dx

חדו"א 1 להנדסה ולאודיסאה

הרצאות · מבחנים ובחנים · תרגילי בית · הגדרות ומשפטים (PDF) · מיני קורס

בקצרה: חדו"א 1 להנדסה (83-112) ומתמטיקה לפיזיקאים 1 של תוכנית אודיסאה (86-147) הם אותו קורס, עם אותו סילבוס ואותו מבנה מבחן: חסמים, גבולות של סדרות ושל פונקציות, רציפות, נגזרות, משפטי החקירה, פולינום טיילור, האינטגרל הלא מסוים והמסוים ואינטגרלים לא אמיתיים. בדף: הסיכום המלא של הקורס, עם קישור לרגע בסרטון ליד כל הגדרה ומשפט.

חומר עזר

הגדרות, טענות ומשפטים (PDF): כל ההגדרות והמשפטים של הקורס בניסוח מדויק, ובשוליים קישור לרגע שבו כל פריט נאמר, בסרטון של הלוח הירוק או בהקלטת ההרצאה (גרסה להדפסה בשחור-לבן). אותו תוכן מופיע גם בדף הזה.
מבחנים ובחנים עם פתרונות, ותרגילי בית, מתשע"ו ועד היום
סרטוני ותקציר ההרצאות של אינפי 1 ושל אינפי 2: אותם נושאים, ברמה של קורס המתמטיקה
מיני קורס בחדו"א ללמידה עצמית

סרטוני ותקציר ההרצאות

כל ההרצאות של תשפ"ו הוקלטו, בשתי הכיתות. הסיכום הוא התוכן של הקובץ "הגדרות, טענות ומשפטים": ליד כל הגדרה ומשפט יש קישור לרגע שבו הם נאמרים (▶ סרטון), ולתחילת ההוכחה כשהוכחו (▶ הוכחה). הקישור הוא לסרטון הקצר של הלוח הירוק כשיש כזה שמתאים לחומר של הקורס, ואחרת להקלטת ההרצאה (של כיתת ההנדסה, ושל כיתת אודיסאה כשהפריט נלמד רק שם). סרטוני הלוח הירוק מוטמעים לפני הפריטים שהם מסבירים; בסעיף שאין לו סרטון כזה מוטמעת ההקלטה, מהרגע שבו הסעיף מתחיל.

1

פרק 1: מספרים וחסמים

חסמים

2

פרק 2: גבול של סדרה

הגדרת הגבול · שאיפה לאפס · חשבון גבולות · משפטי סנדוויץ'

3

פרק 3: המספר e וכללים לחישוב גבולות

סדרות מונוטוניות והמספר e · כלל ה־e · חזקת אינסוף · כלל המנה

4

פרק 4: גבול של פונקציה ורציפות

גבול של פונקציה · רציפות · הפונקציות הטריגונומטריות

5

פרק 5: גזירות

הגדרת הנגזרת · הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות · חוקי הגזירה · פונקציות הופכיות ונגזרתן

6

פרק 6: חקירה

משפט ערך הביניים · משפטי ויירשטראס · משפט פרמה · משפט רול · משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה · משפט קושי · כלל לופיטל

7

פרק 7: פולינום טיילור

פולינום טיילור ושארית לגראנז' · שימושים של פולינום טיילור

8

פרק 8: האינטגרל הלא מסוים

פונקציה קדומה · שיטות אינטגרציה · פונקציות רציונליות · אינטגרלים של שברים חלקיים

9

פרק 9: האינטגרל המסוים

האינטגרל המסוים ותכונותיו · המשפט היסודי של החדו"א · סכומי רימן · אורך עקומה

10

פרק 10: אינטגרלים לא אמיתיים

הגדרת אינטגרלים לא אמיתיים · מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים

פרק 1 - מספרים וחסמים

קבוצות המספרים, החזקות והלוגריתמים (ההרצאה הראשונה) מסוכמים בדף של אינפי 1: קבוצות מספרים, חזקות ולוגריתמים.

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 28.10.25 · 3.11.25; אודיסאה: 28.10.25 · 31.10.25

חסמים

הגדרה 1.1.1חסם מלעיל, חסם מלרע, קבוצה חסומה▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math].

[math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] נקרא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\le M }[/math].
[math]\displaystyle{ m\in\mathbb R }[/math] נקרא חסם מלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\ge m }[/math].
[math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת חסומה מלעיל אם יש לה חסם מלעיל.
[math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת חסומה מלרע אם יש לה חסם מלרע.
[math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל וחסומה מלרע.

הגדרה 1.1.2מקסימום ומינימום▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math].

[math]\displaystyle{ M\in A }[/math] נקרא המקסימום של [math]\displaystyle{ A }[/math] או האיבר הגדול ביותר של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\le M }[/math]. במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ M=\max A }[/math].
[math]\displaystyle{ m\in A }[/math] נקרא המינימום של [math]\displaystyle{ A }[/math] או האיבר הקטן ביותר של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\ge m }[/math]. במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ m=\min A }[/math].

הגדרה 1.1.3חסם עליון וחסם תחתון▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math].

אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], הוא נקרא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math], או הסופרמום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ \sup(A) }[/math].
אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של [math]\displaystyle{ A }[/math], הוא נקרא החסם התחתון של [math]\displaystyle{ A }[/math], או האינפימום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ \inf(A) }[/math].

טענה 1.1.4▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ M,m\in\mathbb R }[/math].

אם [math]\displaystyle{ M=\max A }[/math], אזי [math]\displaystyle{ M=\sup A }[/math].
אם [math]\displaystyle{ m=\min A }[/math], אזי [math]\displaystyle{ m=\inf A }[/math].

משפט 1.1.5תנאי שקול לחסם עליון▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ M }[/math] הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:

[math]\displaystyle{ M }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math];
לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a>M-\varepsilon }[/math].

[math]\displaystyle{ \displaystyle M=\sup A\iff\Big(\forall a\in A:\ a\le M\Big)\ \wedge\ \Big(\forall\varepsilon>0\ \exists a\in A:\ a>M-\varepsilon\Big). }[/math]

במילים: [math]\displaystyle{ M }[/math] הוא החסם העליון של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ M }[/math] הוא חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math], ולכל מספר הקטן מ־[math]\displaystyle{ M }[/math] יש ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] איבר הגדול ממנו.

טענה 1.1.6תכונת ארכימדס▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. אזי קיים [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ n>x }[/math].

[math]\displaystyle{ \displaystyle \forall x\in\mathbb R\ \ \exists n\in\mathbb N:\quad n>x . }[/math]

במילים: [math]\displaystyle{ \mathbb N }[/math] אינה חסומה מלעיל.

משפט 1.1.7שלמות הממשיים▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל. אזי ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] יש חסם עליון.

מסקנה 1.1.8▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע. אזי ל־[math]\displaystyle{ A }[/math] יש חסם תחתון.

טענה 1.1.9[math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math] אינו שלם▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ A=\{x\in\mathbb Q\mid x^2<2\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] לא ריקה ויש לה חסם מלעיל רציונלי, אך לקבוצת חסמי המלעיל הרציונליים של [math]\displaystyle{ A }[/math] אין איבר קטן ביותר.

במילים: ברציונליים יש קבוצה חסומה מלעיל שאין לה חסם עליון.

משפט 1.1.10צפיפות הרציונליים והאי-רציונליים▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.
אזי קיימים [math]\displaystyle{ r_1\in\mathbb R\setminus\mathbb Q }[/math] ו־[math]\displaystyle{ r_2\in\mathbb Q }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a<r_1<b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a<r_2<b }[/math].

במילים: בין כל שני מספרים ממשיים שונים יש מספר אי-רציונלי ויש מספר רציונלי.

פרק 2 - גבול של סדרה

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 3.11.25 · 4.11.25 · 10.11.25; אודיסאה: 31.10.25 · 4.11.25 · 7.11.25 · 11.11.25 · 1.2.26

הגדרת הגבול

הגדרה 2.1.1סדרה▶ סרטון

סדרה ממשית (בקיצור סדרה) היא פונקציה [math]\displaystyle{ a:\mathbb N\to\mathbb R }[/math], המתאימה לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ n }[/math] (מקום, אינדקס) מספר ממשי [math]\displaystyle{ a(n) }[/math] (איבר).

סימון: [math]\displaystyle{ a_n=a(n) }[/math] הוא האיבר במקום ה־[math]\displaystyle{ n }[/math], וגם את הסדרה עצמה מסמנים [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
שימו לב: אלא אם נאמר במפורש אחרת, כל סדרה בקורס היא אינסופית.
מותר שסדרה לא תהיה מוגדרת במספר סופי של מקומות.

הגדרה 2.1.2סביבה▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. נגדיר סביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math] ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], או סביבת [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] של [math]\displaystyle{ a }[/math], להיות הקטע
[math]\displaystyle{ \displaystyle (a-\varepsilon,a+\varepsilon)=\{x\in\mathbb R\mid a-\varepsilon<x<a+\varepsilon\}. }[/math]
נגדיר סביבה של [math]\displaystyle{ \infty }[/math] כקטע מהצורה [math]\displaystyle{ (M,\infty)=\{x\in\mathbb R\mid x>M\} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ M>0 }[/math].
נגדיר סביבה של [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] כקטע מהצורה [math]\displaystyle{ (-\infty,-M)=\{x\in\mathbb R\mid x<-M\} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ M>0 }[/math].

טענה 2.1.3▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |x-a|<\varepsilon }[/math].

הגדרה 2.1.4גבול של סדרה▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=L }[/math] (בקיצור [math]\displaystyle{ \lim a_n=L }[/math]) או [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|<\varepsilon }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \forall\varepsilon>0\ \ \exists K\in\mathbb N\ \ \forall n>K:\ \ |a_n-L|<\varepsilon . }[/math]

במילים: לכל סביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה.

הגדרה 2.1.5שאיפה ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] ול־[math]\displaystyle{ -\infty }[/math]▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.

אומרים ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת לאינסוף, ומסמנים [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim a_n=\infty }[/math], אם לכל [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n>M }[/math]:
[math]\displaystyle{ \displaystyle \forall M>0\ \ \exists K\in\mathbb N\ \ \forall n>K:\ \ a_n>M . }[/math]
אומרים ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שואפת למינוס אינסוף, ומסמנים [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim a_n=-\infty }[/math], אם [math]\displaystyle{ -a_n\to\infty }[/math].

הגדרה 2.1.6מתכנסת ומתכנסת במובן הרחב▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.

[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מתכנסת אם קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מתכנסת במובן הרחב אם קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].

משפט 2.1.7▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to0 }[/math].

טענה 2.1.8▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}\to\infty }[/math].

סימון 2.1.9כתיב מקוצר▶ סרטון

בחישובי גבולות משתמשים בכתיב מקוצר, שאינו מדויק. בכתיב הזה הסמלים [math]\displaystyle{ \infty }[/math], [math]\displaystyle{ 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 0^+ }[/math] ו־ [math]\displaystyle{ 0^- }[/math] מייצגים סדרות ממשיות: [math]\displaystyle{ \infty }[/math] מייצג סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] מייצג סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]; [math]\displaystyle{ 0^+ }[/math] מייצג סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] שכל איבריה חיוביים, ו־ [math]\displaystyle{ 0^- }[/math] מייצג סדרה השואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] שכל איבריה שליליים. שוויון בכתיב המקוצר הוא קיצור של טענה על כל הסדרות שהסמלים מייצגים, והסימן [math]\displaystyle{ \ne }[/math] אומר שהטענה הזו אינה נכונה:

[math]\displaystyle{ \frac1\infty=0 }[/math] פירושו: לכל סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \frac1{0^+}=\infty }[/math] פירושו: לכל סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to\infty }[/math].
[math]\displaystyle{ \frac1{0^-}=-\infty }[/math] פירושו: לכל סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to-\infty }[/math].
[math]\displaystyle{ \frac10\ne\infty }[/math] פירושו: קיימת סדרה ממשית [math]\displaystyle{ a_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math], אך לא מתקיים [math]\displaystyle{ \frac1{a_n}\to\infty }[/math].

משפט 2.1.10יחידות הגבול▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהיו [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a_n\to L_1 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a_n\to L_2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math].

הגדרה 2.1.11קבוצת איברי הסדרה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. קבוצת איברי הסדרה היא הקבוצה [math]\displaystyle{ \{a_n\mid n\in\mathbb N\}\subseteq\mathbb R }[/math].

הגדרה 2.1.12סדרה חסומה▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.

[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת חסומה מלעיל אם קבוצת איברי הסדרה חסומה מלעיל.
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת חסומה מלרע אם קבוצת איברי הסדרה חסומה מלרע.
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת חסומה אם קבוצת איברי הסדרה חסומה.

טענה 2.1.13▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה אם ורק אם קיים [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n|<M }[/math].

משפט 2.1.14▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה.

משפט 2.1.15▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to L }[/math].

במילים: השמטת האיבר הראשון (המעבר מהסדרה [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,\dots }[/math] לסדרה [math]\displaystyle{ a_2,a_3,a_4,\dots }[/math]) אינה משפיעה על הגבול, סופי או אינסופי.

מסקנה 2.1.16▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות, ונניח שקיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n=b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math].

במילים: שינוי מספר סופי של איברים בסדרה אינו משפיע על הגבול.

טענה 2.1.17מעבר לגבול באי-שוויון חלש▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ge a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. נניח ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת, כלומר קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ L\ge a }[/math].

הערה: אי-שוויון חזק אינו עובר לגבול: מ־[math]\displaystyle{ a_n>a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נובע רק [math]\displaystyle{ L\ge a }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ \frac1n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math]).

הערה: אי-שוויון חזק אינו עובר לגבול: מ־[math]\displaystyle{ a_n>a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נובע רק [math]\displaystyle{ L\ge a }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ \frac1n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math]).

שאיפה לאפס

טענה 2.2.1▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n-L|\to0 }[/math].

מסקנה 2.2.2▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ |a_n|\to0 }[/math].

טענה 2.2.3סכום אפסות▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to0 }[/math].

טענה 2.2.4אפסה כפול חסומה▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] חסומה. אזי [math]\displaystyle{ a_nb_n\to0 }[/math].

חשבון גבולות

משפט 2.3.1אריתמטיקה של גבולות▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות, ויהיו [math]\displaystyle{ L_a,L_b\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L_a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L_b }[/math]. אזי:

(א) [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to L_a+L_b }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ a_n\cdot b_n\to L_a\cdot L_b }[/math].
(ג) אם [math]\displaystyle{ L_b\ne0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b} }[/math].

טענה 2.3.2▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] אינה מתכנסת. אזי [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] אינה מתכנסת.

משפטי סנדוויץ'

משפט 2.4.1הסנדוויץ'▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math], [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\le b_n\le c_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math].

משפט 2.4.2חצי סנדוויץ'▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\le b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ b_n\to\infty }[/math].

מסקנה 2.4.3חצי סנדוויץ' על הרצפה▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ |a_n|\le b_n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math].

פרק 3 - המספר e וכללים לחישוב גבולות

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 11.11.25 · 17.11.25 · 18.11.25; אודיסאה: 11.11.25 · 14.11.25 · 18.11.25

סדרות מונוטוניות והמספר [math]\displaystyle{ e }[/math]

הגדרה 3.1.1סדרה מונוטונית▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית.

[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מונוטונית עולה אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\le a_{n+1} }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מונוטונית יורדת אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\ge a_{n+1} }[/math].
[math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת מונוטונית אם היא מונוטונית עולה או מונוטונית יורדת.

משפט 3.1.2סדרות מונוטוניות▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית מונוטונית.

(א) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] חסומה, אזי קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה חסומה, אזי [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ a_n\to-\infty }[/math].

הגדרה 3.1.3ממוצע חשבוני, הנדסי והרמוני▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] מספרים ממשיים חיוביים.

הממוצע החשבוני (האלגברי) שלהם הוא [math]\displaystyle{ A=\dfrac{x_1+\dots+x_n}n }[/math].
הממוצע ההנדסי (הגיאומטרי) שלהם הוא [math]\displaystyle{ G=\sqrt[n]{x_1\cdots x_n} }[/math].
הממוצע ההרמוני שלהם הוא [math]\displaystyle{ H=\dfrac n{\frac1{x_1}+\dots+\frac1{x_n}} }[/math].

משפט 3.1.4אי-שוויון הממוצעים▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] מספרים ממשיים חיוביים. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac n{\frac1{x_1}+\dots+\frac1{x_n}}\le\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac{x_1+\dots+x_n}n , }[/math]

ובכל אחד משני אי-השוויונות מתקיים שוויון אם ורק אם [math]\displaystyle{ x_1=\dots=x_n }[/math].

משפט 3.1.5המספר [math]\displaystyle{ e }[/math]▶ סרטון · ▶ הוכחה

לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n }[/math].

הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה, ולכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 2\le a_n<4 }[/math]. לכן היא מתכנסת לגבול סופי.
הגדרה: המספר [math]\displaystyle{ e }[/math] הוא הגבול של [math]\displaystyle{ a_n }[/math]:
[math]\displaystyle{ \displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n . }[/math]

מסקנה 3.1.6▶ סרטון · ▶ הוכחה

לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n<e<\left(1+\frac1n\right)^{n+1} . }[/math]

מסקנה 3.1.7▶ סרטון · ▶ הוכחה

המספר [math]\displaystyle{ e }[/math] הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה [math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle e=\sup\left\{\left(1+\frac1n\right)^n\ \middle|\ n\in\mathbb N\right\} . }[/math]

כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]

טענה 3.2.1▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle (1+a_n)^{\frac1{a_n}}\to e . }[/math]

טענה 3.2.2חזקות של גבולות▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות, ויהיו [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L }[/math] מספרים ממשיים. נניח ש [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^L }[/math].

משפט 3.2.3כלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math]▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to1 }[/math], ונניח שהסדרה [math]\displaystyle{ b_n\cdot(a_n-1) }[/math] מתכנסת במובן הרחב. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)} , }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ e^{\infty}=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^{-\infty}=0 }[/math].

במילים: הגבול הוא [math]\displaystyle{ e }[/math] בחזקת הגבול של המעריך כפול (הבסיס פחות [math]\displaystyle{ 1 }[/math]).

חזקת אינסוף

משפט 3.3.1האינדוקציה המתמטית▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ P(1),P(2),P(3),\dots }[/math] סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:

הטענה [math]\displaystyle{ P(1) }[/math] נכונה.
לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אם הטענה [math]\displaystyle{ P(n) }[/math] נכונה אזי גם הטענה [math]\displaystyle{ P(n+1) }[/math] נכונה.

אזי הטענה [math]\displaystyle{ P(n) }[/math] נכונה לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math].

[math]\displaystyle{ \displaystyle P(1)\ \wedge\ \forall n\in\mathbb N\ \big(P(n)\Rightarrow P(n+1)\big)\ \Longrightarrow\ \forall n\in\mathbb N:\ P(n). }[/math]

טענה 3.3.2אי-שוויון ברנולי▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x>-1 }[/math] מספר ממשי. אזי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle (1+x)^n\ge1+nx . }[/math]

משפט 3.3.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית כך ש [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math]. אזי:

(א) אם [math]\displaystyle{ a>1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to\infty }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ a<1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a_n)^n\to0 }[/math].

מסקנה 3.3.4▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math].

(א) אם [math]\displaystyle{ a>1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^n\to\infty }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ 0<a<1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^n\to0 }[/math].

כלל המנה

משפט 3.4.1כלל המנה▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L }[/math]. אזי:

(א) אם [math]\displaystyle{ L>1 }[/math] או [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n|\to\infty }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ 0\le L<1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math].
(ג) מתקיים [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{|a_n|}\to L }[/math].

פרק 4 - גבול של פונקציה ורציפות

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 24.11.25 · 25.11.25 · 8.12.25; אודיסאה: 18.11.25 · 21.11.25 · 25.11.25 · 2.12.25 · 9.12.25

גבול של פונקציה

הגדרה 4.1.1גבול של פונקציה לפי קושי▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ x_0,L\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.

אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול של [math]\displaystyle{ f }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math], אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ 0\ne|x-x_0|<\delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|<\varepsilon }[/math].
אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול מימין של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math], אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ 0<x-x_0<\delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|<\varepsilon }[/math].
אומרים ש [math]\displaystyle{ L }[/math] הוא הגבול משמאל של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ומסמנים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math], אם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ 0<x_0-x<\delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|<\varepsilon }[/math].

במילים: לכל סביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math] בציר [math]\displaystyle{ y }[/math] (ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]) קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בציר [math]\displaystyle{ x }[/math] (ברדיוס [math]\displaystyle{ \delta }[/math]), כך שלכל [math]\displaystyle{ x\ne x_0 }[/math] בסביבה הזו, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] נמצא בסביבה של [math]\displaystyle{ L }[/math].

הגדרה 4.1.2גבול של פונקציה לפי היינה▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ x_0,L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ a_n\ne x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \forall a_n:\ \ \big(\forall n\in\mathbb N:\ a_n\ne x_0\big)\ \wedge\ a_n\to x_0\ \Longrightarrow\ f(a_n)\to L . }[/math]

הגדרה 4.1.3גבולות חד-צדדיים לפי היינה▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.

גבול מימין: אומרים ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ a_n>x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L }[/math].
גבול משמאל: אומרים ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ a_n<x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L }[/math].

משפט 4.1.4שקילות הגדרות קושי והיינה▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ x_0,L\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אזי:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] לפי קושי אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] לפי היינה.
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math] לפי קושי אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math] לפי היינה.
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math] לפי קושי אם ורק אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math] לפי היינה.

מסקנה 4.1.5▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math], תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה, ותהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to x_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to x_0 }[/math], וכן [math]\displaystyle{ a_n\ne x_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\ne x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. נניח שקיימים [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ L_1\ne L_2 }[/math], [math]\displaystyle{ f(a_n)\to L_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(b_n)\to L_2 }[/math]. אזי:

לא קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math].
אם [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a_n>x_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n>x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אזי לא קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L }[/math].
אם [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a_n<x_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n<x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אזי לא קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L }[/math].

הערה: בשיעור נקראה הדרך הזו להראות שגבול אינו קיים "שיטת ההודים העיוורים".

הערה: בשיעור נקראה הדרך הזו להראות שגבול אינו קיים "שיטת ההודים העיוורים".

מסקנה 4.1.6העברת משפטי הסדרות לפונקציות▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math], תהיינה [math]\displaystyle{ f,g,h }[/math] פונקציות, ותהי [math]\displaystyle{ U }[/math] סביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

חשבון גבולות: אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}g(x)=L_2 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ L_1,L_2\in\mathbb R }[/math], אזי
- (א) [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\big(f(x)+g(x)\big)=L_1+L_2 }[/math];
- (ב) [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=L_1\cdot L_2 }[/math];
- (ג) אם בנוסף [math]\displaystyle{ L_2\ne0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2} }[/math].
סנדוויץ': אם [math]\displaystyle{ f(x)\le g(x)\le h(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] השונה מ־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}h(x)=L }[/math] עבור [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}g(x)=L }[/math].
אפסה כפול חסומה: אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 }[/math] וקיים [math]\displaystyle{ M>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |g(x)|\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] השונה מ־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=0 }[/math].

במילים: כמעט כל המשפטים על גבולות של סדרות נכונים גם לגבולות של פונקציות, בזכות הגדרת הגבול לפי היינה (למשל חשבון גבולות, סנדוויץ' ואפסה כפול חסומה), פרט לכלל המנה.

רציפות

הגדרה 4.2.1רציפות בנקודה▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). }[/math]

במילים: הפונקציה מגיעה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] לערך שאליו היא שואפת: אין בה "ניתוק" ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. מההגדרה נובע ש [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

הגדרה 4.2.2רציפות בקטע סגור▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. אומרים ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם:

[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל נקודה [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b) }[/math];
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) }[/math];
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b) }[/math].

הגדרה 4.2.3מיון נקודות אי-רציפות▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה המוגדרת בסביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], פרט אולי לנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] עצמה.

[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת אי-רציפות סליקה של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x) }[/math] קיים וסופי, ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] או ש [math]\displaystyle{ f(x_0)\ne\lim_{x\to x_0}f(x) }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת אי-רציפות קפיצתית (מין ראשון) של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם הגבולות [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x) }[/math] קיימים, סופיים ושונים זה מזה.
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת אי-רציפות עיקרית (מין שני) של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם לפחות אחד מהגבולות [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+}f(x) }[/math], [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-}f(x) }[/math] אינו קיים או אינו סופי.

טענה 4.2.4▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ x_n\to x_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x_n)\to f(x_0) }[/math], גם אם [math]\displaystyle{ x_n=x_0 }[/math] עבור חלק מה־[math]\displaystyle{ n }[/math]־ים.

במילים: אפשר להפעיל את הפונקציה על שני צידי הגבול.

משפט 4.2.5גבול של הרכבה▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y_0\in\mathbb R }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=y_0 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה ב־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to x_0}g(f(x))=g(y_0). }[/math]

הפונקציות הטריגונומטריות

הגדרה 4.3.1סינוס וקוסינוס לפי מעגל היחידה▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. נגדיר את [math]\displaystyle{ (\cos(x),\sin(x)) }[/math] להיות הנקודה שאליה נגיע אם נתחיל מהנקודה [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] ונלך על מעגל היחידה (אוסף הנקודות במישור שמרחקן מראשית הצירים הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math]):

(א) אם [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math]: מרחק [math]\displaystyle{ x }[/math] נגד כיוון השעון;
(ב) אם [math]\displaystyle{ x<0 }[/math]: מרחק [math]\displaystyle{ |x| }[/math] עם כיוון השעון.

הגדרה 4.3.2פונקציה זוגית ואי-זוגית▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] קבוצה כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ -x\in A }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f:A\to\mathbb R }[/math] פונקציה.

[math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת זוגית אם לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(-x)=f(x) }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת אי-זוגית אם לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(-x)=-f(x) }[/math].

טענה 4.3.3▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ t\in\mathbb R }[/math]. אזי:

זוגיות: [math]\displaystyle{ \sin(-t)=-\sin t }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos(-t)=\cos t }[/math].
מחזוריות: [math]\displaystyle{ \sin(t+2\pi)=\sin t }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos(t+2\pi)=\cos t }[/math].
זהות פיתגורס: [math]\displaystyle{ \cos^2t+\sin^2t=1 }[/math].

טענה 4.3.4נוסחאות סכום זוויות וזווית כפולה▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a,b,x\in\mathbb R }[/math]. אזי:

[math]\displaystyle{ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) }[/math];
[math]\displaystyle{ \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) }[/math];
[math]\displaystyle{ \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) }[/math];
[math]\displaystyle{ \cos(2x)=2\cos^2(x)-1 }[/math];
[math]\displaystyle{ \cos^2(x)=\frac12\big(1+\cos(2x)\big) }[/math].

הגדרה 4.3.5טנגנס▶ סרטון

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \cos(x)\ne0 }[/math], הטנגנס של [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ \displaystyle \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} . }[/math]

למה 4.3.6▶ סרטון · ▶ הוכחה

לכל [math]\displaystyle{ x\in\left(0,\frac\pi2\right) }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle 0<\sin(x)<x<\tan(x) . }[/math]

מסקנה 4.3.7▶ סרטון · ▶ הוכחה

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}\sin(x)=0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}\cos(x)=1 }[/math].

משפט 4.3.8▶ סרטון · ▶ הוכחה

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 . }[/math]

פרק 5 - גזירות

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 25.11.25 · 1.12.25 · 2.12.25 · 12.1.26; אודיסאה: 28.11.25 · 2.12.25 · 5.12.25 · 26.12.25

הגדרת הנגזרת

הגדרה 5.1.1גזירות בנקודה ונגזרת▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.

אומרים ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} }[/math] קיים וסופי.
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא הגבול הזה:
[math]\displaystyle{ \displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. }[/math]

ובאופן שקול, בהצבה [math]\displaystyle{ h=x-x_0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. }[/math]

במילים: [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם גבול שיפועי המיתרים קיים וסופי, והנגזרת היא ערך הגבול.

הגדרה 5.1.2משיק▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הוא הישר שעובר בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,f(x_0)) }[/math] ושיפועו [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math].

מסקנה 5.1.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי משוואת המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא

[math]\displaystyle{ \displaystyle y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). }[/math]

משפט 5.1.4גזירות גוררת רציפות▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות

למה 5.2.1▶ סרטון · ▶ הוכחה

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 . }[/math]

משפט 5.2.2נגזרת הסינוס▶ סרטון · ▶ הוכחה

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (\sin x)'=\cos x . }[/math]

טענה 5.2.3נגזרת הקוסינוס▶ סרטון

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (\cos x)'=-\sin x . }[/math]

למה 5.2.4▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\ne 1 }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a} . }[/math]

משפט 5.2.5נגזרת הלוגריתם▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\ne 1 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (\log_a x)'=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}=\frac{\log_a e}{x}, \qquad (\ln x)'=\frac{1}{x}. }[/math]

למה 5.2.6▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a . }[/math]

משפט 5.2.7נגזרת האקספוננט▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\ne 1 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (a^x)'=a^x\ln a, \qquad (e^x)'=e^x . }[/math]

חוקי הגזירה

משפט 5.3.1כפל בקבוע, סכום ומכפלה▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math], תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות גזירות ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R }[/math]. אזי:

[math]\displaystyle{ cf }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ (cf)'(x_0)=cf'(x_0) }[/math].
[math]\displaystyle{ f+g }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0) }[/math].
[math]\displaystyle{ f\cdot g }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ (f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0) }[/math].

משפט 5.3.2כלל השרשרת (נגזרת הרכבה)▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math],

ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ g(x_0) }[/math].

אזי פונקציית ההרכבה [math]\displaystyle{ f\circ g }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ומתקיים כי

[math]\displaystyle{ \displaystyle (f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0). }[/math]

שיטה 5.3.3כלל האילן▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציות, ויהי [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום ההגדרה של שתיהן כך ש [math]\displaystyle{ f(x)>0 }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)^{g(x)}=e^{\ln\left(f(x)^{g(x)}\right)}=e^{g(x)\ln f(x)} . }[/math]

לכן, כדי לגזור חזקה של פונקציות [math]\displaystyle{ f^g }[/math] או לחשב את גבולה, כותבים אותה בצורה [math]\displaystyle{ e^{g\ln f} }[/math]; את הנגזרת מחשבים אז לפי כלל השרשרת.

משפט 5.3.4נגזרת חזקה עבור [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb R }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}. }[/math]

מסקנה 5.3.5נגזרת מנה▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math], ותהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות גזירות ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ g(x_0)\ne 0 }[/math].

אזי [math]\displaystyle{ \frac{f}{g} }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ומתקיים כי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \Big(\frac{f}{g}\Big)'(x_0)=\frac{f'(x_0)g(x_0)-g'(x_0)f(x_0)}{g^2(x_0)}. }[/math]

פונקציות הופכיות ונגזרתן

הגדרה 5.4.1פונקציה הפיכה ופונקציה הופכית▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\subseteq\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] פונקציה.

[math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה אם ורק אם היא חח"ע ועל.
אם [math]\displaystyle{ f }[/math] הפיכה, הפונקציה ההופכית שלה היא הפונקציה [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math] המקיימת: לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ y\in B }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math].

הגדרה 5.4.2הפונקציות הטריגונומטריות ההופכיות▶ סרטון

כל אחת מהפונקציות [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] הבאות היא חח"ע ועל, וההופכית שלה היא הפונקציה [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math] המקיימת: לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ y\in B }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x=f^{-1}(y) }[/math].

[math]\displaystyle{ \sin:[-\frac\pi2,\frac\pi2]\to[-1,1] }[/math]; ההופכית היא [math]\displaystyle{ \arcsin:[-1,1]\to[-\frac\pi2,\frac\pi2] }[/math].
[math]\displaystyle{ \cos:[0,\pi]\to[-1,1] }[/math]; ההופכית היא [math]\displaystyle{ \arccos:[-1,1]\to[0,\pi] }[/math].
[math]\displaystyle{ \tan:(-\frac\pi2,\frac\pi2)\to\mathbb R }[/math]; ההופכית היא [math]\displaystyle{ \arctan:\mathbb R\to(-\frac\pi2,\frac\pi2) }[/math].

משפט 5.4.3רציפות הפונקציה ההופכית▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c<d }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to[c,d] }[/math] פונקציה הפיכה ורציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f^{-1}:[c,d]\to[a,b] }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math].

משפט 5.4.4נגזרת הפונקציה ההופכית▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c<d }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to[c,d] }[/math] פונקציה הפיכה ורציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b) }[/math], ונניח ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(x_0)\ne 0 }[/math].

אזי [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ f(x_0) }[/math] ומתקיים כי

[math]\displaystyle{ \displaystyle (f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}, }[/math]

או בנוסח אחר, עבור [math]\displaystyle{ y_0=f(x_0) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}. }[/math]

במילים: הנגזרת של ההופכית בנקודה [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] היא אחד חלקי הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math], לא בנקודה [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] אלא בנקודה המתאימה [math]\displaystyle{ f^{-1}(y_0) }[/math].

שיטה 5.4.5▶ סרטון

תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\subseteq\mathbb R }[/math], תהי [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] פונקציה הפיכה, ויהי [math]\displaystyle{ x\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ f^{-1}(x) }[/math].

כדי לחשב את [math]\displaystyle{ (f^{-1})'(x) }[/math] מסמנים [math]\displaystyle{ y=f^{-1}(x) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ x=f(y) }[/math]. גוזרים את שני האגפים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], את אגף ימין לפי כלל השרשרת, ומקבלים

[math]\displaystyle{ \displaystyle 1=f'(y)\cdot y' . }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ f'(y)\ne0 }[/math], ומבודדים

[math]\displaystyle{ \displaystyle (f^{-1})'(x)=y'=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} . }[/math]

משפט 5.4.4 נותן תנאים שבהם [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] גזירה.

טענה 5.4.6נגזרת הטנגנס▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \cos(x)\ne0 }[/math]. אזי:

[math]\displaystyle{ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x} }[/math];
[math]\displaystyle{ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x} }[/math].

טענה 5.4.7נגזרת הארקטנגנס▶ סרטון · ▶ הוכחה

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle (\arctan x)'=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2(\arctan x)}}=\frac{1}{\tan^2(\arctan x)+1}=\frac{1}{1+x^2}. }[/math]

פרק 6 - חקירה

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 2.12.25 · 8.12.25 · 9.12.25 · 15.12.25 · 23.12.25; אודיסאה: 9.12.25 · 12.12.25 · 26.12.25 · 30.12.25

משפט ערך הביניים

עקרונות החקירה▶ סרטון

בחקירת שוויון או אי-שוויון מעבירים אגף ובונים פונקציה.
מוצאים את תחומי העלייה והירידה.
מחשבים את קצוות תחומי העלייה והירידה, וכשאי אפשר להציב — מחשבים גבול.

משפט 6.1.1ערך הביניים▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

עוד נניח כי [math]\displaystyle{ f(a)\le0 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f(b)\ge0 }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math].

משפטי ויירשטראס

הגדרה 6.2.1תת-סדרה▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, ותהי [math]\displaystyle{ k_n }[/math] סדרה של מספרים טבעיים (סדרת מקומות) כך ש [math]\displaystyle{ k_n<k_{n+1} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math], שהאיבר ה־[math]\displaystyle{ n }[/math] שלה הוא [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math], נקראת תת-סדרה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].

במילים: תת-סדרה היא הסדרה האינסופית הנותרת לאחר מחיקת איברים מהסדרה המקורית.

טענה 6.2.2▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית. אזי יש ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] תת-סדרה מונוטונית.

משפט 6.2.3בולצאנו-ויירשטראס▶ סרטון · ▶ הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית חסומה. אזי יש ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] תת-סדרה מתכנסת, כלומר קיימים תת-סדרה [math]\displaystyle{ a_{k_n} }[/math] של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{k_n}\to L }[/math].

משפט 6.2.4ויירשטראס הראשון (חסימות)▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], כלומר קיימים [math]\displaystyle{ m,M\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m\le f(x)\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].

משפט 6.2.5ויירשטראס השני (מקסימום ומינימום)▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת מקסימום ומינימום בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

כלומר, קיימות נקודות [math]\displaystyle{ c,d\in[a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(d)\le f(x)\le f(c) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math].

משפט פרמה

הגדרה 6.3.1מקסימום מקומי, מינימום מקומי, קיצון מקומי▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ויהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math].

[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת מקסימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ r>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(x_0-r,x_0+r) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\le f(x_0) }[/math]:
[math]\displaystyle{ \displaystyle \exists r>0\ \ \forall x\in(x_0-r,x_0+r):\ \ f(x)\le f(x_0). }[/math]
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת מינימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ r>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(x_0-r,x_0+r) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(x_0) }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם היא מקסימום מקומי או מינימום מקומי.

במילים: הסביבה חייבת להיות דו-צדדית: נקודת קצה של תחום ההגדרה אינה נקודת קיצון מקומית.

משפט 6.3.2פרמה▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math].

ההפך אינו נכון: ייתכן ש [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math].

משפט רול

משפט 6.4.1רול▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(c)=0 }[/math].

טענה 6.4.2▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ p }[/math] פולינום מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math].

אזי ל־[math]\displaystyle{ p }[/math] יש לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] שורשים שונים (מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ x }[/math] שבהם [math]\displaystyle{ p(x)=0 }[/math]).

משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה

משפט 6.5.1לגראנז'▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ \displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. }[/math]

במילים: יש משיק שמקביל למיתר בין שתי הנקודות שבקצוות הקטע.

הגדרה 6.5.2פונקציה עולה ויורדת בתחום▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה.

[math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת עולה בתחום [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ f(x_1)\le f(x_2) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math]:
[math]\displaystyle{ \displaystyle \forall x_1,x_2\in A:\ \ x_1<x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\le f(x_2). }[/math]
[math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת יורדת בתחום [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ f(x_1)\ge f(x_2) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math].

במילים: אי-השוויון חלש, ולכן גם פונקציה קבועה היא עולה.

טענה 6.5.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה בתחום [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם ורק אם לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,b) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math].

מסקנה 6.5.4▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,b) }[/math].

אזי שלושת התנאים הבאים שקולים:

[math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math];
[math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,b) }[/math];
[math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

משפט קושי

משפט 6.6.1קושי (לגראנז' המוכלל)▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות רציפות בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירות בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

עוד נניח כי [math]\displaystyle{ g'(x)\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,b) }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] עבורה

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. }[/math]

במילים: יש נקודה שבה מנת שיפועי המשיקים לגרפים של [math]\displaystyle{ f }[/math] ושל [math]\displaystyle{ g }[/math] שווה למנת שיפועי המיתרים שלהם בין קצוות הקטע.

כלל לופיטל

משפט 6.7.1כלל לופיטל במקרה פרטי▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות רציפות בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(a)=g(a)=0 }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ונניח ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L }[/math].

אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=L. }[/math]

משפט 6.7.2כלל לופיטל▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ x\to x_0 }[/math] אחת מהשאיפות הבאות, ותהי [math]\displaystyle{ U }[/math] בהתאם לה (כאשר [math]\displaystyle{ a,K\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ r>0 }[/math]):

[math]\displaystyle{ x\to a }[/math], ו־[math]\displaystyle{ U }[/math] הקבוצה [math]\displaystyle{ (a-r,a+r)\setminus\{a\} }[/math];
[math]\displaystyle{ x\to a^+ }[/math], ו־[math]\displaystyle{ U }[/math] הקטע [math]\displaystyle{ (a,a+r) }[/math];
[math]\displaystyle{ x\to a^- }[/math], ו־[math]\displaystyle{ U }[/math] הקטע [math]\displaystyle{ (a-r,a) }[/math];
[math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math], ו־[math]\displaystyle{ U }[/math] הקרן [math]\displaystyle{ (K,\infty) }[/math];
[math]\displaystyle{ x\to-\infty }[/math], ו־[math]\displaystyle{ U }[/math] הקרן [math]\displaystyle{ (-\infty,K) }[/math].

תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות גזירות ב־[math]\displaystyle{ U }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] ונניח ש [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L }[/math].

(א) [math]\displaystyle{ \frac00 }[/math]: אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}g(x)=0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ \frac\infty\infty }[/math]: אם [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math].

במילים: הכלל פועל בכיוון אחד בלבד: אם למנת הנגזרות יש גבול, הוא שווה לגבול המקורי; כשלמנת הנגזרות אין גבול, הכלל אינו אומר דבר.

הגדרה 6.7.3המקרים הבעייתיים▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ x\to x_0 }[/math] אחת מהשאיפות שבכלל לופיטל ([math]\displaystyle{ x\to a }[/math], [math]\displaystyle{ x\to a^+ }[/math], [math]\displaystyle{ x\to a^- }[/math], [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math] או [math]\displaystyle{ x\to-\infty }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]). המקרים הבעייתיים הם הצורות

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac00,\ \frac\infty\infty,\ 0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^\infty,\ \infty^0,\ 0^0 , }[/math]

שבהן כל סמל מייצג פונקציה השואפת אליו כאשר [math]\displaystyle{ x\to x_0 }[/math]: [math]\displaystyle{ 0 }[/math] מייצג פונקציה השואפת ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1 }[/math] מייצג פונקציה השואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] מייצג פונקציה השואפת ל־[math]\displaystyle{ \infty }[/math]. בצורות אלה הגבולות של הפונקציות המרכיבות אינם קובעים את גבול הביטוי: הוא תלוי בפונקציות עצמן, ואף ייתכן שאינו קיים.

במילים: אלה המקרים שבהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול.

הטיפול במקרים הבעייתיים

[math]\displaystyle{ \frac00 }[/math] או [math]\displaystyle{ \frac\infty\infty }[/math]: אפשר להשתמש בכלל לופיטל.
[math]\displaystyle{ 0\cdot\infty }[/math]: כותבים את המכפלה כמנה, [math]\displaystyle{ f\cdot g=\frac{f}{\left(\frac1g\right)}=\frac{g}{\left(\frac1f\right)} }[/math].
[math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]: מוציאים גורם משמעותי משותף, למשל [math]\displaystyle{ f-g=f\left(1-\frac gf\right) }[/math], או עושים מכנה משותף.
[math]\displaystyle{ 1^\infty }[/math]: משתמשים בכלל ה־[math]\displaystyle{ e }[/math].
[math]\displaystyle{ \infty^0 }[/math] או [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math]: משתמשים בכלל האילן, [math]\displaystyle{ f^g=e^{g\ln f} }[/math].
"לא לגזור כמו חמור": מוטב לפשט את הביטוי ולפרק אותו לבעיות קטנות יותר.

משפט 6.7.4סדרי הגודל▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a,b>0 }[/math] מספרים ממשיים. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln^a(x)}{x^b}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{e^{bx}}=0 }[/math]

בשני הגבולות האלה אפשר להשתמש בלי להוכיח אותם בכל פעם מחדש.

פרק 7 - פולינום טיילור

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 23.12.25 · 29.12.25 · 30.12.25; אודיסאה: 2.1.26

פולינום טיילור ושארית לגראנז'

הגדרה 7.1.1פולינום טיילור▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים ב־[math]\displaystyle{ a }[/math]. פולינום טיילור של [math]\displaystyle{ f }[/math] מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] סביב נקודת ההשקה [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא הפולינום [math]\displaystyle{ p_n(f,a) }[/math], המוגדר לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ \displaystyle p_n(f,a)(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n . }[/math]

בכתיב מקוצר, עם [math]\displaystyle{ f^{(0)}=f }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle p_n(f,a)(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k . }[/math]

הגדרה 7.1.2השארית (השגיאה)▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים ב־[math]\displaystyle{ a }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math], השארית או השגיאה בקירוב של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ p_n(f,a)(x) }[/math] היא

[math]\displaystyle{ \displaystyle R_n(f,a)(x)=f(x)-p_n(f,a)(x). }[/math]

הגדרה 7.1.3קירוב עד כדי שגיאה▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h>0 }[/math], תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים ב־[math]\displaystyle{ a }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math]. אומרים ש [math]\displaystyle{ p_n(f,a)(x) }[/math] הוא קירוב של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עד כדי שגיאה [math]\displaystyle{ h }[/math] אם [math]\displaystyle{ |R_n(f,a)(x)|<h }[/math].

משפט 7.1.4שארית טיילור בצורת לגראנז'▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] פעמים בסביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ a }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x\ne a }[/math].

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] בקטע הפתוח בין [math]\displaystyle{ a }[/math] לבין [math]\displaystyle{ x }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ \displaystyle R_n(f,a)(x)=f(x)-p_n(f,a)(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. }[/math]

שיטה 7.1.5▶ סרטון

כדי לקרב מספר בעזרת פולינום טיילור:

בוחרים פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] ונקודה רצויה [math]\displaystyle{ x }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא המספר המבוקש.
בוחרים נקודה מצויה [math]\displaystyle{ a }[/math], היא נקודת ההשקה: נקודה שבה יודעים לחשב את [math]\displaystyle{ f }[/math] ואת נגזרותיה, כך שגם הקירוב [math]\displaystyle{ p_n(f,a)(x) }[/math] הוא מספר שיודעים לחשב בלי מחשבון (בדרך כלל מספר רציונלי).
הקירוב הוא [math]\displaystyle{ p_n(f,a)(x) }[/math]: מציבים את הנקודה הרצויה בפולינום טיילור במקום בפונקציה.
את הסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] קובעים אחרון, כך שהשגיאה בקירוב תהיה קטנה מספיק (לפי נתוני השאלה): בוחרים [math]\displaystyle{ n }[/math] וחוסמים את השגיאה, ואם החסם אינו קטן מספיק, מגדילים את [math]\displaystyle{ n }[/math].

הערה▶ סרטון

בחסימת השגיאה בעזרת שארית לגראנז' הנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] אינה ידועה, ולכן חוסמים את הביטוי שבשארית לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] בקטע הפתוח בין [math]\displaystyle{ a }[/math] לבין [math]\displaystyle{ x }[/math]. לעתים קרובות הביטוי מונוטוני ב־[math]\displaystyle{ c }[/math], ואז החסם מתקבל בקצות הקטע; אבל זה לא תמיד כך, ואין להציב את [math]\displaystyle{ c }[/math] בקצות הקטע בלי לבדוק זאת.

כשהמונה והמכנה של הביטוי חיוביים, הקטנת המכנה או הגדלת המונה מגדילות את הביטוי. כשהמונה והמכנה גדלים יחד, משתמשים בכלי החקירה.

שימושים של פולינום טיילור

טענה 7.2.1▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה פעמיים בסביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ f'' }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f''(a)>0 }[/math]. אזי קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(a-\delta,a+\delta) }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a). }[/math]

במילים: בסביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math] הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] אינו מתחת למשיק לגרף בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math].

מסקנה 7.2.2מבחן הנגזרת השנייה▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה פעמיים בסביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ f'' }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(a)=0 }[/math].

(א) אם [math]\displaystyle{ f''(a)>0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] מינימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ f''(a)<0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] מקסימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math].

טענה 7.2.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה שלוש פעמים בסביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ a }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ f''' }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ f''(a)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'''(a)\ne0 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] נסמן [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-\big(f(a)+f'(a)(x-a)\big) }[/math].

(א) אם [math]\displaystyle{ f'''(a)>0 }[/math], אזי קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g(x)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a-\delta,a) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,a+\delta) }[/math].
(ב) אם [math]\displaystyle{ f'''(a)<0 }[/math], אזי קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g(x)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a-\delta,a) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,a+\delta) }[/math].

במילים: הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] חוצה ב־[math]\displaystyle{ a }[/math] את המשיק לגרף בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math]: מצד אחד של [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא מעל המשיק, ומהצד השני מתחתיו. זו נקודת פיתול.

פרק 8 - האינטגרל הלא מסוים

אנחנו נחשב שטחים בעזרת פונקציות קדומות, ואת שאר הגדלים (אורך, נפח, עבודה ועוד) בעזרת שטחים.

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 30.12.25 · 5.1.26 · 6.1.26 · 12.1.26 · 13.1.26; אודיסאה: 13.1.26 · 16.1.26 · 20.1.26 · 23.1.26

פונקציה קדומה

הגדרה 8.1.1פונקציה קדומה▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע פתוח (חסום או לא חסום), ותהיינה [math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציות. [math]\displaystyle{ F }[/math] נקראת פונקציה קדומה (או קדומה) של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אם [math]\displaystyle{ F }[/math] גזירה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ I }[/math] ו־[math]\displaystyle{ F'(x)=f(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math].

סימון 8.1.2האינטגרל הלא מסוים▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע פתוח, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה שיש לה קדומה ב־[math]\displaystyle{ I }[/math].

קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math] נקראת גם אינטגרל לא מסוים של [math]\displaystyle{ f }[/math], ומסמנים אותה [math]\displaystyle{ \int f(x)\,dx }[/math], או בקיצור [math]\displaystyle{ \int f }[/math]. ה־[math]\displaystyle{ dx }[/math] הוא סימון בלבד: הוא אומר שהאינטגרל הוא לפי המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math].
אם [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math], כותבים [math]\displaystyle{ \int f(x)\,dx=F(x)+C }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] מסמן קבוע ממשי כלשהו.
שוויון בין ביטויים שבהם מופיעים אינטגרלים לא מסוימים הוא שוויון עד כדי קבוע: ההפרש בין שני האגפים הוא פונקציה קבועה ב־[math]\displaystyle{ I }[/math].

טענה 8.1.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע פתוח, תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה, ותהי [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי קבוצת כל הקדומות של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math] היא [math]\displaystyle{ \{F+C\mid C\in\mathbb R\} }[/math].

טענה 8.1.4▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע פתוח, תהיינה [math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציות, ותהיינה [math]\displaystyle{ F }[/math] ו־[math]\displaystyle{ G }[/math] קדומות של [math]\displaystyle{ f }[/math] ושל [math]\displaystyle{ g }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math], בהתאמה. יהי [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R }[/math]. אזי:

[math]\displaystyle{ F+G }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ f+g }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math]; כלומר [math]\displaystyle{ \int(f+g)=\int f+\int g }[/math].
[math]\displaystyle{ cF }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ cf }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math]; כלומר [math]\displaystyle{ \int cf=c\int f }[/math].

שיטות אינטגרציה

שיטת התפוד הלוהט▶ סרטון

לרוב הפונקציות אי אפשר להביע את הקדומה בעזרת פונקציות מוכרות, ואין שיטה שפותרת כל אינטגרל. השיטות שנלמד מחליפות אינטגרל אחד באינטגרל אחר, וכך הלאה, עד שמגיעים לאינטגרל מיידי: אינטגרל של פונקציה שהיא נגזרת של פונקציה מוכרת.

משפט 8.2.1אינטגרציה בחלקים▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע פתוח, ותהיינה [math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציות גזירות ב־[math]\displaystyle{ I }[/math], כך של־[math]\displaystyle{ g'f }[/math] יש קדומה [math]\displaystyle{ H }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ fg-H }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ f'g }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math]; כלומר

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int f'g=fg-\int g'f . }[/math]

משפט 8.2.2נוסחת ההצבה▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ I }[/math] ו־[math]\displaystyle{ J }[/math] קטעים פתוחים, ותהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ I }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g(x)\in J }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]. תהיינה [math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציות כך ש [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ J }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ F\circ g }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ (f\circ g)\cdot g' }[/math] ב־[math]\displaystyle{ I }[/math]; כלומר

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C . }[/math]

שיטה 8.2.3שיטת ההצבה▶ סרטון · ▶ הוכחה

כדי לחשב אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)\,dx }[/math]:

בוחרים הצבה [math]\displaystyle{ t=g(x) }[/math], וגוזרים: [math]\displaystyle{ dt=g'(x)\,dx }[/math].
מחליפים את [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] ב־[math]\displaystyle{ t }[/math] ואת [math]\displaystyle{ g'(x)\,dx }[/math] ב־[math]\displaystyle{ dt }[/math], ומחשבים [math]\displaystyle{ \int f(t)\,dt=F(t)+C }[/math].
מציבים חזרה [math]\displaystyle{ t=g(x) }[/math].

בקיצור:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int f(g(x))g'(x)\,dx=\left\{\begin{array}{l} t=g(x)\\ dt=g'(x)\,dx\end{array}\right\}=\int f(t)\,dt=F(t)+C=F(g(x))+C . }[/math]

השיטה מוצדקת על ידי נוסחת ההצבה.

שיטה 8.2.4▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע פתוח ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. כאשר רוצים להציב [math]\displaystyle{ t=g(x) }[/math] באינטגרל [math]\displaystyle{ \int f(x)\,dx }[/math] אבל הביטוי [math]\displaystyle{ g'(x)\,dx }[/math] אינו מופיע בו, מבודדים את [math]\displaystyle{ x }[/math] כפונקציה של [math]\displaystyle{ t }[/math]:

כותבים [math]\displaystyle{ x=h(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ dx=h'(t)\,dt }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ J }[/math] קטע פתוח ו־[math]\displaystyle{ h:J\to I }[/math] פונקציה הפיכה וגזירה כך ש [math]\displaystyle{ h'(t)\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t\in J }[/math].
מחשבים [math]\displaystyle{ \int f(h(t))h'(t)\,dt=G(t)+C }[/math].
מציבים חזרה [math]\displaystyle{ t=h^{-1}(x) }[/math], ומקבלים
[math]\displaystyle{ \displaystyle \int f(x)\,dx=G\big(h^{-1}(x)\big)+C . }[/math]

פונקציות רציונליות

הגדרה 8.3.1פולינום ודרגתו▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ n\ge0 }[/math] מספר שלם ויהיו [math]\displaystyle{ a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb R }[/math].

הפונקציה [math]\displaystyle{ p }[/math], המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] על ידי
[math]\displaystyle{ \displaystyle p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0 , }[/math]

נקראת פולינום, והמספרים [math]\displaystyle{ a_0,a_1,\dots,a_n }[/math] נקראים המקדמים שלו.
אם [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math], אומרים ש [math]\displaystyle{ p }[/math] פולינום מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math]. כלומר, הדרגה היא החזקה הגבוהה ביותר של [math]\displaystyle{ x }[/math] שהמקדם שלה שונה מאפס.
הפולינום שכל מקדמיו אפס, כלומר [math]\displaystyle{ p(x)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], נקרא פולינום האפס, ודרגתו מוגדרת להיות [math]\displaystyle{ -\infty }[/math].

הגדרה 8.3.2פונקציה רציונלית▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ p }[/math] ו־[math]\displaystyle{ q }[/math] פולינומים, כך ש [math]\displaystyle{ q }[/math] אינו פולינום האפס. הפונקציה [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)} }[/math], המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ q(x)\ne0 }[/math], נקראת פונקציה רציונלית.

שיטה 8.3.3▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)} }[/math] פונקציה רציונלית. מטפלים בה כך:

אם דרגת המונה [math]\displaystyle{ p }[/math] גדולה מדרגת המכנה [math]\displaystyle{ q }[/math] או שווה לה, מבצעים חילוק פולינומים. מתקבלים פולינומים [math]\displaystyle{ s }[/math] ו־[math]\displaystyle{ r }[/math], כך שדרגת [math]\displaystyle{ r }[/math] קטנה ממש מדרגת [math]\displaystyle{ q }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x }[/math] שבו [math]\displaystyle{ q(x)\ne0 }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{r(x)}{q(x)} . }[/math]
כאשר דרגת המונה קטנה ממש מדרגת המכנה, מפרקים לשברים חלקיים.
מטפלים בכל שבר חלקי בנפרד. בשאלה על אינטגרלים מחשבים את האינטגרל של כל שבר חלקי.

שיטה 8.3.4חילוק פולינומים▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ p }[/math] ו־[math]\displaystyle{ q }[/math] פולינומים, כך ש [math]\displaystyle{ q }[/math] אינו פולינום האפס ודרגת [math]\displaystyle{ p }[/math] גדולה מדרגת [math]\displaystyle{ q }[/math] או שווה לה. כדי לחלק את [math]\displaystyle{ p }[/math] ב־[math]\displaystyle{ q }[/math]:

מחלקים את המונום הגבוה של [math]\displaystyle{ p }[/math] במונום הגבוה של [math]\displaystyle{ q }[/math], ומוסיפים את התוצאה למנה.
כופלים את המונום שהתקבל ב־[math]\displaystyle{ q }[/math].
מחסרים את המכפלה מ־[math]\displaystyle{ p }[/math].
אם דרגת ההפרש קטנה ממש מדרגת [math]\displaystyle{ q }[/math], ההפרש הוא השארית. אחרת חוזרים לשלב הראשון, עם ההפרש במקום [math]\displaystyle{ p }[/math].

בסוף מתקבלים פולינומים [math]\displaystyle{ s }[/math] (המנה) ו־[math]\displaystyle{ r }[/math] (השארית), כך שדרגת [math]\displaystyle{ r }[/math] קטנה ממש מדרגת [math]\displaystyle{ q }[/math] ו־[math]\displaystyle{ p(x)=s(x)q(x)+r(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].

טענה 8.3.5▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ p }[/math] פולינום ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ p(a)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ p }[/math] מתחלק ב־[math]\displaystyle{ x-a }[/math] ללא שארית, כלומר קיים פולינום [math]\displaystyle{ s }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ p(x)=(x-a)s(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].

הגדרה 8.3.6פולינום פריק▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ p }[/math] פולינום.

[math]\displaystyle{ p }[/math] נקרא פריק אם קיימים פולינומים [math]\displaystyle{ s }[/math] ו־[math]\displaystyle{ r }[/math], שאינם קבועים, כך ש [math]\displaystyle{ p(x)=s(x)r(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].
אם [math]\displaystyle{ p }[/math] אינו קבוע ואינו פריק, הוא נקרא אי-פריק.

טענה 8.3.7▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ p }[/math] פולינום.

(א) אם [math]\displaystyle{ p }[/math] מדרגה [math]\displaystyle{ 1 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ p }[/math] אי-פריק.
(ב) אם [math]\displaystyle{ p }[/math] מדרגה [math]\displaystyle{ 2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ p }[/math] פריק אם ורק אם יש ל־[math]\displaystyle{ p }[/math] שורש, כלומר קיים [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ p(x_0)=0 }[/math].
(ג) אם [math]\displaystyle{ p }[/math] מדרגה [math]\displaystyle{ 3 }[/math] או יותר, אזי [math]\displaystyle{ p }[/math] פריק.

מסקנה 8.3.8▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ p }[/math] פולינום מדרגה [math]\displaystyle{ n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ p(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a_0,\dots,a_n\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math]. אזי קיימים [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] ופולינומים אי-פריקים [math]\displaystyle{ q_1,\dots,q_k }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle p(x)=a_n\,q_1(x)q_2(x)\cdots q_k(x), }[/math]

וכל אחד מהפולינומים [math]\displaystyle{ q_1,\dots,q_k }[/math] הוא מאחת הצורות הבאות:

לינארי: [math]\displaystyle{ x-a }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math];
ריבועי: [math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ b,c\in\mathbb R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b^2<4c }[/math].

הגדרה 8.3.9שבר חלקי▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. שבר חלקי של הגורם האי-פריק הלינארי [math]\displaystyle{ x-a }[/math] הוא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{A}{(x-a)^k} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ A\in\mathbb R }[/math].
יהיו [math]\displaystyle{ b,c\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b^2<4c }[/math]. שבר חלקי של הגורם האי-פריק הריבועי [math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math] הוא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] ו־[math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb R }[/math].

משפט 8.3.10פירוק לשברים חלקיים▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ p }[/math] ו־[math]\displaystyle{ q }[/math] פולינומים, כך ש [math]\displaystyle{ q }[/math] מדרגה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] לפחות ודרגת [math]\displaystyle{ p }[/math] קטנה ממש מדרגת [math]\displaystyle{ q }[/math]. נכתוב את [math]\displaystyle{ q }[/math] כמכפלה של גורמים אי-פריקים, בצורה

[math]\displaystyle{ \displaystyle q(x)=\alpha\,q_1(x)^{k_1}q_2(x)^{k_2}\cdots q_m(x)^{k_m}, }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \alpha\ne0 }[/math], [math]\displaystyle{ k_1,\dots,k_m\in\mathbb N }[/math], ו־[math]\displaystyle{ q_1,\dots,q_m }[/math] פולינומים אי-פריקים שונים זה מזה, שכל אחד מהם מהצורה [math]\displaystyle{ x-a }[/math] או מהצורה [math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math] עם [math]\displaystyle{ b^2<4c }[/math].

אזי קיימים מקדמים ממשיים יחידים כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] שבו [math]\displaystyle{ q(x)\ne0 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)} }[/math] שווה לסכום של השברים החלקיים הבאים, שבו כל גורם [math]\displaystyle{ q_i^{k_i} }[/math] תורם [math]\displaystyle{ k_i }[/math] שברים חלקיים, עם מקדמים משלו:

גורם [math]\displaystyle{ (x-a)^{k_i} }[/math] תורם
[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\dots+\frac{A_{k_i}}{(x-a)^{k_i}} ; }[/math]
גורם [math]\displaystyle{ (x^2+bx+c)^{k_i} }[/math] תורם
[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{A_1x+B_1}{x^2+bx+c}+\frac{A_2x+B_2}{(x^2+bx+c)^2}+\dots+\frac{A_{k_i}x+B_{k_i}}{(x^2+bx+c)^{k_i}} . }[/math]

שיטה 8.3.11▶ סרטון

כדי למצוא את המקדמים בפירוק של [math]\displaystyle{ \frac{p(x)}{q(x)} }[/math] לשברים חלקיים:

כותבים את הפירוק עם מקדמים לא ידועים, לפי הגורמים האי-פריקים של [math]\displaystyle{ q }[/math].
עושים מכנה משותף ומשווים מונים. מתקבל שוויון בין [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] לבין פולינום שמקדמיו תלויים במקדמים הלא ידועים, והוא מתקיים לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math].
משווים את המקדמים של כל חזקה של [math]\displaystyle{ x }[/math] בשני האגפים (מערכת משוואות לינאריות), או מציבים ערכים נוחים של [math]\displaystyle{ x }[/math] (למשל השורשים של המכנה), או משלבים את שתי הדרכים.

אינטגרלים של שברים חלקיים

טענה 8.4.1▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x_0)\ne0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \ln|f| }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ומתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle (\ln|f|)'(x_0)=\frac{f'(x_0)}{f(x_0)} . }[/math]

במילים: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ושונה מאפס בכל נקודה של קטע פתוח, אזי [math]\displaystyle{ \ln|f| }[/math] קדומה של [math]\displaystyle{ \frac{f'}{f} }[/math] בקטע, כלומר [math]\displaystyle{ \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C }[/math].

טענה 8.4.2▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ I }[/math] קטע פתוח שאינו מכיל את [math]\displaystyle{ a }[/math]. אזי ב־[math]\displaystyle{ I }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C }[/math];
לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ n>1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \int\frac{1}{(x-a)^n}\,dx=\frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}+C }[/math].

שיטה 8.4.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ A,B,b,c\in\mathbb R }[/math]. כדי לחשב את [math]\displaystyle{ \int\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}\,dx }[/math]:

בודקים שהמכנה אי-פריק, כלומר [math]\displaystyle{ b^2<4c }[/math], ואז [math]\displaystyle{ x^2+bx+c>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. אחרת מפרקים לשברים חלקיים.
משלימים את המונה לנגזרת המכנה, [math]\displaystyle{ (x^2+bx+c)'=2x+b }[/math]:
[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+bx+c}=\frac{A}{2}\cdot\frac{2x+b}{x^2+bx+c}+\Big(B-\frac{Ab}{2}\Big)\frac{1}{x^2+bx+c} . }[/math]
לכן
[math]\displaystyle{ \displaystyle \int\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}\,dx=\frac{A}{2}\ln\big(x^2+bx+c\big)+\Big(B-\frac{Ab}{2}\Big)\int\frac{1}{x^2+bx+c}\,dx , }[/math]

ונשאר לחשב את האינטגרל האחרון.

טענה 8.4.4▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ b,c\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b^2<4c }[/math]. אזי:

(השלמה לריבוע) לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x^2+bx+c=\big(x+\frac b2\big)^2+c-\frac{b^2}{4} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ c-\frac{b^2}{4}>0 }[/math].
ב־[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ \displaystyle \int\frac{1}{x^2+bx+c}\,dx=\frac{1}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}}\arctan\left(\frac{x+\frac b2}{\sqrt{c-\frac{b^2}{4}}}\right)+C . }[/math]

פרק 9 - האינטגרל המסוים

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 13.1.26 · 19.1.26 · 20.1.26; אודיסאה: 23.1.26 · 27.1.26

האינטגרל המסוים ותכונותיו

הערה▶ סרטון

בקורס הזה לא מגדירים במדויק מהו שטח, אלא מניחים שיש מושג של שטח עם סימן, ושלפונקציות מסוימות, שנקראות אינטגרביליות (בעלות שטח), יש שטח כזה. יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים.

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. האינטגרל המסוים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], שמסומן [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)\,dx }[/math] (או בקיצור [math]\displaystyle{ \int_a^b f }[/math]), הוא השטח המסומן בין הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] לציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע: השטח שמעל הציר נמדד באופן חיובי, והשטח שמתחת לציר נמדד באופן שלילי.
מניחים שכל פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אינטגרבילית בו, ושפונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אינטגרבילית גם בכל קטע סגור המוכל בו.

הגדרה 9.1.1▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_b^a f=-\int_a^b f , }[/math]

ולכל [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ \int_c^c f=0 }[/math].

טענה 9.1.2▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ p<q }[/math] מספרים ממשיים ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [p,q] }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in[p,q] }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f . }[/math]

למה 9.1.3▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ m,M\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ m\le f(x)\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a) . }[/math]

המשפט היסודי של החדו"א

הגדרה 9.2.1פונקציית השטח▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. פונקציית השטח של [math]\displaystyle{ f }[/math] היא הפונקציה [math]\displaystyle{ S_{a,f} }[/math], המוגדרת לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ \displaystyle S_{a,f}(x)=\int_a^x f(t)\,dt . }[/math]

משפט 9.2.2המשפט היסודי של החדו"א▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ S_{a,f} }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ומתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle (S_{a,f})'(x_0)=f(x_0) . }[/math]

במילים: פונקציית השטח היא פונקציה קדומה של הפונקציה המקורית, כאשר זו רציפה.

מסקנה 9.2.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] יש פונקציה קדומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]: פונקציית השטח [math]\displaystyle{ S_{a,f} }[/math] היא פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

מסקנה 9.2.4נוסחת ניוטון-לייבניץ▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שהיא פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. אזי

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) . }[/math]

סכומי רימן

הגדרה 9.3.1סכום רימן▶ סרטון

יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. נחלק את הקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ל־[math]\displaystyle{ n }[/math] קטעים שווים: [math]\displaystyle{ \big[\frac{k-1}n,\frac kn\big] }[/math], עבור [math]\displaystyle{ k=1,\dots,n }[/math].

סכום רימן של [math]\displaystyle{ f }[/math] (עם הקצוות הימניים) הוא הסכום
[math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac1n\,f\Big(\frac kn\Big) . }[/math]
באופן כללי יותר, לכל בחירה של נקודות [math]\displaystyle{ c_k\in\big[\frac{k-1}n,\frac kn\big] }[/math], עבור [math]\displaystyle{ k=1,\dots,n }[/math], גם הסכום [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\frac1n\,f(c_k) }[/math] נקרא סכום רימן של [math]\displaystyle{ f }[/math].

במילים: המחובר ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] הוא השטח (עם סימן) של מלבן שבסיסו הקטע ה־[math]\displaystyle{ k }[/math] וגובהו ערך הפונקציה בנקודה שנבחרה בקטע, וסכום רימן הוא סכום שטחי המלבנים.

משפט 9.3.2▶ סרטון

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. אזי:

מתקיים
[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac1n\,f\Big(\frac kn\Big)=\int_0^1 f(x)\,dx . }[/math]
אם לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] המספר [math]\displaystyle{ R_n }[/math] הוא סכום רימן של [math]\displaystyle{ f }[/math] בחלוקה של [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] ל־[math]\displaystyle{ n }[/math] קטעים שווים (עם בחירה כלשהי של נקודות), אזי [math]\displaystyle{ R_n\to\int_0^1 f(x)\,dx }[/math].

מסקנה 9.3.3▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=(b-a)\,f\big(a+(b-a)x\big) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{b-a}n\,f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}n\Big)=\sum_{k=1}^n\frac1n\,g\Big(\frac kn\Big) , }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{b-a}n\,f\Big(a+k\cdot\frac{b-a}n\Big)=\int_0^1 g(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx . }[/math]

במילים: "כל קטע הוא [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]": סכום שטחי המלבנים בחלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ל־[math]\displaystyle{ n }[/math] קטעים שווים הוא סכום רימן של הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

אורך עקומה

טענה 9.4.1אורך עקומה▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה בקטע פתוח המכיל את [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי אורך הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^b\sqrt{\big(f'(x)\big)^2+1}\,dx . }[/math]

במילים: אורך הגרף הוא הגבול של סכומי אורכי המיתרים בין נקודות הגרף שמעל נקודות החלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] לקטעים שווים, כאשר מספר הקטעים שואף לאינסוף (בדומה לכך שהשטח הוא גבול של סכומי שטחי מלבנים).

פרק 10 - אינטגרלים לא אמיתיים

ההרצאות של הפרק (תשפ"ו), לפי תאריך: הנדסה: 20.1.26 · 26.1.26

הגדרת אינטגרלים לא אמיתיים

הגדרה 10.1.1אינטגרל לא אמיתי▶ סרטון

אינטגרל בגובה אינסופי. יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה שאינה חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].
- (א) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [t,b] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t\in(a,b) }[/math], נגדיר
  [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^b f=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f . }[/math]
- (ב) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,t] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t\in(a,b) }[/math], נגדיר
  [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^b f=\lim_{t\to b^-}\int_a^t f . }[/math]
אינטגרל ברוחב אינסופי.
- (א) יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,t] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t>a }[/math]. נגדיר
  [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^\infty f=\lim_{t\to\infty}\int_a^t f . }[/math]
- (ב) יהי [math]\displaystyle{ b\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [t,b] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t<b }[/math]. נגדיר
  [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{-\infty}^b f=\lim_{t\to-\infty}\int_t^b f . }[/math]

בכל אחד מהמקרים, האינטגרל נקרא אינטגרל לא אמיתי, והקצה שבו לוקחים את הגבול ([math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], בהתאמה) נקרא הנקודה הבעייתית שלו. האינטגרל שווה לגבול כאשר הגבול קיים, סופי או אינסופי. אם הגבול קיים וסופי, אומרים שהאינטגרל מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר. אינטגרל מסוים של פונקציה אינטגרבילית בקטע סגור נחשב גם הוא מתכנס.

הגדרה 10.1.2▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R\cup\{-\infty\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b\in\mathbb R\cup\{\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a<b }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה. נניח שקיימות נקודות [math]\displaystyle{ a=x_0<x_1<\dots<x_m=b }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,m }[/math] האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{x_{i-1}}^{x_i}f }[/math] הוא אינטגרל לא אמיתי עם נקודה בעייתית אחת, או אינטגרל מסוים של פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [x_{i-1},x_i] }[/math]. אומרים שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int_a^b f }[/math] מתכנס אם כל אחד מהאינטגרלים [math]\displaystyle{ \int_{x_{i-1}}^{x_i}f }[/math] מתכנס, ואז מגדירים

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^b f=\sum_{i=1}^m\int_{x_{i-1}}^{x_i}f ; }[/math]

אחרת אומרים שהאינטגרל [math]\displaystyle{ \int_a^b f }[/math] מתבדר.

במילים: אינטגרל עם כמה נקודות בעייתיות מפרקים לאינטגרלים עם נקודה בעייתית אחת, והוא מתכנס רק אם כל אחד מהם מתכנס בנפרד. בפרט, כאשר [math]\displaystyle{ a=-\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b=\infty }[/math], לא מספיק שהגבול [math]\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}\int_{-t}^t f }[/math] קיים וסופי.

הערה▶ סרטון

יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה (שאולי אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ a }[/math]) כך ש [math]\displaystyle{ f(x)=g(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(a,b] }[/math]. למשל, ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] יש ב־[math]\displaystyle{ a }[/math] אי-רציפות סליקה, ו־[math]\displaystyle{ g }[/math] מתקבלת מ־[math]\displaystyle{ f }[/math] כשמתקנים את ערכה ב־[math]\displaystyle{ a }[/math] להיות הגבול. הפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ולכן גם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בו, והאינטגרל [math]\displaystyle{ \int_a^b f }[/math] אינו אינטגרל לא אמיתי. נקודה אחת אינה משפיעה על השטח, ולכן [math]\displaystyle{ \int_a^b f=\int_a^b g }[/math]. אותו הדבר נכון כאשר [math]\displaystyle{ f(x)=g(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אולי אינה מוגדרת ב־[math]\displaystyle{ b }[/math].

טענה 10.1.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. אזי:

(א) האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac1{x^a}\,dx }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ a>1 }[/math].
(ב) האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_0^1\frac1{x^a}\,dx }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ a<1 }[/math].

מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים

טענה 10.2.1▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה עולה בקרן [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math].

(א) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה מלעיל בקרן [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math], כלומר קיים [math]\displaystyle{ M\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math], אזי הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x) }[/math] קיים וסופי.
(ב) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חסומה מלעיל בקרן [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty }[/math].

משפט 10.2.2מבחן ההשוואה הראשון▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות רציפות בקרן [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0\le f(x)\le g(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g }[/math] מתכנס, אזי [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f }[/math] מתכנס.

מסקנה 10.2.3▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות רציפות בקרן [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0\le f(x)\le g(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f }[/math] מתבדר, אזי [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g }[/math] מתבדר.

משפט 10.2.4מבחן ההשוואה הגבולי▶ סרטון · ▶ הוכחה

יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות רציפות בקרן [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x)\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ge a }[/math]. נניח שקיים [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R\cup\{\infty\} }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=c . }[/math]

(א) אם [math]\displaystyle{ 0<c<\infty }[/math], אזי האינטגרלים [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \int_a^\infty g }[/math] חברים, כלומר שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים.
(ב) אם [math]\displaystyle{ c=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \int_a^\infty g }[/math] מתכנס, אזי [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f }[/math] מתכנס.
(ג) אם [math]\displaystyle{ c=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \int_a^\infty f }[/math] מתכנס, אזי [math]\displaystyle{ \int_a^\infty g }[/math] מתכנס.

הערה▶ סרטון

מבחן ההשוואה הראשון, המסקנה שאחריו ומבחן ההשוואה הגבולי נכונים, עם אותן הוכחות, גם כאשר הנקודה הבעייתית של שני האינטגרלים היא קצה סופי של הקטע או [math]\displaystyle{ -\infty }[/math], ובלבד ששני האינטגרלים הם באותו הקטע ועם אותה הנקודה הבעייתית. התנאים על [math]\displaystyle{ f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g }[/math] נדרשים אז בקטע הזה, בלי הנקודה הבעייתית, ואת הגבול במבחן ההשוואה הגבולי לוקחים בנקודה הבעייתית, ולא תמיד באינסוף. למשל, כאשר הנקודה הבעייתית היא הקצה השמאלי [math]\displaystyle{ a }[/math] של הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], מחשבים את הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} }[/math].

ראו גם

83-114 חדו"א 2 להנדסה