שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 1
שאלה 1 תרגיל 1 (מתמטיקאים)
מתן, אני עונה לשאלה שלך כאן כי אין לי פייסבוק. מה שאתה אומר נכון כאשר [math]\displaystyle{ a }[/math] אי שלילי אבל אינו נכון כאשר [math]\displaystyle{ a }[/math] שלילי. שים לב שבשני אי השווינים זה שנתון וזה שצ"ל יש ערך מוחלט גם באגף ימין. --מני 12:50, 22 באוקטובר 2012 (IST)
תרגילי בית
אתה יכול להעלות את תרגילי הבית בPDF? (כי גם ככה לא צריך לערוך את זה אחרי שנה)
- מטרת העל היא להעלות הכל בפורמט ויקי. כל תרגיל וכל פתרון מתכנסים לכדי מאגר גדול, ואתם נהנים מפירות השנים הקודמות. ניתן לבחור גרסאת הדפסה מימין למטה ולהדפיס. --ארז שיינר
- אבל האיכות של זה היא לא איכות של PDF.תדפיס תרגיל כזה ולידו תרגיל שנתנו לנו בקיץ.ותראה שמה שבPDF הרבה יותר נעים לקרוא. --Caspim 23:55, 21 באוקטובר 2012 (IST)
- כל אחד וההקרבות שלו. אני מקים את כל האתר הזה ומנהל את כל התוכן, אתם צריכים להתמודד עם פונטים של latex... אם אני אוכל לשפר את האיכות בעתיד אעשה זאת. --ארז שיינר
- אני חושב שצריך להוריד בגרסה להדפסה את החלק של הפיסבוק. זה מבזבז לי קצת טונר --Avital 20:19, 22 באוקטובר 2012 (IST)
האוני' פתוחה
הספרם של האוניברסיטה הפתוחה מתחילים מיחידה 3?
- אני לא בטוח מה כוונת השאלה, ואני לא בטוח מה יש בספרים של הפתוחה. כמדומני הם מדלגים על סדרות וטורים ומתחילים ישר מגבולות של פונקציות. זה לא הסדר שאנחנו נעבוד לפיו. --ארז שיינר
- אז איזה ספר אתה ממליץ?
- מייזלר הולך מאד מאד קרוב לתוכנית הלימודים שלנו. אני ממליץ לנסות לדבר עם סטודנטים בוגרים יותר לשמוע מה הם מצאו כיעיל --ארז שיינר
תרגיל 1 (תיכוניסטים)
בשאלות 1 ו2 x ממשי, נכון? --Avital 20:15, 22 באוקטובר 2012 (IST)
- מצטרפת, ואם יוצא לי לא ממשי צריך להתעלם מזה?
- x הוא ממשי --ארז שיינר
תרגיל 1ב (תיכוניסטים)
יש מצב זה אמור להיות [math]\displaystyle{ x^2-4x+3 }[/math] במקום [math]\displaystyle{ x^2-4x-3 }[/math]?
הפתרון יוצא יותר יפה.. :)
- מה יותר יפה משורש? --ארז שיינר
שהתוצאה היא רציונאלית
מישהו יכול לעזור לי?
איך מוכיחים:
[math]\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2-n+1}{3n^2+2n+1}=\frac{1}{3} }[/math]
תודה תודה רבה :)
- (לא מתרגל) אצלנו בהרצאה המרצה הביא את הכיוון. הוא אמר שאפשר לעשות זאת בקלות על ידי אריתמטיקה של גבולות, כלומר כל מני חוקים שמתקיימים בגבולות של כמה סדרות, עליהם נלמד בשיעור הבא. בכל מקרה, הכיוון שהוא הביא: צריך לחלק את המונה והמכנה בn^2, ואז נקבל:
http://www.math-wiki.com/images/b/bc/Daum_equation_1351689248875.png
מכאן זה דיי פשוט - לפי החוקים שנלמד, הגבול של המכפלה הוא מכפלת הגבולות, כנ"ל עם חילוק, חיסור וחיבור, ואפשר לראות שאחת חלקי n שואף לאפס, גם 2 חלקי n, גם 1 חלק n^2, וכו'. בנוסף "נפטרים" מכל הדברים עם n, חוץ מה1 למעלה והשלוש למטה, ונשאר שליש כי 1 ו-3 הם סדרה קבועה.
ואיך מוכיחים זאת בלי אריתמטיקה של גבולות?
- אני לא בטוח שאפשר, אבל בעיקרון כמו שמוכיחים ש1 חלקי n שואף לאפס. ננחש שהגבול הוא שליש, ונפעל לפי ההגדרה. כלומר, לכל אפסילון גדול מאפס, נרצה למצוא n0 כך שלכל n>n0 המרחק בין an לשליש (בערך מוחלט) קטן מאפסילון. לא בטוח שזה יעבוד בכזו קלות, אולי לא יעבוד בכלל.
אוקי תודה :)
שאלה 7 בתרגיל 2
האם צריך להוכיח כי קיים חסם עליון ל A וחסם תחתון ל B, או שאפשר לצאת מנקודת הנחה שיש להם את החסמים הנ"ל?
-לפי אקסיומת השלמות, כל תת קבוצה של R שחסומה מלעיל, יש לה סופרימום. את השאר צריך להוכיח.
תרגיל 2 שאלה 5 ב' (תיכוניסטים)
אם אני רוצה להפריך ע"י הבאת שתי קבוצות שהחסמים שלהן מקיימים את התנאי, צריך למצוא לשתיהן את החסמים בשיטה הרגילה או שאפשר להסתפק בכך שברור שהם החסמים (אם מדובר בקבוצות שהחסמים שלהן ברורים)? Avichai 21:08, 1 בנובמבר 2012 (IST)
כנ"ל לגבי הפרכות בשאלה 6.
- צריך להסביר, לא חייבים להוכיח עם אפסילון. --ארז שיינר
תרגיל 2 שאלה 4 (תיכוניסטים)
אפשר למצוא חסם עליון וחסם תחתון בעזרת אינדוקציה?
- אני מניחה שהשאלה היא: אחרי שיש לי רעיון מהו החסם, האם ניתן להוכיח באינדוקציה שהוא אכן החסם? התשובה היא כן...--לואי 21:08, 3 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 2 שאלה 5ג (תיכוניסטים)
האם אפשר לכתוב רק את המקרה הכללי או שצריך גם להוכיח?
תרגיל 2 שאלה 8 (תיכוניסטים)
בסוף בסוגריים זה לא אמור להיות אפס חסם תחתון של A אם"ם A^-1 לא חסומה מלעיל?
כי אם לא אפשר להפריך את זה, לדוגמה אם A היא קבוצת כל המספרים הממשיים הגדולים מ-0, אז 0 יהיה חסם תחתון של A^-1.
- קבוצה חסומה היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע. בR זה אומר שיש גם אינפימום וגם סופרימום.
תרגיל 2, שאלה 2 (בוגרים)
האם ניתן להפריך את הטענה : שאלה 2 יהי x∈ℝ מספר ממשי המקיים x ≥ 0 . נניח בנוסף שמתקיים x < ε לכל ε > 0. הוכיחו או הפריכו: x = 0 . ע"י הוכחת הטענה: לכל אפסילון גדול מאפס קיים n טבעי כך ש- אפסילון גדול מ 1/n??
תודה
- בעיקרון - לא. הערה כללית: זה לא ממש המקום לרשום הוכחות/הפרכות של שאלות. זה עלול להרוס לאנשים שעדיין מנסים לפתור את השאלות בעצמם... =) זה כן המקום לשאול שאלות על החומר, לבקש הבהרות ורמזים על התרגילים, וכדומה... --לואי 21:06, 3 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 2 (מדמ"ח)
למה אין שאלה מספר אחת? לא אמורה להיות, או שהיא נשמטה?
- אין שאלה אחת, לא לדאוג (: --ארז שיינר
ספר באינפי של הוכמן
האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ? תודה.
- אני לא מכיר את הספר. --מני 12:07, 7 בנובמבר 2012 (IST)
ספר באינפי של הוכמן
האם הספר "חשבון אינפיניטסימלי" של מיכאל הוכמן בהוצ' אקדמון טוב לקורס שלנו ? תודה.
תרגיל 2 ,שאלה 3(מתמטיקאים בוגרים)
הכוונה שם זה לתת הפרכה, ככה שאני בוחר את A ,ובוחר אפסילון שיתאים? תודה
- לא. הטענה היא שאם A קבוצה שעבורה מתקיים התנאי שמופיע בתרגיל אז בהכרח 0 אינו חסם תחתון. לכן אתה לא יכול לבחור A ספציפית אלא להוכיח עבור כל A שמקיימת את התנאי. זאת אומרת אתה צריך לקחת A שרירותית אבל מותר לך להניח שהתנאי עם אפסילון מתקיים (גם כאן אתה לא יכול לבחור את אפסילון). מזה אתה צריך ויכול להסיק שאפס בהכרח אינו החסם התחתון. --מני 12:12, 7 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 2 שאלה 5 (מתמטיקאים)
מצאו חסם עליון תחתון מינ' מקס' . צריך גם להוכיח ? למשל אם לא קיים מקס' להוכיח זאת ?
- כן. צריך להוכיח. אם מוצאים את החסם עליון (כמובן עם הוכחה) והוא לא שייך לקבוצה אז זה מספיק להסיק שאין מקסימום.--מני 22:50, 7 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 3 שאלה 4 ו (תיכוניסטים)
אם לדוגמא קיים i כך ש ai = 0, אז התרגיל מוגדר בכלל?
???
(לא מתרגל / מרצה) זה תלוי. מותר למספר סופי של איברים להיות 0, אך חייב להיות [math]\displaystyle{ n_1\in N }[/math] עבורו לכל [math]\displaystyle{ n\ge n_1 }[/math], [math]\displaystyle{ a_n\neq 0 }[/math] --גיא 16:48, 9 בנובמבר 2012 (IST)
שאלה 1 תרגיל 3(תיכוניסטים)
מותר בשאלה 1 להשתמש מבלי להוכיח בכך ש [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \propto}\frac{1}{n}=0 }[/math] ?
תרגיל 3 שאלה 4 (תיכוניסטים)
למה הכוונה "מתכנסת במובן הרחב לאינסוף" ? לא למדנו את המושג בכלל(לא בהרצה ולא בתרגול).
(לא מרצה / מתרגל) תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה. אזי נאמר ש-[math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת לאינסוף (במובן הרחב) אם [math]\displaystyle{ \forall M\gt 0, \exist N_M\in N ,\forall n\ge N_M : a_n\ge M }[/math] --גיא 22:59, 8 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 2 שאלה 6 אינפי למתמטיקאים
בשאלה 6 הגדרתם ש A ו B חסומות מלרע, האם אני יכול לקחת כדוגמאות קבוצות שהן גם חסומות מלעיל וגם חסומות מלרע?
- כן.
תרגיל 3 שאלה 1 סעיף א'
אני יכול להוציא שורש לגבול? לדוגמא אם [math]\displaystyle{ (\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})^2=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ (\lim_{n \to \infty }\frac{1}{\sqrt n})=0 }[/math]
תרגיל 3 שאלה 4ה' (תיכוניסטים)
האם אני יכול להפריך את הטענה ע"י כך שאני אומר ש-An היא סדרה אינסופית שכל אחד מהאיברים שלה הוא 0?
- (לא מתרגל) אני חושב שאפשר להניח שAn הוא לא אפס, אחרת לתרגיל אין כל כך משמעות, כי Bn לא מוגדרת בכלל (וגם לסעיפים ד,ו תחת אותו רעיון).
שאלה לגבי שאיפה במובן הרחב (תיכוניסטים)
בשאלות 5 ו6 בתרגיל 3 צריך להוכיח את הטענות גם עבור המובן הרחב (כלומר עבור שאיפה ל[math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math])?
תרגיל 3 (מדמ"ח)
בשאלה 5, האם מותר לי להשתמש במה שלמדנו בכיתה שכל סידרה המתכנסת לאפס כפול סידרה חסומה ולא מתכנסת, היא סידרה המתכנסת לאפס? כי אז צד אחד של הגרירה הכפולה הוא בדיוק זה...
תשובה: כן, מותר להשתמש בשיטות שראינו בתרגול - אבל צריך לצטט את הטענה ולציין שהוכחנו אותה בתרגול.--איתמר שטיין 14:41, 11 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 3 שאלה 2 (מתמטיקאים)
בהגדרה של אקסיומת דדקינד בכיתה הגדרנו עבור 2 קבוצות שמוכלות בF. האם אפשר להשתמש באקסיומה על 2 קבוצות ב R?
- שאלה טובה. אפשר להסתכל מה בדיוק היה אותו F באקסיומת דדיקנד ומה נאמר על [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] בהמשך אותה ההרצאה. אני לא רוצה לענות תשובה של כן/לא למרות שיש תשובה כזו. יש לך את כל הכלים להחליט מהי התשובה לשאלה. --מני 11:02, 12 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 3 (רגילים)
האם ניתן להגדיר סופ/ ו אינפ על קבוצה בעלת איבר יחיד??
- בהחלט כן. --לואי 16:48, 12 בנובמבר 2012 (IST)
(מתמטיקאים), תרגיל 3 שאלה 1
האם ניתן עבור הוכחת sup,inf שקיימים m,n שמקיימים לדוגמא הביטוי בתרגיל<0+ε(אפסילון) לבחור m,n כביטוי עם אפסילון לדוגמא n=אפסילון/2? תודה
- לפני שאענה יש לי הערה. אני די מנחש מההקשר מה ניסית לעשות. ההשערה שלך היא שאפס הוא החסם התחתון וזאת הבדיקה שמוצעת כאן, נכון? הייתי שמח אם אפשר היה להוסיף עוד שתי מילים כדי שהשאלה תהיה ברורה יותר.
בכל מקרה התשובה לשאלה עצמה שהעלית היא שלילית. m,n אמורים להיות טבעיים ואפסילון לא צריך להיות טבעי וגם לא אפסילון חלקי 2 מה שאומר שאי אפשר לבחור n ששוה לאפסילון חלקי 2 (אגב אני לא יודע מהי קבוצת התרגול שלך אבל בתרגול האחרון שלי עשיתי טעות דומה לזאת ואח"כ תיקנתי אותה). לעומת זאת אי שוויון במקום שוויון .... --מני 14:57, 13 בנובמבר 2012 (IST)
שלילת גבול (תיכוניסטים)
אם אני רוצה להפריך קיום גבול של סדרת, בהינתן סדרת נסיגה: האם אפשר להניח בשלילה שקיים גבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L }[/math], להשתמש בעובדה ש [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} }[/math] ואז להראות סתירה? (לדוגמא ש L שלילי, בעוד שאנחנו יודעים שכל האיברים חיוביים)?
- כן.--מני 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)
שאלה כללית
אם An שואף לאינסוף וBn שואף למינוס אינסוף אני יכול להגיד ש-An/Bn שואף ל1- ?
- (לא מתרגל) צריך להוכיח.
- אינסוף חלקי אינסוף לא מוגדר וכך גם מינוס אינסוף חלקי אינסוף. יכולות להיות הרבה תוצאות אפשריות. לדוגמא [math]\displaystyle{ \frac{n^2}{-n} }[/math] הוא גבול מהצורה אינסוף חלקי מינוס אינסוף והוא שואף דוקא למינוס אינסוף. --מני 16:02, 15 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 4 שאלות 6,8 לתיכוניסטים
כותרת
בשאלה 5 לכל סידרה קיימת תת סידרה מונוטונית... בשאלה 8, הסדרה מונוטונית עולה כלומר a1 הוא חסם תחתון כלומר הסדרה חסומה בניגוד למה שצריך להוכיח
- לגבי שאלה 5 הצדק איתך הענין הוא שביקשו מכם להוכיח פחות. מי שרוצה מוזמן להתפרע ולהוכיח את הטענה הכללית יותר שציינת.
לגבי שאלה 8 זה שלסדרה יש חסם תחתון לא אומר שהיא חסומה מלעיל ולכן אי אפשר להסיק שהיא חסומה.
הגדרה של סדרה ששואפת לאינסוף
ההגדרה אומרת שסדרה an שואפת לאינסוף אם לכל מס' ממשי A קיים N שהחל ממנו an>A.
N לא איבר בסדרה?
- לא. N הוא מקום בסדרה (אינדקס)--מני 22:11, 15 בנובמבר 2012 (IST)
התבדרות/התכנסות במובן הרחב
סדרה שמתכנסת במובן הרחב היא סדרה מתבדרת? סדרה מתבדרת היא סדרה שמתכנסת במובן הרחב?
- התכנסות במובן הרחב פירושה התכנסות לגבול ממשי או [math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math]. התכנסות במובן הצר היא התכנסות למספר ממשי בלבד. סדרה שלא מתכנסת בשום מובן שהוא היא מתבדרת. לגבי התכנסות לערך אינסופי יש חוסר התאמה במינוחים. אנשים שונים משתמשים במינוחים שונים. יש כאלו שיקרא לזה מתבדרת אבל אז הם כמובן מתכונים שהיא דוקא מתבדרת במובן הצר ושאינה מתכנסת לגבול ממשי. אחרים(וזו הגישה שגם אנו נשתדל לאמץ בקורס זה)לא משתמשים בלשון של מתבדרת כאשר ההתכנסות היא לגבול אינסופי ופשוט קוראים לזה מתכנסת לאינסוף או מינוס אינסוף.
התשובה לשאלה השניה היא שלילית בכל מקרה (בלי תלות במינוחים שציינתי קודם) כי יש סדרות שלא מתכנסות לשום גבול ממשי או אינסופי, למשל, [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] מתבדרת אך אינה מתכנסת לשום גבול ממשי או אינסופי. --מני 22:25, 15 בנובמבר 2012 (IST)
דוגמה לסדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב
האם הסדרה 1 חלקי n היא סדרה חסומה שאינה מתכנסת במובן הרחב?
- לא. היא מתכנסת לאפס ובפרט מתכנסת במובן הרחב (פירוט מופיע בתשובה לשאלה הקודמת).--מני 22:31, 15 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 4 שאלה 5(תיכוניסטים)
אומרים ש an חסומה, וצריך להוכיח שקיימת לה תת סדרה מונוטונית. אבל הוכחנו בהרצאה שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. למה צריך להגיד גם שהיא חסומה?
??
- (לא מתרגל)כבר ענו על השאלה הזו למעלה. אתה צודק, מספיק להוכיח שלכל סדרה יש תת סדרה מונוטנית, זו טענה חזקה יותר (אם כי לא מצאתי מה הנתון של חסומה עוזר בחיים).
סדרה חסומה
זה נכון שסדרה חסומה מתכנסת למספר כלשהו (שונה מאינסוף), כי בכל סדרה קיימת תת סדרה מונוטונית, ולתת סדרה זו קיימת חסם (כי היא בסדרה חסומה), ולכן היא מתכנסת?
- (לא מתרגל) לא בהכרח - קח/י לדוגמא את הסדרה ...1,1-,1,1-,1,1-,1. היא סדרה חסומה, ויש לה תת סדרה מונוטנית (ואפילו אינסוף כאלה) ששואפת לגבול ממשי. לכן יש לה חסם מלעיל כמו 1 וחסם מלרע כמו 1-, אבל היא עצמה בכלל לא מתכנסת.
סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה?
סדרה עולה וחסומה מלעיל היא סדרה חסומה? אם כן, למה?
- (לא מתרגל) זה נכון, כי אם הסדרה עולה האיבר הראשון שלה קטן(שווה) מהשני, שקטן(שווה) לשלישי, שקטן (שווה) לרביעי וכו' וכו'. כלומר a1 משמש חסם מלרע. חסם מלעיל יש לפי השאלה שלך, ולכן היא חסומה בסה"כ.
כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב?
כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב?
- (לא מתרגל) כן, זהו משפט מההרצאה.
תרגיל 4 שאלה 4 ב (תיכוניסטים)
כשאומרים תת סדרה ששואפת לאינסוף, מתכוונים לפלוס אינסוף, או למינוס או פלוס אינסוף?
הכוונה היא + אינסוף.
העלאת תרגילים (תיכוניסטים)
אבקש שיעלו את התרגילים ביום ההגשה ולא ידחו את זה לאמצע השבוע כדי שנוכל להספיק להכין אותם. יום הגשת התרגיל לתיכוניסטים באינפי 1 הוא יום ראשון. בזמן האחרון התרגילים מועלים באמצע השבוע במקום להעלות כבר בראשון בערב לאחר ההגשה. אבקש שהעניין יטופל ושיעלו את התרגילים בזמן. תודה!
בוחן (תיכוניסטים)
אפשר בבקשה לכתוב בצורה מפורטת על הבוחן- מתי הבוחן, על מה הוא, איפה יש תרגילים לבוחן, מה המשקל שלו בציון הסופי...
תרגיל 3 (מדמ"ח)
שלום, הגשת תרגיל 3 נדחתה? לכולם? לחלק? תודה מראש.
תרגיל 5 שאלה 1 (תיכוניסטים)
האם מותר להסתמך על כך ש (sin(1/n שואף לאפס או שצריך להוכיח את זה על פי ההגדרה?
תרגיל 4
בשאלה 1 בנוסף למציאת הגבול, אני כאילו צריכה להראות שזה באמת הגבול לפי ההגדרה, עם הערך מוחלט וקטן מאפסילון? או שמספיק שאני מוכיחה את זה על ידי אמירה למה כל מרכיב שואף?
- אפשר לפי ההגדרה, אפשר לפי אריתמטיקה של גבולות ואפשר לפי משפטים אחרים. אם בחרת בשתי האפשרויות האחרונות אין צורך להוכיח לפי הגדרה.--מני 22:23, 19 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 5 שימושים במשפט + שאלה 4
1. האם ניתן להשתמש בהכללה שהמרצה (דר הורוביץ) הראה לנו בהרצאה - lim((1+1/an)^(an))=e לכל סדרה -{an} ששואפת לאינסוף ? 2.שאלה 4 הייתה גם בתרגיל 3, האם זו טעות או שלפתור עוד פעם?
- באופן כללי אם למדתם משפט ודאי שאתם יכולים להשתמש בו. כמובן תוך התיחסות אליו. --מני 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 4 שאלה 7 סעיף א (מתמטיקאים בוגרים)
אם ב-א אם היא מתכנסת, צריך להוכיח או משהו אחר? תודה
- אם היא מתכנסת אז צריך להוכיח ולהגיד מהו הגבול. --מני 16:30, 21 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 5 שאלה 8 (תיכוניסטים)
אפשר להשתמש בזה שסדרה מתכנסת לגבול L אם ורק אם כל תת סדרה שלה מתכנסת ל L
???
- מותר להשתמש בכל משפט שלמדתם --מני 16:48, 21 בנובמבר 2012 (IST)
שאלה כללית בנושא תתי סדרות
תת סדרה של an יכולה להיות מספר סופי של איברים מתוך an?
- קודם כל הערה על המושג איברי סדרה בניגוד לאיברי קבוצה. אם מסתכלים למשל על הסדרה: [math]\displaystyle{ -1,1,-1,1,-1 }[/math] או בקיצור [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] אז כקבוצה מספר האיברים הוא סופי אבל כשאומרים איברי הסדרה יש חשיבות למיקום האיברים ובכל סדרה יש אינסוף איברים. לכל מספר טבעי מתאימים איבר של הסדרה ויש חשיבות לא רק לאיבר אלא גם למיקומו. כנ"ל לגבי תת סדרה. כל תת סדרה היא בפרט סדרה. כזאת שהתקבלה מהסדרה המקורית ע"י בחירת אינסוף מקומות. לכן גם על תת סדרה הייתי אומר שמספר איברי הסדרה של תת הסדרה הוא אינסופי בהכרח. אך אם השאלה על מספר האיברים בהסתכלות כקבוצה אז בדומה לסדרה ודאי שהמספר יכול להיות סופי. --מני 19:33, 21 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 4 שאלה 6 _מתמטיקאים בוגרים
אפשר קצת יותר פירוט מה הכוונה שם? והאם היסמון על הסדרות בסוף ההסבר זה ערך מוחלט?
תודה
- זה אכן ערך מוחלט. לכל סדרת חיוביים המתכנסת לאפס צריך להוכיח שקיימות שתי סדרות: אחת גדולה מהסדרה הנתונה (בערך מוחלט) ואחת קטנה ממנה (בערך מוחלט) שגם הן מתכנסות לאפס. --מני 19:24, 21 בנובמבר 2012 (IST)
האם אפשר להראות סדרות המקיימות bn<an<cn פרט למספר סופי של איברים?
- כן. --מני 19:31, 24 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 4 (מתמטיקאים)
האם n < 2^n לכל n טבעי דורש הוכחה באינדוקציה או שאפשר להסתמך על זה בלי להוכיח?
- אפשר להסתמך ללא הוכחה.--מני 19:19, 21 בנובמבר 2012 (IST)
שאלה כללית (תיכוניסטים)
אפשר להגיד שהגבול העליון של סדרה חסומה קטן מאינסוף?
- (לא מתרגל) כן: ניקח תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון. אם נניח בשלילה שהוא אינסוף, אזי לפי ההגדרה לכל M ממשי קיים n0 כך שלכל k>k0 מתקיים ak>M. בפרט זה נכון עבור החסם העליון של הסדרה (כי היא חסומה על ידי מספר ממשי), ואם נניח שהחסם הזה הוא S, נקבל כי קיים k0 כלשהו כך שאם k>k0 מתקיים ank>S, בסתירה להגדרה של S כחסם של הסדרה an.
תרגיל 4 שאלה 7 (מתמטיקאים)
אם לדוגמא אני מניח ש bn--->0 אז אני צריך לבדוק מה קורה עם an/bn או שאני עדיין יכול להניח ש an/bn---->c
- אני לא בטוח על איזה סעיף אתה מדבר אבל ככלל אם אתה מוסיף הנחה משלך אתה חייב לבדוק שהיא אינה סותרת את מה שנתון. אם היא סותרת זה כמובן אומר שמה שהנחת אינו אפשרי בדיוק בדומה לרעיון של הוכחה בדרך השלילה. --מני 21:18, 22 בנובמבר 2012 (IST)
אם אני אומר ש bn מתכנסת רק במובן הרחב (כלומר לא לגבול סופי), אני עדיין צריך לבדוק מה קורה אם bn לא מתכנסת או שזה מספיק? כלומר לא הבנתי אם זה דורש תשובה גורפת כמו בסעיף ב' או לא.
- אני מתקשה להבין את המילה "אומר" בהקשר הזה. מה הכונה בכך שאתה אומר שהסדרה מתכנסת במובן הרחב. אתה מניח, אתה מוצא דוגמא כזו, אתה מוכיח?
גם בסעיף א וגם בסעיף ג יש לך שתי אפשרויות שרק אחת מהן נכונה. האחת: להוכיח שהסדרה מתכנסת לגבול ממשי או אינסופי ואז בסעיף א גם להגיד מהו הגבול. מן הסתם במקרה זה לא תהיה דוגמא נגדית שהסדרה לא מתכנסת כי הוכחת שבהכרח יש התכנסות. השניה: למצוא דוגמא נגדית שהסדרה לא מתכנסת (כמובן כשמתקיימים נתוני השאלה) האפשרות הזו כמובן סותרת את האפשרות הראשונה. רק אחת משתי האפשרויות האלה באמת קיימת ואותה אתה צריך להראות כלומר להוכיח את האפשרות הראשונה או למצוא דוגמא נגדית עבור השניה. --מני 19:27, 24 בנובמבר 2012 (IST)
תרגיל 5 שאלה 5
בתרגיל הזה נתון ש Bn חסומה. רציתי לדעת אם מותר להגיד שבגלל שהיא חסומה אז זה אומר שהיא מתכנסת, ואז מכאן נובע שקיימת תת סדרה כללית ששואפת לגבול העליון של Bn..זה נכון או שלא? תודה רבה
- (לא מתרגל) הטענה לא נכונה, אם סדרה חסומה זה לא אומר שהיא מתכנסת; אבל הוכחנו שהגבול העליון של סדרה הוא גבול חלקי שלה, ולכן קיימת תת סדרה ששואפת לגבול העליון של Bn, בלי קשר לטענתך שהסדרה Bn מתכנסת.
תת סידרה מתכנסת
זה נכון להגיד שאם סידרה an מתכנסת ל b כלשהו, אזי כל תת סידרה מתכנסת של an מתכנסת אף היא לאותו b? ואם זה נכון, אפשר כיוון להוכחה של טענה כזו?
(לא מתרגל / מרצה) זהו משפט שלמדנו בהרצאה - אם סדרה מתכנסת אז כל תת סדרה שלה מתכנסת גם. כדי להוכיח ניתן להיעזר בהגדרת הגבול --גיא 11:54, 23 בנובמבר 2012 (IST)
השאלה הייתה, האם היא מתכנסת לאותו גבול?
(לא מתרגל / מרצה) כן --גיא 13:53, 23 בנובמבר 2012 (IST)
לגבי שאלה מהמערך תרגול
אני מדבר על התרגיל השני בדף הזה...השאלה עם האלפא ובטא. למה רוצים להוכיח כי איברי הסדרה an גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה bn? מה המוטיבציה לצעד הזה?
דבר שני, איך בכלל יודעים מבחינה אינטואיטיבית שאיברי הסדרה an גדולים מאיברי הסדרה bn? הרי לפני שאני בא להוכיח כזה דבר,
אני מניח שצריך אינטואיציה כלשהי שתוביל אותי לכך שזה כנראה נכון, ואז אגש להוכיח זאת.
אשמח לקבל תשובה לשתי השאלות הללו.
תודה מראש
(לא מתרגל / מרצה) השאיפה הייתה להראות ששתי הסדרות חסומות ומונוטוניות. שים לב כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת, ואילו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית עולה. כשהראנו שאיברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] גדולים בהתאמה מאיברי [math]\displaystyle{ b_n }[/math], מצאנו חסמים (מלעיל ומלרע) לכל אחת מהסדרות - ובכך הוכחנו כי הן מתכנסות. לגבי אינטואיציה - צריך לנסות. אפשר לקחת דוגמאות מספריות כדי לקבל אינטואיציה, למרות שעם ניסיון מגיעה אינטואיציה --גיא 16:14, 23 בנובמבר 2012 (IST)
בהמשך לשאלה מהמערת תרגול
לא ממש מובן לי כיצד יתכן ש-an גדולה מ-bn לכל n בזמן ש-an יורדת ו-bn עולה. איך זה שאין שלב כלשהו שבו איברי bn יהיו גדולים מאיברי an עבור n כלשהו????
תודה מראש
(לא מתרגל / מרצה) ניקח לדוגמה את שתי הסדרות [math]\displaystyle{ b_n=-1/n }[/math], [math]\displaystyle{ a_n=1/n }[/math]. שים לב ש-[math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת, [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית עולה ולמרות זאת לכל [math]\displaystyle{ n\in N }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ b_n\lt a_n }[/math]. זו רק דוגמה אחת - פשוט גבול כל סדרה גם יהיה קטן (או גדול) או שווה לאיברי הסדרה השנייה --גיא 16:16, 23 בנובמבר 2012 (IST)
מדעי המחשב שאלה 1 תרגיל4
נניח שאני רוצה להוכיח שהסדרה an חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת.
א', איך אני יודע האם לנחש שהיא יורדת או לנחש שהיא עולה?
ב', את המונוטוניות אפשר להוכיח רק באמצעות אינדוקציה?
ג', איך אפשר להראות שהסדרה חסומה??
- (לא מתרגל) א' אפשר להציב כמה מספרים ולראות.
ב' יש כמה דרכים, אינדוקציה זו אחת מהן. דרך נוספת: נניח שאנחנו רוצים להוכיח שהסדרה עולה, לכן נוכיח כי עבור האיבר הכללי an מתקיים http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac%20{%20{%20a%20}_{%20n+1%20}%20}{%20{%20a%20}_{%20n%20}%20}%20\ge%201\quad%20or\quad%20{%20a%20}_{%20n+1%20}-{%20a%20}_{%20n%20}\ge%200
ובדומה עבור יורדת.
ג' אם יודעים מה הגבול, אפשר להוכיח שהוא חסם עליון או תחתון, תלוי אם הסדרה עולה או יורדת (בהתאמה). את זה אפשר לעשות באינדוקציה.
סדרה שאינה חסומה מלעיל היא סדרה מונוטונית עולה?
סדרה שאינה חסומה מלעיל היא סדרה מונוטונית עולה?
(לא מתרגל / מרצה) לא בהכרח. קח את הסדרה: [math]\displaystyle{ x_n=(-1)^n\cdot n }[/math] --גיא 16:08, 23 בנובמבר 2012 (IST)
צודק...אגב, איך מוכיחים שהסדרה שנתת לא חסומה מלעיל? ושהיא לא שואפת לאינסוף?
- (לא מתרגל) הדרך הכי מהירה שאני יכול לחשוב עליה היא להוכיח שההפרש בין שני איברים עוקבים לא שואף לאפס. (זה לגבי גבול סופי)
- לגבי לא שואפת לאינסוף, היא לא חסומה מלמטה ע"י 0 החל משלב מסויים
(לא מתרגל / מרצה) השלילה של שאיפה לאינסוף היא [math]\displaystyle{ \exists M\in R \forall n\in N \exists n_1\ge n : x_{n_1}\leq M }[/math]. קל לראות שאפילו לכל [math]\displaystyle{ M }[/math] שתבחר, לכל [math]\displaystyle{ n\in N }[/math] - אם [math]\displaystyle{ M\lt 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ x_{n+2}\lt M }[/math] ואם [math]\displaystyle{ M\ge 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ x_{n+1}\lt M }[/math]. בצורה דומה לא חסומה --גיא 17:23, 23 בנובמבר 2012 (IST)
שאלה חשובה
אם הגבול של הסדרה an הוא L אז הגבול של הסדרה an+1 הוא גם L?
(n+1 מופיע כאינדקס)
(לא מתרגל) כן
מדעי המחשב שאלה 1 תרגיל 4
אם אני רוצה להוכיח התכנסות ואני מראה שהסדרה מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה זה מספיק? לא צריך להראות שהיא גם חסומה מלמעלה?
אם לא, כיצד אני מנמק שההוכחה של חסומה מלמטה + יורדת==>מתכנסת? הרי המשפט אומר שצריך להוכיח שהסדרה מונוטונית וגם חסומה (כלומר חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה)
- (לא מתרגל) סדרה מונוטונית יורדת תמיד חסומה מלעיל, על ידי האיבר הראשון.
קיימת סדרה ששואפת לאינסוף ולא עולה?
קיימת סדרה ששואפת לאינסוף ולא עולה?
כן, ניקח לדוגמא את הסדרה הבאה: במקומות האי זוגיים שלה n ובמקומות זוגיים n+2, כלומר הסדרה:
....1,3,2,4,3,5,4,6,5
היא שואפת לאינסוף, כי לכל M בR קיים n0 כך שלכל n>n0 מתקיים an>M, והוא לדוגמא M+10000. אבל היא לא עולה.
שאלה לגבי סכום חלקי של טור
נניח שיש לי את הטור
2+4+6+8+10...
בדרת הסכומים החלקיים שלו היא
2,6,12,20,30,.....
??
- כן, כי סדרת הסכומים החלקיים היא [math]\displaystyle{ 2+4+6+...+2n=n^{ 2 }+n }[/math] ואם נציב n טבעיים נקבל את הסדרה שהראית.
סדרה חסומה מלעיל יכולה להתכנס לאינסוף?
סדרה חסומה מלעיל יכולה להתכנס לאינסוף?
(לא מתרגל / מרצה) לא. אם [math]\displaystyle{ M\in\mathbb{R} }[/math] הוא חסם המלעיל, אז הוא מקיים את שלילת השאיפה לאינסוף - לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0\gt n }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ a_{n_0}\leq M }[/math], וזה בעצם כל [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] שתבחר לפי ההגדרה --גיא 14:48, 25 בנובמבר 2012 (IST)
למה הסדרה הבאה לא מקיימת את ההגדרה של התכנסות לאינסוף:
1,2,3,4,5,0,6,7,8,9,10,0,11,12,13,14,15,0,......
אני רוצה להראות שהסדרה לא מקיימת את ההגדרה של התכנסות לאינסוף. ז"א היא מקיימת את שלילת ההגדרה להתכנסות לאינסוף.
כלומר אני צריך להראות שקיים מספר ממשי M כך שלכל No קיים n>No כך ש- an<=M.
איך אני מראה את זה?
(לא מתרגל / מרצה) ניקח [math]\displaystyle{ M=0 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]. נחפש [math]\displaystyle{ n_0\gt n }[/math] עבורו [math]\displaystyle{ a_{n_0}\leq M=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] מתחלק ב-5 ללא שארית, אז [math]\displaystyle{ n_0+5 }[/math] מתאים. אם [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] מתחלק ב-5 עם שארית 1 אז [math]\displaystyle{ n_0+4 }[/math] מתאים וכן הלאה. --גיא 14:47, 25 בנובמבר 2012 (IST)
משהו שלא מובן לי בהגדרה של התכנסות לאינסוף
נניח יש לי את הסדרה 1,4,9,16,25,.... ההגדרה של התכנסות לאינסוף אומרת שלכל מספר ממשי M קיים No טבעי כך שלכל n>No מתקיים an>M.
אני רוצה לראות ע"י הצבת מס' ספציפי ב-M כיצד ההגדרה מתקיימת..אני לא כל כך מבין וויזואלית מה ה-M הזה אומר.
נניח אני לוקח M=100. אז אני צריך להראות שקיים No (שאני מבין שזה אינדקס בסדרה) כך שכל האיברים שיופיעו באינדקסים שאחרי No, גדולים מ-M?
כלומר כאן אני יכול לקחת במקום No=10, והחל מהאיבר שהאינדקס שלו הוא 10 (ערך האיבר הזה הוא 100) מתקיים an>100?
(לא מתרגל / מרצה) באופן ויזואלי חשוב על הישר הממשי. ההגדרה אומרת שאם תבחר כל מספר ממשי, חייבים להיות אחריו מספר אינסופי של איברים (החל מ-[math]\displaystyle{ n_0 }[/math] כלשהו. כדי להוכיח את השאיפה לאינסוף של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=n^2 }[/math], נגיד: יהי [math]\displaystyle{ M\in \mathbb{R} }[/math]. נמצא [math]\displaystyle{ N_M\in\mathbb{N} }[/math] עבורו לכל [math]\displaystyle{ n\ge N_M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\gt M }[/math]. מכאן אם נבחר [math]\displaystyle{ N_M\gt \sqrt{M} }[/math], לכל [math]\displaystyle{ n\ge N_M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\gt M }[/math] כדרוש. מקווה שהבנת :) --גיא 14:44, 25 בנובמבר 2012 (IST)