מרכז של תת-חבורה

המרכז (כף בסגול) של תת-חבורה H של חבורה G כולל את האברים של G המתחלפים עם כל האברים של H. מסמנים אותו בסימון [math]\displaystyle{ \ C_G(H) }[/math]. המקרים הקיצוניים הם [math]\displaystyle{ \ C_G(1) = G }[/math] (כל איבר של החבורה מתחלף עם איבר היחידה), ו- [math]\displaystyle{ \ C_G(G)=Z(G) }[/math], המרכז של החבורה. הדוגמא האחרונה מראה שהמרכז (centralizer) של תת-חבורה מכליל את מושג המרכז (center).

אם [math]\displaystyle{ \ H_1 \subseteq H_2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \ C_G(H_2) \subseteq C_G(H_1) }[/math]. תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ \ H \subseteq C_G(C_G(H)) }[/math]. משתי עובדות אלו נובע ש- [math]\displaystyle{ \ C_G(C_G(C_G(H))) = C_G(H) }[/math].

המרכז של H תמיד מוכל במנרמל של H; למעשה זוהי תת-חבורה נורמלית, ולפי משפט N/C, חבורת המנה משוכנת בחבורת האוטומורפיזמים של H.