משפט לגראנז' (אינפי)

משפט לגראנז'

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] .

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math] .

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות [math]\displaystyle{ \big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big) }[/math] :

[math]\displaystyle{ y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.

[math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]

[math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

קל לראות כי [math]\displaystyle{ g(a)=g(b)=0 }[/math] . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math] .

אבל:

[math]\displaystyle{ g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

ראו גם

• משפט פרמה
• משפט רול