שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/ערך הביניים

איך פותרים את תרגיל 4 ??

פתרון: נגדיר לכל n את הפוקנציה הבאה ונרצה למצוא להן שורש: [math]\displaystyle{ g_{n}(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n}) }[/math]

נשים לב שהפונקציה רציפה בתחחום [math]\displaystyle{ [0,\frac{n-1}{n}] }[/math], ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים.

נביט בערכים הבאים (אם אחד מהם שווה ל0, סיימנו): [math]\displaystyle{ X=\left \{ g_{n}(\frac{i}{n}):0\leq i\leq n-1 \right \} }[/math]

נרצה למצוא שני איברים בתחום ההגדרה של הפונקציה [math]\displaystyle{ g_{n}(x) }[/math] עם סימנים מנוגדים.

נבחין כי:

[math]\displaystyle{ g(0)=f(0)-f(\frac{1}{n}) }[/math]

וכן כי מתקיים: [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})=f(\frac{1}{n})-f(1)=f(\frac{1}{n})-f(0) }[/math]

לפי משפט ערך הביניים קיים [math]\displaystyle{ c\in [0,\frac{n-1}{n}] }[/math] כך שמתקיים:

[math]\displaystyle{ g(c)=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}g(\frac{i}{n})}{n-1}=\frac{f(\frac{1}{n})-f(0)}{n-1} }[/math]

בבירור ניתן להבחין כי הסימנים של [math]\displaystyle{ g_{n}(0) }[/math] ושל [math]\displaystyle{ g_{n}(c) }[/math] שונים, ולכן קיימת לפונקציה g שורש וסיימנו.

       תודה, אכזרי ביותר.