משפט לגרנז'

משפט לגרנז' הוא אחד המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות.

משפט. תהי G חבורה סופית ו-H תת-חבורה שלה, אז הסדר של H מחלק את הסדר של G.

הוכחת המשפט בשורה אחת: G היא איחוד זר של הקוסטים השמאליים של H, שכולם שווי-עוצמה.

מסקנה. הסדר של כל איבר בחבורה מחלק את סדר החבורה.

הוכחת המסקנה. הסדר של איבר שווה לסדר של החבורה הציקלית שהוא יוצר.

דגשים

המשפט תקף לחבורות סופיות. לחבורה אינסופית יכולות להיות תת-חבורות מסדר סופי (ואינדקס אינסופי), תת-חבורות מאינדקס סופי (וסדר אינסופי), ותת-חבורות שהסדר שלהן והאינדקס שלהן אינסופיים. תת-החבורות מסדר סופי של חבורה אינסופית יכולות להיות מכל סדר שהוא.

מהמשפט נובע שבחבורת-p, כל תת-חבורה היא חבורת-p בעצמה.

שאלות לדוגמא

• תן דוגמא נגדית ל"משפט לגרנז' של המונואידים" (הטוען, כביכול, שהסדר של מונויד סופי מתחלק בסדר של כל תת-מונויד) (89214, מבחן תשע"ב מועד א').
• פתרון.

• הסבר היכן נכשלת ההוכחה של משפט לגרנז' (של חבורות) עבור מונוידים (89214, מבחן תשע"ב מועד א').
• פתרון.