נוסחת לפלס ומטריצה נלווית

בקצרה: נוסחת לפלס מאפשרת לחשב דטרמיננטה של מטריצה בגודל [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] על ידי פיתוח לפי שורה או עמודה בודדת, באמצעות מינורים - דטרמיננטות של תת-מטריצות קטנות יותר: [math]\displaystyle{ \det(A)=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]. מאותם מינורים בונים את המטריצה הנלווית [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math], המקיימת [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=|A|\cdot I }[/math], ומכאן נובעת נוסחה מפורשת להופכית: [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) }[/math].

נוסחת לפלס היא דרך נוספת - מלבד דירוג וסכימה לפי תמורות - לחישוב דטרמיננטה: היא מפחיתה את חישוב הדטרמיננטה של מטריצה בגודל [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] לחישוב [math]\displaystyle{ n }[/math] דטרמיננטות של מטריצות בגודל [math]\displaystyle{ (n-1)\times(n-1) }[/math]. השיטה שימושית במיוחד כשיש במטריצה שורה או עמודה עם הרבה אפסים, וכן במטריצות עם פרמטרים שקשה לדרג אך קל לחשב את הדטרמיננטה שלהן. מאותם מינורים המככבים בנוסחת לפלס בונים את המטריצה הנלווית (האדג'וינט), המקשרת בין הדטרמיננטה, ההופכית של מטריצה, וכלל קרמר לפתרון מערכות משוואות ליניאריות.

הגדרה

• מינור: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ 1\le i,j\le n }[/math] מסמנים ב-[math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] את המטריצה בגודל [math]\displaystyle{ (n-1)\times(n-1) }[/math] המתקבלת מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי מחיקת השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] ומחיקת העמודה ה-[math]\displaystyle{ j }[/math] שלה (שימו לב: [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] היא מטריצה, ולא האיבר [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math]!). הדטרמיננטה [math]\displaystyle{ |A_{ij}| }[/math] נקראת מינור של [math]\displaystyle{ A }[/math].
• נוסחת לפלס - פיתוח לפי שורה: לכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math].
• נוסחת לפלס - פיתוח לפי עמודה: לכל [math]\displaystyle{ j }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math].
• לוח הסימנים [math]\displaystyle{ (-1)^{i+j} }[/math] מתנהג כמו לוח שחמט: הוא [math]\displaystyle{ + }[/math] על האלכסון (ובפרט תמיד במקום [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]), ומתחלף בכל צעד ימינה, שמאלה, למעלה או למטה.
• המטריצה הנלווית (האדג'וינט): תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]. המטריצה הנלווית [math]\displaystyle{ adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math].
• שימו לב להיפוך האינדקסים: במקום ה-[math]\displaystyle{ (i,j) }[/math] של הנלווית מופיע המינור [math]\displaystyle{ A_{ji} }[/math], ולא [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math]. זהו מקור נפוץ לטעויות בחישוב.

משפטים ותכונות

• משפט: תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית מעל שדה [math]\displaystyle{ F }[/math] כלשהו. אזי [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=|A|\cdot I }[/math].

הוכחה: איבר האלכסון ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \sum_{p=1}^n a_{ip}(-1)^{i+p}|A_{ip}| }[/math] - זו בדיוק נוסחת לפלס לפי השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math], ולכן שווה ל-[math]\displaystyle{ |A| }[/math]. האיבר ה-[math]\displaystyle{ (i,j) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \sum_{p=1}^n a_{ip}(-1)^{j+p}|A_{jp}| }[/math] - זו נוסחת לפלס לפי השורה ה-[math]\displaystyle{ j }[/math] של המטריצה המתקבלת מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי כתיבת השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] גם במקום השורה ה-[math]\displaystyle{ j }[/math]; למטריצה כזו שתי שורות זהות, ולכן דטרמיננטתה 0. הוכחה מלאה בהרצאה.

• מסקנה (הופכית דרך הנלווית): אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}adj(A) }[/math].

הוכחה: [math]\displaystyle{ |A|\neq0 }[/math], ולכן מותר לחלק בו את שני אגפי המשפט הקודם: [math]\displaystyle{ A\cdot\left(\frac{1}{|A|}adj(A)\right)=I }[/math]. מכיוון שמדובר במטריצות ריבועיות, מספיק שוויון זה מצד אחד כדי להסיק שמדובר בהופכית.

• משפט: לכל מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math] מגודל [math]\displaystyle{ n\times n }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ n\geq2 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ |adj(A)|=|A|^{n-1} }[/math].

הוכחה (המקרה ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה): מפעילים דטרמיננטה על שני אגפי [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=|A|\cdot I }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ |A|\cdot|adj(A)|=|A|^n }[/math]; מחלקים ב-[math]\displaystyle{ |A|\neq0 }[/math]. המקרים בהם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה (כולל [math]\displaystyle{ A=0 }[/math]) נבדקים בנפרד ומראים ששני האגפים שווים 0. הוכחה מלאה בהרצאה.

שיטה / איך מחשבים

חישוב דטרמיננטה לפי לפלס:

1. בוחרים שורה או עמודה עם כמה שיותר אפסים.
2. לכל איבר לא אפס באותה שורה/עמודה: מוחקים את השורה והעמודה שלו ומחשבים את המינור המתאים.
3. מכפילים כל מינור באיבר עצמו ובסימן [math]\displaystyle{ (-1)^{i+j} }[/math], ומסכמים.
4. חוזרים רקורסיבית עד שמגיעים למטריצות [math]\displaystyle{ 2\times2 }[/math] או [math]\displaystyle{ 1\times1 }[/math], שיודעים לחשב ישירות.

חישוב המטריצה הנלווית בלי להתבלבל באינדקסים:

1. מחשבים לכל [math]\displaystyle{ (i,j) }[/math] את המינור [math]\displaystyle{ |A_{ij}| }[/math] ומכפילים בסימן [math]\displaystyle{ (-1)^{i+j} }[/math] - כך מתקבלת מטריצת עזר (מטריצת הקופקטורים) באותו סדר שורות ועמודות כמו [math]\displaystyle{ A }[/math] עצמה.
2. משחלפים את המטריצה שהתקבלה - התוצאה היא [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math].
3. לחישוב ההופכית, מחלקים את כל האיברים ב-[math]\displaystyle{ |A| }[/math].

דוגמאות

דוגמה 1 (חישוב הנלווית של מטריצה [math]\displaystyle{ 2\times2 }[/math] כללית). תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} }[/math]. לפי השיטה, קודם מחשבים את מטריצת הקופקטורים (בלי שילוף): במקום [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] מוחקים שורה ועמודה ראשונה ומקבלים [math]\displaystyle{ +d }[/math]; במקום [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ -c }[/math]; במקום [math]\displaystyle{ (2,1) }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ -b }[/math]; במקום [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ +a }[/math]. משחלפים ומקבלים [math]\displaystyle{ adj(A)=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} }[/math].

דוגמה 2 (אימות [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=|A|\cdot I }[/math]). עבור אותה [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix}=(ad-bc)\,I=|A|\cdot I }[/math]

בדיוק כפי שהמשפט מבטיח. מכאן גם הנוסחה השימושית להופכית של מטריצה [math]\displaystyle{ 2\times2 }[/math]: [math]\displaystyle{ A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ ad-bc\neq0 }[/math].

דוגמה 3 (ניצול אפסים בפיתוח לפי לפלס). במטריצה [math]\displaystyle{ 4\times4 }[/math] יש שורה שכל איבריה 0 פרט לאיבר במקום [math]\displaystyle{ (2,3) }[/math] ששווה [math]\displaystyle{ -3 }[/math]. פיתוח לפי שורה זו משאיר איבר יחיד בסכום:

[math]\displaystyle{ \det(A)=(-1)^{2+3}\cdot(-3)\cdot|A_{23}|=3\,|A_{23}| }[/math]

במינור [math]\displaystyle{ A_{23} }[/math] (מטריצה [math]\displaystyle{ 3\times3 }[/math]) יש עמודה שכל איבריה 0 פרט לאיבר על האלכסון שלה, ששווה [math]\displaystyle{ 2 }[/math], וכאשר מוחקים את השורה והעמודה שלו מתקבלת המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&5\\7&1\end{pmatrix} }[/math]. לכן

[math]\displaystyle{ |A_{23}|=(-1)^{2+2}\cdot2\cdot\det\begin{pmatrix}1&5\\7&1\end{pmatrix}=2\cdot(1-35)=-68 }[/math]

ובסך הכל [math]\displaystyle{ \det(A)=3\cdot(-68)=-204 }[/math]. במקום לפתח את הדטרמיננטה לפי ההגדרה המקורית (24 מכפלות), הגענו לתשובה בעזרת שתי דטרמיננטות קטנות בלבד.

שאלות תרגול

שאלה 1. חשבו את [math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}2&0&3\\1&-1&4\\0&0&5\end{pmatrix} }[/math] תוך ניצול נוסחת לפלס.

פתרון

השורה השלישית מכילה שני אפסים - נפתח לפיה: [math]\displaystyle{ \det(A)=(-1)^{3+3}\cdot5\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}=5\cdot(-2)=-10 }[/math].

שאלה 2. תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math] ואמתו כי [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=|A|\cdot I }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ |A|=4-6=-2 }[/math]. ואכן [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}=-2\,I }[/math].

שאלה 3. עבור [math]\displaystyle{ A }[/math] משאלה 2, חשבו את [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] בעזרת הנלווית ואמתו את התשובה.

פתרון

[math]\displaystyle{ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}adj(A)=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix} }[/math]. בדיקה: [math]\displaystyle{ A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math].

שאלה 4. תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} }[/math]. הראו כי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה, חשבו את [math]\displaystyle{ adj(A) }[/math], ובדקו את הזהות [math]\displaystyle{ |adj(A)|=|A|^{n-1} }[/math].

פתרון

[math]\displaystyle{ |A|=4-4=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה. [math]\displaystyle{ adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-2&1\end{pmatrix} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ |adj(A)|=4-4=0=0^{2-1}=|A|^{n-1} }[/math]. אפשר גם לבדוק ישירות ש-[math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=|A|\cdot I }[/math].

שאלה 5. עבור אילו ערכים של הפרמטר [math]\displaystyle{ t }[/math] המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}t&1\\4&t\end{pmatrix} }[/math] הפיכה? עבור ערכים אלו, חשבו את [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] באמצעות הנלווית.

פתרון

[math]\displaystyle{ |A|=t^2-4 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אם"ם [math]\displaystyle{ t\neq\pm2 }[/math]. במקרה זה [math]\displaystyle{ adj(A)=\begin{pmatrix}t&-1\\-4&t\end{pmatrix} }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ A^{-1}=\dfrac{1}{t^2-4}\begin{pmatrix}t&-1\\-4&t\end{pmatrix} }[/math].

טעויות נפוצות

• לבלבל בין [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] (המטריצה המתקבלת ממחיקת שורה ועמודה) לבין האיבר [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] - אלה שני אובייקטים שונים לגמרי.
• לשכוח את סימן [math]\displaystyle{ (-1)^{i+j} }[/math] או לטעות בקביעתו - כדאי לזכור שעל האלכסון (ובפרט במקום [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math]) הסימן תמיד [math]\displaystyle{ + }[/math], ומשם לספור כמו לוח שחמט.
• בבניית המטריצה הנלווית, לשים את המינור [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] במקום ה-[math]\displaystyle{ (i,j) }[/math] במקום את [math]\displaystyle{ A_{ji} }[/math] - שכחת השילוף. כדי להימנע מהטעות כדאי לחשב קודם את מטריצת הקופקטורים (בלי שילוף) ורק בסוף לשחלף.
• להשתמש בנוסחה [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ |A|=0 }[/math] - הנוסחה תקפה רק כאשר [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה.
• לבחור לפתח לפי שורה או עמודה "שרירותית" במקום לחפש את זו עם הכי הרבה אפסים, ולסבך את החישוב שלא לצורך.

שאלות ממבחנים

• מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (זהות על דטרמיננטות של מטריצה לא הפיכה, חישוב דרגה ממינור 2x2, והוכחת הפיכות לכל t≠i)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (אי-תלות הדטרמיננטה והעקבה בבחירת בסיס למטריצה מייצגת, והפרכת אותה טענה עבור המטריצה הנלווית)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3ג — מבחן · פתרון (הוכחה ש-C(adj([T2]))=N([T2]) עבור a=2, באמצעות דרגת המטריצה המייצגת)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה ש-A סימטרית ו-B אנטי-סימטרית מתוך A-A^t=B+B^t, וכי המטריצה הנלווית adj(A) סימטרית גם היא)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 5 — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה הפיכה A המקיימת A=adj(2A) (ממשית) ו-A=adj(-2A) (מרוכבת))
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (A∈R^(3×3) עם AᵀA²=-I: ביטוי adj(A) באמצעות A)
• מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 6ב — מבחן · פתרון (A∈R^(3×3), |A|=2: חישוב |3·A·Aᵀ·A⁻¹·adj(A)|)
• מבחן לדוגמה, קיץ תשע"ד, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה B≠0 עבור A נתונה כך ש-AB=BA=0, באמצעות B=adj(A) (כי |A|=0))
• מבחן מועד א' ופתרונו, קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן (נתון AB·adj(BA)=I; הוכיחו |AB|=1 והוכיחו AB=BA)
• מבחן מועד ב', קיץ תשע"ד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (נתון (A+I)²=0: הוכיחו A הפיכה, והביעו את adj(A) באמצעות A,I והסקלר |A|)
• מבחן מועד א' חורף תשעד, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הגדרת המטריצה הצמודה הקלאסית adjA, והוכחת rk(adjA)=1 כאשר rk(A)=n-1)
• מבחן מועד א' קיץ תשע"ב, שאלה חלק ב' - שאלה 10 — מבחן (ערך A·Adj(A) עבור מטריצה 5x5מ מדרגה 3 (חסרת דרגה מלאה))
• מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת הנוסחה A·Adj(A)=|A|·I עבור A∈ℝ^{n×n})
• מועד א' חורף תשסו, שאלה 9 (חלק ב') — מבחן (חישוב det(A) בהינתן C=adj(A) ו-det(C)=c)

הרשימה המלאה, לפי מבחן ולפי נושא: אלגברה לינארית 1/אינדקס שאלות.

סרטונים

נוסחת לפלס: הוכחת הנוסחה לפיתוח דטרמיננטה לפי שורה ולפי עמודה (כולל טענות העזר המובילות אליה), ודוגמה לחישוב דטרמיננטה [math]\displaystyle{ 4\times4 }[/math] תוך ניצול שורה ועמודה עם אפסים:

המטריצה הנלווית: הגדרת האדג'וינט ודוגמת חישוב למטריצה [math]\displaystyle{ 2\times2 }[/math] כללית, הוכחת [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=|A|\cdot I }[/math], הנוסחה להופכית דרך הנלווית, והוכחת [math]\displaystyle{ |adj(A)|=|A|^{n-1} }[/math]: