שיחה:88-132 תשעג סמסטר א/ארכיון 2

תרגיל 5 שאלה 6

נניח יש לי שתי סדרות והגבולות החלקיים של An זו קבוצה (A= (-1,1, והגבולות החלקיים של Bn זו קבוצה (B=(0,2. נתון לי ש Cn=An+Bn וקבוצה C זה הגבולות החלקיים של Cn. מזה אומר??.. מהי קבוצה C זה האיחוד של כל הגבולות החלקיים כלומר (1-,1,2,0) או שזה חיבור שלהם כלומר (1,3-), לא ממש ברור לי הסכום של הסדרות אשמח לעזרה כלשהי כדי לפתור את השאלה, תודה!

הקבוצה C היא כל הגבולות החלקיים הממשיים של הסדרה [math]\displaystyle{ c_n }[/math]. גבול חלקי ממשי של [math]\displaystyle{ c_n }[/math] הוא מספר [math]\displaystyle{ L\in \Bbb R }[/math] כך שקיימת תת סדרה

[math]\displaystyle{ c_{n_k} }[/math] המתכנסת אליו. אני יכול להציע לך לקחת בהתחלה אפילו שתי סדרות שהן מתכנסות [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] ולחשוב מה תהיה הקבוצה C במצב זה. אח"כ אפשר לחשוב על סדרות שלא מתכנסות ושיש להן יותר מגבול חלקי אחד ולחשוב מה קורה במצב זה. --מני 23:07, 25 בנובמבר 2012 (IST)

שאלה כללית

אם מבקשים ממני למצוא סכום של טור כלשהו, אני יכול לצאת מנקודת הנחה שהטור מתכנס או שאני צריך להוכיח זאת?

???

אם תמצא את הסכום ממילא תוכיח באותו הזמן גם שהוא מתכנס. --מני 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

פרטים על הבוחן

איפה אני יכול למצוא פרטים על הבוחן כמו מתי? איפה? חומר?

(לא מתרגל / מרצה) של איזו קבוצה? --גיא 18:29, 26 בנובמבר 2012 (IST)

של התיכוניסטים

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן ב-16.12. החומר יינתן ביום ראשון בתרגולים. מיקום - של שיעור ההשלמה. בקיצור - יישלחו פרטים מדויקים בהמשך :) --גיא 22:48, 26 בנובמבר 2012 (IST)

שאלה לגבי תרגיל 5

האם זה נכון לומר שאם cn=an+bn אז תת הסדרה cnk היא ank+bnk?

כן.--מני 14:16, 27 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 שאלה 5g (תיכוניסטים)

צריך לחלק למיקרים של a?

אולי. זה חלק מהשאלה. --מני 18:36, 28 בנובמבר 2012 (IST)

משפט דלאמבר

אם יוצא לי שD שואף לאינסוף, האם בידוע שהטור מתבדר?

בהנחה שבD כוונתך לגבול התחתון של המנה אז התשובה היא כן. --מני 18:38, 28 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 שאלה 5 d (תיכוניסטים)

הסכום לא צריך להתחיל מ n = 2?

כן. --מני 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 (תיכוניסטים)

מותר להשתמש בעובדה שהסכום [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^p} }[/math] מתכנס אם"ם p>1?

כן. --מני 18:39, 28 בנובמבר 2012 (IST)

מבחן ההשוואה הגבולי

מה קורה אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n} }[/math] שווה לאינסוף? אפשר להגיד משהו על הטורים?

כן. התכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] גוררת התכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math]. --מני 20:41, 28 בנובמבר 2012 (IST)

תרגיל 5 כמה שאלות בוגרים

הי, 1.שאלה 7-הם מתלכדים החל ממקום סופי או לאו דווקא? 2.אשמח לרמז ל 2ב תודה

1. במילה "מקום" אנו בעצם מצביעים על אינדקס טבעי וממילא זהו ערך סופי בהכרח.

2. אפשר לנסות לכתוב אי שוויון בכיוון אחד לנסות לפשט אותו ואז להסתמך על טענות או משפטים שראיתם בהרצאה. --מני 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

אריטמתיקה של סכומים

אם יש לי [math]\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty}a_n=a }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty}b_n=b }[/math]

a,b ממשיים

האם אפשר להגיד ש:

[math]\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty}(a_n+b_n)=a+b }[/math]

כן. זה משפט. --מני 13:07, 29 בנובמבר 2012 (IST)

טורים

אם [math]\displaystyle{ \sum(a_n) }[/math] מתכנס ו[math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה האם ניתן לומר ש [math]\displaystyle{ \sum(a_nb_n) }[/math] גם מתכנס?

(לא מרצה/מתרגל) לדעתי כן (בהנחה ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חיובית), הוכחה: [math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה ולכן קיים M כך ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] <M, ולכן: [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math] <M[math]\displaystyle{ a_n }[/math]. [math]\displaystyle{ \sum(M*a_n) }[/math] מתכנס ולכן [math]\displaystyle{ \sum(a_nb_n) }[/math] מתכנס.

מותר להגיד דבר כזה?

שאם [math]\displaystyle{ \sum(a_n) }[/math] מתכנס ו [math]\displaystyle{ \sum(b_n) }[/math] מתבדר, אז [math]\displaystyle{ \sum(a_n)+\sum(b_n) }[/math] מתבדר?

כן זה נכון. אפשר להניח בשלילה שזה מתכנס ואז להפעיל אריתמטיקה (חיסור) ולקבל ... --מני 23:34, 1 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 שאלה 3 מתמטיקאים

האם ניתן קודם למצוא את הגבול ובעזרת המידע שאני יודע עליו להוכיח את את הטענה?

קצת קשה לי לראות איך מהידע על הגבול ניתן להסיק מונוטוניות של הסדרה. אבל אם יש לך רעיון/כיוון שעוזר לך אתה יכול לנסות אותו. --מני 23:21, 2 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 7 תיכוניסטים

למתי צריך להגיש את תרגיל 7 שבוע הבא אין שיעורים ויום ראשון לאחר מכן יש לנו בוחן בבוקר

ד"א לאחר הבוחן יש הרצאה ותרגול כרגיל(בשעות אחה"צ)? תודה

תרגיל 6

לא בדיוק הבנתי מזה אומר ש An+Bn היא סידרה חסומה??.. כלומר חסומה גם מילעיל וגם מילרע?.. ומזה אומר לגבי An וBn ??.. לא בדיוק למדנו את זה... כי לפי הנתון הנוסף AN לא יכולה להיות חסומה- רק מלרע כי היא שואפת לאינסוף אז איך יכול להיות שהסכום חסום?.. תודה!

ההגדרה של סדרה חסומה היא כפי שאמרת. לגבי השאלה האחרונה זו בדיוק השאלה שיש לשאול. אם הסכום חסום ומצד שני הסדרה

An שואפת לאינסוף מה ניתן יהיה להסיק ביחס לסדרה Bn ? נסו לחשוב איך יתכן שהסכום חסום. זה השלב הראשון בדרך לפתרון. -מני 11:34, 5 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 (מתמטקאים בוגרים)

שאלה 2, הכוונה שם ששלושת הסדרות מתכנסות במובן הצר?

תודה

כן. --מני 11:38, 5 בדצמבר 2012 (IST)

שאלה על אריתמטיקה (מתמטיקאים בוגרים)

מותר לחלק משוואה או אי שיוויון בסדרה ששואפת לאפס בצורה הזו לדוגמא n שואף לאינסוף אז מותר לחלק בסדרה 1 חלקי n?

תודה

אם הסדרה שונה מאפס לכל n אז בלי קשר למה היא תשאף אין לך חלוקה באפס. לכן אם איבר הסדרה הוא חיובי אז אי השוויון שהתחלת ממנו ישמר אם הוא שלילי אז אי השוויון שהיה לך יתהפך פשוט לפי כללים רגילים של אי שוויון.--מני 13:36, 5 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 שאלות 5 ו-6 (מתמטיקאים)

בשאלה 5- אפשר להניח ש-an מתכנסת במובן הצר? (ובאופן כללי שכאומרות מתכנסת- אפשר להניח שזה לגבול ממשי?)

בשאלה 6- מותר להוכיח ע"י מבחן השוואה?

שאלה 5 - כן. באופן כללי.

שאלה 6- לא תרגלנו טורים עדיין והכוונה היתה לפתור דרך נושאים שגם תרגלנו. אבל אני מניח שמי שרוצה יכול לפתור גם בכלים שכבר ראיתם בהרצאה כמו מבחני השוואה לטורים חיוביים. --מני 13:28, 5 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 שאלה 3

נתקעתי אחרי שניסיתי כמה כיוונים שונים. לא הצלחתי למצוא דרך לפי מה שלמדנו בכיתה.

האם מישהו יכול לתת לי הכוונה לגבי איך מוכיחים שהסדרה יורדת מונוטונית? ניסיתי כבר חיסור, מנה ואינדוקציה...

הוכחתם בהרצאה לגבי סדרה אחרת דומה מאד שהיא מונוטונית(עולה דוקא). הייתי מציע להסתכל על ההוכחה ולנסות להשתמש בכלים שהיו שם. --מני 21:05, 5 בדצמבר 2012 (IST)

אני מבין שאתה מתכוון להתכנסות לe ניסיתי כבר להשתמש בזה - לא עבד....

שאלות לגבי הבוחן

א. הבוחן יכלול גם הוכחת משפטים? ב. בבוחן יהיו בנוסף לטורים ולסדרות גם גבולות של פונקציות?

למתי צריך להגיש את השעורים באינפי? (תיכוניסטים)

באיזה תאריך צריך להגיש את השעורים הקרובים?

?????????????????

פתרונות לתרגילים (תיכוניסטים)

בבקשה תעלו בהקדם את הפיתרונות לכל תרגילי הבית שנוכל לחזור עליהם לפני הבוחן. תודה רבה!

תרגיל 7 שאלה 5 (מתמטיקאים)

נראה לי שיש טעות בשאלה... הא'-ב' לא מסודרים שם בסדר הנכון...p:

נכון... עכשיו אני רואה שחסר שם סעיף ב', וגם סעיפים יא', יב' ו-יג'... תודה רבה על תיקון הטעות! =) נפצה אתכם כפליים בתרגיל בית הבא! --לואי 12:44, 9 בדצמבר 2012 (IST)

יש!!!מעולה..תודה!:)

תרגיל 7 שאלה 4 תיכוניסטים

שלום, בשאלה 4 מאיזה n הטור מתחיל? זה יכול להשפיע על סכומו... --גיא 12:38, 8 בדצמבר 2012 (IST)

תבחר נקודה התחלתית כלשהי, זה אכן ישפיע על התשובה הסופית. --ארז שיינר

הבוחן (תיכוניסטים)

הבוחן יכלול גם מה שלמדנו על פונקציות?

לא הבנתי את שאלה 2 בתרגיל 7 תיכוניסטים

כשאומרים שסדרת הזנבות של הטור מוגדרת, אז זה אומר שכל זנב (שהוא טור) מוגדר..

אי אפשר פשוט לקחת את [math]\displaystyle{ d_1 }[/math] וזה לדוגמא יפתור את סעיף c?

כן. --ארז שיינר

אה.. אוקי...

תרגיל 7 שאלה 8 (תיכוניסטים)

הנתון [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n\leq C }[/math] אומר בעצם ש [math]\displaystyle{ \sum a_nb_n }[/math] מתכנס, אבל לא לאינסוף?

• (לא מתרגל) לאו דווקא, תסתכל\י על: [math]\displaystyle{ a_{n}=1, b_{n}=(-1)^{n} }[/math]

כן אבל אז הסכום לא מוגדר בכלל..

• (לא מתרגל) מה זאת אומרת טור לא מוגדר? אולי הוא לא מתכנס, אבל סדרת הסכומים החלקיים מוגדרת (והיא לא מתכנסת).

אוקי. אז מה הנתון הזה אומר?

• (לא מתרגל) אם אני מבין נכון, זה פשוט אומר שהטור חסום.. --דביר חדד 15:07, 10 בדצמבר 2012 (IST)

כן אבל זה בהנחה שהטור בכלל מתכנס לא?

• (לא מתרגל) לאו דווקא, אתה יכול להסתכל על הטור[math]\displaystyle{ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ n } } }[/math] והוא חסום, על ידי 8078 לדוגמא, אבל לא מתכנס.

אבל הרי סכום הטור הוא בעצם גבול הסכומים החלקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\rightarrow\infty}S_N }[/math], ובגלל שבמקרה הזה אין גבול לסכומים החלקיים, הטור לא מוגדר. אז איך אפשר להגיד שהטור חסום אם הוא לא מוגדר בכלל?

• (לא מתרגל) אני לא מבין למה אתה מתכוון "הטור לא מוגדר". הסכום מוגדר, יש סכום כזה של [math]\displaystyle{ 1-1+1-1... }[/math], מה הבעיה איתו? אולי אתה מדבר על כך שהטור לא מתכנס, כלומר סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת, וזה נכון, אבל היא מוגדרת מצוין, כי הסדרה [math]\displaystyle{ (-1)^n }[/math] מוגדרת היטב (זו הרי פונקציה מN לR, ואין כל בעיה בהגדרה שלה). בכל מקרה, סדרת הסכומים פה חסומה, חסימות במובן של סדרות.

מבחן דיריכלה

אם מצאתי שהטור מורכב מan מונוטונית שואפת לאפס, כפול bn שסס"ח שלה לא חסומה- האם זה גורר שהטור מתבדר?

לא בהכרח. an = 1/n^2, bn = 1

בוחן לתיכוניסטים

הבוחן יכלול את מה שלמדנו בפרק של פונקציות? הבוחן יכלול הוכחת משפטים?

בוחן תיכוניסטים

רציתי לדעת מה החומר לבוחן? והאם הוא יכלול הוכחת משפטים?

(לא מתרגל / מרצה) הבוחן לא יכלול הוכחות משפטים. החומר - הכל עד טורים (כולל). --גיא 15:14, 12 בדצמבר 2012 (IST)

תודה

שאלה (מתמטיקאים)

באופן כללי, האם ניתן לעשות את "הטריק" של לחבר ולהחסיר אבל עם סדרות וגבולות? ז"א האם גם כשמשאיפים את n לאינסוף אפשר להגיד ש- 1= 1+a_n-a_n?

תודה

השוויון שציינת בוודאי מתקיים לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] .אם הכוונה שלך שהגבול של צד ימין כשn שואף לאינסוף שווה לגבול של צד שמאל כשn שואף לאינסוף ושניהם שווים לאחד אז התשובה חיובית. לא ניתן לומר בדוגמא שנתת כלום על התכנסות של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] למשל. באופן כללי אפשר להפעיל חיבור וחיסור כשמפעילים גבולות בהנחה שהגבולות קיימים. למשל גבול של סכום הוא סכום הגבולות אבל רק אם יודעים שכל מחובר מתכנס ואז גם אפשר להשתמש ב"טריק" הכללי שציינת בצורה מועילה. חוץ מזה צריך לזכור שבאריתמטיקה של גבולות יש ביטויים לא מוגדרים כמו אינסוף פחות אינסוף וכו'. --מני 19:22, 15 בדצמבר 2012 (IST)

אפשר להגיד דבר כזה?

נניח שיש סדרות [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim a_n = L }[/math] ו [math]\displaystyle{ \lim b_n = R }[/math], וכמו כן [math]\displaystyle{ L \leq R }[/math], אז אפשר להגיד שקיים [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] טבעי, כך שלכל [math]\displaystyle{ n \geq n_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n \leq b_n }[/math]?

תודה

• (לא מתרגל) לאו דווקא, נסתכל על הסדרות an=1+1/n, bn=1.

שתיהן שואפות לאחת, ואכן מתקיים 1<=1. כלומר הגבול של an קטן שווה מהגבול של bn.

אבל לכל n שתבחר תמיד יתקיים an>bn.

(לא מתרגל) אבל אם האי שוויון חזק אז כן

אה אוקי תודה :-)

הבוחן לדוגמא

יש למישהו את התשובות לבוחן לדגומא שהעלו?

בוחן דמה

אפשר להעלות פתרונות לבוחן דמה ? או שמישהו יגיד מה יצא לו ב-2 ו3 ...

יש לך פתרון לראשון?

• (לא מתרגל) את הראשון פתרנו בתרגול (לפחות בקבוצה שלנו). בכל מקרה יש אותו במערכי התרגול.

אבל בתרגיל הזה הם ביקשו משהו אחר.

• (לא מתרגל) אני מצרף פתרונות סופיים שיצאו לי, קח/י בחשבון שיש מצב שהם לא נכונים, לא מתחייב ב100% (אם כי אני דיי בטוח שזה נכון).

התשובות הסופיות בקישור הבא, כדי לא להרוס למי שלא רוצה לראות: [1]

בנוגע לשאלה השנייה, אני מאמין שזה אותו דבר. פשוט צריך להוכיח שאם קיים הגבול של שורש n-י של an, הוא גם שווה לגבול השני.

כן אבל השאלה הראשונה זה הפרכה.. אפילו בתרגול אמרו לנו את זה.

• אוקיי, את/ה יכול/ה להראות אותה?

זה בדיוק מה שביקשתי בהתחלה :O

אפשר להראות שזה הפרכה עם סדרה קבועה של אפסים

כן גם חשבתי על זה.. אבל יוצא שהסדרה בכלל לא מוגדרת (an+1/an) ככה שהיא מתכנסת באופן ריק.

אתה יכול אז לקחת סדרה שמוגדרת כך שעבור n מתחלק ב-3 תחזיר n עבור n מתחלק ב-3 עם שארית 1 תחזיר 2n ועבור n מתחלק ב-3 עם שארית 2 תחזיר 3n אפשר לראות שכל תת סדרה שואפת ל-1 ולכן גבול הסדרה הוא אחד אבל אפשר לראות שסדרת היחסים בין כל שני איברים סמוכים לא מתכנסת

• "כל תת סדרה מתכנסת ל-1"? כל תת סדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף בדוגמא שלך. ואיפה בדיוק השורש הn-י?

בשורש n-י כל תת סדרה מתכנסת ל-1...

• אוקיי כנראה שאת/ה צודק/ת :(

בכל מקרה, אני דיי בטוח שאם an+1/an מתכנסת אז היא תתכנס לאותו L.

שאלה 1 ב' http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%A4%D7%AA%D7%A8%D7%95%D7%9F_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%90_%D7%9E%D7%93%D7%9E%D7

שאלה כללית

האם ניתן להגיד שאם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה חסומה?

לא. גבול של אחד חלקי n הוא אפס אבל הסס"ח שלה לא חסומה...

השאלה הזאת לא מנוסחת טוב. חייבים להקפיד על שימוש תקין במונחים מתמטיים! למשל, "אם גבול של סדרה הוא אפס, אזי סס"ח שלה..." סס"ח של מי? לסדרות אין סס"חים! :) סדרת סכומים חלקיים זה משהו שיש לטור... אותה בעיה בתשובה.

כעת, מה השאלה בעצם? נניח שיש לנו טור, כך שהאיבר הכללי שואף לאפס, אז האם סס"ח של הטור חסומה? התשובה היא לא (אותה דוגמא נגדית מעולה של התשובה מעל). --לואי 20:42, 15 בדצמבר 2012 (IST)

מבחן ההשוואה

אם טור An <= Bn <= Cn וCn ו An מתכנסים, אז Bn מתכנס? ראיתי במשפט רק כש Bn סדרה שבין סדרה מתכנסת ל0.

האם הכוונה בשאלה לטורים חיוביים?...--לואי 20:43, 15 בדצמבר 2012 (IST)

לאו דווקא, חיובים ברור כי אז An >= 0 וזה ככה במשפט

אם כך, הנה המשפט:

יהיו [math]\displaystyle{ \sum a_n , \sum b_n , \sum c_n }[/math] טורים כך שהחל ממקום מסויים מתקיים [math]\displaystyle{ a_n \leq b_n \leq c_n }[/math]. אזי אם הטורים [math]\displaystyle{ \sum a_n , \sum c_n }[/math] מתכנסים, גם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס.

תודה רבה!:)

מבחן המנה

אם אני מקבל ש [math]\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} }[/math] שווה לאינסוף אז הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתבדר ? ואותו דבר, אם מקבלים מינוס אינסוף אז הטור המקורי מתכנס ?

• (לא מתרגל) אני כמעט בטוח שאם הוא פלוס אינסוף אז הטור מתבדר, כי זה גדול מ-1 ולא הגבלנו אותו להיות ממשי. בכל מקרה, מציע שתחכה לתשובה יותר חד משמעית.

בנוגע למינוס אינסוף - זה לא יכול לקרות, כי הטור חיובי, ולכן הגבול בהכרח גדול שווה אפס, לא יכול להיות שלילי (כי אפס חסם מלרע של כל סדרה אי שלילית).

מתי הלימודים מחר ????? (תיכוניסטים)

מישהו יודע מתי מתחילים הלימודים מחר ??? אני יודע שהבוחן ב-12... אבל יש לימודים לפני ? ומתי הלימודים נגמרים ?

הבוחן ב12 ואז לימודים כרגיל משלוש וחצי עד 8 וחצי (:

ואין לימודים לפני הבוחן?

אין

הלימודים ביום ראשון

איך מתנהלים הלימודים ביום ראשון? מתי צריך להגיע לאוניברסיטה?