88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/ערך הביניים
משפט ערך הביניים
ראה משפט ערך הביניים
תרגילים
1
תהי [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to[a,b] }[/math] פונקציה על ורציפה. הוכיחו כי קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f(c)=c }[/math] .
2
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה על כל הממשיים. הוכיחו כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ f\big(f(x)\big)=x }[/math] אם"ם קיימת נקודה [math]\displaystyle{ y }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(y)=y }[/math] .
3
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה על כל הממשיים בעלת מחזור [math]\displaystyle{ T }[/math] . הוכיחו כי קיימות זוג נקודות המקיימות:
- [math]\displaystyle{ \big|x_1-x_2\big|=\frac{T}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]
4
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(0)=f(1)=0 }[/math] . הוכיחו כי לכל [math]\displaystyle{ n\in\N }[/math] קיימות בקטע זוג נקודות המקיימות:
- [math]\displaystyle{ \big|x_1-x_2\big|=\frac1{n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]
_______________________
אפשר להוסיף פתרונות לכל אלו?