88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/3

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}} }[/math]

פתרון.

נשים לב כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{\sqrt[n]{n!}^2}=e^2 }[/math]

ולכן הטור חבר של [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} }[/math] ולכן מתכנס.

פתרון ישן

נשים לב כי לפחות שני שלישים מאברי המכפלה [math]\displaystyle{ 1\cdot2\cdot3\cdots n }[/math] גדולים מהמספר [math]\displaystyle{ \frac{n}{3} }[/math] .

נקטין את כל האברים במכפלה שגדולים מ- [math]\displaystyle{ \frac{n}{3} }[/math], ומכיוון שיש לפחות [math]\displaystyle{ \frac23n }[/math] כאלה נקבל ש-

[math]\displaystyle{ n!=1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor+1\right)\cdots n\ge1\cdot2\cdots\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor\cdot\left(\frac{n}{3}\right)^{\frac23n} }[/math]

(נניח [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math] , קל לבדוק את [math]\displaystyle{ n=1,2 }[/math])

נעלה בריבוע ונקבל כי

[math]\displaystyle{ (n!)^2\ge\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \dfrac1{\sqrt[n]{(n!)^2}}\le\dfrac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}} }[/math]

אבל קל לראות כי הטורים הבאים חברים (לפי מבחן ההשוואה הגבולי)

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{\left(\frac{n}{3}\right)^\frac{4n}{3}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\frac43} }[/math] (ידוע כי טור זה מתכנס)

וביחד הטור מתכנס לפי מבחן ההשוואה הראשון.