שאלה 1

צטטו והוכיחו את משפט לייבניץ על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.

שאלה 2

קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.

א. [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}} }[/math]

ב.[math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} n^{sin \frac{n \pi}{2}} }[/math]

פתרון

א.

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{x}\frac{3x+2x^2}{3x+2x^2}}=\lim_{x \to 0^{+}}{( 1+3x+2x^2 )}^{\frac{1}{3x+2x^2}(3+2x)}=e^3 }[/math]

הערה: ניתן לפתור גם באמצעות לופיטל.

ב.

אין גבול, קל לראות שהחזקות חוזרות באופן מחזורי על 0,1 ומינוס 1, ולכן 0, אינסוף ואחד הם גבולות חלקיים שונים של הסדרה.

שאלה 3

קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:

א. [math]\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{ln n}} }[/math]

ב.[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}} }[/math]

פתרון

א.

נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של

[math]\displaystyle{ \sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}} }[/math]

וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.

ב.

[math]\displaystyle{ \sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}} }[/math]

וזה קטן או שווה לטור המתכנס:

[math]\displaystyle{ \sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} }[/math]

שאלה 4

א.

הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת ורציפה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], אז עבור כל [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0 }[/math].

ב.

הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0 }[/math] ובכל זאת [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אינה רציפה בכל [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math].

פתרון

א.

לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_n\rightarrow x }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x_n)\rightarrow f(x) }[/math].

לכן, לכל סדרה [math]\displaystyle{ h_n\rightarrow 0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x+h_n\rightarrow x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x+h_n)\rightarrow f(x) }[/math]. באופן דומה מקבלים [math]\displaystyle{ f(x-h_n)\rightarrow f(x) }[/math] וקיבלנו את הדרוש.

ב.

ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.

שאלה 5

הוכיחו שקיימים [math]\displaystyle{ \infty }[/math] מספרים [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ tan x= x }[/math].

פתרון

בכל קטע מהצורה [math]\displaystyle{ (\frac{\pi}{2}+\pi k,\frac{\pi}{2}+\pi (k+1)) }[/math] הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.

הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=tan(x)-x }[/math] מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי משפט ערך הביניים מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.

שאלה 6

השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה [math]\displaystyle{ ln(\frac{1+x}{1-x}) }[/math] לחשב את [math]\displaystyle{ ln 2 }[/math] עם טעות קטנה מ-[math]\displaystyle{ 2 \times 10^{-4} }[/math].

פתרון

.... -_-