מנרמל

המנרמל של תת-חבורה H בחבורה G הוא הקבוצה [math]\displaystyle{ \ N_G(H) = \{g \in G: gHg^{-1} = H\} }[/math]. זוהי תת-חבורה של G, המכילה את H.

המנרמל הוא תת-החבורה *הגדולה ביותר* של G שבתוכה H נורמלית. ביתר דיוק:

• תהי G חבורה, ותהי H תת-חבורה שלה. לכל תת-חבורה [math]\displaystyle{ \ H \subset S \subset G }[/math], [math]\displaystyle{ \ H \vartriangleleft S }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \ S \subseteq N_G(H) }[/math]. בפרט, [math]\displaystyle{ \ H \vartriangleleft N_G(H) }[/math].

כמובן, אם H נורמלית, אז המנרמל שלה הוא כל החבורה.

דקויות

תת-חבורה H היא נורמלית ב-G אם לכל [math]\displaystyle{ \ g\in G }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ gHg^{-1} = H }[/math], והתנאי האחרון הוא זה המופיע בהגדרת המנרמל. כאן נחבאת נקודה מבלבלת. התנאי "לכל [math]\displaystyle{ \ g\in G }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ gHg^{-1} \subseteq H }[/math]", למרות שהוא א-פריורי חלש יותר, מגדיר נורמליות באותה מידה כמו התנאי הראשון. עם זאת, הקבוצה [math]\displaystyle{ \ \{g \in G: gHg^{-1} \subseteq H\} }[/math] אינה בהכרח שווה למנרמל: היא עשויה להכיל אותו ממש, ואף אינה חייבת להיות תת-חבורה של G (כמובן שאם G סופית אין הבדל בין שתי ההגדרות).

הצמדות

המנרמל סופר תת-חבורות צמודות, במובן הבא: לכל תת-חבורה H של חבורה G, מספר תת-החבורות הצמודות ל-H (ב-G) שווה לאינדקס [math]\displaystyle{ \ [G:N_G(H)] }[/math].

תהיינה G חבורה ו-H תת-חבורה. אז לכל [math]\displaystyle{ \ g \in G }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \ N_G(gHg^{-1}) = gN_G(H)g^{-1} }[/math].

תרגיל (89214, מבחן תשע"ב א'). לכל תת-חבורה H של חבורה G, המרכז [math]\displaystyle{ \ C_G(H) }[/math] הוא תת-חבורה נורמלית של המנרמל [math]\displaystyle{ \ N_G(H) }[/math].

הכללות

• יהי [math]\displaystyle{ \ \varphi }[/math] אוטומורפיזם של G; אז [math]\displaystyle{ \ N_G(\varphi(H)) = \varphi(N_G(H)) }[/math].

דגשים

• הפונקציה [math]\displaystyle{ \ H \mapsto N_G(H) }[/math] המתאימה לתת-חבורה את המנרמל שלה, אינה מונוטונית כמו פונקציית המרכז. כלומר, מכך ש-[math]\displaystyle{ \ H_1 \subseteq H_2 }[/math] לא נובע א-פריורי שום יחס בין המנרמלים [math]\displaystyle{ \ N_G(H_1), N_G(H_2) }[/math].
• המנרמל עצמו אינו חייב להיות נורמלי ב-G. לפיכך, גם לו יש מנרמל משלו, [math]\displaystyle{ \ N_G(N_G(H)) }[/math], וכן הלאה. (אם P היא תת-חבורת סילו, אז המנרמל שלה נורמלי בעצמו בלבד, כלומר [math]\displaystyle{ \ N_G(N_G(P)) = N_G(P) }[/math].