנה מחצי גודל) אז A^2=0
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	6	הגדרת הדטרמיננטה ותכונות, מטריצה נלווית, שחלוף		מבחן	3A·A^t·A^{-1}·adj(A)| עבור A∈R^{3x3} עם |A|=2
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	7	גרעין ותמונה, משפט הדרגה		מבחן	אופרטור T עם T^2=I: הוכחה ש-Ker(I-T)=Im(I+T) גורר Ker(I+T)=Im(I-T)
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	8	הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי, תתי מרחבים		מבחן	הוכחה שקבוצת האופרטורים S המתחלפים עם אופרטור T נתון היא תת-מרחב
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	9א	גרעין ותמונה		מבחן	הוכחה ש-Im(S)⊆Ker(T) כאשר (T+I)S=S
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	9ב	מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות, העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות		מבחן	הוכחה ש-T הפיכה (וגם S) כאשר TST=I, בשלוש דרכים שונות
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	9ג	מטריצה מייצגת העתקה, כפל מטריצות		מבחן	בניית דוגמה להעתקות הפיכות T,S עם (T+S)^2=0 ע"י מטריצות מייצגות
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	10	כפל מטריצות, מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות	10 נק'	מבחן	הוכח/הפרך: עבור מטריצות ריבועיות A,B,C אם AB=0 ו-BC=I אז A=0 (אומת ע"י תמונת עמוד המקור)
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים	11	מטריצה מייצגת העתקה, גרעין ותמונה, קואורדינטות	24 נק'	מבחן	העתקות T,S:V→V (V=R^3) עם מטריצות מייצגות נתונות ביחס לבסיסים B,C,D: בסיס ומימד ל-Ker T ו-Im S, בחינת אפשרות מציאת בסיס ל-Ker S / Im T ללא נתונים נוספים, וחישוב S(T(x,y,z)) (מספור המקורי לא נקלט בטקסט; אומת ע"י תמונת עמוד המקור)

לפי נושא

גרעין ותמונה

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (העתקה T תלוית פרמטר a: לאילו a הפיכה, בדיקת שוויון תמונות/חד-חד-ערכיות, ובסיס עם עמודות ושורות אפסים במטריצה המייצגת)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: עמודת אפסים או איבר אפס בכל מטריצה מייצגת גוררים שההעתקה היא העתקת האפס)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2ב-ג — מבחן · פתרון (קיום העתקה T עם W=Img(T) ו-U∩W=ker(T), והוכחה/הפרכה שהעתקה עם Img(T)=U+W הפיכה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2ג — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד לגרעין ולתמונה של ההעתקה T שנמצאה בסעיף הקודם)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס B ל-R2[x], מציאת גרעין ותמונה של T לפי מטריצה מייצגת, ומציאת בסיס C שעבורו מתקבלת מטריצה מייצגת נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (גרעין ותמונה של צמצום S ושל ההרכבה ST, ותנאי שוויון במשפט הדרגה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס B ל-R2[x], ומציאת גרעין ותמונה של העתקה תלוית-פרמטר Ta לכל ערך של a)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הכלה בין תת-מרחב חד-מימדי לתת-מרחב אחר, והוכחה/הפרכה של הכלות בין גרעין לתמונה של T לפי מימד V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3א-ב — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם Ta חד-חד-ערכית, ובסיס ומימד ל-ker T0 ו-Im T0)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת קיום T עם Im T=Im T^2=U, והפרכת קיום T עם Im T=U, Im T^2=W עבור W⊊U)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a קיימת העתקה T:R3→R3 המקיימת תנאים נתונים, מתי היא אינה חח"ע, ומתי ker T שווה למרחב נתון)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תכונות ההעתקה S המקיימת TST=T (חיתוך גרעין ותמונה, הפרכת ker S={0}), וקיום העתקה כזו)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (בהינתן [T]ᴮᶜ, מציאת בסיס ומימד ל-N ו-C שלה, הבעת בסיסי גרעין ותמונה של T באמצעות איברי B,C, ומציאת [T]ᴰᶜ לבסיס D נתון)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: אם ImT∩ImS={0} אז kerT∩kerS={0}; והוכחה ש-ImT⊆ImS אם"ם קיימת R:V→V עם T=SR)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת עם פרמטר: הפיכות ההעתקה, חישוב העתקה הופכית וגרעין ותמונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת להעתקת A-A^t, גרעין ותמונה וחישוב הרכבת ההעתקה עם עצמה)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור אופרטור T עם [T]ᴮᴮ נתונה: הוכחה שאין בסיס C עם [T]ᶜᶜ=I, מציאת בסיס C עם [T]ᶜᴮ=I, ובסיסים ל-ker(T²-T) ו-Im(T²-T))
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (עבור T,S:V→V עם T∘S=T: הוכחה/הפרכה ש-kerT=kerS, הוכחת dimImT≤dimImS, והוכחת dimIm(S-I)+dimImT≤n)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 4 — מבחן · פתרון (חישוב העתקה והופכית שלה דרך מטריצה מייצגת, ובסיס עם עמודת/שורת אפסים לגרעין ותמונה של הרכבות)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לגרעין ולתמונה, בדיקת הפיכות, נוסחה מפורשת ומטריצה מייצגת אלכסונית עבור העתקה מהפולינומים ל-R^3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קיום בסיס שכל איבריו אינם מתאפסים תחת T, וקיום/אי-קיום בסיס השייך ל-Im(T)+ker(T))
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד לתמונה ולגרעין של העתקה נתונה לפי מטריצה מייצגת [T]^B_C, ובדיקת קיום בסיסים D,F חלופיים)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (קביעה והוכחה/הפרכה של קיום העתקות לינאריות המקיימות תנאים על ker=Im, T³=-T, ו-Tv=v או Tv=0)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ל-Im(T) ול-ker(T), נוסחה מפורשת ל-T והופכי T⁻¹ מתוך [T]_C^B=I)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחות נכון/לא נכון על הפיכות T ו-S וקשרי הרכבה, גרעין ותמונה ביניהם)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (קיום ויחידות העתקה לינארית לפי תמונות וקטורי בסיס, מימדי גרעין ותמונה והפיכות כתלות בפרמטר a)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחות נכון/לא נכון על הפיכות T,S ועל קשרי גרעין/תמונה בין ההעתקות)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הפיכות T לפי דטרמיננטת המטריצה המייצגת, מציאת הגרעין וההעתקה ההופכית)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה שלהעתקה אידמפוטנטית T∘T=T עם Tv≠v יש איבר לא-אפס בגרעין)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון על אופרטור T:V→V - הפיכות, קיום S כך ש-T+S הפיכה, יחס גרעין-תמונה כש-T^n=0, והשלכת T²≠0 על כל החזקות)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (אופרטור T(x,y,z)=(0,x,y): מציאת פרמטר במטריצה מייצגת [T]_C^B, הצגת קואורדינטות, הוכחת השתייכות לתמונה, ומטריצה מייצגת בבסיסים סדורים אחרים)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס למרחב הפולינומים ממעלה≤2, מציאת העתקה לינארית מפורשת מהמטריצה המייצגת שלה, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס ומימד לגרעין ולתמונה)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (העתקת הסימטריזציה S(A)=½(A+Aᵀ) על מרחב המטריצות 3x3: לינאריות, גרעין ותמונה (אנטי-סימטריות/סימטריות), סכום ישר V=KerS⊕ImS, ומטריצה מייצגת בבסיס מאוחד)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (אופרטור הזזה על בסיס נתון (Tv1=0, Tv_i=v_{i-1}): מציאת המטריצה המייצגת [T]_B^B ובסיס ומימד לגרעין ולתמונה)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 5א — מבחן · פתרון (בדיקת קיום ובניית העתקה לינארית T:R^4→R^4 המקיימת T²=0 ושני וקטורים נתונים נמצאים ב-Im(T))
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 2 — מבחן (בסיס B={1,1+x,1+x+x²} ל-R2[x]: הוכחת בסיס, מציאת העתקה T עם [T]ᴮᴮ=A, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס לגרעין ולתמונה)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור A∈Mnxn: U={v|Av=v}, W={v|Av=-v} הם תתי-מרחבים; U∩W=ker(A²-I); הוכח/הפרך קשרי פתרונות בין Av=b ל-A²v=b)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (T:V→V עם Im T∩ker T={0}: הוכחה שלכל v קיים w בתמונה כך ש-Tv=Tw)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 5א — מבחן · פתרון (T(x,y)=(2x-3y, αx+βy) עם Ker T=Im T: מציאת ערכי α,β)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: אם Im(T+S)⊆Im(T) אז Im(S)⊆Im(T); ואם ker(T+S)⊆ker(T) אז ker(S)⊆ker(T))
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 2 — מבחן (נתון T∘S=Id_V; הוכיחו ש-ker S={0} ו-ker T={0})
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 4 — מבחן (עבור T_A(v)=Av עם פרמטר a: מתי וקטור נתון ב-Im(T_A), מתי T_A חח"ע, מתי T_A על)
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 6 — מבחן (נתון T(v1)+T(v2)=T(v3), T(v1)+T(v3)=T(v2): הוכיחו v1∈ker T ו-dim Im T≤2, ומצאו את [T]_B בנתונים נוספים)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 2 — מבחן · פתרון (נתון T∘S=0_V; הוכח/הפרך: אם T≠0 אז S אינה הפיכה, וכי dim(ker S)+dim(ker T)≥dim V)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 2 — מבחן (שרשרת התמונות im(T^k) של העתקה לינארית T:V→V ותנאי השקילות T^n=0⇔T^(n+1)=0)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 5 — מבחן (מטריצה מייצגת להעתקה תלוית-פרמטר t על פולינומים R2[x], חד-חד-ערכיות/עליוּת, גרעין ותמונה)
• מבחן מועד א' חורף תשע"ג, שאלה 3 (א-ב) — מבחן · פתרון (א) קיום פונקציונל φ:V→F עם Ker(φ)=U נתון (dimU=dimV-1); ב) קיום פונקציונל φ המפריד שני וקטורים בת"ל (φ(v)=0, φ(u)=1))
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 7 — מבחן (אפשרויות למימד הגרעין של העתקה לינארית לא-אפס מממד 4 לממד 2)
• מבחן מועד א' חורף תשעב, שאלה 1 (א-ב) — מבחן · פתרון (האופרטור T_A(X)=A·X על מטריצות: א) חישוב Ker(T_A) וקשרו ל-Null(A); ב) חישוב dim Ker(T_A) ו-dim Im(T_A))
• מועד ב' חורף תשעב, שאלה 1 (א-ב) — מבחן · פתרון (א) קיום אופרטור T:V→V עם Ker(T)=U נתון; ב) קיום אופרטור S:V→V עם Im(S)=U נתון)
• מועד ב' חורף תשעב, שאלה 2 (א-ב) — מבחן · פתרון (האופרטור T_A(X)=A·X על מטריצות: א) חישוב Im(T_A) וקשרו ל-Cspan(A); ב) חישוב dim Im(T_A) ו-dim Ker(T_A))
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחת קיום פירוק v=w1+w2 עבור T המקיימת T²=Id, כאשר Tw1=w1 ו-Tw2=-w2)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכחת קיום בסיס ל-V שבו Tvi=vi או Tvi=-vi לכל איבר, עבור T המקיימת T²=Id)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לגרעין ולתמונה של ההעתקה T(x,y,z,w)=(x+y,w,0,z))
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחה ש-V=kerT⊕ImT עבור T המקיימת T²=-T)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: T אינה על, בהינתן dimV=5 ו-T²=-T)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 4 — מבחן · פתרון (העתקה T עם T²=Id: הוכחת הפיכות, ker(I±T)=Im(I∓T), פירוק V=ker(I+T)⊕ker(I-T) ומטריצה מייצגת לפי בסיס מאוחד)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 6 — מבחן · פתרון (תכונות ההעתקות T (הערכת פולינום באפס) ו-S (הכפלה בפולינום קבוע) - לינאריות, מימד גרעין, היות T על, ועקבת ההרכבה S∘T)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 7 — מבחן · פתרון (הגדרת שני מושגים מתוך: קבוצה בלתי תלויה לינארית, Hom(V,W), גרעין של העתקה (KerT))
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 8 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר על קיום, גרעין וחח"ע/על של העתקה לינארית ב-ℝ³ המוגדרת ע"י תמונותיהם של שלושה וקטורים תלויים לינארית)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 3 — מבחן (העתקת הזזה T(x,y,z,w)=(y,z,w,0) על F^4: הוכחת לינאריות, מטריצה מייצגת ל-T^n, גרעין ותמונה, והחזקה n המינימלית שבה Ker(T^n)=Ker(T^{n+1}))
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 6 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על ההעתקה T(A)=A-A^t במרחב המטריצות 2x2: מטריצה מייצגת, מימד גרעין, חח"ע ועל)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 7 — מבחן (הגדרת 2 מתוך 3 מושגים: קבוצה פורשת מינימלית, מטריצה הפיכה, Im(T))
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 1 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח, מצרי וצבאן) העתקה לינארית מעל שדה סופי: הוכחת לינאריות, בסיס ומספר איברי הגרעין והתמונה, איחוד הבסיסים כבסיס למרחב, וחישוב [T]_S)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 3 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח) מציאת גרעין ותמונה של העתקה נתונה ע"י מטריצה, הוכחת תת-מרחב U ומציאת מימדו בעזרת משפט הדרגה)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 4 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח) הוכח/הפרך טענות על הגרעין והתמונה של אופרטור T:V→V - איחוד, סכום ישר, ומשפט המימדים)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 7 — מבחן (אופרטור T עם T^2=I: הוכחה ש-Ker(I-T)=Im(I+T) גורר Ker(I+T)=Im(I-T))
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 9א — מבחן (הוכחה ש-Im(S)⊆Ker(T) כאשר (T+I)S=S)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 11 — מבחן (העתקות T,S:V→V (V=R^3) עם מטריצות מייצגות נתונות ביחס לבסיסים B,C,D: בסיס ומימד ל-Ker T ו-Im S, בחינת אפשרות מציאת בסיס ל-Ker S / Im T ללא נתונים נוספים, וחישוב S(T(x,y,z)) (מספור המקורי לא נקלט בטקסט; אומת ע"י תמונת עמוד המקור))

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לחיתוך הגרעינים N(A)∩N(B), בניית מטריצה C בגרעין המשותף, וקביעת כל האפשרויות לדרגת C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס למרחב השורות R(A), בסיס לחיתוך C(A)∩N(A²), והפרכת קיום מטריצה B עם C(B)=C(A) ו-N(B)=R(A) בעזרת משפט הדרגה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-rank(A^2)=rank(A) שקול לכך ש-F^n=C(A)⊕N(A), והוכחת rank(A)+rank(B)≤n כאשר AB=0)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2א — מבחן · פתרון (בסיסים ל-U∩W ו-U+W בתת-המרחבים של R2[x] והסקת dim(U∩W)=1, dim(U+W)=3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (המרחב המאונך W⊥: הוכחה שהוא תת-מרחב, נוסחת (U+W)⊥=U⊥∩W⊥, והוכחה/הפרכה ש-R^4=W⊕W⊥ עבור W נתון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 4 — מבחן · פתרון (חקירת ממד חיתוך על-מישורים (תתי-מרחב ממימד n-1) לפי משפט המימדים, כולל בניה עבור שני על-מישורים והפרכה עבור שלושה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של שתי טענות על חיתוך וסכום תתי מרחבים ועל בסיסים של תת-מרחב W)
• בוחן לינארית תיכוניסטים 2024, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה או הפרכה של טענות על שייכות סכום/הפרש של וקטורים מ-U ומ-W לחיתוך U∩W)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב U (מרחב עצמי כפתרון (A-2I)v=0), בסיס ומימד ל-U,W ולחיתוך U∩W)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים ומימדים ל-C(A), N(A), C(A)+N(A), C(A)∩N(A), והוכחה שהעמודה הרביעית של A^2 היא עמודת אפסים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-U תת-מרחב של R2x2 ומציאת בסיס ומימד ל-U,W,U+W ו-U∩W)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: (א) אם U+W=V אז dimU+dimW=dimV+1; (ב) אם U∩W={0} קיים W1⊇W עם U⊕W1=V)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לחיתוך ולסכום של תתי-מרחבים ב-R^3)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של זהויות על חיתוך וסכום תתי-מרחבים כלליים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מציאת בסיסים למרחב העמודות, מרחב השורות, סכומם וחיתוכם עבור מטריצה נתונה ב-R^{3x3})
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה תלוית פרמטר – הפיכות, שייכות למרחב העמודות, בסיס למרחב האפס וחיתוך עם מרחב העמודות)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד ל-C(A)∩R(A), ל-C(A)∩N(A), ל-C(A)+N(A), ומציאת ערכי x שעבורם (1,x,x^2)∈C(A))
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בסיס ומימד לתתי-מרחבי פולינומים U,W ולסכומם וחיתוכם)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W ולחיתוך שלהם ב-R^4)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, לחיתוך ולסכום שלהם ב-R^4)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שייכות וקטור למרחב העמודות, מציאת מטריצה עם אותו מרחב שורות, בסיס ל-C(A)∩N(A), ופרמטר במטריצה שקולה)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מרחב מטריצות 2x2: מציאת בסיס לתת-מרחב פרוש S, מטריצה שאינה בתת-המרחב, בסיס לפי וקטור קואורדינטות נתון, וחיתוך עם תת-מרחב המטריצות האנטי-סימטריות)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (העתקת הסימטריזציה S(A)=½(A+Aᵀ) על מרחב המטריצות 3x3: לינאריות, גרעין ותמונה (אנטי-סימטריות/סימטריות), סכום ישר V=KerS⊕ImS, ומטריצה מייצגת בבסיס מאוחד)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שני תתי מרחבים U (span) ו-W (תיאור אלגברי) ב-R^4: מציאת בסיס ומימד לכל אחד, לחיתוכם ולסכומם)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (בסיס ומימד לתתי-מרחבים U (פרוש) ו-W (מערכת משוואות) של R⁴, לחיתוכם ולסכומם)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 6א — מבחן · פתרון (הוכחה כי A≠B בהינתן C(A)⊕R(B)=R³)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 3 — מבחן (V=Rⁿ, U מישור הומוגני (a·x=0), W=span{a}: הוכחת תתי-מרחב, מימדים והוכחת V=U⊕W)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 4א — מבחן (הוכח/הפרך: U+Z=W+Z גורר U=W (הפרכה))
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1ג — מבחן · פתרון (הוכחה כי span(W∪S)=W+span(S) עבור תת-מרחב W ותת-קבוצה S (סעיף עצמאי, אין קשר לקודמים))
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד לחיתוך של שני תתי-מרחבים הנפרשים ע"י וקטורים נתונים)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מטריצה A נתונה: מציאת בסיס ומימד ל-R(A), ל-C(A)∩N(A) ול-C(A)+N(A))
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (U=N(A-I), W=N(A+I): הוכחת U+W⊆N((A-I)(A+I)), ובהינתן U+W=Rⁿ הוכחת A²=I ו-U⊕W=Rⁿ)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (תתי-מרחבים U,W של R3[x]: מציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, ל-U∩W ול-U+W)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 1א — מבחן · פתרון (חיתוך תת-המרחב של מטריצות משולשיות עליונות עם תת-המרחב של מטריצות משולשיות תחתונות ב-R^{4x4}, ומציאת בסיס לו)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (הוכחה כי span{v1,v2}⊕span{v3}=R^3 עבור שלושה וקטורים נתונים)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: אם W+W1=W+W2 עבור תתי-מרחבים אזי W1=W2)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W עבור תת-מרחבי פולינומים U=span{...}, W={p:p(1)=p(2)})
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 1 — מבחן (הוכחת אפיון סכום ישר: V=U⊕W אם ורק אם לכל v קיימת הצגה יחידה v=u+w)
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 5 — מבחן (מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W כאשר U מרחב השורות של מטריצה נתונה ו-W מרחב הפתרונות של מערכת נתונה)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W כאשר U מרחב פתרונות מערכת ו-W span נתון)
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 2א — מבחן · פתרון (קיום תת-מרחב משלים U כך ש-F^n=U⊕V לתת-מרחב נתון V)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 5 — מבחן (אפשרויות למימד W1+W2+W3 בהינתן מימדי שלושת תתי-המרחבים וחיתוך בין שניים מהם)
• מבחן מועד א' חורף תשעב, שאלה 3א — מבחן · פתרון (קיום משלים ישר W ל-U כך ש-V=U⊕W, ולאיזה U המשלים יחיד)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחת קיום פירוק v=w1+w2 עבור T המקיימת T²=Id, כאשר Tw1=w1 ו-Tw2=-w2)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 4ג — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: אי-אפסות סכום ממדי חיתוכי תתי-מרחבים V1,V2,U1,U2 המקיימים V=V1+V2=U1+U2, dimV=2n+1)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחה ש-V=kerT⊕ImT עבור T המקיימת T²=-T)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: אם U1⊕U2=V וגם U1⊕U3=V אז U2=U3)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 4 — מבחן · פתרון (העתקה T עם T²=Id: הוכחת הפיכות, ker(I±T)=Im(I∓T), פירוק V=ker(I+T)⊕ker(I-T) ומטריצה מייצגת לפי בסיס מאוחד)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 3ב — מבחן (ספירת תתי-המרחבים W המשלימים לסכום ישר עם U (dimU=1) במרחב ממימד 2 מעל Z2)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 2 — מבחן (חישוב dim(C(B)∩N(A)) עבור מטריצות A,B נתונות)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-V=U⊕W עבור U={T(u)=-u},W={T(w)=w} כאשר T²=I (מעל שדה שמאפיינו≠2), וכן הפרכת הטענה שכל וקטור מקיים T(v)=v או T(v)=-v)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לחיתוך U∩W כאשר U=Sp{שלושה וקטורים ב-ℝ⁴} ו-W מרחב הפתרונות ההומוגני של מטריצה הפיכה)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 1 — מבחן (הוכחה שאם dim(U)=dim(V) לתת-מרחב U אז U=V, ושאיחוד בסיסים של U,W עם V=U⊕W הוא בסיס ל-V)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2ג — מבחן (מציאת בסיס ומימד למרחב עמודות W(a) ומרחב פתרונות U(b) התלויים בפרמטרים, לחיתוך ולסכום שלהם, ואימות משפט המימדים)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (ספירת מספר תתי-המרחבים המשלימים W (כך ש-V=U⊕W) במרחב וקטורי מעל Z2 כאשר dimV=2, dimU=1 (התשובה: 2))
• מועד א' חורף תשע, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה שלכל תת-קבוצה B של בסיס A במרחב V מתקיים V=span(B)⊕span(A\B))
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שימוש במשפט המימדים להראות ש-dim(U+W)>0 כש-U∩W≠{0} מוגדר, ולהוכיח שבתנאי נתון מתקיים V=U⊕W או U⊆W או W⊆U)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 2א — מבחן · פתרון (פירוק מרחב המטריצות הריבועיות V=Mat_n(F) לסכום ישר U⊕W של תת-המרחב הסימטרי U ותת-המרחב המשולשי-עליון-ממש W, וחישוב dimU,dimW)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (אפיון סכום ישר (V=U+W ו-U∩W={0}) לפי יחידות הצגה v=u+w, והפעלה על U={x1+...+xn=0}, W={x1=...=xn} עבור e=(1,0,...,0))
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 5 (חלק ב') — מבחן (חישוב בסיס ל-V+U עבור V פרוש על ידי שני וקטורים ו-U מוגדר על ידי משוואה)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 1ב — מבחן ((תל-אביב תשס"ב מועד א') שלושה תתי-מרחבים בתנאי על סכום המימדים - הוכחה שהסכום שווה לאחד מהם והחיתוך שווה לשני)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 4 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח) הוכח/הפרך טענות על הגרעין והתמונה של אופרטור T:V→V - איחוד, סכום ישר, ומשפט המימדים)

בסיס ומימד

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ל-span{w1,w2,w3,w4} כצירופים של ארבעה וקטורים בת"ל מעל שדה כללי F^k)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי {T_i,j} בסיס ל-Hom(V,W), וכי {SR_i} וגם {R_iS} בסיסים ל-Hom(V,V) אמ"מ S הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעת ערכי a שעבורם {A1,A2,A3} בסיס לתת-המרחב W (מטריצות עם עקבה 0), והשלמה לבסיס R^{2x2})
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך שלושה משפטים על איחוד spanים כתת-מרחב, תלות לינארית של איחוד קבוצות, ובנייה מחדש של בסיס)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1ג — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד ל-U מעל C עבור a=i)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס B ל-R2[x], מציאת גרעין ותמונה של T לפי מטריצה מייצגת, ומציאת בסיס C שעבורו מתקבלת מטריצה מייצגת נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת אי-תלות ובסיס ל-R3, ומציאת ערכי פרמטר a המקיימים תנאי תלות/אי-תלות בין ארבעה וקטורים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של שתי טענות על חיתוך וסכום תתי מרחבים ועל בסיסים של תת-מרחב W)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס B ל-R2[x], ומציאת גרעין ותמונה של העתקה תלוית-פרמטר Ta לכל ערך של a)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תלות/אי-תלות לינארית של אותה קבוצת וקטורים מעל C לעומת מעל R, וקשר בין המימדים dimR U2 = 2·dimC U1)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת תלות לינארית v1+v2,v2+v3,v3+v4, ותת-המרחב W המוגדר לפי תנאי תלות - בסיס ומימד)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-U תת-מרחב של R2x2 ומציאת בסיס ומימד ל-U,W,U+W ו-U∩W)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב Uc של פולינומים המתאפסים ב-±c, ומציאת בסיס ומימד ל-U1 ולמקרה בו dim Uc=3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קיום בסיס של V שבו כל התמונות תחת T שונות מאפס, והוכחה/הפרכה לגבי ייצוג וקטור בקואורדינטות כווקטור אחדות)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מימד תת-המרחב U הנפרש ע"י שלושה וקטורים תלויי-פרמטר a כתלות ב-a, האם v∈U, ולעבור a=1 מציאת בסיס ל-U וקואורדינטות [v]_B)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לחיתוך ולסכום של תתי-מרחבים ב-R^3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (שייכות וקטור לפרישה עם פרמטר, מימד מרחב הפרישה וחישוב דטרמיננטה תלוית-פרמטר)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 3 — מבחן · פתרון (תת-מרחב של פולינומים כפולים ב-(x-a), בסיס ומימד ומשפט המימדים לסכום שני תתי-מרחבים כאלה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים למרחב האפס ומרחב העמודות של מטריצה ושל חזקותיה A^2, A^3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תת-מרחב מטריצות עם סכום עמודות אפס: מימד, סגירות לכפל מטריצות וקשר לגרעין משותף)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בסיס ומימד לתתי-מרחבי פולינומים U,W ולסכומם וחיתוכם)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W ולחיתוך שלהם ב-R^4)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, לחיתוך ולסכום שלהם ב-R^4)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפטון ההחלפה של שטייניץ)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מרחב מטריצות 2x2: מציאת בסיס לתת-מרחב פרוש S, מטריצה שאינה בתת-המרחב, בסיס לפי וקטור קואורדינטות נתון, וחיתוך עם תת-מרחב המטריצות האנטי-סימטריות)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 1 — מבחן · פתרון (ניסוח והוכחת משפט המימדים לתתי מרחבים וקטוריים)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס למרחב הפולינומים ממעלה≤2, מציאת העתקה לינארית מפורשת מהמטריצה המייצגת שלה, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס ומימד לגרעין ולתמונה)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (אופרטור הזזה על בסיס נתון (Tv1=0, Tv_i=v_{i-1}): מציאת המטריצה המייצגת [T]_B^B ובסיס ומימד לגרעין ולתמונה)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שני תתי מרחבים U (span) ו-W (תיאור אלגברי) ב-R^4: מציאת בסיס ומימד לכל אחד, לחיתוכם ולסכומם)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (בסיס ומימד לתתי-מרחבים U (פרוש) ו-W (מערכת משוואות) של R⁴, לחיתוכם ולסכומם)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 2 — מבחן (בסיס B={1,1+x,1+x+x²} ל-R2[x]: הוכחת בסיס, מציאת העתקה T עם [T]ᴮᴮ=A, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס לגרעין ולתמונה)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 3 — מבחן (V=Rⁿ, U מישור הומוגני (a·x=0), W=span{a}: הוכחת תתי-מרחב, מימדים והוכחת V=U⊕W)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד לחיתוך של שני תתי-מרחבים הנפרשים ע"י וקטורים נתונים)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (A עם Avi=vi לכל i≤n-1 (v1..vn בסיס): הוכח/הפרך Avn=vn⟺A=I, והוכחה ש-C(A)=span{v1,...,vn-1} אם"ם A אינה הפיכה)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (תתי-מרחבים U,W של R3[x]: מציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, ל-U∩W ול-U+W)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 1א — מבחן · פתרון (חיתוך תת-המרחב של מטריצות משולשיות עליונות עם תת-המרחב של מטריצות משולשיות תחתונות ב-R^{4x4}, ומציאת בסיס לו)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W עבור תת-מרחבי פולינומים U=span{...}, W={p:p(1)=p(2)})
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 6 — מבחן (הוכחת בסיס ל-R^3, מציאת בסיס B לפי מטריצת מעבר P=[I]_A^B, וחישוב קואורדינטות וקטור נתון)
• מבחן מועד א' חורף תשע"ג, שאלה 1 (א-ג) — מבחן · פתרון (א) הוכחה שאם dim U+dim W>dim V אז U∩W≠{0}; ב) הוכחה שאם dim(U+W)=dim(U∩W)+1 אז אחד התתי-מרחבים מוכל בשני; ג) קיום ובניית שרשרת מקסימלית של n+1 תתי-מרחבים 0=U_0⊂U_1⊂...⊂U_n=V וקשר לכך ש-dimV=n)
• בוחן 2 חורף תשע"ג, שאלה 2 (א-ב) — מבחן · פתרון (הגדרת בסיס ומימד; הוכחה שהסרת איבר מקבוצה בת"ל A גורמת לכך ש-A\{a} אינה פורשת את V)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק א' - שאלה 2 (א+ב) — מבחן (ניסוח והוכחת למת ההחלפה של שטייניץ, והשלמת קבוצה בת"ל לבסיס של מרחב הפולינומים R3[x])
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 3א — מבחן (הוכחה ש-U={p(x)∈R3[x] | p(1)=p(0)} תת מרחב, ומציאת בסיס ומימד ל-U)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכחת קיום בסיס ל-V שבו Tvi=vi או Tvi=-vi לכל איבר, עבור T המקיימת T²=Id)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת יחידות מספר האיברים בכל שני בסיסים של מרחב וקטורי נוצר סופית)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך שקילות בין היות {v1,...,vn} בסיס לבין היות {v1+v2,v1-v2,v3,...,vn} בסיס)
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 2א — מבחן (מציאת בסיסים ומימדים לשלושת מרחבי המטריצה (מרחב שורות, עמודות, ואפס) מעל הממשיים, למטריצה עם פרמטר t)
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 4 — מבחן (בהינתן שקבוצת החזקה P(A) עם הפרש סימטרי כחיבור וכפל בסקלר מ-Z2 היא מרחב וקטורי: מציאת וקטור האפס והוכחתו, ומציאת המימד עם הוכחה)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 3 — מבחן (בדיקה ש-B={1+x+x²,1+2x+2x²,1+2x+3x²} בסיס ל-R2[x], מציאת מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי ל-B, ומציאת וקטור קואורדינטות של f(x)=bx²+cx+d לפי B)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחה שהקבוצה C={v1+vn,v2+vn,...,v_{n-1}+vn,vn} היא בסיס ל-V, בהינתן בסיס B={v1,...,vn})
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 5 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר על תת-קבוצות של קבוצות בת"ל/פורשות, ועל תלות לינארית של קבוצות קונקרטיות ב-ℂ² וב-P₂[x])
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 1 — מבחן (הוכחה שאם dim(U)=dim(V) לתת-מרחב U אז U=V, ושאיחוד בסיסים של U,W עם V=U⊕W הוא בסיס ל-V)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2ב — מבחן (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לקבוצת שלשות (a,b,c) שדרגת מטריצה מחזורית הנבנית מהן קטנה-שווה 2)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 7 — מבחן (הגדרת 2 מתוך 3 מושגים: קבוצה פורשת מינימלית, מטריצה הפיכה, Im(T))
• מועד א' חורף תשע, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה שלכל תת-קבוצה B של בסיס A במרחב V מתקיים V=span(B)⊕span(A\B))
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הגדרות (בסיס, מימד); יחידות הצגת וקטור לפי בסיס; הרחבת קבוצה בת"ל שאינה פורשת V לקבוצה בת"ל גדולה יותר ע"י הוספת וקטור)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 2א — מבחן · פתרון (פירוק מרחב המטריצות הריבועיות V=Mat_n(F) לסכום ישר U⊕W של תת-המרחב הסימטרי U ותת-המרחב המשולשי-עליון-ממש W, וחישוב dimU,dimW)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (הוכחה שקבוצה בת"ל A היא בסיס, בהינתן קבוצה פורשת D המקיימת D⊆Sp(A))
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 3 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ג — מבחן (הגדרת בסיס ומימד, הצגה יחידה של וקטור ביחס לבסיס עם אילוץ, והרחבת קבוצה בת"ל שאינה פורשת)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 4 (חלק ב') — מבחן (מציאת בסיס לתת המרחב {A∈M2x2(R)|trA=0} שכולל וקטור נתון)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 5 (חלק ב') — מבחן (חישוב בסיס ל-V+U עבור V פרוש על ידי שני וקטורים ו-U מוגדר על ידי משוואה)

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכחה כי אם A^tB הפיכה אז גם B^tA הפיכה (שימוש בשחלוף))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה כי A^tA אינה הפיכה כאשר A∈R^{3x4} ו-rank(A)=3)
• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (הוכחה: ל-A ול-B אותה מטריצה מדורגת קנונית אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה E כך ש-EA=B)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים ל-N(A)+C(A) ו-N(A)∩C(A), הפיכות A ומציאת B≠0 כך ש-AB=0, והאפשרויות ל-rank(B))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 3א-ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: מטריצה אנטי-סימטרית אינה הפיכה, ו-AB=A+B עם A הפיכה גורר B הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם A אינה הפיכה, ובסיס ומימד ל-C(A), N(A) ולחיתוך שלהם עבור a=-1)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה שדרגת BA היא 6 כאשר AB הפיכה (A∈R6x7, B∈R7x6), ומציאת בסיס ל-N(BA) ממטריצה נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (בניית מטריצה B עם אותם מרחבי שורה ועמודה ודטרמיננטה הפוכה בסימן, בהבחנה בין n=3 ל-n=2)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (עבור A ריבועית מדרגה k: הוכחות/הפרכות על מתי A+B הפיכה/לא הפיכה בהתאם לדרגת B ביחס ל-n-k)
• בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחות על מטריצות משולשיות עליונות: מכפלת שתי משולשיות עליונות, הופכי של משולשית עליונה, והפרכת טענה הפוכה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת עם פרמטר: הפיכות ההעתקה, חישוב העתקה הופכית וגרעין ותמונה)
• בוחן קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על שורה חמישית אפס וקשר להפיכות, עבור המכפלות ABᵗ, BᵗA, AAᵗ, AᵗA)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מציאת המטריצה ההופכית B^{-1} ובדיקת מספר הפתרונות של מערכות Ax=b ו-AB^t x=b התלויות בפרמטר a)
• בוחן קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת תכונות קבוצת המטריצות F={[[a,b],[-b,a]]}: סגירות לכפל, חילופיות הכפל בתוך F, קיום הופכי ב-F, והיותה תת-מרחב וקטורי של R^(2x2))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה תלוית פרמטר – הפיכות, שייכות למרחב העמודות, בסיס למרחב האפס וחיתוך עם מרחב העמודות)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה הפיכה A המקיימת A=adj(2A) (ממשית) ו-A=adj(-2A) (מרוכבת))
• בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 1א — מבחן · פתרון (הוכחה: אם A+A³+A⁴ הפיכה אז A³ הפיכה)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מטריצה ממשית עם שני פרמטרים a,t – הפיכות, שייכות וקטור למרחב העמודות וחיתוך C(A)∩R(A)≠0)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-C(A)=C(B) כאשר B=AP ו-P הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת A כך ש-AB=C, ובדיקת קיומה של A לפי הפיכות B ו-C (דטרמיננטות))
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 1א — מבחן · פתרון (הוכחה: אם A סימטרית והפיכה אז A⁻¹ סימטרית)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכחה ש-B הפיכה אם ורק אם C הפיכה, כאשר C מתקבלת מ-B על ידי אותן פעולות שורה שהעבירו את A ל-B (מטריצות אלמנטריות))
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון על שורות אפסים בצורה המדורגת הקנונית של A מול A^2 והקשר לדרגה ולהפיכות)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור A הפיכה, הוכחת קיום B מדרגה 1 כך ש-|A+B|=1)
• בוחן חורף תשע"ז, שאלה 1א — מבחן · פתרון (בדיקה האם מטריצה נתונה (3x3 מעל R) הפיכה)
• בוחן חורף תשע"ז, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (אם המטריצה הפיכה: מציאת המטריצה ההופכית ופתרון מערכת Ax=(1,1,1) בעזרתה (ואם לא הפיכה: מציאת פתרון לא טריוויאלי להומוגנית))
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת המשפט: עבור מטריצות ריבועיות AB=I אם ורק אם BA=I)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה על הפיכות AB ו-BA כאשר במכפלה AB יש שורת אפסים)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (הוכחת הפיכות A-2I בהינתן A²=0)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 1 — מבחן (הוכחה כי אם A,B∈F^(n×n) ו-AB=I אז A ו-B הפיכות)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 4ג — מבחן (הוכח/הפרך: אם דרגת A∈F^(2×3) היא 2 אז קיימת B∈F^(3×2) כך ש-AB=I (הוכחה))
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 2א — מבחן · פתרון (פתרון Ax=0 עבור מטריצה 3x3 נתונה, הסקת אי-הפיכות, ובניית מטריצה B≠0 כך ש-AB=0)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (בדיקת הפיכות מטריצה נתונה ומציאת ההופכית תוך שימוש (ברמז) בקשר לסעיף הקודם)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (בהינתן A³-2A²-A+2I=0 עבור A ריבועית ממשית, קביעת מספר הפתרונות ל-Ax=0)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (T(A)=BA על מטריצות R^(2×2): הוכחה ש-T הפיכה אם"ם B הפיכה)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (A עם Avi=vi לכל i≤n-1 (v1..vn בסיס): הוכח/הפרך Avn=vn⟺A=I, והוכחה ש-C(A)=span{v1,...,vn-1} אם"ם A אינה הפיכה)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 2א — מבחן · פתרון (מציאת המטריצה ההופכית A^{-1} למטריצה הפיכה נתונה 3x3 באמצעות דירוג (A|I))
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 2ג — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה C המקיימת C·A^t=B, בעזרת (A^t)^{-1})
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן (נתון AB·adj(BA)=I; הוכיחו |AB|=1 והוכיחו AB=BA)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (נתון (A+I)²=0: הוכיחו A הפיכה, והביעו את adj(A) באמצעות A,I והסקלר |A|)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 5ג — מבחן · פתרון (הוכחה: אם A²=0 אז A+I הפיכה)
• בוחן חורף תשע"ד + פתרון, שאלה שאלה 1 — מבחן (הוכחה: A הפיכה אם ורק אם לכל b∈F^n קיים פתרון יחיד למערכת Ax=b)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 9 — מבחן (נכון/לא נכון: אם A הפיכה אז גם המשוחלפת A^t הפיכה)
• מבחן מועד א' חורף תשע"ג, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (הוכחה שאם AB אינה הפיכה ו-Cspan(B)∩Null(A)={0} אז B אינה הפיכה)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 2 — מבחן (בהינתן סדרת פעולות שורה שהביאה A הפיכה לצורה מדורגת קנונית, מציאת פעולות שורה עבור A^{-1} ומציאת A ו-A^{-1})
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה שקיים v≠0 עם Av=λv אם ורק אם |A-λI|=0)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה כי לכל A,B ריבועיות: BA=I ⇔ AB=I (בחירה 1 מתוך 2, חלק א))
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: מכפלה AB של מטריצות A (6×5) ו-B (5×6) יכולה להיות הפיכה (AB=I) — הפרכה לפי דרגה)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: A הפיכה גוררת שלמערכות Bx=b ו-ABx=b אותם פתרונות לכל b≠0)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 5ג — מבחן · פתרון (השלמת איברים חסרים במטריצה סימטרית הפיכה A ובהופכית A^{-1} שלה)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2א — מבחן (הוכחה שאם A הפיכה אז AB ו-BA דומות לכל מטריצה B)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 7 — מבחן (הגדרת 2 מתוך 3 מושגים: קבוצה פורשת מינימלית, מטריצה הפיכה, Im(T))
• מועד א' חורף תשע, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הגדרת גרעין ומרחב עמודות; הוכחה שאם rank(AB)≠rank(BA) אז A,B אינן הפיכות; הוכחה ש-C(A)⊆N(A) עבור A המקיימת A²=0)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 7 — מבחן ((בר-אילן 2000 מועד א') טענות על הפיכות מטריצה A לפי תנאים על מכפלות עם מטריצה B)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 12 — מבחן ((בר-אילן 1999 מועד א') טענות כלליות נכון/לא נכון על דרגה והפיכות של מטריצות A,B)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 4 — מבחן (הוכחת קיום מטריצה B מדרגה 1 כך ש-A+B הפיכה ובעלת דטרמיננטה 1, עבור A הפיכה נתונה)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 9ב — מבחן (הוכחה ש-T הפיכה (וגם S) כאשר TST=I, בשלוש דרכים שונות)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 10 — מבחן (הוכח/הפרך: עבור מטריצות ריבועיות A,B,C אם AB=0 ו-BC=I אז A=0 (אומת ע"י תמונת עמוד המקור))

שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לחיתוך הגרעינים N(A)∩N(B), בניית מטריצה C בגרעין המשותף, וקביעת כל האפשרויות לדרגת C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס למרחב השורות R(A), בסיס לחיתוך C(A)∩N(A²), והפרכת קיום מטריצה B עם C(B)=C(A) ו-N(B)=R(A) בעזרת משפט הדרגה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים ל-N(A)+C(A) ו-N(A)∩C(A), הפיכות A ומציאת B≠0 כך ש-AB=0, והאפשרויות ל-rank(B))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-rank(A^2)=rank(A) שקול לכך ש-F^n=C(A)⊕N(A), והוכחת rank(A)+rank(B)≤n כאשר AB=0)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הוכחה כי U={v:Av=A^tv} תת-מרחב של C^3, כגרעין של A-A^t)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכחה כי A∈U אם ורק אם C(M-I)⊆N(A))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם A אינה הפיכה, ובסיס ומימד ל-C(A), N(A) ולחיתוך שלהם עבור a=-1)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב U (מרחב עצמי כפתרון (A-2I)v=0), בסיס ומימד ל-U,W ולחיתוך U∩W)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים ומימדים ל-C(A), N(A), C(A)+N(A), C(A)∩N(A), והוכחה שהעמודה הרביעית של A^2 היא עמודת אפסים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה שדרגת BA היא 6 כאשר AB הפיכה (A∈R6x7, B∈R7x6), ומציאת בסיס ל-N(BA) ממטריצה נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (בניית מטריצה B עם אותם מרחבי שורה ועמודה ודטרמיננטה הפוכה בסימן, בהבחנה בין n=3 ל-n=2)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קשר בין מרחב האפס של מטריצה ושל שחלופתה לבין קיום מטריצה סימטרית שמתאפסת בכפל)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיסים ומימדים למרחב השורות R(A), מרחב העמודות C(A), מרחב האפס N(A), ולחיתוך R(A)∩C(A) של מטריצה נתונה)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה שאם AB=0 אז rank(A)≤n/2 או rank(B)≤n/2, הפרכת ההפך, והוכחת dimN(AB)≤dimN(A)+dimN(B))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מציאת בסיסים למרחב העמודות, מרחב השורות, סכומם וחיתוכם עבור מטריצה נתונה ב-R^{3x3})
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים למרחב האפס ומרחב העמודות של מטריצה ושל חזקותיה A^2, A^3)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת תנאי על a להשתייכות וקטור למרחב העמודות, הוכחת יחידות a,b במרחב האפס של המשוחלפת, ופירוק A=BC)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחות/הפרכות: N(A-I)⊆N(A), האם N(BA)≠N(A) עבור B≠0, והאם rank(A)=rank(A^2) גורר C(A)=C(A^2))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה תלוית פרמטר – הפיכות, שייכות למרחב העמודות, בסיס למרחב האפס וחיתוך עם מרחב העמודות)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: קשרים בין דרגת חזקות מטריצה למרחב העמודות שלהן)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד ל-C(A)∩R(A), ל-C(A)∩N(A), ל-C(A)+N(A), ומציאת ערכי x שעבורם (1,x,x^2)∈C(A))
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: R(A)⊆C(A) עבור מטריצה סימטרית A)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מטריצה ממשית עם שני פרמטרים a,t – הפיכות, שייכות וקטור למרחב העמודות וחיתוך C(A)∩R(A)≠0)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-C(A)=C(B) כאשר B=AP ו-P הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת C(A)=C(B) מתוך N(A)=N(B) וכן AB=B, באמצעות משפט הדרגה)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שייכות וקטור למרחב העמודות, מציאת מטריצה עם אותו מרחב שורות, בסיס ל-C(A)∩N(A), ופרמטר במטריצה שקולה)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בסיס לפתרונות Av=v ובניית מטריצה B בדרגה 2 המקיימת (A-I)B=0)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 6א — מבחן · פתרון (הוכחה כי A≠B בהינתן C(A)⊕R(B)=R³)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מטריצה A נתונה: מציאת בסיס ומימד ל-R(A), ל-C(A)∩N(A) ול-C(A)+N(A))
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (AB=0 גורר C(B)⊆N(A); A²=0 גורר rank(A)≤n/2)
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 5 — מבחן (מציאת בסיס ומימד ל-U∩W ול-U+W כאשר U מרחב השורות של מטריצה נתונה ו-W מרחב הפתרונות של מערכת נתונה)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (הפרכה: אם A הפיכה אז N(B)=N(BA))
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (כאשר rk(A+B)=rk(A)+rk(B): הוכחת חיתוך טריוויאלי של מרחבי העמודות ושל מרחבי השורות)
• מבחן מועד א' חורף תשע"ג, שאלה 2א — מבחן · פתרון (הוכחת קיום מטריצה C כך ש-A=BC מתוך הכלת מרחבי עמודות Cspan(A)⊆Cspan(B))
• בוחן 2 חורף תשע"ג, שאלה 1 (א-ג) — מבחן · פתרון (הגדרת דרגה, מרחב אפס ומרחב עמודות; AB=0 אמ"ם מרחב העמודות של B מוכל במרחב האפס של A; והוכחה כי AB≠0 עבור A,B ב-M3x3 עם דרגה 2)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק א' - שאלה 3 (א+ב+ג) — מבחן (קשר בין AB=0 למרחב העמודות והאפס, יישום לדרגות A,B ולחסם rank(A)≤n/2 כאשר A^2=0)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 1 — מבחן (היגד נכון/שגוי על הקשר בין מרחב העמודות, מרחב השורות ומרחב האפס של מטריצה ריבועית)
• מבחן מועד א' חורף תשעב, שאלה 2א — מבחן · פתרון (הוכחת קיום מטריצה C כך ש-B=CA מתוך הכלת גרעינים Null(A)⊆Null(B))
• מועד ב' חורף תשעב, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכחת קיום מטריצה C כך ש-A=BC מתוך הכלת מרחבי עמודות Cspan(A)⊆Cspan(B))
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-ℝⁿ=R(A)⊕N(A) (סכום ישר של מרחב השורות וגרעין המטריצה), עבור A∈ℝ^{m×n})
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 5א — מבחן · פתרון (מציאת כל האפשרויות למטריצה A בהינתן שלמערכת ההומוגנית Ax=0 יש בדיוק 2 פתרונות)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 2 (א+ב+ג) — מבחן (הגדרת מרחב האפס ומרחב העמודות; הוכחת AB≠0 כש-rankA+rankB>n; הוכחת Cspan(A)⊆Null(A) כש-A^2=0)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 3א — מבחן (הוכחת rank(A)≥rank(B) כאשר Cspan(B)∩Null(A)={0})
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 2א — מבחן (מציאת בסיסים ומימדים לשלושת מרחבי המטריצה (מרחב שורות, עמודות, ואפס) מעל הממשיים, למטריצה עם פרמטר t)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 2 — מבחן (חישוב dim(C(B)∩N(A)) עבור מטריצות A,B נתונות)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לחיתוך U∩W כאשר U=Sp{שלושה וקטורים ב-ℝ⁴} ו-W מרחב הפתרונות ההומוגני של מטריצה הפיכה)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 4 — מבחן (טענות נכון/לא נכון: שימור מרחב שורות ואי-שימור מרחב עמודות בין מטריצות שקולות-שורה, ושוויון הדרגות)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של חמש טענות עבור A עם rankA=m: קיום פתרון לכל b, גרעין טריוויאלי, מרחב שורות שווה ל-F^n, אי-תלות שורות, ותלות עמודות כאשר m≠n)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הגדרת גרעין ומרחב עמודות; הוכחה שאם rank(AB)≠rank(BA) אז A,B אינן הפיכות; הוכחה ש-C(A)⊆N(A) עבור A המקיימת A²=0)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחה ש-rankA≥rankB בהינתן C(B)∩N(A)={0}, באמצעות משפט הדרגה ומשפט המימדים)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכחת הנוסחה dim C(AB)=dim C(B)−dim(N(A)∩C(B)) עבור A,B∈F^{n×n})
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 1 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ה — מבחן (נתון A כך שלכל b יש פתרון ל-Ax=b: בדיקת יחידות פתרון, מרחב עמודות, בת"ל שורות/עמודות ויחס m≤n)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 3 — מבחן (הוכח/הפרך: rank(A+B) ≤ rank(A)+rank(B))

דרגה של מטריצה

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לחיתוך הגרעינים N(A)∩N(B), בניית מטריצה C בגרעין המשותף, וקביעת כל האפשרויות לדרגת C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה כי A^tA אינה הפיכה כאשר A∈R^{3x4} ו-rank(A)=3)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים ל-N(A)+C(A) ו-N(A)∩C(A), הפיכות A ומציאת B≠0 כך ש-AB=0, והאפשרויות ל-rank(B))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-rank(A^2)=rank(A) שקול לכך ש-F^n=C(A)⊕N(A), והוכחת rank(A)+rank(B)≤n כאשר AB=0)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1א — מבחן · פתרון (קביעת דרגת המטריצה A(a) התלויה בפרמטר a∈C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בסיסים ומימדים ל-C(A), N(A), C(A)+N(A), C(A)∩N(A), והוכחה שהעמודה הרביעית של A^2 היא עמודת אפסים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכחה ש-C(adj([T2]))=N([T2]) עבור a=2, באמצעות דרגת המטריצה המייצגת)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (דוגמה למטריצות A,B≠0 עם det(A+BC)≠1 לכל C, והוכחה/הפרכה על det(A+DBC)≠0 באמצעות אי-שוויוני דרגה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה שדרגת BA היא 6 כאשר AB הפיכה (A∈R6x7, B∈R7x6), ומציאת בסיס ל-N(BA) ממטריצה נתונה)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (עבור A ריבועית מדרגה k: הוכחות/הפרכות על מתי A+B הפיכה/לא הפיכה בהתאם לדרגת B ביחס ל-n-k)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיסים ומימדים למרחב השורות R(A), מרחב העמודות C(A), מרחב האפס N(A), ולחיתוך R(A)∩C(A) של מטריצה נתונה)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה שאם AB=0 אז rank(A)≤n/2 או rank(B)≤n/2, הפרכת ההפך, והוכחת dimN(AB)≤dimN(A)+dimN(B))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחות/הפרכות על תלות לינארית של v,Av,...,A^{m-1}v ועל הדרגה, עבור מטריצה נילפוטנטית A המקיימת A^m=0)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (שחזור מטריצה ממכפלת מטריצות אלמנטריות נתונות וחישוב דרגה של מטריצה נגזרת)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת תנאי על a להשתייכות וקטור למרחב העמודות, הוכחת יחידות a,b במרחב האפס של המשוחלפת, ופירוק A=BC)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחות/הפרכות: N(A-I)⊆N(A), האם N(BA)≠N(A) עבור B≠0, והאם rank(A)=rank(A^2) גורר C(A)=C(A^2))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: קשרים בין דרגת חזקות מטריצה למרחב העמודות שלהן)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת C(A)=C(B) מתוך N(A)=N(B) וכן AB=B, באמצעות משפט הדרגה)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון על שורות אפסים בצורה המדורגת הקנונית של A מול A^2 והקשר לדרגה ולהפיכות)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שייכות וקטור למרחב העמודות, מציאת מטריצה עם אותו מרחב שורות, בסיס ל-C(A)∩N(A), ופרמטר במטריצה שקולה)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (זהות על דטרמיננטות של מטריצה לא הפיכה, חישוב דרגה ממינור 2x2, והוכחת הפיכות לכל t≠i)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור A הפיכה, הוכחת קיום B מדרגה 1 כך ש-|A+B|=1)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 4ג — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון: אם למערכת ההומוגנית Ax=0 (עבור A 2x2) יש פתרון לא טריוויאלי, אז קיים v שעבורו למערכת הלא הומוגנית Ax=v אין פתרון)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בסיס לפתרונות Av=v ובניית מטריצה B בדרגה 2 המקיימת (A-I)B=0)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 4ג — מבחן (הוכח/הפרך: אם דרגת A∈F^(2×3) היא 2 אז קיימת B∈F^(3×2) כך ש-AB=I (הוכחה))
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (A עם Avi=vi לכל i≤n-1 (v1..vn בסיס): הוכח/הפרך Avn=vn⟺A=I, והוכחה ש-C(A)=span{v1,...,vn-1} אם"ם A אינה הפיכה)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (AB=0 גורר C(B)⊆N(A); A²=0 גורר rank(A)≤n/2)
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 1 — מבחן · פתרון (תלות לינארית של עמודות AB לעומת B, ותנאי הכרחי rk(A)≥k לתלות לינארית של עמודות AB)
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (כאשר rk(A+B)=rk(A)+rk(B): הוכחת חיתוך טריוויאלי של מרחבי העמודות ושל מרחבי השורות)
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הגדרת המטריצה הצמודה הקלאסית adjA, והוכחת rk(adjA)=1 כאשר rk(A)=n-1)
• בוחן 2 חורף תשע"ג, שאלה 1 (א-ג) — מבחן · פתרון (הגדרת דרגה, מרחב אפס ומרחב עמודות; AB=0 אמ"ם מרחב העמודות של B מוכל במרחב האפס של A; והוכחה כי AB≠0 עבור A,B ב-M3x3 עם דרגה 2)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק א' - שאלה 3 (א+ב+ג) — מבחן (קשר בין AB=0 למרחב העמודות והאפס, יישום לדרגות A,B ולחסם rank(A)≤n/2 כאשר A^2=0)
• מבחן מועד א' חורף תשעב, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (פירוק מטריצה A מדרגה r לסכום B_1+...+B_r של r מטריצות מדרגה 1)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-ℝⁿ=R(A)⊕N(A) (סכום ישר של מרחב השורות וגרעין המטריצה), עבור A∈ℝ^{m×n})
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: דרגת מטריצה A=Aᵗ מסדר 2n×2n היא בהכרח זוגית)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 5א — מבחן · פתרון (מציאת כל האפשרויות למטריצה A בהינתן שלמערכת ההומוגנית Ax=0 יש בדיוק 2 פתרונות)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: מכפלה AB של מטריצות A (6×5) ו-B (5×6) יכולה להיות הפיכה (AB=I) — הפרכה לפי דרגה)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 1 (א+ב) — מבחן (מבנה קבוצת הפתרונות של Ax=0 כש-rank(A)=m-1 (פרופורציונליות), וקריטריון קיום פתרון ל-Ax=b לפי דרגת המטריצה המורחבת)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 2 (א+ב+ג) — מבחן (הגדרת מרחב האפס ומרחב העמודות; הוכחת AB≠0 כש-rankA+rankB>n; הוכחת Cspan(A)⊆Null(A) כש-A^2=0)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 3א — מבחן (הוכחת rank(A)≥rank(B) כאשר Cspan(B)∩Null(A)={0})
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 4 (א+ב) — מבחן (הוכחת אי-שוויוני המשולש לדרגה: rank(A+B)≤rank(A)+rank(B) ו-|rank(A)-rank(B)|≤rank(A+B))
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 1 — מבחן (הוכחות אי-שוויון: AB=0 גורר dim(N(A))≥rank(B), וכן D²=0 (D בגודל n×n) גורר rank(D)≤n/2)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 1 — מבחן (הוכחה שאם עמודות AB בת"ל אז גם עמודות B בת"ל (באמצעות טענות על דרגת מכפלת מטריצות))
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מסקנות הכרחיות ממערכת הומוגנית Ax=0 מעל ℤ₅ עם פתרון לא טריוויאלי (קיום/יחידות/אינסוף פתרונות ל-Ax=b, ודרגת A))
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2ב — מבחן (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לקבוצת שלשות (a,b,c) שדרגת מטריצה מחזורית הנבנית מהן קטנה-שווה 2)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 4 — מבחן (טענות נכון/לא נכון: שימור מרחב שורות ואי-שימור מרחב עמודות בין מטריצות שקולות-שורה, ושוויון הדרגות)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של חמש טענות עבור A עם rankA=m: קיום פתרון לכל b, גרעין טריוויאלי, מרחב שורות שווה ל-F^n, אי-תלות שורות, ותלות עמודות כאשר m≠n)
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הגדרות (קבוצה בת"ל, דרגת מטריצה); הוכחה שעמודות X בת"ל גוררות שעמודות AX בת"ל, ותנאי הכרחי (על דרגת A) לכך שעמודות AX יהיו בת"ל)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת האי-שוויונות rank(A+B)≤rank(A)+rank(B) וכן |rank(A)-rank(B)|≤rank(A+bB) לכל b≠0 עבור A,B∈Mat_{m×n}(F))
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 1 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ה — מבחן (נתון A כך שלכל b יש פתרון ל-Ax=b: בדיקת יחידות פתרון, מרחב עמודות, בת"ל שורות/עמודות ויחס m≤n)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 2 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ג — מבחן (הגדרת בת"ל ודרגה; אם עמודות AB בת"ל אז עמודות B בת"ל, ותנאי הכרחי Rank A≥k לבת"ל של עמודות AB)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 3 — מבחן (הוכח/הפרך: rank(A+B) ≤ rank(A)+rank(B))
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 5 — מבחן (הוכח/הפרך: אם לצורה המדורגת הקנונית של מטריצה ריבועית יש יותר שורות אפס מלא-אפס (דרגה קטנה מחצי גודל) אז A^2=0)

פרישה ותלות לינארית

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעה לפי פרמטר a האם קיימת/יחידה/אינסוף/אין העתקה לינארית עם Tu_i=v_i, כולל דרישת היות ההעתקה על על הטווח המצומצם)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ל-span{w1,w2,w3,w4} כצירופים של ארבעה וקטורים בת"ל מעל שדה כללי F^k)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעת ערכי a שעבורם {A1,A2,A3} בסיס לתת-המרחב W (מטריצות עם עקבה 0), והשלמה לבסיס R^{2x2})
• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a הווקטור w שייך ל-span{v1,v2}, ולאילו ערכים הקבוצה w+span{v1,v2} היא תת מרחב של R^3)
• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה ששני פתרונות שונים למערכת Ax=b (b≠0) הם בלתי תלויים לינארית, ובדיקת הטענה span{v1}∩span{v2}={0})
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך שלושה משפטים על איחוד spanים כתת-מרחב, תלות לינארית של איחוד קבוצות, ובנייה מחדש של בסיס)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: תנאי חיתוך spanים ו-dim span(B)=1 גוררים שאיחוד ה-spanים תת-מרחב)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2א — מבחן · פתרון (קביעת מספר ההעתקות הלינאריות T:R2[x]→R2[x] המקיימות שלושה תנאים נתונים, כולל בדיקת תלות לינארית של הפולינומים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת אי-תלות ובסיס ל-R3, ומציאת ערכי פרמטר a המקיימים תנאי תלות/אי-תלות בין ארבעה וקטורים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תלות/אי-תלות לינארית של אותה קבוצת וקטורים מעל C לעומת מעל R, וקשר בין המימדים dimR U2 = 2·dimC U1)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת תלות לינארית v1+v2,v2+v3,v3+v4, ותת-המרחב W המוגדר לפי תנאי תלות - בסיס ומימד)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מימד תת-המרחב U הנפרש ע"י שלושה וקטורים תלויי-פרמטר a כתלות ב-a, האם v∈U, ולעבור a=1 מציאת בסיס ל-U וקואורדינטות [v]_B)
• בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בדיקת תלות לינארית של שלושה וקטורים ב-C³ התלויים בפרמטר a, ובדיקת שייכות וקטור נתון ל-Span שלהם)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (ייצוג וקטור כצי"ל של וקטורים נתונים בעזרת קואורדינטות ופתרון מערכות ליניאריות)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (שייכות וקטור לפרישה עם פרמטר, מימד מרחב הפרישה וחישוב דטרמיננטה תלוית-פרמטר)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a מתקיים v4∈span{v1,v2,v3}, וכמה העתקות T:R3→R3 שונות מקיימות Tv1=Tv2=Tv3=0 או =Tv4=(1,1,1))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחות/הפרכות על תלות לינארית של v,Av,...,A^{m-1}v ועל הדרגה, עבור מטריצה נילפוטנטית A המקיימת A^m=0)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 6 — מבחן · פתרון (הוכחות/הפרכות על קבוצת הוקטורים Q שעבורם v1+v,...,vn+v תלויים לינארית (האם תת-מרחב, הכלה בפרישה, ותיאור מפורש))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 6 — מבחן · פתרון (תלות לינארית ותת-מרחביות של קבוצת הוקטורים המזיזה קבוצה בלתי-תלויה נתונה בוקטור קבוע)
• בוחן קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי פרמטר a עבורם וקטור b שייך/לא שייך ל-Span{v1,v2,v3} (ול-Span{v1,v2}), מקרה התלות הלינארית של v1,v2,v3, ומציאת מקדמי צירוף לינארי המבטא את b)
• בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 2.1 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-W={B|BA=AB} תת-מרחב של R2x2 עבור A נתונה, ומציאת מטריצות C,D כך ש-W פרוש על ידן (שאלת בחירה מס' 1 בחלק 2))
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בסיס ומימד לתתי-מרחבי פולינומים U,W ולסכומם וחיתוכם)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפטון ההחלפה של שטייניץ)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מרחב מטריצות 2x2: מציאת בסיס לתת-מרחב פרוש S, מטריצה שאינה בתת-המרחב, בסיס לפי וקטור קואורדינטות נתון, וחיתוך עם תת-מרחב המטריצות האנטי-סימטריות)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 4א — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון: אם u,v,w בת"ל אז הקבוצה {v+u, v+w, u+w} בת"ל)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון: איחוד של שתי קבוצות בת"ל זרות הוא בת"ל)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם קבוצת שלושה וקטורים תלויית-פרמטר היא בת"ל, באמצעות חישוב דטרמיננטה ופתרון משוואה ריבועית)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (בסיס ומימד לתתי-מרחבים U (פרוש) ו-W (מערכת משוואות) של R⁴, לחיתוכם ולסכומם)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הצגת וקטור נתון כצירוף לינארי של שלושה וקטורים, בעזרת חישובי הסעיף הקודם)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1ג — מבחן · פתרון (הוכחה כי span(W∪S)=W+span(S) עבור תת-מרחב W ותת-קבוצה S (סעיף עצמאי, אין קשר לקודמים))
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד לחיתוך של שני תתי-מרחבים הנפרשים ע"י וקטורים נתונים)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (תתי-מרחבים U,W של R3[x]: מציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, ל-U∩W ול-U+W)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (הוכחה כי span{v1,v2}⊕span{v3}=R^3 עבור שלושה וקטורים נתונים)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: span(A∪B)=span(A)∪span(B) עבור תתי-קבוצות A,B)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 3ד — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: אם v1..vn בת"ל, אזי גם w1=v1, wi=v1+vi (עבור i≥2) בת"ל)
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 1 — מבחן · פתרון (תלות לינארית של עמודות AB לעומת B, ותנאי הכרחי rk(A)≥k לתלות לינארית של עמודות AB)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 3א — מבחן (הוכחה/הפרכה: אם v1,v2,v3 בת"ל מעל שדה שמאפיינו אינו 2, אז גם v1+v2, v2+v3, v1+v3 בת"ל)
• בוחן 2 חורף תשע"ג, שאלה 2 (א-ב) — מבחן · פתרון (הגדרת בסיס ומימד; הוכחה שהסרת איבר מקבוצה בת"ל A גורמת לכך ש-A\{a} אינה פורשת את V)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק א' - שאלה 2 (א+ב) — מבחן (ניסוח והוכחת למת ההחלפה של שטייניץ, והשלמת קבוצה בת"ל לבסיס של מרחב הפולינומים R3[x])
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 4 — מבחן (תכונה נכונה בהכרח של קבוצה סופית פורשת במרחב וקטורי)
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 3ב — מבחן (הוכחה/הפרכה עבור תתי קבוצות A,B של מ"ו: sp(A∩B)=spA∩spB וכן sp(spA)=spA)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך שקילות בין היות {v1,...,vn} בסיס לבין היות {v1+v2,v1-v2,v3,...,vn} בסיס)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 1 — מבחן (הוכחה שאם עמודות AB בת"ל אז גם עמודות B בת"ל (באמצעות טענות על דרגת מכפלת מטריצות))
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחה שהקבוצה C={v1+vn,v2+vn,...,v_{n-1}+vn,vn} היא בסיס ל-V, בהינתן בסיס B={v1,...,vn})
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 5 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר על תת-קבוצות של קבוצות בת"ל/פורשות, ועל תלות לינארית של קבוצות קונקרטיות ב-ℂ² וב-P₂[x])
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 7 — מבחן · פתרון (הגדרת שני מושגים מתוך: קבוצה בלתי תלויה לינארית, Hom(V,W), גרעין של העתקה (KerT))
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הגדרות (קבוצה בת"ל, דרגת מטריצה); הוכחה שעמודות X בת"ל גוררות שעמודות AX בת"ל, ותנאי הכרחי (על דרגת A) לכך שעמודות AX יהיו בת"ל)
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הגדרות (בסיס, מימד); יחידות הצגת וקטור לפי בסיס; הרחבת קבוצה בת"ל שאינה פורשת V לקבוצה בת"ל גדולה יותר ע"י הוספת וקטור)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (הוכחה שקבוצה בת"ל A היא בסיס, בהינתן קבוצה פורשת D המקיימת D⊆Sp(A))
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 1 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ה — מבחן (נתון A כך שלכל b יש פתרון ל-Ax=b: בדיקת יחידות פתרון, מרחב עמודות, בת"ל שורות/עמודות ויחס m≤n)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 2 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ג — מבחן (הגדרת בת"ל ודרגה; אם עמודות AB בת"ל אז עמודות B בת"ל, ותנאי הכרחי Rank A≥k לבת"ל של עמודות AB)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 3 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ג — מבחן (הגדרת בסיס ומימד, הצגה יחידה של וקטור ביחס לבסיס עם אילוץ, והרחבת קבוצה בת"ל שאינה פורשת)

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעה לפי פרמטר a האם קיימת/יחידה/אינסוף/אין העתקה לינארית עם Tu_i=v_i, כולל דרישת היות ההעתקה על על הטווח המצומצם)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי {T_i,j} בסיס ל-Hom(V,W), וכי {SR_i} וגם {R_iS} בסיסים ל-Hom(V,V) אמ"מ S הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי T על גוררת קיום S עם T∘S=I, וגרסה מטריציונית: T_A על גוררת קיום B עם AB=I)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (העתקה T תלוית פרמטר a: לאילו a הפיכה, בדיקת שוויון תמונות/חד-חד-ערכיות, ובסיס עם עמודות ושורות אפסים במטריצה המייצגת)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2ב-ג — מבחן · פתרון (קיום העתקה T עם W=Img(T) ו-U∩W=ker(T), והוכחה/הפרכה שהעתקה עם Img(T)=U+W הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחות על העתקות לינאריות S,T המוגדרות לפי פעולה על וקטורי בסיס, תוך שימוש ב-TS=ST)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (גרעין ותמונה של צמצום S ושל ההרכבה ST, ותנאי שוויון במשפט הדרגה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3א-ב — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם Ta חד-חד-ערכית, ובסיס ומימד ל-ker T0 ו-Im T0)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a קיימת העתקה T:R3→R3 המקיימת תנאים נתונים, מתי היא אינה חח"ע, ומתי ker T שווה למרחב נתון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של שלוש טענות המקשרות בין T²=0 לבין ריבוע המטריצה המייצגת [T]ᴮᶜ=0 עבור בסיסים שונים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קיום בסיס של V שבו כל התמונות תחת T שונות מאפס, והוכחה/הפרכה לגבי ייצוג וקטור בקואורדינטות כווקטור אחדות)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תכונות ההעתקה S המקיימת TST=T (חיתוך גרעין ותמונה, הפרכת ker S={0}), וקיום העתקה כזו)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: אם ImT∩ImS={0} אז kerT∩kerS={0}; והוכחה ש-ImT⊆ImS אם"ם קיימת R:V→V עם T=SR)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה על מטריצות מייצגות של העתקות מתחלפות ביחס לבחירת בסיסים שונים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת להעתקת A-A^t, גרעין ותמונה וחישוב הרכבת ההעתקה עם עצמה)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (עבור T,S:V→V עם T∘S=T: הוכחה/הפרכה ש-kerT=kerS, הוכחת dimImT≤dimImS, והוכחת dimIm(S-I)+dimImT≤n)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת קיום בסיסים B,C להעתקה הפיכה כך שדטרמיננטת המטריצה המייצגת שווה 1, והפרכת קיום בסיס יחיד B עם אותה תכונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת העתקה ביחס לזוגות בסיסים שונים, הפיכות ההעתקה וחישוב [T²])
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קיום בסיס שכל איבריו אינם מתאפסים תחת T, וקיום/אי-קיום בסיס השייך ל-Im(T)+ker(T))
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחות/הפרכות על הפיכות אופרטורים לינאריים T,S לפי תנאים כגון S=T^2+T והפיכות T או S, וגם (T-S)^2=0)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (קביעה והוכחה/הפרכה של קיום העתקות לינאריות המקיימות תנאים על ker=Im, T³=-T, ו-Tv=v או Tv=0)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ל-Im(T) ול-ker(T), נוסחה מפורשת ל-T והופכי T⁻¹ מתוך [T]_C^B=I)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחות נכון/לא נכון על הפיכות T ו-S וקשרי הרכבה, גרעין ותמונה ביניהם)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (קיום ויחידות העתקה לינארית לפי תמונות וקטורי בסיס, מימדי גרעין ותמונה והפיכות כתלות בפרמטר a)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחות נכון/לא נכון על הפיכות T,S ועל קשרי גרעין/תמונה בין ההעתקות)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה שלהעתקה אידמפוטנטית T∘T=T עם Tv≠v יש איבר לא-אפס בגרעין)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון על אופרטור T:V→V - הפיכות, קיום S כך ש-T+S הפיכה, יחס גרעין-תמונה כש-T^n=0, והשלכת T²≠0 על כל החזקות)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 4ד — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון: העתקת ההצמדה המרוכבת T(v)=v̄ על V=C (מעל שדה C) היא העתקה לינארית)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 5א — מבחן · פתרון (בדיקת קיום ובניית העתקה לינארית T:R^4→R^4 המקיימת T²=0 ושני וקטורים נתונים נמצאים ב-Im(T))
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפט הדרגה: dim ker(T) + dim Im(T) = dim V)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 4ב — מבחן (הוכח/הפרך: dim V=dim W ו-T≠0 גוררים ש-T איזומורפיזם (הפרכה))
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 4ד — מבחן (הוכח/הפרך: ST=0 גורר S=0 או T=0 (הפרכה))
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (T(A)=BA על מטריצות R^(2×2): הוכחה ש-T הפיכה אם"ם B הפיכה)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי a לקיום העתקה T לפי תמונות על בסיס v1,v2,v3, בניית הנוסחה המפורשת עבור a=1 ומציאת ההעתקה ההופכית)
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 2 — מבחן (נתון T∘S=Id_V; הוכיחו ש-ker S={0} ו-ker T={0})
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 2 — מבחן · פתרון (נתון T∘S=0_V; הוכח/הפרך: אם T≠0 אז S אינה הפיכה, וכי dim(ker S)+dim(ker T)≥dim V)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 3 — מבחן (הוכח/הפרך: T,S מתחלפות גורר T^nS=ST^n; והוכח/הפרך T^2=I גורר T=±I)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק א' - שאלה 1 (א+ב) — מבחן (ניסוח והוכחת משפט הדרגה להעתקה לינארית, ובדיקת חד-חד-ערכיות אפשרית עבור העתקה על מממד גבוה למממד נמוך)
• מבחן מועד א' חורף תשעב, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (קיום איזומורפיזם בין שני מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל אותו שדה באותו ממד)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 6 — מבחן · פתרון (הוכחה שעבור T המתחלפת עם כל העתקה לינארית S קיים בסיס v1,...,vn שבו {Tvi,vi} תלוי לינארית לכל i)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 6 — מבחן · פתרון (בדיקת בסיסים B,C בעזרת דטרמיננטה, חישוב [T]_C^B, שחזור נוסחת S ממטריצה מייצגת, ומציאת H כך ש-HT=S)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-V=U⊕W עבור U={T(u)=-u},W={T(w)=w} כאשר T²=I (מעל שדה שמאפיינו≠2), וכן הפרכת הטענה שכל וקטור מקיים T(v)=v או T(v)=-v)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 7 — מבחן · פתרון (הגדרת שני מושגים מתוך: קבוצה בלתי תלויה לינארית, Hom(V,W), גרעין של העתקה (KerT))
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 8 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר על קיום, גרעין וחח"ע/על של העתקה לינארית ב-ℝ³ המוגדרת ע"י תמונותיהם של שלושה וקטורים תלויים לינארית)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 9ב — מבחן (הוכחה ש-T הפיכה (וגם S) כאשר TST=I, בשלוש דרכים שונות)

מטריצה מייצגת העתקה

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: אם [T]^B_B מטריצה סקלרית או אלכסונית, האם [T]^C_C בהכרח מאותו סוג בכל בסיס אחר C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: קיום שורת אפסים במטריצה המייצגת [T]^C_B לעומת [T]^C_C או [T]^B_B)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי T על גוררת קיום S עם T∘S=I, וגרסה מטריציונית: T_A על גוררת קיום B עם AB=I)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (העתקה T תלוית פרמטר a: לאילו a הפיכה, בדיקת שוויון תמונות/חד-חד-ערכיות, ובסיס עם עמודות ושורות אפסים במטריצה המייצגת)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: עמודת אפסים או איבר אפס בכל מטריצה מייצגת גוררים שההעתקה היא העתקת האפס)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי T²+I=0 שקול לקיום בסיס עם מטריצה מייצגת ספציפית (dim V=2), והוכחה שלא ייתכן T²+I=0 כאשר dim V=3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס B ל-R2[x], מציאת גרעין ותמונה של T לפי מטריצה מייצגת, ומציאת בסיס C שעבורו מתקבלת מטריצה מייצגת נתונה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של שלוש טענות המקשרות בין T²=0 לבין ריבוע המטריצה המייצגת [T]ᴮᶜ=0 עבור בסיסים שונים)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (בהינתן [T]ᴮᶜ, מציאת בסיס ומימד ל-N ו-C שלה, הבעת בסיסי גרעין ותמונה של T באמצעות איברי B,C, ומציאת [T]ᴰᶜ לבסיס D נתון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת עם פרמטר: הפיכות ההעתקה, חישוב העתקה הופכית וגרעין ותמונה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה על מטריצות מייצגות של העתקות מתחלפות ביחס לבחירת בסיסים שונים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת להעתקת A-A^t, גרעין ותמונה וחישוב הרכבת ההעתקה עם עצמה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (קיום בסיסים שבהם מטריצה מייצגת שווה להופכית, וקשר בין שוויון מטריצות מייצגות לבין דרגה וגרעין)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור אופרטור T עם [T]ᴮᴮ נתונה: הוכחה שאין בסיס C עם [T]ᶜᶜ=I, מציאת בסיס C עם [T]ᶜᴮ=I, ובסיסים ל-ker(T²-T) ו-Im(T²-T))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (חישוב עקבה ודטרמיננטה של מטריצה מייצגת T(A)=M·A לפי בסיסים שונים של R^{2x2}, ומציאת מטריצה A כך שדטרמיננטה נתונה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס B למרחב הפולינומים כך שבמטריצה המייצגת עבור העתקה המוגדרת ע"י משפט ההגדרה יש שורת אפסים ועמודת אפסים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 4 — מבחן · פתרון (חישוב העתקה והופכית שלה דרך מטריצה מייצגת, ובסיס עם עמודת/שורת אפסים לגרעין ותמונה של הרכבות)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לגרעין ולתמונה, בדיקת הפיכות, נוסחה מפורשת ומטריצה מייצגת אלכסונית עבור העתקה מהפולינומים ל-R^3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת העתקה ביחס לזוגות בסיסים שונים, הפיכות ההעתקה וחישוב [T²])
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד לתמונה ולגרעין של העתקה נתונה לפי מטריצה מייצגת [T]^B_C, ובדיקת קיום בסיסים D,F חלופיים)
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ל-Im(T) ול-ker(T), נוסחה מפורשת ל-T והופכי T⁻¹ מתוך [T]_C^B=I)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי, מטריצת מעבר בין בסיסים ואיברי בסיס B)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הפיכות T לפי דטרמיננטת המטריצה המייצגת, מציאת הגרעין וההעתקה ההופכית)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (אופרטור T(x,y,z)=(0,x,y): מציאת פרמטר במטריצה מייצגת [T]_C^B, הצגת קואורדינטות, הוכחת השתייכות לתמונה, ומטריצה מייצגת בבסיסים סדורים אחרים)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס למרחב הפולינומים ממעלה≤2, מציאת העתקה לינארית מפורשת מהמטריצה המייצגת שלה, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס ומימד לגרעין ולתמונה)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (העתקת הסימטריזציה S(A)=½(A+Aᵀ) על מרחב המטריצות 3x3: לינאריות, גרעין ותמונה (אנטי-סימטריות/סימטריות), סכום ישר V=KerS⊕ImS, ומטריצה מייצגת בבסיס מאוחד)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (אופרטור הזזה על בסיס נתון (Tv1=0, Tv_i=v_{i-1}): מציאת המטריצה המייצגת [T]_B^B ובסיס ומימד לגרעין ולתמונה)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה שדטרמיננטת המטריצה המייצגת אופרטור T אינה תלויה בבחירת הבסיס (det[T]_B^B=det[T]_C^C))
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה שמטריצה מייצגת הקבועה לכל זוג בסיסים חייבת להיות מטריצת האפס)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 2 — מבחן (בסיס B={1,1+x,1+x+x²} ל-R2[x]: הוכחת בסיס, מציאת העתקה T עם [T]ᴮᴮ=A, ובדיקת חח"ע/על עם בסיס לגרעין ולתמונה)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 4א — מבחן · פתרון (בסיס B={1+x²,-1+x,x-x²} ל-R2[x], נתונה A: מציאת T במפורש עבורה [T]ᴮᴮ=A)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 5א — מבחן · פתרון (T(x,y)=(2x-3y, αx+βy) עם Ker T=Im T: מציאת ערכי α,β)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (חישוב המטריצה המייצגת של T^n לפי הבסיס הסטנדרטי של R^4, לכל n (באינדוקציה))
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 6 — מבחן (נתון T(v1)+T(v2)=T(v3), T(v1)+T(v3)=T(v2): הוכיחו v1∈ker T ו-dim Im T≤2, ומצאו את [T]_B בנתונים נוספים)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 5 — מבחן (מטריצה מייצגת להעתקה תלוית-פרמטר t על פולינומים R2[x], חד-חד-ערכיות/עליוּת, גרעין ותמונה)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מציאת [Tⁿ] לכל n טבעי עבור העתקה לינארית נתונה על ℝ⁴)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 6ג — מבחן · פתרון (מציאת המטריצה המייצגת [T³]_E ביחס לבסיס E נתון)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 6 — מבחן · פתרון (בדיקת בסיסים B,C בעזרת דטרמיננטה, חישוב [T]_C^B, שחזור נוסחת S ממטריצה מייצגת, ומציאת H כך ש-HT=S)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (מציאת [T]_C בהינתן [T]_B=diag(1,2,...,n) ומטריצות המעבר בין B ל-C)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 3 — מבחן (העתקת הזזה T(x,y,z,w)=(y,z,w,0) על F^4: הוכחת לינאריות, מטריצה מייצגת ל-T^n, גרעין ותמונה, והחזקה n המינימלית שבה Ker(T^n)=Ker(T^{n+1}))
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 6 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על ההעתקה T(A)=A-A^t במרחב המטריצות 2x2: מטריצה מייצגת, מימד גרעין, חח"ע ועל)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 1 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח, מצרי וצבאן) העתקה לינארית מעל שדה סופי: הוכחת לינאריות, בסיס ומספר איברי הגרעין והתמונה, איחוד הבסיסים כבסיס למרחב, וחישוב [T]_S)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 9ג — מבחן (בניית דוגמה להעתקות הפיכות T,S עם (T+S)^2=0 ע"י מטריצות מייצגות)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 11 — מבחן (העתקות T,S:V→V (V=R^3) עם מטריצות מייצגות נתונות ביחס לבסיסים B,C,D: בסיס ומימד ל-Ker T ו-Im S, בחינת אפשרות מציאת בסיס ל-Ker S / Im T ללא נתונים נוספים, וחישוב S(T(x,y,z)) (מספור המקורי לא נקלט בטקסט; אומת ע"י תמונת עמוד המקור))

תתי מרחבים

• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכחה כי W={(a,b,c): קיים B עם det(AA^t)=det(-B^tB)} תת-מרחב, ומציאת בסיס לו)
• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a הווקטור w שייך ל-span{v1,v2}, ולאילו ערכים הקבוצה w+span{v1,v2} היא תת מרחב של R^3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1ב-ג — מבחן · פתרון (הוכחה ש-U={v:Av=5v} תת-מרחב של R^3, וחישוב dim U עבור a=2 (מרחב עצמי))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 4 — מבחן · פתרון (המרחב המאונך W⊥: הוכחה שהוא תת-מרחב, נוסחת (U+W)⊥=U⊥∩W⊥, והוכחה/הפרכה ש-R^4=W⊕W⊥ עבור W נתון)
• בוחן קיץ תשפ"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (בדיקה האם הקבוצות U={A|∃α: A^t=αA} ו-Wα={A|A^t=αA} הן תת מרחב של מרחב המטריצות הריבועיות)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הוכחה כי U={v:Av=A^tv} תת-מרחב של C^3, כגרעין של A-A^t)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הכלה בין תת-מרחב חד-מימדי לתת-מרחב אחר, והוכחה/הפרכה של הכלות בין גרעין לתמונה של T לפי מימד V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת תלות לינארית v1+v2,v2+v3,v3+v4, ותת-המרחב W המוגדר לפי תנאי תלות - בסיס ומימד)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה כי לכל w בתת-מרחב W בעל בסיס {v1,v2} מתקיים W={tv1+sv2+w}, וההפך: אם {tv1+sv2+v} תת-מרחב אז v בהכרח ב-W)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-U תת-מרחב של R2x2 ומציאת בסיס ומימד ל-U,W,U+W ו-U∩W)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב Uc של פולינומים המתאפסים ב-±c, ומציאת בסיס ומימד ל-U1 ולמקרה בו dim Uc=3)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לחיתוך ולסכום של תתי-מרחבים ב-R^3)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 3 — מבחן · פתרון (תת-מרחב של פולינומים כפולים ב-(x-a), בסיס ומימד ומשפט המימדים לסכום שני תתי-מרחבים כאלה)
• בוחן קיץ תשפ"א, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (בדיקה האם הקבוצות W1, W2, W3 (המוגדרות לפי מספר פתרונות המערכת Ax=b עם b1,b2,b3 הקודמים) הן תת-מרחב)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 6 — מבחן · פתרון (הוכחות/הפרכות על קבוצת הוקטורים Q שעבורם v1+v,...,vn+v תלויים לינארית (האם תת-מרחב, הכלה בפרישה, ותיאור מפורש))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תת-מרחב מטריצות עם סכום עמודות אפס: מימד, סגירות לכפל מטריצות וקשר לגרעין משותף)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 6 — מבחן · פתרון (תלות לינארית ותת-מרחביות של קבוצת הוקטורים המזיזה קבוצה בלתי-תלויה נתונה בוקטור קבוע)
• בוחן קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת תכונות קבוצת המטריצות F={[[a,b],[-b,a]]}: סגירות לכפל, חילופיות הכפל בתוך F, קיום הופכי ב-F, והיותה תת-מרחב וקטורי של R^(2x2))
• בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 2.1 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-W={B|BA=AB} תת-מרחב של R2x2 עבור A נתונה, ומציאת מטריצות C,D כך ש-W פרוש על ידן (שאלת בחירה מס' 1 בחלק 2))
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W ולחיתוך שלהם ב-R^4)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס ומימד ל-U, ל-W, לחיתוך ולסכום שלהם ב-R^4)
• בוחן חורף תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה שקבוצות נתונות הן תת-מרחב: (א) מטריצות המתחלפות עם A ב-Fnxn, (ב) פולינומים ב-R3[x] עם P(0)·P(1)=1, (ג) פולינומים ב-R3[x] עם P(0)+P(1)=0)
• מועד א' חורף תשע"ו ופתרונו, שאלה 3 — מבחן (V=Rⁿ, U מישור הומוגני (a·x=0), W=span{a}: הוכחת תתי-מרחב, מימדים והוכחת V=U⊕W)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור A∈Mnxn: U={v|Av=v}, W={v|Av=-v} הם תתי-מרחבים; U∩W=ker(A²-I); הוכח/הפרך קשרי פתרונות בין Av=b ל-A²v=b)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (U=N(A-I), W=N(A+I): הוכחת U+W⊆N((A-I)(A+I)), ובהינתן U+W=Rⁿ הוכחת A²=I ו-U⊕W=Rⁿ)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 1א — מבחן · פתרון (חיתוך תת-המרחב של מטריצות משולשיות עליונות עם תת-המרחב של מטריצות משולשיות תחתונות ב-R^{4x4}, ומציאת בסיס לו)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (האם W={z∈C^3 | z1+z̄2=z3} הוא תת-מרחב, כאשר V=C^3 מעל השדה C לעומת מעל השדה R)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 3ב — מבחן (הוכחה/הפרכה: איחוד U∪W של שני תתי מרחבים של V הוא תת מרחב של V)
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 3א — מבחן (הוכחה ש-U={p(x)∈R3[x] | p(1)=p(0)} תת מרחב, ומציאת בסיס ומימד ל-U)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-V=U⊕W עבור U={T(u)=-u},W={T(w)=w} כאשר T²=I (מעל שדה שמאפיינו≠2), וכן הפרכת הטענה שכל וקטור מקיים T(v)=v או T(v)=-v)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2ב — מבחן (הוכחת תת-מרחב ומציאת בסיס לקבוצת שלשות (a,b,c) שדרגת מטריצה מחזורית הנבנית מהן קטנה-שווה 2)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 9 — מבחן (בדיקה האם קבוצת מטריצות עם רכיבים מרוכבים היא תת-מרחב מעל C ומעל R)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 4 (חלק ב') — מבחן (מציאת בסיס לתת המרחב {A∈M2x2(R)|trA=0} שכולל וקטור נתון)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 2 — מבחן ((מקבץ טכניון/תל-אביב) הוכח/הפרך קיום העתקה לינארית לכל תת-מרחב פרופר לפי משפט ההגדרה)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 3 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח) מציאת גרעין ותמונה של העתקה נתונה ע"י מטריצה, הוכחת תת-מרחב U ומציאת מימדו בעזרת משפט הדרגה)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 8 — מבחן (הוכחה שקבוצת האופרטורים S המתחלפים עם אופרטור T נתון היא תת-מרחב)

שחלוף

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכחה כי אם A^tB הפיכה אז גם B^tA הפיכה (שימוש בשחלוף))
• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הוכחה או הפרכה: אם AA^t=BB^t אז A=B (הפרכה בדוגמה נגדית 2x2))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 3א-ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: מטריצה אנטי-סימטרית אינה הפיכה, ו-AB=A+B עם A הפיכה גורר B הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קשר בין מרחב האפס של מטריצה ושל שחלופתה לבין קיום מטריצה סימטרית שמתאפסת בכפל)
• בוחן קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על שורה חמישית אפס וקשר להפיכות, עבור המכפלות ABᵗ, BᵗA, AAᵗ, AᵗA)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-A סימטרית ו-B אנטי-סימטרית מתוך A-A^t=B+B^t, וכי המטריצה הנלווית adj(A) סימטרית גם היא)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה שקיימת A כך ש-BA=B^t עבור מטריצה נתונה B, או מציאת דוגמת נגד למטריצה B שעבורה לא קיימת A כזו)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בניית מטריצות מפורשות המקיימות A^2+I=0 מעל R (2x2) ומעל C (3x3), וכן A·A^t=0 עם A≠0 ב-C^{2x2})
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: R(A)⊆C(A) עבור מטריצה סימטרית A)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 1א — מבחן · פתרון (הוכחה: אם A סימטרית והפיכה אז A⁻¹ סימטרית)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (הוכחה בעזרת שחלוף: A סימטרית, B אנטי-סימטרית, AB אנטי-סימטרית ⇒ AB=BA)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 2א — מבחן · פתרון (הוכחה: עבור A לא סימטרית, אם αA+βA^t סימטרית אזי α=β (אין קשר לסעיף ב'))
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור מטריצה אנטי-סימטרית A: קביעת a+b+c כאשר A·(1,1,1)^t=(a,b,c)^t, ולאחר מכן חישוב סכום עמודה שלישית בהינתן ערכים מספריים)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 2ג — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה C המקיימת C·A^t=B, בעזרת (A^t)^{-1})
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכחה כי v^tAv=0 לכל וקטור v, עבור מטריצה אנטי-סימטרית A)
• בוחן חורף תשע"ד + פתרון, שאלה שאלה 2 (א+ב) — מבחן (הוכחת (AB)'=B'A' והוכחה שהמטריצה AA' סימטרית לכל A)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 9 — מבחן (נכון/לא נכון: אם A הפיכה אז גם המשוחלפת A^t הפיכה)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 10 — מבחן (נכון/לא נכון: מטריצה סימטרית וגם אנטי-סימטרית מעל כל שדה גוררת A=0)
• בוחן 1 חורף תשע"ג, שאלה 2 (כולל בונוס) — מבחן · פתרון (הוכחת (AB)^t=B^tA^t, סימטריות וסדר המטריצות A^tA ו-AA^t, ובבונוס קשר בין סימטריות AB להחלפה של A,B סימטריות)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: דרגת מטריצה A=Aᵗ מסדר 2n×2n היא בהכרח זוגית)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: AAᵗ=0 גורר A=0, וגם BAAᵗ=0 גורר BA=0)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (מציאת כל האפשרויות למטריצה סימטרית עם דטרמיננטה 0 בהינתן חלק מערכיה)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 5ג — מבחן · פתרון (השלמת איברים חסרים במטריצה סימטרית הפיכה A ובהופכית A^{-1} שלה)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 6 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על ההעתקה T(A)=A-A^t במרחב המטריצות 2x2: מטריצה מייצגת, מימד גרעין, חח"ע ועל)
• בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 4 — מבחן (הוכחה/הפרכה: האם AAᵀ=AᵀA גורר שהמטריצה A סימטרית (הפרכה באמצעות מטריצה אנטי-סימטרית))
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 6 — מבחן (חישוב |3A·A^t·A^{-1}·adj(A)| עבור A∈R^{3x3} עם |A|=2)

משפט הדרגה

• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס למרחב השורות R(A), בסיס לחיתוך C(A)∩N(A²), והפרכת קיום מטריצה B עם C(B)=C(A) ו-N(B)=R(A) בעזרת משפט הדרגה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2ב-ג — מבחן · פתרון (קיום העתקה T עם W=Img(T) ו-U∩W=ker(T), והוכחה/הפרכה שהעתקה עם Img(T)=U+W הפיכה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2ג — מבחן · פתרון (מציאת בסיס ומימד לגרעין ולתמונה של ההעתקה T שנמצאה בסעיף הקודם)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (גרעין ותמונה של צמצום S ושל ההרכבה ST, ותנאי שוויון במשפט הדרגה)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת בסיס B ל-R2[x], ומציאת גרעין ותמונה של העתקה תלוית-פרמטר Ta לכל ערך של a)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הכלה בין תת-מרחב חד-מימדי לתת-מרחב אחר, והוכחה/הפרכה של הכלות בין גרעין לתמונה של T לפי מימד V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחת קיום T עם Im T=Im T^2=U, והפרכת קיום T עם Im T=U, Im T^2=W עבור W⊊U)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קשר בין מרחב האפס של מטריצה ושל שחלופתה לבין קיום מטריצה סימטרית שמתאפסת בכפל)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (קיום בסיסים שבהם מטריצה מייצגת שווה להופכית, וקשר בין שוויון מטריצות מייצגות לבין דרגה וגרעין)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (עבור T,S:V→V עם T∘S=T: הוכחה/הפרכה ש-kerT=kerS, הוכחת dimImT≤dimImS, והוכחת dimIm(S-I)+dimImT≤n)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפט הדרגה: dim ker(T) + dim Im(T) = dim V)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפט הדרגה: dim Im T + dim ker T = dim V)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (T:V→V עם Im T∩ker T={0}: הוכחה שלכל v קיים w בתמונה כך ש-Tv=Tw)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 5 — מבחן (מטריצה מייצגת להעתקה תלוית-פרמטר t על פולינומים R2[x], חד-חד-ערכיות/עליוּת, גרעין ותמונה)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק א' - שאלה 1 (א+ב) — מבחן (ניסוח והוכחת משפט הדרגה להעתקה לינארית, ובדיקת חד-חד-ערכיות אפשרית עבור העתקה על מממד גבוה למממד נמוך)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 7 — מבחן (אפשרויות למימד הגרעין של העתקה לינארית לא-אפס מממד 4 לממד 2)
• מבחן מועד א' חורף תשעב, שאלה 1 (א-ב) — מבחן · פתרון (האופרטור T_A(X)=A·X על מטריצות: א) חישוב Ker(T_A) וקשרו ל-Null(A); ב) חישוב dim Ker(T_A) ו-dim Im(T_A))
• מועד ב' חורף תשעב, שאלה 2 (א-ב) — מבחן · פתרון (האופרטור T_A(X)=A·X על מטריצות: א) חישוב Im(T_A) וקשרו ל-Cspan(A); ב) חישוב dim Im(T_A) ו-dim Ker(T_A))
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: T אינה על, בהינתן dimV=5 ו-T²=-T)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 4 — מבחן · פתרון (העתקה T עם T²=Id: הוכחת הפיכות, ker(I±T)=Im(I∓T), פירוק V=ker(I+T)⊕ker(I-T) ומטריצה מייצגת לפי בסיס מאוחד)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 6 — מבחן · פתרון (תכונות ההעתקות T (הערכת פולינום באפס) ו-S (הכפלה בפולינום קבוע) - לינאריות, מימד גרעין, היות T על, ועקבת ההרכבה S∘T)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 3 — מבחן (העתקת הזזה T(x,y,z,w)=(y,z,w,0) על F^4: הוכחת לינאריות, מטריצה מייצגת ל-T^n, גרעין ותמונה, והחזקה n המינימלית שבה Ker(T^n)=Ker(T^{n+1}))
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 8 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על העתקות לינאריות בין מרחבים מעל שדות סופיים, המוגדרות ע"י תמונות וקטורים נתונים)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 3 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח) מציאת גרעין ותמונה של העתקה נתונה ע"י מטריצה, הוכחת תת-מרחב U ומציאת מימדו בעזרת משפט הדרגה)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 4 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח) הוכח/הפרך טענות על הגרעין והתמונה של אופרטור T:V→V - איחוד, סכום ישר, ומשפט המימדים)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 7 — מבחן (אופרטור T עם T^2=I: הוכחה ש-Ker(I-T)=Im(I+T) גורר Ker(I+T)=Im(I-T))

דירוג מטריצה עם פרמטר

• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1א — מבחן · פתרון (קביעה לכל ערך פרמטר a האם למערכת A(a)x=(1,0,1) פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1א — מבחן · פתרון (קביעת דרגת המטריצה A(a) התלויה בפרמטר a∈C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם A אינה הפיכה, ובסיס ומימד ל-C(A), N(A) ולחיתוך שלהם עבור a=-1)
• בוחן לינארית תיכוניסטים 2024, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה עם פרמטר a המייצגת מערכת לא הומוגנית: סיווג מספר הפתרונות (יחיד/אינסוף/אין) ומציאת קבוצת הפתרונות מעל R, וחזרה על הסיווג מעל C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (קביעת מספר הפתרונות של Ax=0 ושל Ax=b לכל ערך פרמטר a, ובדיקה האם קיים a שעבורו לכל w יש פתרון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מציאת המטריצה ההופכית B^{-1} ובדיקת מספר הפתרונות של מערכות Ax=b ו-AB^t x=b התלויות בפרמטר a)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעת קיום/יחידות/אינסוף פתרונות למערכות עם מטריצת מקדמים תלוית-פרמטר בעזרת דטרמיננטה)
• בוחן קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי פרמטר a עבורם וקטור b שייך/לא שייך ל-Span{v1,v2,v3} (ול-Span{v1,v2}), מקרה התלות הלינארית של v1,v2,v3, ומציאת מקדמי צירוף לינארי המבטא את b)
• בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 2.2 — מבחן · פתרון (קביעה לאילו ערכי פרמטר k יש למערכת (2x2 ו-2x4) פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (שאלת בחירה מס' 2 בחלק 2))
• מבחן דמה תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מטריצה ממשית עם שני פרמטרים a,t – הפיכות, שייכות וקטור למרחב העמודות וחיתוך C(A)∩R(A)≠0)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (עבור מערכת 3 משוואות ב-4 נעלמים עם פרמטר k: סיווג לפי k (אפס/אינסוף/יחיד פתרונות) ומציאת הפתרון הכללי עבור k=1)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (דירוג מערכת משוואות עם פרמטר k וקביעה מתי יש פתרון יחיד/אינסוף/אין פתרון)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הצגת וקטור נתון כצירוף לינארי של שלושה וקטורים, בעזרת חישובי הסעיף הקודם)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (דירוג מערכת משוואות עם פרמטר a וקביעה מתי פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (כולל כתיבת הפתרון הכללי))
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מערכת משוואות תלוית פרמטר a: קביעה מתי יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מערכת משוואות תלוית פרמטר a: קביעה מתי יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון)
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 4 — מבחן (עבור T_A(v)=Av עם פרמטר a: מתי וקטור נתון ב-Im(T_A), מתי T_A חח"ע, מתי T_A על)
• בוחן 1 חורף תשע"ג, שאלה 1 (כולל בונוס) — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם למערכת פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות מעל R, ובבונוס פתרון מעל Z2)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 2 — מבחן (מערכת משוואות עם פרמטר a מעל השדה הסופי Z5 ומספר ערכי a עבורם יש בדיוק 5 פתרונות)
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 2 — מבחן (מציאת ערכי פרמטרים במטריצת מקדמים (3x9 עם עמודת אפסים) לפי היותה מדורגת, מדורגת קנונית, ובעלת שני משתנים חופשיים, ומציאת הפתרון הכללי)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5א — מבחן · פתרון (מספר הפתרונות של Ax=b מעל ℤ₃ עבור מטריצה עם פרמטר a, לכל ערך של a)
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 2ב — מבחן (מספר הפתרונות למערכת Ax=b מעל Z3 עבור כל ערכי הפרמטרים a,t)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 4 — מבחן (פתרון מערכת משוואות ליניארית עם פרמטר a מעל השדה Z5, וקביעת מספר הפתרונות (אין/יחיד/אינסוף) לפי ערכי a)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 2א — מבחן · פתרון (פתרון וסיווג מערכת משוואות עם פרמטר a (פתרון יחיד/אין פתרונות/אינסוף פתרונות) בהתאם לערך a)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2ג — מבחן (מציאת בסיס ומימד למרחב עמודות W(a) ומרחב פתרונות U(b) התלויים בפרמטרים, לחיתוך ולסכום שלהם, ואימות משפט המימדים)
• בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 1 — מבחן (קביעה עבור אילו ערכי פרמטר a למערכת משוואות לינארית יש פתרון יחיד, אין פתרון, או יותר מפתרון אחד, לפי דירוג המטריצה)

יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעה לפי פרמטר a האם קיימת/יחידה/אינסוף/אין העתקה לינארית עם Tu_i=v_i, כולל דרישת היות ההעתקה על על הטווח המצומצם)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: אם [T]^B_B מטריצה סקלרית או אלכסונית, האם [T]^C_C בהכרח מאותו סוג בכל בסיס אחר C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחות על העתקות לינאריות S,T המוגדרות לפי פעולה על וקטורי בסיס, תוך שימוש ב-TS=ST)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2א — מבחן · פתרון (קביעת מספר ההעתקות הלינאריות T:R2[x]→R2[x] המקיימות שלושה תנאים נתונים, כולל בדיקת תלות לינארית של הפולינומים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (מציאת נוסחה מפורשת ל-T(a+bx+cx²) לפי הצגת הפולינום הכללי בבסיס הנתון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי T²+I=0 שקול לקיום בסיס עם מטריצה מייצגת ספציפית (dim V=2), והוכחה שלא ייתכן T²+I=0 כאשר dim V=3)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a קיימת העתקה T:R3→R3 המקיימת תנאים נתונים, מתי היא אינה חח"ע, ומתי ker T שווה למרחב נתון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של שלוש טענות המקשרות בין T²=0 לבין ריבוע המטריצה המייצגת [T]ᴮᶜ=0 עבור בסיסים שונים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה על מטריצות מייצגות של העתקות מתחלפות ביחס לבחירת בסיסים שונים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (קיום בסיסים שבהם מטריצה מייצגת שווה להופכית, וקשר בין שוויון מטריצות מייצגות לבין דרגה וגרעין)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a מתקיים v4∈span{v1,v2,v3}, וכמה העתקות T:R3→R3 שונות מקיימות Tv1=Tv2=Tv3=0 או =Tv4=(1,1,1))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס B למרחב הפולינומים כך שבמטריצה המייצגת עבור העתקה המוגדרת ע"י משפט ההגדרה יש שורת אפסים ועמודת אפסים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מציאת בסיס לגרעין ולתמונה, בדיקת הפיכות, נוסחה מפורשת ומטריצה מייצגת אלכסונית עבור העתקה מהפולינומים ל-R^3)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (קיום ויחידות העתקה לינארית לפי תמונות וקטורי בסיס, מימדי גרעין ותמונה והפיכות כתלות בפרמטר a)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (משפט ההגדרה: קיום ויחידות של העתקה לינארית המוגדרת ע"י ערכיה על בסיס)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (T:R³→R³ לפי הנתונים ker(Id-T)=sp{(2,1,0),(0,1,2)}, ker(Id+T)=sp{(1,-2,1)}: מציאת נוסחה מפורשת ל-T(a,b,c))
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי a לקיום העתקה T לפי תמונות על בסיס v1,v2,v3, בניית הנוסחה המפורשת עבור a=1 ומציאת ההעתקה ההופכית)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 6 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי a לקיום העתקה T לפי תמונות על בסיס v1,v2,v3, נוסחה מפורשת עבור a=0 ומציאת ההעתקה ההופכית)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 8 — מבחן (מספר ההעתקות הלינאריות המקיימות תנאים נתונים על תמונות וקטורים תלויים לינארית מעל Zp, כתלות ב-p)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 1 — מבחן · פתרון (נסח והוכח את משפט ההגדרה להעתקות לינאריות (קביעת העתקה לפי ערכיה על בסיס))
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 6 — מבחן · פתרון (הוכחה שעבור T המתחלפת עם כל העתקה לינארית S קיים בסיס v1,...,vn שבו {Tvi,vi} תלוי לינארית לכל i)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 8 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר על קיום, גרעין וחח"ע/על של העתקה לינארית ב-ℝ³ המוגדרת ע"י תמונותיהם של שלושה וקטורים תלויים לינארית)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 8 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על העתקות לינאריות בין מרחבים מעל שדות סופיים, המוגדרות ע"י תמונות וקטורים נתונים)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 2 — מבחן ((מקבץ טכניון/תל-אביב) הוכח/הפרך קיום העתקה לינארית לכל תת-מרחב פרופר לפי משפט ההגדרה)

מטריצות מעבר בין בסיסים

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: אם [T]^B_B מטריצה סקלרית או אלכסונית, האם [T]^C_C בהכרח מאותו סוג בכל בסיס אחר C)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: קיום שורת אפסים במטריצה המייצגת [T]^C_B לעומת [T]^C_C או [T]^B_B)
• בוחן קיץ תשפ"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (יחס דמיון בין מטריצות (P^-1AP=B): הוכחת טרנזיטיביות, הפרכה עבור A=αI, והוכחה שמטריצה נתונה דומה למטריצה אלכסונית לפי שני וקטורים נתונים)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (בהינתן [T]ᴮᶜ, מציאת בסיס ומימד ל-N ו-C שלה, הבעת בסיסי גרעין ותמונה של T באמצעות איברי B,C, ומציאת [T]ᴰᶜ לבסיס D נתון)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור אופרטור T עם [T]ᴮᴮ נתונה: הוכחה שאין בסיס C עם [T]ᶜᶜ=I, מציאת בסיס C עם [T]ᶜᴮ=I, ובסיסים ל-ker(T²-T) ו-Im(T²-T))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת העתקה ביחס לזוגות בסיסים שונים, הפיכות ההעתקה וחישוב [T²])
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי, מטריצת מעבר בין בסיסים ואיברי בסיס B)
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (אופרטור T(x,y,z)=(0,x,y): מציאת פרמטר במטריצה מייצגת [T]_C^B, הצגת קואורדינטות, הוכחת השתייכות לתמונה, ומטריצה מייצגת בבסיסים סדורים אחרים)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה שדטרמיננטת המטריצה המייצגת אופרטור T אינה תלויה בבחירת הבסיס (det[T]_B^B=det[T]_C^C))
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה שמטריצה מייצגת הקבועה לכל זוג בסיסים חייבת להיות מטריצת האפס)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (בסיס B={1+x²,-1+x,x-x²}, נתונה A: מציאת בסיס C עבורו [I]ᴮ_C=A)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 6 — מבחן (הוכחת בסיס ל-R^3, מציאת בסיס B לפי מטריצת מעבר P=[I]_A^B, וחישוב קואורדינטות וקטור נתון)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 6 — מבחן (מספר הבסיסים C כך שמטריצת המעבר מהבסיס הסטנדרטי שווה למטריצה נתונה)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 9 — מבחן (דטרמיננטת מטריצת המעבר בין בסיס B לבסיס B' המתקבל מהחלפת סדר האיברים לפי תמורה)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 6ג — מבחן · פתרון (מציאת המטריצה המייצגת [T³]_E ביחס לבסיס E נתון)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס F כך שמטריצת המעבר [I]_F^E שווה למטריצה A נתונה)
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 3 — מבחן (מציאת מטריצות מעבר בין שני בסיסים B,C של R⁴ (בשני הכיוונים) וייצוג קואורדינטות וקטורים נתונים בכל בסיס)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 3 — מבחן (בדיקה ש-B={1+x+x²,1+2x+2x²,1+2x+3x²} בסיס ל-R2[x], מציאת מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי ל-B, ומציאת וקטור קואורדינטות של f(x)=bx²+cx+d לפי B)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (מציאת מטריצת המעבר מבסיס B לבסיס C הנ"ל)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (מציאת [T]_C בהינתן [T]_B=diag(1,2,...,n) ומטריצות המעבר בין B ל-C)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (חישוב מטריצת מעבר בין הבסיסים {1,x,...,x^n} ו-{1,(x-a),...,(x-a)^n} של מרחב הפולינומים בעזרת נוסחת טיילור, ובדיקת הפיכותה ישירות)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 1 — מבחן (הוכח/הפרך קיום בסיס סדור C כך ש-[I]_C^B=A עבור A הפיכה נתונה)

הגדרת מערכת משוואות וקבוצת פתרונות

• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה ששני פתרונות שונים למערכת Ax=b (b≠0) הם בלתי תלויים לינארית, ובדיקת הטענה span{v1}∩span{v2}={0})
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1א — מבחן · פתרון (קביעה לכל ערך פרמטר a האם למערכת A(a)x=(1,0,1) פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון)
• בוחן קיץ תשפ"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה A שדורגה ל-U נתונה: מציאת הפתרון הכללי של Ax=0, הוכחת שקילות Av=b ו-Au=b כאשר v-u נתון, ובדיקת קיום פתרון למערכת נתונה)
• בוחן לינארית תיכוניסטים 2024, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה עם פרמטר a המייצגת מערכת לא הומוגנית: סיווג מספר הפתרונות (יחיד/אינסוף/אין) ומציאת קבוצת הפתרונות מעל R, וחזרה על הסיווג מעל C)
• בוחן קיץ תשפ"א, שאלה 2א — מבחן · פתרון (מציאת וקטורי b1,b2,b3 עבורם למערכת Ax=b יש פתרון יחיד / אין פתרון / יותר מפתרון אחד, עבור מטריצה 3x2 נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעת קיום/יחידות/אינסוף פתרונות למערכות עם מטריצת מקדמים תלוית-פרמטר בעזרת דטרמיננטה)
• בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הוכחה: אם ל-Ax=b אין פתרון אז גם ל-Ax=2b אין פתרון)
• בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 2.2 — מבחן · פתרון (קביעה לאילו ערכי פרמטר k יש למערכת (2x2 ו-2x4) פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (שאלת בחירה מס' 2 בחלק 2))
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הפרכה: אם ל-Ax=b יש אינסוף פתרונות, לא בהכרח קיים c כך של-Ax=c אין פתרון)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 1ג — מבחן · פתרון (הפרכה: אם ל-Ax=b אין פתרון, לא בהכרח קיים c כך של-Ax=c יש אינסוף פתרונות)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (עבור מערכת 3 משוואות ב-4 נעלמים עם פרמטר k: סיווג לפי k (אפס/אינסוף/יחיד פתרונות) ומציאת הפתרון הכללי עבור k=1)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 7 — מבחן (נכון/לא נכון: קיימת מערכת הומוגנית מעל שדה כלשהו עם בדיוק 6 פתרונות)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 1 — מבחן (מספר הפתרונות A למשוואת המטריצות [[1,2],[2,4]]A=[[2,2,3],[4,4,6]] מעל השדה הסופי Z7)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 3ג — מבחן (הוכחה/הפרכה: אם v1,v2 פתרונות של מערכת לא הומוגנית Ax=b אז גם v1+v2 פתרון של המערכת)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: A הפיכה גוררת שלמערכות Bx=b ו-ABx=b אותם פתרונות לכל b≠0)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 2א — מבחן · פתרון (פתרון וסיווג מערכת משוואות עם פרמטר a (פתרון יחיד/אין פתרונות/אינסוף פתרונות) בהתאם לערך a)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 9 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר כלליות: נוסחת הבינום למטריצות שאינן מתחלפות, האם Bv=Av גורר B=A, חח"ע של העתקה על בין מרחבים שווי מימד, והאם אינסוף פתרונות גורר מערכת הומוגנית)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 5 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על תכונות של שני פתרונות של מערכת משוואות לינארית לא הומוגנית)
• בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 1 — מבחן (קביעה עבור אילו ערכי פרמטר a למערכת משוואות לינארית יש פתרון יחיד, אין פתרון, או יותר מפתרון אחד, לפי דירוג המטריצה)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 8 (חלק ב') — מבחן (ספירת מספר הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית מעל Z3)

משפט המימדים

• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2א — מבחן · פתרון (בסיסים ל-U∩W ו-U+W בתת-המרחבים של R2[x] והסקת dim(U∩W)=1, dim(U+W)=3)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 4 — מבחן · פתרון (חקירת ממד חיתוך על-מישורים (תתי-מרחב ממימד n-1) לפי משפט המימדים, כולל בניה עבור שני על-מישורים והפרכה עבור שלושה)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: (א) אם U+W=V אז dimU+dimW=dimV+1; (ב) אם U∩W={0} קיים W1⊇W עם U⊕W1=V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 3 — מבחן · פתרון (תת-מרחב של פולינומים כפולים ב-(x-a), בסיס ומימד ומשפט המימדים לסכום שני תתי-מרחבים כאלה)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפט המימדים dim(U+W)+dim(U∩W)=dim(U)+dim(W))
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 1 — מבחן · פתרון (ניסוח והוכחת משפט המימדים לתתי מרחבים וקטוריים)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שני תתי מרחבים U (span) ו-W (תיאור אלגברי) ב-R^4: מציאת בסיס ומימד לכל אחד, לחיתוכם ולסכומם)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפט המימדים: dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W))
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 1 — מבחן (הוכחת נוסחת המימד לסכום שני תתי-מרחבים: dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U∩W))
• מבחן מועד א' חורף תשע"ג, שאלה 1 (א-ג) — מבחן · פתרון (א) הוכחה שאם dim U+dim W>dim V אז U∩W≠{0}; ב) הוכחה שאם dim(U+W)=dim(U∩W)+1 אז אחד התתי-מרחבים מוכל בשני; ג) קיום ובניית שרשרת מקסימלית של n+1 תתי-מרחבים 0=U_0⊂U_1⊂...⊂U_n=V וקשר לכך ש-dimV=n)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 5 — מבחן (אפשרויות למימד W1+W2+W3 בהינתן מימדי שלושת תתי-המרחבים וחיתוך בין שניים מהם)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 4ג — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: אי-אפסות סכום ממדי חיתוכי תתי-מרחבים V1,V2,U1,U2 המקיימים V=V1+V2=U1+U2, dimV=2n+1)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 1 — מבחן · פתרון (ניסוח והוכחת משפט המימדים (בחירה 1 מתוך 2, חלק א))
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 1 — מבחן (הוכחות אי-שוויון: AB=0 גורר dim(N(A))≥rank(B), וכן D²=0 (D בגודל n×n) גורר rank(D)≤n/2)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 1 — מבחן (הוכחה שאם dim(U)=dim(V) לתת-מרחב U אז U=V, ושאיחוד בסיסים של U,W עם V=U⊕W הוא בסיס ל-V)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2ג — מבחן (מציאת בסיס ומימד למרחב עמודות W(a) ומרחב פתרונות U(b) התלויים בפרמטרים, לחיתוך ולסכום שלהם, ואימות משפט המימדים)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחה ש-rankA≥rankB בהינתן C(B)∩N(A)={0}, באמצעות משפט הדרגה ומשפט המימדים)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכחת הנוסחה dim C(AB)=dim C(B)−dim(N(A)∩C(B)) עבור A,B∈F^{n×n})
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (שימוש במשפט המימדים להראות ש-dim(U+W)>0 כש-U∩W≠{0} מוגדר, ולהוכיח שבתנאי נתון מתקיים V=U⊕W או U⊆W או W⊆U)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 1ב — מבחן ((תל-אביב תשס"ב מועד א') שלושה תתי-מרחבים בתנאי על סכום המימדים - הוכחה שהסכום שווה לאחד מהם והחיתוך שווה לשני)

כפל מטריצות

• בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (חישוב הצורה המדורגת הקנונית של המטריצה vv^t ופתרון מערכות הומוגנית ולא-הומוגנית המתאימות לה)
• בוחן קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על שורה חמישית אפס וקשר להפיכות, עבור המכפלות ABᵗ, BᵗA, AAᵗ, AᵗA)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תת-מרחב מטריצות עם סכום עמודות אפס: מימד, סגירות לכפל מטריצות וקשר לגרעין משותף)
• בוחן קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (שאלות נכון/לא נכון על כפל שלוש מטריצות B,C,D: השפעת שינוי איבר ב-D על איבר במכפלה BCD, שורות/עמודות אפס, וריבועיות המכפלה)
• בוחן קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת תכונות קבוצת המטריצות F={[[a,b],[-b,a]]}: סגירות לכפל, חילופיות הכפל בתוך F, קיום הופכי ב-F, והיותה תת-מרחב וקטורי של R^(2x2))
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה שקיימת A כך ש-BA=B^t עבור מטריצה נתונה B, או מציאת דוגמת נגד למטריצה B שעבורה לא קיימת A כזו)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 6א — מבחן · פתרון (חישוב A^2016 ו-A^2017 עבור מטריצת תמורה (permutation) מחזורית נתונה)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה על הפיכות AB ו-BA כאשר במכפלה AB יש שורת אפסים)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 2א — מבחן · פתרון (פתרון Ax=0 עבור מטריצה 3x3 נתונה, הסקת אי-הפיכות, ובניית מטריצה B≠0 כך ש-AB=0)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (U=N(A-I), W=N(A+I): הוכחת U+W⊆N((A-I)(A+I)), ובהינתן U+W=Rⁿ הוכחת A²=I ו-U⊕W=Rⁿ)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 2ג — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה C המקיימת C·A^t=B, בעזרת (A^t)^{-1})
• בוחן חורף תשע"ד + פתרון, שאלה שאלה 3 — מבחן (הוכחת אסוציאטיביות כפל מטריצות: A(BC)=(AB)C)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 11 — מבחן (נכון/לא נכון: AB=BA וגם AC=CA גוררים BC=CB)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 3 — מבחן (זיהוי הטענה הנכונה על חזקות ונילפוטנטיות של מטריצה 3x3 נתונה)
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 1 — מבחן (מציאת מטריצות אלמנטריות E1,...,Ek כך ש-E1⋯EkA=B עבור A,B נתונות עם פרמטרים)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 9 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר כלליות: נוסחת הבינום למטריצות שאינן מתחלפות, האם Bv=Av גורר B=A, חח"ע של העתקה על בין מרחבים שווי מימד, והאם אינסוף פתרונות גורר מערכת הומוגנית)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 2א — מבחן (הוכחה שאם A הפיכה אז AB ו-BA דומות לכל מטריצה B)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 2 (חלק א', לבחירה 2 מתוך 3): א-ג — מבחן (הגדרת בת"ל ודרגה; אם עמודות AB בת"ל אז עמודות B בת"ל, ותנאי הכרחי Rank A≥k לבת"ל של עמודות AB)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 9ג — מבחן (בניית דוגמה להעתקות הפיכות T,S עם (T+S)^2=0 ע"י מטריצות מייצגות)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 10 — מבחן (הוכח/הפרך: עבור מטריצות ריבועיות A,B,C אם AB=0 ו-BC=I אז A=0 (אומת ע"י תמונת עמוד המקור))

חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3א — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה B כך ש-det(BAB^t)=det(A)+det(B) בעזרת תכונת כפליות הדטרמיננטה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכחה כי W={(a,b,c): קיים B עם det(AA^t)=det(-B^tB)} תת-מרחב, ומציאת בסיס לו)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (אי-תלות הדטרמיננטה והעקבה בבחירת בסיס למטריצה מייצגת, והפרכת אותה טענה עבור המטריצה הנלווית)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (דוגמה למטריצות A,B≠0 עם det(A+BC)≠1 לכל C, והוכחה/הפרכה על det(A+DBC)≠0 באמצעות אי-שוויוני דרגה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (בניית מטריצה B עם אותם מרחבי שורה ועמודה ודטרמיננטה הפוכה בסימן, בהבחנה בין n=3 ל-n=2)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (שייכות וקטור לפרישה עם פרמטר, מימד מרחב הפרישה וחישוב דטרמיננטה תלוית-פרמטר)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (חישוב עקבה ודטרמיננטה של מטריצה מייצגת T(A)=M·A לפי בסיסים שונים של R^{2x2}, ומציאת מטריצה A כך שדטרמיננטה נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעת קיום/יחידות/אינסוף פתרונות למערכות עם מטריצת מקדמים תלוית-פרמטר בעזרת דטרמיננטה)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הפיכות T לפי דטרמיננטת המטריצה המייצגת, מציאת הגרעין וההעתקה ההופכית)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת A כך ש-AB=C, ובדיקת קיומה של A לפי הפיכות B ו-C (דטרמיננטות))
• מועד ב' קיץ תשע"ז, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור A הפיכה, הוכחת קיום B מדרגה 1 כך ש-|A+B|=1)
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחה שדטרמיננטת המטריצה המייצגת אופרטור T אינה תלויה בבחירת הבסיס (det[T]_B^B=det[T]_C^C))
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם קבוצת שלושה וקטורים תלויית-פרמטר היא בת"ל, באמצעות חישוב דטרמיננטה ופתרון משוואה ריבועית)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (A∈R^(3×3) עם AᵀA²=-I: ביטוי adj(A) באמצעות A)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (A∈R^(3×3), |A|=2: חישוב |3·A·Aᵀ·A⁻¹·adj(A)|)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 5ד — מבחן · פתרון (הוכחה: n אי-זוגי ו-A אנטי-סימטרית (A^T=-A) גוררים ש-A אינה הפיכה)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 4 — מבחן (הערכים האפשריים ל-det A כאשר A^{-1}=A^2, מעל R, מעל C ומעל Z7)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 7 (חלק ב') — מבחן (חישוב דטרמיננטה 3x3 סימטרית במחזור (x,y,x+y) ומתן תשובה מפושטת)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 9 (חלק ב') — מבחן (חישוב det(A) בהינתן C=adj(A) ו-det(C)=c)

שדות סופיים

• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 4 — מבחן (הערכים האפשריים ל-det A כאשר A^{-1}=A^2, מעל R, מעל C ומעל Z7)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 7 — מבחן (נכון/לא נכון: קיימת מערכת הומוגנית מעל שדה כלשהו עם בדיוק 6 פתרונות)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 1 — מבחן (מספר הפתרונות A למשוואת המטריצות [[1,2],[2,4]]A=[[2,2,3],[4,4,6]] מעל השדה הסופי Z7)
• בוחן 1 חורף תשע"ג, שאלה 1 (כולל בונוס) — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם למערכת פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות מעל R, ובבונוס פתרון מעל Z2)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 2 — מבחן (מערכת משוואות עם פרמטר a מעל השדה הסופי Z5 ומספר ערכי a עבורם יש בדיוק 5 פתרונות)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 8 — מבחן (מספר ההעתקות הלינאריות המקיימות תנאים נתונים על תמונות וקטורים תלויים לינארית מעל Zp, כתלות ב-p)
• מועד ב' חורף תשעב, שאלה 3א — מבחן · פתרון (ספירת מספר ההעתקות הלינאריות T:F^n→F^n מעל שדה סופי F=Z_p (p ראשוני))
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5א — מבחן · פתרון (מספר הפתרונות של Ax=b מעל ℤ₃ עבור מטריצה עם פרמטר a, לכל ערך של a)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (פתרון משוואה פולינומיאלית מדרגה רביעית מעל השדה הסופי Z7 על ידי פירוק לגורמים)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 3ב — מבחן (ספירת תתי-המרחבים W המשלימים לסכום ישר עם U (dimU=1) במרחב ממימד 2 מעל Z2)
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 2ב — מבחן (מספר הפתרונות למערכת Ax=b מעל Z3 עבור כל ערכי הפרמטרים a,t)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 4 — מבחן (פתרון מערכת משוואות ליניארית עם פרמטר a מעל השדה Z5, וקביעת מספר הפתרונות (אין/יחיד/אינסוף) לפי ערכי a)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מסקנות הכרחיות ממערכת הומוגנית Ax=0 מעל ℤ₅ עם פתרון לא טריוויאלי (קיום/יחידות/אינסוף פתרונות ל-Ax=b, ודרגת A))
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 8 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על העתקות לינאריות בין מרחבים מעל שדות סופיים, המוגדרות ע"י תמונות וקטורים נתונים)
• מועד א' חורף תשע, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (ספירת מספר תתי-המרחבים המשלימים W (כך ש-V=U⊕W) במרחב וקטורי מעל Z2 כאשר dimV=2, dimU=1 (התשובה: 2))
• בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 3א — מבחן (מציאת הופכיים כפליים ב-Z13 (3⁻¹ ו-4⁻¹) בעזרת חזקות מודולריות)
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 3א — מבחן · פתרון (ספירת מספר הפתרונות של מערכת משוואות לינארית מעל השדה הסופי Z3 (התשובה: 9=3^2 פתרונות))
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 8 (חלק ב') — מבחן (ספירת מספר הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית מעל Z3)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 1 — מבחן ((בר-אילן קיץ תשס"ח, מצרי וצבאן) העתקה לינארית מעל שדה סופי: הוכחת לינאריות, בסיס ומספר איברי הגרעין והתמונה, איחוד הבסיסים כבסיס למרחב, וחישוב [T]_S)

קואורדינטות

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (מציאת נוסחה מפורשת ל-T(a+bx+cx²) לפי הצגת הפולינום הכללי בבסיס הנתון)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קיום בסיס של V שבו כל התמונות תחת T שונות מאפס, והוכחה/הפרכה לגבי ייצוג וקטור בקואורדינטות כווקטור אחדות)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מימד תת-המרחב U הנפרש ע"י שלושה וקטורים תלויי-פרמטר a כתלות ב-a, האם v∈U, ולעבור a=1 מציאת בסיס ל-U וקואורדינטות [v]_B)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (ייצוג וקטור כצי"ל של וקטורים נתונים בעזרת קואורדינטות ופתרון מערכות ליניאריות)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 4 — מבחן · פתרון (חישוב העתקה והופכית שלה דרך מטריצה מייצגת, ובסיס עם עמודת/שורת אפסים לגרעין ותמונה של הרכבות)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה מייצגת לפי הבסיס הסטנדרטי, מטריצת מעבר בין בסיסים ואיברי בסיס B)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (בסיס B={1+x²,-1+x,x-x²}, נתונה A: מציאת בסיס C עבורו [I]ᴮ_C=A)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 6 — מבחן (הוכחת בסיס ל-R^3, מציאת בסיס B לפי מטריצת מעבר P=[I]_A^B, וחישוב קואורדינטות וקטור נתון)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 6 — מבחן (מספר הבסיסים C כך שמטריצת המעבר מהבסיס הסטנדרטי שווה למטריצה נתונה)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (מציאת בסיס F כך שמטריצת המעבר [I]_F^E שווה למטריצה A נתונה)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 6 — מבחן · פתרון (בדיקת בסיסים B,C בעזרת דטרמיננטה, חישוב [T]_C^B, שחזור נוסחת S ממטריצה מייצגת, ומציאת H כך ש-HT=S)
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 3 — מבחן (מציאת מטריצות מעבר בין שני בסיסים B,C של R⁴ (בשני הכיוונים) וייצוג קואורדינטות וקטורים נתונים בכל בסיס)
• בוחן קיץ תשע"א + פתרון, שאלה 3 — מבחן (בדיקה ש-B={1+x+x²,1+2x+2x²,1+2x+3x²} בסיס ל-R2[x], מציאת מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי ל-B, ומציאת וקטור קואורדינטות של f(x)=bx²+cx+d לפי B)
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (חישוב קואורדינטות של הפולינום x^3 ביחס לבסיס B נתון של מרחב הפולינומים)
• מועד א' חורף תשסח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (חישוב מטריצת מעבר בין הבסיסים {1,x,...,x^n} ו-{1,(x-a),...,(x-a)^n} של מרחב הפולינומים בעזרת נוסחת טיילור, ובדיקת הפיכותה ישירות)
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 6 (חלק ב') — מבחן (חישוב קואורדינטות הפולינום x^3 ביחס לבסיס נתון של P3[x])
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 1 — מבחן (הוכח/הפרך קיום בסיס סדור C כך ש-[I]_C^B=A עבור A הפיכה נתונה)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 11 — מבחן (העתקות T,S:V→V (V=R^3) עם מטריצות מייצגות נתונות ביחס לבסיסים B,C,D: בסיס ומימד ל-Ker T ו-Im S, בחינת אפשרות מציאת בסיס ל-Ker S / Im T ללא נתונים נוספים, וחישוב S(T(x,y,z)) (מספור המקורי לא נקלט בטקסט; אומת ע"י תמונת עמוד המקור))

תכונות של אלגברת מטריצות

• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הוכחה או הפרכה: אם AA^t=BB^t אז A=B (הפרכה בדוגמה נגדית 2x2))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 3א — מבחן · פתרון (הוכחה כי לכל A∈U={A:AM=A} ולכל B∈F^{n×n} מתקיים BA∈U)
• בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחות על מטריצות משולשיות עליונות: מכפלת שתי משולשיות עליונות, הופכי של משולשית עליונה, והפרכת טענה הפוכה)
• בוחן קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (שאלות נכון/לא נכון על כפל שלוש מטריצות B,C,D: השפעת שינוי איבר ב-D על איבר במכפלה BCD, שורות/עמודות אפס, וריבועיות המכפלה)
• מבחן מועד א' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בניית מטריצות מפורשות המקיימות A^2+I=0 מעל R (2x2) ומעל C (3x3), וכן A·A^t=0 עם A≠0 ב-C^{2x2})
• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (הוכחה בעזרת שחלוף: A סימטרית, B אנטי-סימטרית, AB אנטי-סימטרית ⇒ AB=BA)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 2א — מבחן · פתרון (הוכחה: עבור A לא סימטרית, אם αA+βA^t סימטרית אזי α=β (אין קשר לסעיף ב'))
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 2ב — מבחן · פתרון (בהינתן A³-2A²-A+2I=0 עבור A ריבועית ממשית, קביעת מספר הפתרונות ל-Ax=0)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור מטריצה אנטי-סימטרית A: קביעת a+b+c כאשר A·(1,1,1)^t=(a,b,c)^t, ולאחר מכן חישוב סכום עמודה שלישית בהינתן ערכים מספריים)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכחה כי v^tAv=0 לכל וקטור v, עבור מטריצה אנטי-סימטרית A)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 5א — מבחן · פתרון (הפרכה: (A+B)²=A²+2AB+B² לכל שתי מטריצות)
• בוחן חורף תשע"ד + פתרון, שאלה שאלה 3 — מבחן (הוכחת אסוציאטיביות כפל מטריצות: A(BC)=(AB)C)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 11 — מבחן (נכון/לא נכון: AB=BA וגם AC=CA גוררים BC=CB)
• בוחן 1 חורף תשע"ג, שאלה 2 (כולל בונוס) — מבחן · פתרון (הוכחת (AB)^t=B^tA^t, סימטריות וסדר המטריצות A^tA ו-AA^t, ובבונוס קשר בין סימטריות AB להחלפה של A,B סימטריות)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: AAᵗ=0 גורר A=0, וגם BAAᵗ=0 גורר BA=0)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 9 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר כלליות: נוסחת הבינום למטריצות שאינן מתחלפות, האם Bv=Av גורר B=A, חח"ע של העתקה על בין מרחבים שווי מימד, והאם אינסוף פתרונות גורר מערכת הומוגנית)
• בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 4 — מבחן (הוכחה/הפרכה: האם AAᵀ=AᵀA גורר שהמטריצה A סימטרית (הפרכה באמצעות מטריצה אנטי-סימטרית))

מטריצה נלווית

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (אי-תלות הדטרמיננטה והעקבה בבחירת בסיס למטריצה מייצגת, והפרכת אותה טענה עבור המטריצה הנלווית)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכחה ש-C(adj([T2]))=N([T2]) עבור a=2, באמצעות דרגת המטריצה המייצגת)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-A סימטרית ו-B אנטי-סימטרית מתוך A-A^t=B+B^t, וכי המטריצה הנלווית adj(A) סימטרית גם היא)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה הפיכה A המקיימת A=adj(2A) (ממשית) ו-A=adj(-2A) (מרוכבת))
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (A∈R^(3×3) עם AᵀA²=-I: ביטוי adj(A) באמצעות A)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (A∈R^(3×3), |A|=2: חישוב |3·A·Aᵀ·A⁻¹·adj(A)|)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה B≠0 עבור A נתונה כך ש-AB=BA=0, באמצעות B=adj(A) (כי |A|=0))
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן (נתון AB·adj(BA)=I; הוכיחו |AB|=1 והוכיחו AB=BA)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (נתון (A+I)²=0: הוכיחו A הפיכה, והביעו את adj(A) באמצעות A,I והסקלר |A|)
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הגדרת המטריצה הצמודה הקלאסית adjA, והוכחת rk(adjA)=1 כאשר rk(A)=n-1)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 10 — מבחן (ערך A·Adj(A) עבור מטריצה 5x5מ מדרגה 3 (חסרת דרגה מלאה))
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת הנוסחה A·Adj(A)=|A|·I עבור A∈ℝ^{n×n})
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 9 (חלק ב') — מבחן (חישוב det(A) בהינתן C=adj(A) ו-det(C)=c)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 2 — מבחן (הוכחה שהמטריצה הנלווית adj(A) סימטרית כאשר A סימטרית)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 6 — מבחן (חישוב |3A·A^t·A^{-1}·adj(A)| עבור A∈R^{3x3} עם |A|=2)

צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

• בוחן קיץ תשפ"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (הוכחה: ל-A ול-B אותה מטריצה מדורגת קנונית אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה E כך ש-EA=B)
• בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (חישוב הצורה המדורגת הקנונית של המטריצה vv^t ופתרון מערכות הומוגנית ולא-הומוגנית המתאימות לה)
• בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 1ג — מבחן · פתרון (הפרכה: הצורה הקנונית של m-1 השורות הראשונות של מטריצה אינה בהכרח שווה לצורה הקנונית של אותן שורות במטריצה המקורית)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הפרכה: אם ל-Ax=b יש אינסוף פתרונות, לא בהכרח קיים c כך של-Ax=c אין פתרון)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 1ג — מבחן · פתרון (הפרכה: אם ל-Ax=b אין פתרון, לא בהכרח קיים c כך של-Ax=c יש אינסוף פתרונות)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון על שורות אפסים בצורה המדורגת הקנונית של A מול A^2 והקשר לדרגה ולהפיכות)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (דירוג מערכת משוואות עם פרמטר k וקביעה מתי יש פתרון יחיד/אינסוף/אין פתרון)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 2א — מבחן · פתרון (פתרון Ax=0 עבור מטריצה 3x3 נתונה, הסקת אי-הפיכות, ובניית מטריצה B≠0 כך ש-AB=0)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (דירוג מערכת משוואות עם פרמטר a וקביעה מתי פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (כולל כתיבת הפתרון הכללי))
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 2 — מבחן (בהינתן סדרת פעולות שורה שהביאה A הפיכה לצורה מדורגת קנונית, מציאת פעולות שורה עבור A^{-1} ומציאת A ו-A^{-1})
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 2 — מבחן (מציאת ערכי פרמטרים במטריצת מקדמים (3x9 עם עמודת אפסים) לפי היותה מדורגת, מדורגת קנונית, ובעלת שני משתנים חופשיים, ומציאת הפתרון הכללי)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 5 — מבחן (הוכח/הפרך: אם לצורה המדורגת הקנונית של מטריצה ריבועית יש יותר שורות אפס מלא-אפס (דרגה קטנה מחצי גודל) אז A^2=0)

פתרון כללי למערכת לא הומוגנית

• בוחן קיץ תשפ"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה A שדורגה ל-U נתונה: מציאת הפתרון הכללי של Ax=0, הוכחת שקילות Av=b ו-Au=b כאשר v-u נתון, ובדיקת קיום פתרון למערכת נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (קביעת מספר הפתרונות של Ax=0 ושל Ax=b לכל ערך פרמטר a, ובדיקה האם קיים a שעבורו לכל w יש פתרון)
• בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 2 — מבחן · פתרון (חישוב הצורה המדורגת הקנונית של המטריצה vv^t ופתרון מערכות הומוגנית ולא-הומוגנית המתאימות לה)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 4ג — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון: אם למערכת ההומוגנית Ax=0 (עבור A 2x2) יש פתרון לא טריוויאלי, אז קיים v שעבורו למערכת הלא הומוגנית Ax=v אין פתרון)
• בוחן חורף תשע"ז, שאלה 2 — מבחן · פתרון (בהינתן שני פתרונות ידועים של מערכת לא הומוגנית Ax=b, קביעה האם וקטורים נתונים (המתקבלים מהפרש/סכום/כפל בסקלר שלהם) פותרים את המערכת ההומוגנית או הלא הומוגנית)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 3ג — מבחן (הוכחה/הפרכה: אם v1,v2 פתרונות של מערכת לא הומוגנית Ax=b אז גם v1+v2 פתרון של המערכת)
• בוחן 1 חורף תשע"ג, שאלה 1 (כולל בונוס) — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם למערכת פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות מעל R, ובבונוס פתרון מעל Z2)
• מועד א' חורף תשעא + פתרון, שאלה שאלה 1 (א+ב) — מבחן (מבנה קבוצת הפתרונות של Ax=0 כש-rank(A)=m-1 (פרופורציונליות), וקריטריון קיום פתרון ל-Ax=b לפי דרגת המטריצה המורחבת)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מסקנות הכרחיות ממערכת הומוגנית Ax=0 מעל ℤ₅ עם פתרון לא טריוויאלי (קיום/יחידות/אינסוף פתרונות ל-Ax=b, ודרגת A))
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 5 — מבחן (טענות נכון/לא נכון על תכונות של שני פתרונות של מערכת משוואות לינארית לא הומוגנית)

הגדרת הדטרמיננטה ותכונות

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת קיום בסיסים B,C להעתקה הפיכה כך שדטרמיננטת המטריצה המייצגת שווה 1, והפרכת קיום בסיס יחיד B עם אותה תכונה)
• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (זהות על דטרמיננטות של מטריצה לא הפיכה, חישוב דרגה ממינור 2x2, והוכחת הפיכות לכל t≠i)
• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 8 — מבחן (נכון/לא נכון: מטריצה ממשית עם כל האיברים חיוביים ⇒ הדטרמיננטה חיובית)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (מציאת כל האפשרויות למטריצה סימטרית עם דטרמיננטה 0 בהינתן חלק מערכיה)
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת הנוסחה A·Adj(A)=|A|·I עבור A∈ℝ^{n×n})
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה שקיים v≠0 עם Av=λv אם ורק אם |A-λI|=0)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 4 — מבחן (הוכחת קיום מטריצה B מדרגה 1 כך ש-A+B הפיכה ובעלת דטרמיננטה 1, עבור A הפיכה נתונה)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 6 — מבחן (חישוב |3A·A^t·A^{-1}·adj(A)| עבור A∈R^{3x3} עם |A|=2)

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (בסיסים ומימדים לתתי-המרחבים U={A סימטרית} ו-W={[[a,b],[-b,a]]} של M2x2, לחיתוך ולסכום שלהם, ובדיקת סגירות לכפל מטריצות בכל אחד מהם)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי x ממשיים ואז מרוכבים עבורם וקטור התלוי ב-x שייך למרחב העמודות C(A) של מטריצה 3x3 קבועה (דירוג עם פרמטר))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 1א — מבחן · פתרון (הוכחת יחידות ההצגה של וקטור כצירוף לינארי של איברי בסיס סדור)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (קיום ויחידות פתרון C למשוואה A=BC (עם A,B נתונות) גוררים rank B=k)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 4 (א-ג) — מבחן · פתרון (תת-המרחב U=N(A-I) (פתרונות Av=v) ותת-המרחב הפרמטרי W ב-R^3: הוכחת תת-מרחב, בסיסים ומימדים, וחישוב U∩W ו-U+W באמצעות משפט המימדים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב U (מישור פרמטרי ב-R^3), מציאת U∩W עם ישר נתון W, ומציאת תתי-מרחבים דו-מימדיים V כך ש-V⊕W=R^3 וכך ש-W⊆V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (עבור a=1,b=3,c=2 קבועים, מציאת ערכי x עבורם הוקטור (1,1,x) שייך למרחב העמודות C(A))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 5ג — מבחן · פתרון (עבור a=1,b=0,c=1 קבועים, מציאת x מרוכב כך ש-det(A)=0, ומציאת בסיס למרחב האפס N(A) מעל המרוכבים)

הגדרה ותכונות של מרחב וקטורי

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך שלושה משפטים על איחוד spanים כתת-מרחב, תלות לינארית של איחוד קבוצות, ובנייה מחדש של בסיס)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1ב-ג — מבחן · פתרון (הוכחה ש-U={v:Av=5v} תת-מרחב של R^3, וחישוב dim U עבור a=2 (מרחב עצמי))
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכח/הפרך: תנאי חיתוך spanים ו-dim span(B)=1 גוררים שאיחוד ה-spanים תת-מרחב)
• בוחן קיץ תשע"ה + פתרון, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (האם W={z∈C^3 | z1+z̄2=z3} הוא תת-מרחב, כאשר V=C^3 מעל השדה C לעומת מעל השדה R)
• בוחן דמה קיץ תשע"א, שאלה 4 — מבחן (בהינתן שקבוצת החזקה P(A) עם הפרש סימטרי כחיבור וכפל בסקלר מ-Z2 היא מרחב וקטורי: מציאת וקטור האפס והוכחתו, ומציאת המימד עם הוכחה)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 9 — מבחן (בדיקה האם קבוצת מטריצות עם רכיבים מרוכבים היא תת-מרחב מעל C ומעל R)
• עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 8 — מבחן (הוכחה שקבוצת האופרטורים S המתחלפים עם אופרטור T נתון היא תת-מרחב)

מחוץ לסילבוס (ערכים עצמיים/לכסון)

• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1ב-ג — מבחן · פתרון (הוכחה ש-U={v:Av=5v} תת-מרחב של R^3, וחישוב dim U עבור a=2 (מרחב עצמי))
• בוחן קיץ תשפ"ה, שאלה 3 — מבחן · פתרון (יחס דמיון בין מטריצות (P^-1AP=B): הוכחת טרנזיטיביות, הפרכה עבור A=αI, והוכחה שמטריצה נתונה דומה למטריצה אלכסונית לפי שני וקטורים נתונים)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב U (מרחב עצמי כפתרון (A-2I)v=0), בסיס ומימד ל-U,W ולחיתוך U∩W)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 4 (א-ג) — מבחן · פתרון (תת-המרחב U=N(A-I) (פתרונות Av=v) ותת-המרחב הפרמטרי W ב-R^3: הוכחת תת-מרחב, בסיסים ומימדים, וחישוב U∩W ו-U+W באמצעות משפט המימדים)
• בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 3 — מבחן · פתרון (עבור A∈Mnxn: U={v|Av=v}, W={v|Av=-v} הם תתי-מרחבים; U∩W=ker(A²-I); הוכח/הפרך קשרי פתרונות בין Av=b ל-A²v=b)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (T:R³→R³ לפי הנתונים ker(Id-T)=sp{(2,1,0),(0,1,2)}, ker(Id+T)=sp{(1,-2,1)}: מציאת נוסחה מפורשת ל-T(a,b,c))
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה שקיים v≠0 עם Av=λv אם ורק אם |A-λI|=0)

שדה המרוכבים

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תלות/אי-תלות לינארית של אותה קבוצת וקטורים מעל C לעומת מעל R, וקשר בין המימדים dimR U2 = 2·dimC U1)
• בוחן קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (בדיקת תלות לינארית של שלושה וקטורים ב-C³ התלויים בפרמטר a, ובדיקת שייכות וקטור נתון ל-Span שלהם)
• מועד א' חורף תשע"ז, שאלה 4ד — מבחן · פתרון (נכון/לא נכון: העתקת ההצמדה המרוכבת T(v)=v̄ על V=C (מעל שדה C) היא העתקה לינארית)
• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5ג — מבחן · פתרון (חישוב z^4446 עבור מספר מרוכב נתון בעזרת צורה קוטבית)
• מועד א' קיץ תשעא, שאלה 5א — מבחן · פתרון (פתרון משוואה במספרים מרוכבים בעזרת הצבה z=x+iy והרחבת שבר בצמוד)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 5 — מבחן · פתרון (טענות אמת/שקר על תת-קבוצות של קבוצות בת"ל/פורשות, ועל תלות לינארית של קבוצות קונקרטיות ב-ℂ² וב-P₂[x])
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 9 — מבחן (בדיקה האם קבוצת מטריצות עם רכיבים מרוכבים היא תת-מרחב מעל C ומעל R)

פרק 5 - העתקות לינאריות

• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הרכבת העתקות ואופרטורים, הפיכות (TST=I⇒TS=ST), וקשר לגרעין/תמונה (Im S⊆ker T); בניית T,S הפיכות עם (T+S)²=0)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 4 — מבחן · פתרון (מטריצות מייצגות [T]_D^B=I ו-[S]_C^D נתונות עבור D לא-ידוע; מציאת גרעין/תמונה, בירור מתי אפשר לקבוע בסיס לגרעין/תמונה בלי לדעת את D, ונוסחה מפורשת ל-S∘T)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הוכחת השקילות: T חח"ע אם ורק אם ker T={0})
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על הפיכות, חח"ע/על, גרעין ותמונה עבור העתקות T,S:V→W)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחת משפט הדרגה: dim ker T + dim Im T = dim V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של ארבע טענות על גרעין, תמונה, הרכבה והפיכות של T:V→W ו-S:W→V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (קיום בסיס סדור C כך שמטריצת המעבר מ-B ל-C שווה למטריצה הפיכה נתונה A)

משתנים חופשיים ותלויים

• בוחן קיץ תשפ"ה, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה A שדורגה ל-U נתונה: מציאת הפתרון הכללי של Ax=0, הוכחת שקילות Av=b ו-Au=b כאשר v-u נתון, ובדיקת קיום פתרון למערכת נתונה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (קביעת מספר הפתרונות של Ax=0 ושל Ax=b לכל ערך פרמטר a, ובדיקה האם קיים a שעבורו לכל w יש פתרון)
• בוחן קיץ תשפ"א, שאלה 2א — מבחן · פתרון (מציאת וקטורי b1,b2,b3 עבורם למערכת Ax=b יש פתרון יחיד / אין פתרון / יותר מפתרון אחד, עבור מטריצה 3x2 נתונה)
• בוחן חורף תשע"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (דירוג מערכת משוואות עם פרמטר a וקביעה מתי פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (כולל כתיבת הפתרון הכללי))
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 2 — מבחן (מציאת ערכי פרמטרים במטריצת מקדמים (3x9 עם עמודת אפסים) לפי היותה מדורגת, מדורגת קנונית, ובעלת שני משתנים חופשיים, ומציאת הפתרון הכללי)

פעולות דירוג אלמנטריות

• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (שחזור מטריצה ממכפלת מטריצות אלמנטריות נתונות וחישוב דרגה של מטריצה נגזרת)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 3א — מבחן · פתרון (שחזור המטריצה A לפי סדרת פעולות שורה אלמנטריות ידועה והתוצאה שהתקבלה ממנה)
• בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 3ב — מבחן · פתרון (הוכחה ש-B הפיכה אם ורק אם C הפיכה, כאשר C מתקבלת מ-B על ידי אותן פעולות שורה שהעבירו את A ל-B (מטריצות אלמנטריות))
• בוחן קיץ תשע"ב, שאלה 1 — מבחן (מציאת מטריצות אלמנטריות E1,...,Ek כך ש-E1⋯EkA=B עבור A,B נתונות עם פרמטרים)
• פתרון מועד ב' קיץ תשע, שאלה 4 — מבחן (טענות נכון/לא נכון: שימור מרחב שורות ואי-שימור מרחב עמודות בין מטריצות שקולות-שורה, ושוויון הדרגות)

פרק 3 - אלגברת מטריצות

• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחה כי AB=0 ו-BC=I (עבור מטריצות ריבועיות, C הפיכה) גוררים A=0)
• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (בסיסים ומימדים לתתי-המרחבים U={A סימטרית} ו-W={[[a,b],[-b,a]]} של M2x2, לחיתוך ולסכום שלהם, ובדיקת סגירות לכפל מטריצות בכל אחד מהם)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 4ד — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה B המקיימת ABA=I בעזרת חישוב A^{-1} (סעיף עצמאי, ללא קשר לשאר השאלה))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (חישוב דטרמיננטה של מטריצה 3x3 עם פרמטר a, מציאת ההופכית בנוסחת לפלס/מטריצה נלווית, שימוש בהופכית למציאת אילו וקטורים הם עמודות שלה, ומציאת a שעבורו A-I ו-A^{-1}-I אינן הפיכות)

פרק 2 - מערכות משוואות לינאריות

• מבחן מועד ב' סמסטר א' תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי x ממשיים ואז מרוכבים עבורם וקטור התלוי ב-x שייך למרחב העמודות C(A) של מטריצה 3x3 קבועה (דירוג עם פרמטר))
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (קיום ויחידות פתרון C למשוואה A=BC (עם A,B נתונות) גוררים rank B=k)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחת תת-מרחב U (מישור פרמטרי ב-R^3), מציאת U∩W עם ישר נתון W, ומציאת תתי-מרחבים דו-מימדיים V כך ש-V⊕W=R^3 וכך ש-W⊆V)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (עבור a=1,b=3,c=2 קבועים, מציאת ערכי x עבורם הוקטור (1,1,x) שייך למרחב העמודות C(A))

עקבה

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (אי-תלות הדטרמיננטה והעקבה בבחירת בסיס למטריצה מייצגת, והפרכת אותה טענה עבור המטריצה הנלווית)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (חישוב עקבה ודטרמיננטה של מטריצה מייצגת T(A)=M·A לפי בסיסים שונים של R^{2x2}, ומציאת מטריצה A כך שדטרמיננטה נתונה)
• פתרון מועד א' קיץ תשע, שאלה 6 — מבחן · פתרון (תכונות ההעתקות T (הערכת פולינום באפס) ו-S (הכפלה בפולינום קבוע) - לינאריות, מימד גרעין, היות T על, ועקבת ההרכבה S∘T)

אלגברת מטריצות

• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (בסיס לפתרונות Av=v ובניית מטריצה B בדרגה 2 המקיימת (A-I)B=0)
• מועד ב' קיץ תשע"ו, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (הוכחת הפיכות A-2I בהינתן A²=0)
• פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 12 — מבחן ((בר-אילן 1999 מועד א') טענות כלליות נכון/לא נכון על דרגה והפיכות של מטריצות A,B)

הגדרה ותכונות של שדה

• מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 10 — מבחן (נכון/לא נכון: מטריצה סימטרית וגם אנטי-סימטרית מעל כל שדה גוררת A=0)
• בוחן קיץ תשע"ג, שאלה 3א — מבחן (הוכחה/הפרכה: אם v1,v2,v3 בת"ל מעל שדה שמאפיינו אינו 2, אז גם v1+v2, v2+v3, v1+v3 בת"ל)
• בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 2 — מבחן (הוכחת תכונות יסוד בשדה כללי: 0_F·a=0_F, והפיכות המכפלה ab עבור a,b שונים מאפס יחד עם נוסחת ההופכי)

פרק 6 - דטרמיננטות

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 5 — מבחן · פתרון (חישוב דטרמיננטה של מטריצה 3x3 עם פרמטר a, מציאת ההופכית בנוסחת לפלס/מטריצה נלווית, שימוש בהופכית למציאת אילו וקטורים הם עמודות שלה, ומציאת a שעבורו A-I ו-A^{-1}-I אינן הפיכות)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 5א — מבחן · פתרון (קביעת ערכי הפרמטרים a,b,c,x עבורם מטריצה 3x3 פרמטרית הפיכה, לפי חישוב הדטרמיננטה (תלות בדיסקרימיננטה b²-4ac))

תמורות

• מועד א' קיץ תשע"ו, שאלה 6א — מבחן · פתרון (חישוב A^2016 ו-A^2017 עבור מטריצת תמורה (permutation) מחזורית נתונה)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 9 — מבחן (דטרמיננטת מטריצת המעבר בין בסיס B לבסיס B' המתקבל מהחלפת סדר האיברים לפי תמורה)

צורה קרטזית וצורה קוטבית

• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5ג — מבחן · פתרון (חישוב z^4446 עבור מספר מרוכב נתון בעזרת צורה קוטבית)
• בוחן קיץ תש"ע + פתרון, שאלה 3ב — מבחן (חישוב חזקה גבוהה (z^4446) של מספר מרוכב בעזרת המרה לצורה קוטבית ומשפט דה-מואבר)

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות

• מועד א' חורף תשע, שאלה 1 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של חמש טענות עבור A עם rankA=m: קיום פתרון לכל b, גרעין טריוויאלי, מרחב שורות שווה ל-F^n, אי-תלות שורות, ותלות עמודות כאשר m≠n)
• מועד א' חורף תשסט, שאלה 3א — מבחן · פתרון (ספירת מספר הפתרונות של מערכת משוואות לינארית מעל השדה הסופי Z3 (התשובה: 9=3^2 פתרונות))

הצגה פרמטרית ואלגברית

• מועד א' חורף תשסח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (אפיון סכום ישר (V=U+W ו-U∩W={0}) לפי יחידות הצגה v=u+w, והפעלה על U={x1+...+xn=0}, W={x1=...=xn} עבור e=(1,0,...,0))
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 10 (חלק ב') — מבחן (חישוב מרחק שתי נקודות נתונות מישר נתון ובדיקה אם הן באותו צד של הישר (שאלת גיאומטריה אנליטית שאינה מכוסה ישירות באוצר הנושאים))

פרק 1 - שדות

• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ח, שאלה 5ג — מבחן · פתרון (עבור a=1,b=0,c=1 קבועים, מציאת x מרוכב כך ש-det(A)=0, ומציאת בסיס למרחב האפס N(A) מעל המרוכבים)

נוסחת לפלס

• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (זהות על דטרמיננטות של מטריצה לא הפיכה, חישוב דרגה ממינור 2x2, והוכחת הפיכות לכל t≠i)

דטרמיננטת המשוחלפת

• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 5ד — מבחן · פתרון (הוכחה: n אי-זוגי ו-A אנטי-סימטרית (A^T=-A) גוררים ש-A אינה הפיכה)

שלוש צורות הצגת ההעתקה

• מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מציאת [Tⁿ] לכל n טבעי עבור העתקה לינארית נתונה על ℝ⁴)