שיחה:88-341 תשעג סמסטר א
הוספת שאלה חדשה
הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).
-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן
אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.
שאלות
סיכומי הרצאות ותרגולים
אני מסכם את ההרצאות של ד"ר הורוביץ ואת תרגוליו של מיכאל טויטו. את ההרצאות ניתן למצוא כאן, ואת סיכומי התרגולים ניתן למצוא כאן.
בהצלחה!
תרגול החזרה של היום: כאן. לצערי מכיל מספר טעויות ודברים חסרים, אך אין לי הזמן לתקן זאת. אתם מוזמנים גם להשתמש בדף פתרונות המבחנים שכבר הועלה כאן.
תרגיל 1 שאלה 4
למה הכוונה בקבוצה לא מדידה? תודה.
- האמת שראיתם בהרצאה דוגמא, אבל עוד לא הגדרנו את זה בדיוק ולא יהיה הוגן לשאול על זה... שאלה 4 מבוטלת.
- לשאלתך: זוהי קבוצה שמונעת מהתכונות הרצויות למידה להתקיים. --Michael 20:09, 1 בנובמבר 2012 (IST)
- עכשיו אני נזכר בזה... מצד שני, בהרצאה לא ממש קראנו לזה לא מדידות, אלא אמרנו שיש מקרים שלא יתקיימו כל התכונות, ולכן נגדיר קבוצה מדידה לפי לבג. בכל מקרה, תודה.
- אני מבין ששאר השאלות ברורות?
- עכשיו אני נזכר בזה... מצד שני, בהרצאה לא ממש קראנו לזה לא מדידות, אלא אמרנו שיש מקרים שלא יתקיימו כל התכונות, ולכן נגדיר קבוצה מדידה לפי לבג. בכל מקרה, תודה.
תרגילים נוספים לדוגמה
שלום. היכן ניתן לראות תרגילים לדוגמה עם פתרונות , מעבר למה שמתרגלים בכיתה ,לנושאים שנלמדו?
- שלום. אני בטוח שבספרים על תורת המידה או אנליזה ממשית יש שאלות פתורות (צריכים להיות כמה כאלו בספריה). --Michael 20:08, 3 בנובמבר 2012 (IST)
שלום האם ניתן לומר שסיגמה מ 1 ועד אינסוף של קבוע כפול קבוצה המוכלת ב R ,הוא הקבוע כפול הסיגמה של הקבוצה?
- משהו לא מסתדר כאן. אין כוונה לסכום טורים של קבוצות. אם תוכלי לרשום זאת בכתיב מתמטי זה יעזור לי. --Michael 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
האם מכאן נובע שקבוע כפול המידה של הקבוצה שווה למידה של הקבוע כפול הקבוצה?
- גם כאן אשמח לראות משוואות. אבל נראה לי שזאת שאלה שאסור לי לענות עליה. --Michael 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
הסגור של הקטע הפתוח (a,b) הוא הקטע הסגור [a,b] האם הסגור של קבוצת הרציונליים בקטע (3,4] הוא הקטע הסגור [3,4]?
- נכון. --Michael 10:52, 4 בנובמבר 2012 (IST)
שאלה בנוגע למידה
אם פונקציה חיובית [math]\displaystyle{ \mu }[/math] שמתאפסת על הקבוצה הריקה ומקיימת שלכל סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ (A_n)_{n=1}^{\infty} }[/math] מקיימת:
[math]\displaystyle{ \mu(\lim_{n \rightarrow \infty} A_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n) }[/math] האם [math]\displaystyle{ \mu }[/math] כזו היא מידה? (ז"א האם היא [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-חיבורית?).
- איך את/ה מגדיר/ה התכנסות של סדרת קבוצות? --Michael 15:03, 18 בנובמבר 2012 (IST)
- מגדירים גבול עליון כקבוצת כל האיברים שנמצאים באינסוף סדרות וגבול תחתון כקבוצת כל האיברים
- שנמצאים החל מאינדקס מסוים בכל הסדרות, ז"א:
- [math]\displaystyle{ \limsup_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m }[/math]
- [math]\displaystyle{ \liminf_{n \rightarrow \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m }[/math]
- סדרה מתכנסת אם הגבול העליון שווה לתחתון (וערכם גם תהיה קבוצת הגבול). כרגיל גבול של סדרת קבוצות עולה הוא האיחוד ושל יורדת החיתוך. ז"א שאם [math]\displaystyle{ \mu }[/math] סגורה לגבולות אז היא גם סגורה לאיחודים וחיתוכים בני-מנייה. אבל האם יש לזה קשר לחיבוריות?
- ראשית אציין שלא כל מידה זוכה לקיים תכונה זו: למשל מידת לבג [math]\displaystyle{ m }[/math] על [math]\displaystyle{ (\mathbb{R},\mathcal{L}) }[/math], עם סדרת הקבוצות [math]\displaystyle{ A_n=(n,\infty) \rightarrow \empty }[/math]. אני יכול להוכיח שאם [math]\displaystyle{ \mu }[/math] היא חיבורית סופית, כלומר [math]\displaystyle{ \mu \left( \bigcup_{n=1}^N A_n \right)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n) }[/math] עבור קבוצות זרות בזוגות, ומקיימת את הדרישה שלך אזי היא תהיה גם [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]-חיבורית:
- [math]\displaystyle{ \mu \left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right)=\mu \left( \lim_{N \to \infty} \bigcup_{n=1}^N E_n \right)=\lim_{N \to \infty} \mu \left( \bigcup_{n=1}^N E_n \right) }[/math]
- ועכשיו על פי חיבורית זה שווה ל [math]\displaystyle{ \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \mu\left(E_n\right) }[/math] - וזוהי בדיוק ההגדרה של הטור האינסופי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \mu \left( E_n \right) }[/math]
- אני חושב שבלי חיבוריות סופית אין תוצאה, אבל ליתר בטחון כדאי לשאול את ד"ר הורוביץ. --Michael 14:55, 21 בנובמבר 2012 (IST)
- כן. למשל, פונקציה [math]\displaystyle{ \mu \equiv c }[/math] קבועה מקיימת את הנ"ל ואינה מידה, וכן אפשר להגדיר פונקציה שתהיה קבועה על אוספי קבוצות זרות וגם לדאוג שתקיים את השמירה על הגבול ולא תהיה מידה.
תרגיל 4 שאלה 2א
גם שם אני רשאי להניח שהשיטות לחישוב אינטגרלים מאינפי עובדות? תודה.
- אין חובה לדרוש זאת, אבל אילו שיטות אתה צריך? --Michael 19:49, 22 בנובמבר 2012 (IST)
- למשל המשפט היסודי (בעקרון אני לקחתי פונקציה שהיא חלקה למקוטעין, אך רציפה, ומורכבת מפונקציה קבועה וישר, ואז אני צריך לחשב את האינטגרל לחלק של הישר).
- טוב, אני כבר מבין שהסתבכתי (ושאין צורך בדרישה כזו, אם לוקחים פונק' רציפה למקוטעין כמו שהצעת). אעדכן בפתרונות שלי. תודה שוב.
תרגול
ביום ה 13/12 יש תרגול כרגיל? תודה.
- יהיה תרגול חזרה, כלומר נפתור תרגילים מייצגים על החומר שראינו עד כה. (לא נמשיך מעבר למשפט ההתכנסות הנשלטת של לבג). --Michael 01:31, 11 בדצמבר 2012 (IST)
תרגיל 6, שאלה 3, סעיף א
על איזו קבוצה צריך לחשב את האינטגרל של הסדרה האינטגרבילית? [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] או כל קבוצה ב־[math]\displaystyle{ \mathcal P(\mathbb N) }[/math]? תודה, אור שחףשיחה 19:30, 19 בדצמבר 2012 (IST)
- [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] --Michael 21:37, 19 בדצמבר 2012 (IST)
- ובאותה שאלה, לא זכור לי שלמדנו באף קורס איך לחשב את [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\zeta(2) }[/math] (ולפי ויקיפדיה, לקח כמעט 100 שנה לפתור את זה). איך אמורים לחשב את האינטגרל? אור שחףשיחה 22:27, 19 בדצמבר 2012 (IST)
- אתה צודק, אפשר להשאיר את התשובה בצורה של טור, בלי לחשב את הסכום שלו. שים לב שמדובר בטור מתחלף. --Michael 00:07, 20 בדצמבר 2012 (IST)
קבוצת קנטור
האם ניתן לרשום את Ck כאיחוד של הקטעים הבאים? [math]\displaystyle{ \left \{ \left [ \frac{2n}{3^k},\frac{2n+1}{3^k} \right ] \mid n\in \mathbb{N} \wedge \frac{2n}{3^k}\in C \right \} }[/math]
או שיש דרך יותר סימפטית לתאר את Ck כאיחוד קטעים סגורים?
- על פניו נראה שהנוסחה שלך עובדת. אבל שים לב שאתה מתאר את (שלבי) קבוצת קנטור ע"י קבוצת קנטור. חיפשתי קצת באינטרנט ובוויקפדיה יש נוסחה מעניינת, אבל הקטעים שם לא זרים. לא מצאתי נוסחה מפורשת לקצוות הקטעים של [math]\displaystyle{ C_k }[/math]. --Michael 21:37, 25 בדצמבר 2012 (IST)
לגבי תרגיל 8 שאלה 1
למה???
- אני חושב שתרגיל חישובי אחד יעזור לתפוס את המושג של השתנות. חוץ מזה לא עשיתם את "שימושי מחשב" לחינם! --Michael 14:45, 28 בדצמבר 2012 (IST)
תרגיל 9, שאלה 3
מיכאל, כתבת שיש לחשב את [math]\displaystyle{ \int\limits_0^b \int\limits_0^\infty e^{-xy} \sin(x) \mathrm dy \mathrm dx }[/math] בשתי דרכים שונות. הכוונה שצריך להגיע פעמיים לתוצאה מפורשת או להגיע פעם אחת ל־[math]\displaystyle{ \int\limits_0^b\frac{\sin(x)}x\mathrm dx }[/math] ופעם שנייה לתוצאה מפורשת? תודה, אור שחףשיחה 18:32, 4 בינואר 2013 (IST)
- שלום אור. חישוב האינטגרל בשתי דרכים שונות הוא רק שלב ביניים. אתה רשאי לפעול איך שתרצה, העיקר הוא שתוכל להגיע לגבול המבוקש. --Michael 17:42, 5 בינואר 2013 (IST)
תרגיל 10, שאלה 1
האם צריך לבחור באותו ממ״ח להוכחה ש־[math]\displaystyle{ L^r\not\subseteq L^p }[/math] וש־[math]\displaystyle{ L^p\not\subseteq L^r }[/math]? כלומר, האם מספיק להוכיח ש־[math]\displaystyle{ L^p(X,\mathcal S,\mu)\not\subseteq L^r(X,\mathcal S,\mu) }[/math] וש־[math]\displaystyle{ L^r(Y,\mathcal T,\nu)\not\subseteq L^p(Y,\mathcal T,\nu) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ (X,\mathcal S,\mu)\ne(Y,\mathcal T,\nu) }[/math]? אור שחףשיחה 19:23, 16 בינואר 2013 (IST)
- מותר לקחת שני ממ"ח שונים. --Michael 22:08, 16 בינואר 2013 (IST)
תרגול חזרה
הי מיכאל, בתרגול חזרה אתה מתכנן לפתור שאלות מהבחינות שאתה העלת לכאן? או דברים אחרים? אני שואל כדי שאדע מתי לעשות את הבחינות שהעלת. תודה מראש.
- שלום, התכנון הוא לפתור את כל השאלות (הרלוונטיות) מהמבחנים שבאתר. אם יישאר זמן אולי אחזור גם על התרגילים מהדף. --Michael 19:46, 24 בינואר 2013 (IST)
רציפות בהחלט של מידות
הגדרנו רציפות בהחלט של מידות? אם כן, תוכל להזכיר את ההגדרה? תודה.
- הגדרנו. מידה [math]\displaystyle{ \nu }[/math] נקראת רציפה בהחלט ביחס ל-[math]\displaystyle{ \mu }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה מתקיים [math]\displaystyle{ \mu(E)=0 \implies \nu(E)=0 }[/math] --Michael 20:12, 27 בינואר 2013 (IST)
- תודה רבה.
הגדרות ומשפטים
אפשר להזכיר את ההגדרה של מידה סינגולרית ומידה כללית? ומהם המשפטים של אפיון קבוצות מדידות u x v ? תודה!
- ראה כאן עמודים 19 ו92. לגבי אפיון קבוצות מדידות: אני חושב שזה משפט 9.7 בעמוד 68 - אך כדאי לשאול את המרצה --Michael 17:07, 29 בינואר 2013 (IST)
0·∞ במידות מכפלה
בהנתן הממח״ים [math]\displaystyle{ (X,\mathcal S,\mu),\ (Y,\mathcal T,\nu) }[/math] כש־[math]\displaystyle{ E }[/math] מדידה [math]\displaystyle{ \mathcal S }[/math] ו־[math]\displaystyle{ F }[/math] מדידה [math]\displaystyle{ \mathcal T }[/math], כיצד מוגדר הנפח של [math]\displaystyle{ E\times F }[/math] אם [math]\displaystyle{ \mu(E)=0\ \and\ \nu(F)=\infty }[/math]? אור שחףשיחה 21:12, 29 בינואר 2013 (IST)
- אמרנו בכיתה שבמקרה של אפס כפול אינסוף, נתייחס אליו כאפס.
- גורדו צודק --Michael 14:13, 30 בינואר 2013 (IST)
משפטי האפיון
ד״ר הורוביץ לא כתב אילו מהמשפטים נקראים משפטי האפיון, אז אני רוצה לוודא שאלה השמות הנכונים:
- משפט האפיון להשתנות חסומה: [math]\displaystyle{ f\in\text{BV}([a,b]) }[/math] אם״ם יש [math]\displaystyle{ g,h }[/math] עולות בקטע כך ש־[math]\displaystyle{ f=g-h }[/math].
- משפט האפיון לקבוצות מדידות [math]\displaystyle{ \omega=\mu\times\nu }[/math]: [math]\displaystyle{ E\subseteq X\times Y }[/math] מדידה אם״ם [math]\displaystyle{ \forall S\subseteq X\times Y:\ \omega^*(S)=\omega^*(S\cap E)+\omega^*(S\setminus E) }[/math].
תודה, אור שחףשיחה 14:32, 30 בינואר 2013 (IST)
- לגבי השתנות חסומה אתה צודק, לפי אפיון לקבוצות מדידות במרחב מכפלה, ראה משפט 9.7 בעמוד 68 בסיכומיו של גיל (מה שאני אומר מבוסס על דברי המרצה בשיעור החזרה).
- שלום אור, גם כאן התשובה שקיבלת נכונה. שים לב שנתת את ההגדרה של קבוצה מדידה, ולא אפיון. --Michael 21:06, 30 בינואר 2013 (IST)
הגדרות ומשפטים לבחינה
מישהו יכול להזכיר את ההגדרות של: 1. פונקציות מידידות 2.מידת מכפלה 3.בסיס אורתונורמלי ואפיון בסיס אורתונורמלי? תודה.