שיחה:88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/אינטגרלים

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

תרגיל 1 שאלה 3

[math]\displaystyle{ \int{max(x,x^2)dx} }[/math] הבנתי שמדבור בפונקציה מפוצלת, אך לא מובן לי האם מצופה מאיתנו לבחור את המקסימום בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ל [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] בכל נקודה או המקסימום בין האינטרגל שלהם?

פונקציה המקס בכל נקודה נותנת את המקסימום בין הערכים שהיא מקבלת. על פונקציה זו עושים אינטגרל --ארז שיינר

כדאי להוסיף

מצאתי את ההוכחה של התרגיל שהופיע בתרגול של מתן פתאל (ההוכחה שלי יצאה בלתי אפשרית מבחינת האורך, סתם עשיתי בה סיבוב והגעתי לאותה הדרך...) אז כדאי להוסיף אותה למערכי תרגול: http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9:%D7%90%D7%95%D7%A8_%D7%A9%D7%97%D7%A3/133_-_%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94/15.3.11

(לכל מי שהוא לא מתן, זהו האינטגרל - [math]\displaystyle{ \sqrt {x^2+a^2} }[/math] )

אתה יותר ממוזמן להוסיף את זה למערכי התרגול. תעשה קופי-פייסט למקור של הדף (באמצעות עריכה) --ארז שיינר

הוכחה שפונ' אינטג' בכל R

כשהפונ' לא רציפה בא0 נק', חייבים לעבוד עם (ההגדרה או אפסילונים)?

באיזה הקשר?

שיטת ההצבה

היי, מובן לי כיצד להשתמש בשיטה אך לא מובן לי כיצד היא נובעת מכלל השרשרת: (f(g(x))'=f'g(x)+g'(x) אודה להסבר עד כמה שניתן מפורט במסגרת זו תודה :)

כלל שרשרת זה: [math]\displaystyle{ (f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x) }[/math].

ניתן לרשום את הנגזרת גם ככה: [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} g(x) }[/math] אם נציב g(x)=t אז יצא לנו [math]\displaystyle{ \frac{dt}{dx} }[/math].

ע"פ כלל השרשרת, בעצם מה שיוצא לנו זה:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} f(t)=\frac{d}{dt}f(t) \cdot \frac{d}{dx}t }[/math] ולכן אחרי העברת אגפים מה שיוצא לנו

[math]\displaystyle{ \frac{df(t)}{\frac{d}{dt}f(t) \cdot \frac{d}{dx}t }= dx }[/math].

אבל הביטוי באינטגרל הוא [math]\displaystyle{ \int f(g(x))dx }[/math] ולכן מציבים: [math]\displaystyle{ g(x)=t,dx=\frac{df(t)}{\frac{d}{dt}f(t) \cdot \frac{d}{dx}t } }[/math]

מקווה שעזרתי :)

אינטגרל לנגזרת

אין משפט שכל נגזרת היא אינטגרבילית בתחום הגדרתה, נכון?

לא, יש נגזרות שאינן חסומות בכלל. --ארז שיינר

שכחתי נגזרות טיפה....

מה זה הנגזרת של ARCTAN והנגזרת של ARCSIN ומה הנגזרת של ההופכי טנקס

יש את וולפרםאלפא, יש את ויקיפדיה...

עוצמות

מה עוצמת קבוצת כל הפונ' הממשיות:

1)האינטגרביליות-רימן?

2)הרציפות?

3)רבמ"ש?

4)חסומות?

וכו' - אין לי יכולת אפילו לגשת לבעיה. (אבל אינטואיטיבית האינטגרביליות והחסומות תהיינה כנראה שתיים בחזקת אלף)

מישהו?

לא יודע --ארז שיינר

לגבי רציפות ורבמ"ש התשובה היא [math]\displaystyle{ \aleph }[/math].

אני מאמין שחסומות זה [math]\displaystyle{ 2^{\aleph} }[/math].

ולגבי האינטגרביליות רימן באמת שאין לי שמץ של מושג.

תודה, אופיר. תוכל להסביר? מפתיע שאין באינטרנט תשובה לשאלה כה בסיסית.

אני אסביר לך מחר, אבל זה כולל את קש"ב וחשבון עוצמות.

atan

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{-1}\frac{1}{1+x^2}dx=arctan(-1)=\left\{\begin{matrix} -\frac{\pi}{4} \\ \frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. }[/math]

וולפראם אומר שהראשון. זה בגלל האי-רציפות באמצע? למה?

הסבר: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{-1}\frac{1}{1+x^2}dx=-\int_{-1}^0\frac{1}{1+x^2}dx=-arctan1 }[/math] אבל מצד שני מתקיים [math]\displaystyle{ tan(-\frac{\pi}{4})=tan(\frac{3 \pi}{4})=-1 }[/math]

התשובה הנכונה היא: [math]\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} }[/math] כי התמונה של הארקטנגנס היא [math]\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) }[/math]

לב, זה לא עזר. השורה הראשונה שגוייה, השורה השנייה היא לא נימוק. מישהו?

באיזה תחום זו הנגזרת של arctan? --ארז שיינר

אם נגדיר את פונק' ה[math]\displaystyle{ arctan }[/math] כך שהיא תחזיר ערכים במרווח [math]\displaystyle{ (\pi/2, 3 \pi/2) }[/math], האם אתה טוען שהנגזרת שלה כבר לא תהיה [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2} }[/math]?

לא חשוב, הסתדרתי לבד -- בכל תחום שנבחר, הארקטנגנס של 0 גם כן ישתנה בהתאם, כמובן (במקרה שציינתי הוא [math]\displaystyle{ \pi }[/math]), ולכן טריוויאלי להראות שתמיד תצא אותה תשובה, ללא תלות בהגדרתנו את ה[math]\displaystyle{ arctan }[/math]. (נובע ישירות מהיותה של טנגנס מחזורית)

אינטגרל לנגזרת 2

כל נגזרת חסומה היא אינטגרבילית בתחום הגדרתה?

האמת שאני לא בטוח... השאלה היא אם ניתן ליצור נגזרת עם מספיק נקודות אי רציפות. --ארז שיינר

נפח סיבוב

כדי לחשב נפח סיבוב פונ׳ חח״ע סביב ציר ה-y, צריך למצוא את הנפח של [math]\displaystyle{ y^{-1} }[/math] סביב ציר x?

כן --ארז שיינר

תרגיל 3 שאלה 5

את איזה מהתנאים לא מקיימת הפונ' 0?

אופס, שכחתי נתון (: תודה --ארז שיינר

תרגיל 3 שאלה 1

סעיף ב' הפונקציה גזירה ברציפות או פשוט גזירה?

הוספתי ברציפות, אמנם אני לא בטוח שזה נחוץ, מטרת התרגיל אינה להתעסק באינטגרביליות של הנגזרת. --ארז שיינר

פשוט בשביל להיות בטוח שהאורך קיים(זאת אומרת פונקציית האורך אינטגרבילית)

אני מבין, אבל ייתכן (לא חשבתי על זה לעומק) שבכל מקרה יהיה קיים קטע בו הנגזרת אינטגרבילית והאורך גדול. למשל בקטע בו הנגזרת רציפה ושואפת לאינסוף... --ארז שיינר

איך יכול להיות פונקציה בקטע סופי כלשהו השואפת לאינסוף שהיא רציפה?

אחד חלקי איקס בקטע הפתוח בין אפס לאחד --ארז שיינר

אפשר הסבר מה זה פונקציה רציונלית כאילו

מה זה פונקציה שהיא לא רציונלית

קראת את הדף על הצבות אוניברסאליות? זה מוגדר שם באופן מדוייק. --ארז שיינר

בקשר להצבות באינטגרלים לא מסוימיים

לעיתים די קרובות מציבים באינטגרלים לא מסוימיים דברים כמו x=cos(t) אבל אני לא מבין איך זה נכון הרי cos(t) הוא חסום וx לא כמובן שזו הייתה רק דוגמא אז באופן יותר כללי, למה מותר להציב באינטגרל לא מסוים משהו חסום במקום משהו לא חסום? ובאופן כללי האם כל ההצבות חוקיות באינטגרלים לא מסוימים?

שאלה טובה, מה שנקרא. מותר לבצע הצבות כאלה רק בתחומים בהם פונקציית ההצבה הפיכה (הרי משתמשים בנגזרת של הופכית). פרקטית, ייתכן וההצבה חוקית רק בתחום מסויים, אבל פונקציה התוצאה הינה פונקציה קדומה בכל התחום. כלומר, מספיק לגזור את התוצאה ולראות שהיא אכן קדומה, הדרך "לנחש" אותה פחות רלוונטית. זו גם הסיבה שאנחנו פחות שמים דגש על הנושא הזה, המטרה העיקרית של אינטגרלים היא למצוא פונקציה קדומה. --ארז שיינר

תרגיל 1 שאלה 2

לא הבנתי מה צריך להתקיים בעניין משפט ערך הביניים בהקשר לאינטגרלים? אמרנו את זה בתרגול? תודה.

לא למדנו על תכונת ערך הביניים של הנגזרת, זה נשאר בפתרונות משנים קודמות --ארז שיינר

תרגיל 2 שאלה 2 א

בפתרונות לא הבנתי איך ניתן לקפוץ מכך שקיים i שמקיים את מה שכתוב שם, לכך שזה סכום מ i עד 2 בחזקת n? הרי אולי קיים k שלא מקיים את זה ואז זה לא נכון? מקוה שהשאלה מובנת... תודה.

זה בעייה בשפה העברית. כאשר הוא כתב "קיים" הוא למעשה התכוון "מתקיים". זה נכון לכל i --ארז שיינר

הסבר סימון- הצבות אוניברסליות

שלום,

אפשר הסבר על משמעות הסימון בדף "הצבות אוניברסליות"? הסימון שלא ברור לי הוא לדוג': אינטגרל של R x , שורש a^2-x^2 שזאת ההצבה לx=asint (סורי טרם למדתי לכתוב בlatex) אפשר הסבר לסימון? איך זה נראה בפועל אינטגרל של מה? יש לי היכרות עם מקרים פרטיים של ההצבה ואשמח להבין את הסימון הכללי. תודה.

מצ"ב קובץ הצבות אוניברסליות הנדון: http://math-wiki.com/images/e/e5/09Infi2Universal.pdf

הסימון [math]\displaystyle{ R(x,y) }[/math] מכוון לפונקציה רציונאלית כפי שמוסבר בראש הדף. דוגמא:

[math]\displaystyle{ R(x,sinx) = \frac{x^7sin^4x+xsinx+5}{sin^3x-x^3} }[/math] --ארז שיינר

מוזרות

[math]\displaystyle{ \frac{-arctan(1-\sqrt2 tan(x))+arctan(1+\sqrt2 tan(x))}{\sqrt2} }[/math] ,[math]\displaystyle{ \frac{arctan(\frac{tan(2x)}{\sqrt2})}{\sqrt2} }[/math] הן קדומות של [math]\displaystyle{ \frac{1}{cos^4(x)+sin^4(x)} }[/math] אבל הן לא נבדלות בקבוע. איך זה ייתכן? תודה.

מי אמר שהן לא נבדלות בקבוע? בגלל שיש להן הצגה שונה? האם [math]\displaystyle{ cos^2+sin^2 }[/math] לא נבדל בקבוע מקבוע? תציד במחשבון... --ארז שיינר

בדקתי וראיתי שהם חופפים בתחומים מסוימים אבל לא נבדלים בקבוע.

הפונקציות רציפות למקוטעין. ייתכן שעל כל קטע רציפות הן נבדלות בקבוע? הרי ניתן להזיז את הקדומה בכל קטע, הרי אילו פונקציות קדומות רק בקטעי הרציפות --ארז שיינר

תרגיל 3 של השנה שעברה

http://math-wiki.com/images/e/e6/09Infi2sol3.pdf

1)איך המילה תרפיה קשורה לסוף פתרון 1א? הם מתכוונים לכך שהשרטוט הוא מעין ריפוי בעיסוק?

2) לדעתי x=-1 היא מקסימום, בניגוד למה שרשמו.

אני לא רואה את הדברים האלה בשאלה 1a יכול להיות שהתבלבלת או שאני מפספס? בכל אופן, תרפיה בתרשים היא אכן סוג של ריפוי בעיסוק. אולם זה יותר כמו העיסוק של סריגת סוודר כאשר קר לך, מאשר סריגת סוודר כאשר אתה כועס על מישהו --ארז שיינר

2א*.

כן, זו אכן נקודת מקסימום ולא מינימום, ובנוסף אפס הינה נקודת מינימום. --ארז שיינר

שאלות לתרגיל 4

א. האם בשאלה אחת מותר להשתמש בעובדה, שהקו הקצר ביותר שמחבר שתי נקודות הוא קו ישר?

ב. לגבי שאלה 5: הפונקציה רציפה על כל הממשיים (או לפחות בקרן החיובית), נכון?

השאלה השנייה באמת דבילית, אנא התעלם ממנה ><

א. לא, אי אפשר להשתמש בתכונה הגיאומטרית הזו, אני רוצה פתרון באמצעות אינטגרלים. באותה מידה הייתי יכול לנסח את השאלה עם נוסחאת האינטגרל של העקומה, אבל בחרתי להתחכם.

ב. בשמחה --ארז שיינר

איך בעצם מגדירים אורך עקומה מבחינה פורמלית?

האינטגרל של שורש של 1 ועוד הנגזרת בריבוע. מוגדר עבור פונקציות גזירות ברציפות --ארז שיינר

אבל שאלת לגבי פונקציות רציפות, האם יש הגדרה אחרת?

לא הפונקציות גזירות ברציפות, תסתכל (troll face) --ארז שיינר

המשפט הקודם הוא דוגמה טובה לחשיבות הפיסוק.

ג. בשאלה 3ב', זה אמור להיות [math]\displaystyle{ (-lnx)^{\alpha} }[/math], נכון?

השערה נחמדה

תהי f פונ' חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי היא אינטגרבילית-רימן בקטע אםם קיים [math]\displaystyle{ I \in \mathbb{R} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] כך שלכל חלוקה אינסופית [math]\displaystyle{ T=\left \{ x _i \right \}_{i=0}^\infty }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] עם פרמטר [math]\displaystyle{ \lambda (T)\lt \delta }[/math], לכל בחירת נקודות [math]\displaystyle{ \left \{ \xi _i \right \}_{i=0}^\infty }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \xi_i \in \Delta x_i }[/math], מתקיים שאם הסכום מהצורה [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} f(\xi _i)\Delta x_i }[/math] מתכנס, אז הוא מרחקו מ-I קטן מאפסילון.

• הערה: קבוצה [math]\displaystyle{ T=\left \{ x _i \right \}_{i=0}^\infty \subseteq [a,b] }[/math] תיקרא חלוקה אינסופית של הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אם מתקיים [math]\displaystyle{ x_i \lt x_{i+1} \; \wedge \; x_0=a \; \lim_{n \to \infty }x_n=b }[/math].

• וכמובן, [math]\displaystyle{ \lambda (T) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ \Delta x_i \right \} }[/math]

תסתכל על פונקציה קבועה זו הפרכה. אולי התנאי היותר מתאים הוא שהטור שהצעת פשוט מתכנס למספר כלשהו. ואז זה יותר מתקרב בעצם להגדרה של אינטגרל רימן רגיל.

האר עיניי; אני לא רואה מהי ההפרכה. הרי אגף ימין ברור, ולאגף שמאל תמיד נקבל [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} f(\xi _i)\Delta x_i=\sum_{i=1}^{\infty} c\Delta x_i=c\sum_{i=1}^{\infty} \Delta x_i=c(b-a) }[/math] שמרחקו מ-I הוא זהותית 0.

ההפרכה הייתה כשאמרת שהסכום קטן מאפסילון, כי אחרת זו לא ממש הפרכה. זה משהו שנורא דומה לסכומי רימן רגילים, כאילו גבול של סכומי רימן כאלו.

התכוונתי למה שכתוב עכשיו -- כדי להכליל ישירות את ההגדרה. שאלתי את ד"ר שיין לפני כמה שיעורים, והוא פשוט אמר לי לנסות.

הוקפץ לפי בקשת ארז. (זאת בטח תהיה הוכחה ישירה, אני פשוט לא מצליח את הפרטים)

אם הפונקציה אינטגרבילית רימן, ניקח את מספר סופי של נקודות מהחלוקה כך שהקטע הנותר כפול החסם של הפונקציה קטן מאפסילון חלקי שתיים. לפי האינטגרביליות החלוקה הסופית קרובה עד כדי אפסילון חלקי שתיים ולכן סכום הטור צריך להיות האינטגרל.

אם היא אינה אינטגרבילית, יש לה אינטגרל עליון ותחתון שונים. אלה ישרו טורים המתכנסים לסכומים שונים באופן דומה.

נראה לי... --ארז שיינר

אז הדרישה שהפרמטר של החלוקה יהיה קטן מספיק הייתה מיותרת? אני לא רואה איפה היא נכנסה אצלך. בכל אופן, הכיוון הראשון משכנע.

סתם שאלה, מה ההגדרה הזו נותנת שההגדרה של רימן לא?

זה הגיוני שהדרישה על פרמטר החלוקה מיותרת. הרי יש תנאי לאינטגרביליות מהצורה- אם לכל אפסילון קיימת חלוקה יחידה T כך שההפרש בין סכום הדרבו העליון לתחתות על חלוקה זו הוא אפס. בגלל שאנחנו אומרים שכל הטורים מתכנסים זה אומר שההפרש בין העליון לתחתון שואף לאפס וזה מספיק.

אני מניח שיהיה אפשר לסתור באמצעות זה דברים, אני לא יודע אם משהו שאי אפשר להשתמש ברימן עבורו. --ארז שיינר

נפחים

באילו תנאים על פונ' אינטג' f מוגדר נפחה סביב הציר y=x? איך מחשבים אותו?

מה לגבי ישר כללי?

(אני חושב שלגבי כל ישר למעט הצירים זה מוגדר אםם f היא חח"ע, אבל זאת סתם אינטואיציה)

נהוג להגדיר נפח עבור פונקציה רציפה, אבל מספיק שהפונקציה בריבוע תהא אינטגרבילית על מנת לחשב את הנוסחא: [math]\displaystyle{ \pi\int_a^bf^2 }[/math].

לגבי הנפח סביב ישר כלשהו: סה"כ צריך להוריד את משוואת הישר מהפונקציה, זה "מפיל" את הפונקציה לציר x בדומה להוכחת משפט לגראנז'. אם רוצים סיבוב סביב ציר y צריך להסתכל על איקס כפונקציה של y. --ארז שיינר

תודה.

שאלה מעניינת

הוכח כי לכל n טבעי מתקיים: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{sin^{2n+1}x}{x}dx=\frac{1}{4^n}\begin{pmatrix} 2n\\ n \end{pmatrix} \int_{0}^{\infty} \frac{sin x}{x}dx }[/math] חשבתי על הוכחה עם אינדוקציה... אני לא בטוח אבל

איך אני בודק אם האינטגרל הבא מתכנס:

sin(sqrt(x))/x מפיי עד אינסוף

תעשה הצבה [math]\displaystyle{ t=\sqrt{x} }[/math] --ארז שיינר

האנטגרל מ0 עד אינסוף של sqrt(x)*sin(x^2) מתכנס או לא?

ואם אפשר להגיד איך אני אמור לחשוב על תרגילים כאלו?

מבחן השוואה עם [math]\displaystyle{ x^\alpha }[/math] --ארז שיינר

בקשה

אפשר בבקשה תרגילים טובים (לכיוון הבוחן) לאינטגרלים לא-אמיתיים ? אם אפשר להוסיף במערכי התרגול.

יהיו כאלה יום חמישי בשש. אין לי זמן להוסיף עוד תרגילים קודם לכן, אבל תשימו לב שיש הרבה חומר באתר (למשל הסיכומים ופתרון המבחנים של אורי אלברטון) --ארז שיינר

הוכחת התכנסות

איך מוכיחים ש- [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{arctanx}{x}dx }[/math] מתכנס?

אתה יכול להראות שזה אינטגרל אמיתי, (לפיטל ב0)

כן, ששואף ל1 ב0+, ולכן נגדיר פונקציה חדשה g שתהיה 1 ב0, ולה ברור שיש אינטגרל סופי, והיא נבדלת רק בנק' אחת. וולפראם טוען שהאינטגרל הזה שווה [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2} }[/math]. אנחנו יכולים להוכיח את זה? (טיילור לא טוב כי הנגזרות מסובכות)

אני לא ממש מוצא איפה אני יכול לשחק עם סכומי רימן כאן, אז ניסית אולי משהו טורי חזקות או טורי פונקציות?

זה קל עם טורי חזקות :)

תרגיל 4 שאלה 3 סעיפים ב,ג

יש פיתרונות איפה שהוא?

לגבי ג': בגדול אתה אומר להשתמש במבחן ההשוואה הגבולי עם הפונקציות [math]\displaystyle{ f(x)=(x\pm \pi /2)^{\alpha} }[/math] (במקרים שיש בעיה בקצוות) או עם [math]\displaystyle{ f(x)=x^{\alpha} }[/math] במקרה שיש בעיה ב0

לגבי ב': (אני חושב שזה אמור להיות [math]\displaystyle{ -lnx }[/math]), אבל בגדול עבור המקרים שבהם יש בעיה, אפשר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון עם [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} }[/math]

תרגולי אור שחף

לא ברורה לי דרך א' בשאלה 6 פה -- מה שכתוב לא ממש הגיוני, כי הגבול שווה ל-0 ובמכנה צריך להיות [math]\displaystyle{ 1/x^2 }[/math] במקום סתם [math]\displaystyle{ x^2 }[/math], ואז זה יוצא 0 ואפשר לקבל את המסקנה, אבל מה שהם כתבו לא ברור. (כי אפילו אם זה היה באמת אינסוף, אז זה רק אומר שאם המונה מתכנס אז גם המכנה.)

מוזמן לתקן.. --ארז שיינר

עוד בעיה אצל אור שחף

בפתרון התרגיל הראשון פה, הטיפול ב[math]\displaystyle{ x\in[1,\infty) }[/math] נראה שגוי.

יותר ממוזמן לתקן אם אתה יודע איך. אם לא אז תגיד לי ואני אציץ. תודה, --ארז שיינר

אכן יש שם בעיה רצינית, האינטגרל מתבדר לפי השוואה גבולית עם [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math]

תיקנתי.

אינטגרל מרוכב

integrate [math]\displaystyle{ x^2/(x^4-x^2+1) }[/math]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+x^2%2F%28x^4-x^2%2B1%29

זה אומר שהאינטגרל לא קיים במובן הממשי? הרי הוא רציונלי, איך זה יכול לקרות?

אם תביט היטב תראה שהחלק הדמיוני שווה לאפס. כנראה שהוא מצטמצם בביטוי... --ארז שיינר

תרגיל 3 שאלה 3

איך היה התרגיל משתנה אם:

1)היינו הופכים את הdt לdx?

2)כותבים [math]\displaystyle{ g_\epsilon(t) }[/math]?

פשוט מוזר שהאינטגרציה היא לפי t ואז מתייחסים לזה כפונ' של x.

זה דווקא הגיוני ולא מוזר. האינטגרל המסויים הוא מספר ממשי, ולכן אינו תלוי בשם המשתנה הפנימי. אם תכניס פונקציה אחרת תקבל מספר אחר. לכל איקס אנחנו מכניסים פונקציה אחרת, ולכן מקבלים מספר כתלות באיקס, זוהי בדיוק פונקציה של איקס. --ארז שיינר

תרגיל מת"א

תהי [math]\displaystyle{ f:[a,b] \to \mathbb{R} }[/math] פונקציה גזירה, וכן [math]\displaystyle{ f(a)=f(b)=0 }[/math]. צריך להוכיח שקיימת נקודה [math]\displaystyle{ \xi \in (a,b) }[/math]

כך ש: [math]\displaystyle{ |f'(\xi )|\geq \frac{4}{(b-a)^{2}}\int_{a}^{b}f(x)dx }[/math]

לא עשינו את זה כבר בשיעורי חזרה? --ארז שיינר

האינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף של x

מצד אחד זה שווה לאינטגרלים מ0 עד אינסוף של x + אינטגרל ממינוס אינסוף עד 0 של x שביחד שואפים ל0,אבל אף אחד מהם לא גבול (כי הם שואפים כל אחד לאינסוף ולמינוס אינסוף בהתאמה) אז לפי ההגדרה הוא לא שווה להם...

אינטגרל לא אמיתי --ארז שיינר

כשאומרים פונקציה מונוטנית

זה יכול להיות fn(2)>fn+1(2) אבל fn+1(1)>fn(1)?

זה נראה כאילו אתה מדבר על סדרת פונקציות, ולא פונקציה. ואם אתה מתכוון למשפט דיני, המונוטוניות אכן לא חייבת להיות באותו כיוון בכל איקס. --ארז שיינר

arcsin(x) מוגדרת בין פיי ל-פיי?(אני לא מאמין שנזכרתי עכשיו לשאול

את זה)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin

הרגל בריא, לחפש בוולפראם כל מה שקשור למתמטיקה לפני ששואלים :)

ואפילו http://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+arcsin%28x%29

אין קשר לאינטגרלים, כותרת הדף

האם קיימת סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית לאפס בקטע סגור כך שההפרש בין כל שני איברים עוקבים שלה אינו מתכנס במ"ש ל-0?

קח סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ f_{n}(x) }[/math] שמתכנסת ל0, אך היא לא מתכנסת במ"ש.

ותיצור סדרת פונקציות חדשה באופן הבא: [math]\displaystyle{ g_{n}(x)=\begin{cases} f_{n}(x)& \text{n is even } \\ 0 & \text{n is odd } \end{cases} }[/math]

יפה!

סדרות של פונקציות

כשיש לי סדרה של פונקציות, האם מותר לי להחליף את ה-n ב-y ולהתייחס ל-x כקבוע, ואז ניתן לגזור כי הפונקציה עם y רציפה. זה מותר? תודה! אמרו לי שעשית את זה פעם בשיעור של 19:00...

באופן כללי בסדרות של פונקציות, על מנת לחשב את פונקצית הגבול מתייחסים לx כאל קבוע. כמו כן, באופן כללי ניתן לחשב גבולות של סדרות באמצעות כלל לופיטל (אני מניח שלזה אתה מתכוון ב"מותר לגזור"). --ארז שיינר

בעקבות תרגיל מהתרגול של מתן

תהי [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונ׳ רציפות שמתכנסות נקודתית לפונ' f חסומה. האם בהכרח f אינטגרבילית?

לא עונים במת' ויקי!

אל תשאל שאלות קשות! דווקא חשבתי על זה... אני אחשוב על זה עוד --ארז שיינר

רדוקציה משמעותית של הבעיה (ענו לי ולא הבנתי): התשובה היא לא. דוגמה נגדית: לוקחים פונ' רציפה [math]\displaystyle{ \phi (x) }[/math] שבקבוצה מסויימת [math]\displaystyle{ K \subset \mathbb{R} }[/math] היא 1, ובכל מקום אחר [math]\displaystyle{ 0 \leq \phi (x)\lt 1 }[/math], ואז מגדירים את הסדרה [math]\displaystyle{ f_n(x)=(\phi(x))^n }[/math] של פונ' רציפות, ולפונקציית הגבול יש רק את הערכים 0 ו-1 ולכן היא חסומה. הנקודה היא לראות למה f אינה אינטגרבילית; מראים איכשהו שסכומי דרבו שלה שונים. K היא קבוצת סמית-וולטרה-קנטור כשמורידים קטע קטן משליש מהאמצע בכל פעם.

אז ברור שזה חורג מהקורס, אבל אני עדיין רוצה הסבר.

הממ... כזכור לפי משפט לבג, פונקציה אינטגרבילית אם"ם קבוצת נקודות אי הרציפות שלה היא ממידה אפס. אם K אינו ממידה אפס, זה מיידי. השאלה היא למה K אינו ממידה אפס? --ארז שיינר

1)אפשר לקחת [math]\displaystyle{ K \subset \mathbb{R} }[/math] כלשהי, כשהדרישות היחידות הן שהיא תהיה ממידה חיובית ותהיה פונ' רציפה שמקבלת 1 רק עליה, נכון?

2)להוכיח שהמידה היא חיובית זה דווקא קל, פשוט מסכמים את האורכים ומקבלים מספר חיובי, ראה כאן, אבל השאלות הן למה היא קומפקטית (כל קבוצה שיש לה מידה היא קומפקטית?), ולמה לכל קבוצה קומפקטית יש פונ' רציפה [math]\displaystyle{ \phi (x) }[/math] שמקבלת 1 רק עליה ובשאר התחום [math]\displaystyle{ 0 \leq \phi (x)\lt 1 }[/math]. (בכל אופן, בהנחת הטענות האלה, שבאופן מובהק אינן קשורות לקורס, הבנתי :)

באיחור קל

הטענה: לכל [math]\displaystyle{ \left \{ a_n \right \} }[/math] חסומה, מתקיים

[math]\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty } \,an=\lim_{r \to \infty} (sup\left \{ a_{r+k} \right \}_{k=1}^\infty) }[/math]

ד"ר שיין לא הוכיח אותה.

בהנחה שהגבול העליון הוא הגבול החלקי המקסימלי?

לא, כי מקבלים את זה כמסקנה מהמשפט הנ"ל...

זו לא ממש מסקנה, זה גרירה דו כיוונית. אבל בגלל שאתה לא מניח את זה, זו ההגדרה.

העובדה שהגדרה זו שקולה להגדרת "מקסימום קבוצת הגבולות החלקיים" היא הוכחה מאינפי 1. לא קשה במיוחד אפילו... --ארז שיינר

אבל שניכם הגדרתם את הגבול העליון בתור המקסימום של הגבולות החלקיים, במקום בתור הסופרימום, למרות שאף אחד לא אמר מראש שיש מקסימום.

אתה צודק שזה לא מובן מאליו שיש מקסימום, אבל זה חלק מאותה הוכחה מאינפי 1. מטבע הדברים, לסופרמום יש איברים קרובים כרצוננו ומהם ניתן לבנות תת סדרה ששואפת אליו ממש. --ארז שיינר

קבוצת הגבולות החלקיים היא קבוצה סגורה, הוכיחו את זה באחד המבחנים באינפי 1. ולכן אפשר להגדיר אותו כמקסימום של הגבולות החלקיים. הנקודה היא שאו מה שאתה מבקש להוכיח זו ההגדרה או המקסימום של הגבולות החלקיים זו ההגדרה, אתה חייב להתחיל עם אחד מהם.

בהוכחת 3.5

1)איך מראים בשלילה ש-s הוא החסם מלעיל הקטן ביותר? (כשידוע שהוא חסם מלעיל)

2)לדעתי צ״ל גדול שווה בין s ל-u_m מיד לפני כן.

3)ההוכחה ש-s הוא חסם מלעיל מפוקפקת. למה מותר להשתמש בטריקים של התכנסות, אם לא אמרנו אף פעם שהמספר הנקבע הוא הגבול של u_m? (הוא רק מחלקת השקילות)

3.5 איפה? --ארז שיינר

אצל שיין. זאת ההוכחה לאקסיומה ה-15 של הממשיים. (לפי הבנייה של סדרות קושי.)

un ו ln שקולות, לכן, ההפרש ביניהם אפסי, ובפרט, עבור n גדול מספיק,נניח החל מ N1, ההפרש קטן מאפילון חצאים (שיין :) )

[math]\displaystyle{ u_n-l_n\lt eps/2 }[/math]

[math]\displaystyle{ un\lt ln+eps/2\lt ln+eps }[/math] לכן, עבור n גדול שווה ל N1, בפרט N1 עצמו, המספר הממשי uN1 קטן מהמספר הממשי S+eps [זה נכון כי ln מונוטונית עולה] נניח בשלילה ש החל מ N, הסדרה un אינה משתנה, אז קל לראות שמתקיימת ההגדרה של חסם עליון לערך הקבוע של un, (כי bn מתקדם לעבר un, ובסופו של דבר, עובר כל מומעד לחסם מלעיל, ושולל אותו) לכן, הסדרה כן משתנה, נניח ב N2+1 עכשיו, כי un מונוטונית, ההפרש בין UN2 לבין כל un שבא אחריו, הוא לפחות הקפיצה המדוברת, נסמנה k נסתכל על סדרת קושי ששייכת ל S, שזהה ל un, אלא ש כל האיברים, עד uN2 כולל, שווים ל u(N2+1) כעת, קל לראות לפי הגדרת הסדר בממשיים, הסדרה שהרגע הגדרתי, והסדרה הקבועה uN2 ש S קטן מ המספר הממשי uN2 טוב נו..נגיד שבחלק שהנחנו ש un לא משתנה, הנחנו שהיא לא משתנה עבור n גדול מ N1 עכשיו קיבלנו uN כלשהו, מספיק גדול, שמקיים את העובדה S<uN<S+eps ההוכחה עם החסם מלעיל הכי קטן דומה במש אז כן, זה לא היה טריוויאלי כמו ששיין כתב את זה, במיוחד לא כי אנחנו עובדים בעולם חדש ולא מוכר לנו, הממשיים, אבל זה נכון

טורים

איך מנמקים פורמלית שכדי למצוא את הטור עבור [math]\displaystyle{ cos(2x) }[/math] מספיק להציב [math]\displaystyle{ 2x }[/math] בטור של [math]\displaystyle{ cosx }[/math]?

לא יודע, לא נימקתי את זה מעולם. כל פעם ששואלים אותי אני חושב לעצמי "הממ... זו באמת שאלה טובה, כדאי שאני אבדוק את זה מתישהו". ככה זה כבר שנתיים לצערי... --ארז שיינר

תוכל לברר איפשהו?

נניח תחום ההתכנסות כולל את x, אזי אם מציבים את x בטור, מקבלים את cos(x)

נסמן x=2a, לכן אם מציבים את 2a בטור, נקבל cos(2a), עכשיו, שם המשתנה לא משנה, אז אפשר לראות שאם מציבים את 2x בטור, מקבלים cos(2x). אוהד, למה מחקת? --TomerBrandes 23:15, 14 ביולי 2012 (IDT)

"אינטגרל חוזר"

עמוד 2 שאלה 4ב? ניסינו הרבה.

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88133/4ef1b3436493a.pdf

נשמע שחסר נתון... e^x היא דוגמא נגדית. --ארז שיינר

הוכחנו את זה בקבוצה, פשוט שצריך לעקוב אחרי הפוסטים הלא רציפים.

הוכחה של אופיר: (מצטער אם לא אכתוב מדויק)

טענה:

יהיו f,g פונ' ממשיות, ונניח שמתקיים [math]\displaystyle{ f \geq abs(g) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math] אז מתקיים [math]\displaystyle{ \int f \geq abs(\int g) }[/math] כאשר האינטגרלים הם בתחום [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math] כלשהו... הטענה נובעת מהשוואת אינטגרלים חיוביים ומאי שוויון המשולש האינטגרלי.

כעת, מכיוון ש f0 אינטגרבילית אז היא חסומה ע"י M ולכן יש פונ' קבועה g=M כך ש [math]\displaystyle{ g \geq abs(f_0) }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [0,a] }[/math] אז גם אם נסתכל על סדרות האינטגרלים המתוארות בשאלה נקבל [math]\displaystyle{ g_n \geq abs( f_n ) }[/math].

עכשיו נסתכל על [g[n... זה תרגיל לא קשה (אפשר לחסום עם סדרה ולהראות התכנסות שלה עם ד'לאמבר) להראות ש [g[n מתכנס במ"ש ל 0, ולפי הגדרת התכנסות במ"ש קל לקבל שגם [f[n מתכנסת במ"ש ל 0.

הוכחה אלגברית

איך מראים שאם [math]\displaystyle{ x,y \in [a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ |x-y| \leq b-a }[/math]?

נניח ב.ה.כ כי [math]\displaystyle{ x\gt y }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ |x-y|=x-y\leq b-y \leq b-a }[/math]. --ארז שיינר

טור מספרים

איך מראים [math]\displaystyle{ \sum(\frac{n!e^n}{n^n}) }[/math] מתבדר?

קוראים בחומר התרגול של אינפי 1 באתר, בדוגמאות של טורים חיוביים --ארז שיינר

ואז? זה קצת דומה ל-7, אבל אי אפשר כמו שם.

זה לא בדיוק אחד חלקי הטור המתכנס ב7 ולכן שואף לאינסוף? --ארז שיינר

סדר סכימה בטורים

למה מותר להחליף את סדר הסכימה כשיש סכום כפול אינסופי? (נובע מהטענה על גבול כפול, שנכונה כי?)

אני לא בטוח על איזה טענה מדובר, אבל זה מותר לשנות את סדר הסכימה אם הטור מתכנס בהחלט --ארז שיינר

מבחן השורש

איך מראים שמותר לקחת במבחן קושי-הדמר (לרדיוס התכנסות) שורש מסדר שתיים בחזקת אן במקום n? 

הקשר מאד יעזור בשאלות מסוג זה. באופן כללי, עבור טור מהצורה [math]\displaystyle{ \sum a_n x^{b_n} }[/math] רדיוס ההתכנות הוא [math]\displaystyle{ R=\frac{1}{\limsup \sqrt[b_n]{|a_n|}} }[/math] --ארז שיינר

מבחן של הורוביץ

http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/tests/math/88133/4ef1b085019d4.pdf

האם אפשר עזרה ב:

• שאלה 3 סעיף ב'

• שאלה 4 סעיף ג'

• שאלה 4 סעיף ב' - האין זה פשוט מבחן ד'אלמבר לטורים של מספרים?

תודה רבה

תשובה

שאלה 3 סעיף ב' - תפעיל את הגדרת הנגזרת לפי גבול. את הגבול ניתן לחשב עם לופיטל, למשל. (מבלי שפתרתי בעצמי)

שאלה 4 סעיף ג' - עושה רושם שהאיבר הכללי של הטור (כלומר האינטגרל) אינו שואף לאפס. אפשר להראות שבערך מוחלט הוא חסום מלמטה על ידי חצי כפול האינטגרל של הסינוס (או משהו בסגנון)

שאלה 4 סעיף ב' - נכון. אפשר גם להסתכל על זה כטור חזקות שהציבו בו e^4, גם במקרה זה רדיוק ההתכנסות יוצא אינסוף בכל מקרה. --ארז שיינר

אור שחף

http://www.math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_הרצאה/12.7.11#.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_5

מאיפה הגיעו המספרים המוזרים לטור של 2x חלקי? למה 2n+1? 

ממבחן

הוכח: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sqrt{sinx}dx\ \lt \sqrt{\frac{2\pi^3}{3}} }[/math]

וולפראם מאשר נכונות: http://www.wolframalpha.com/input/?i=int_{0}^{pi%2F2}x*sqrt{sinx}dx-sqrt%282*pi^3%2F3}%29

sin(x)<=x בקטע זה, ומכאן מתקבל חסם הרבה הרבה יותר טוב ממה שביקשו.

אכן, שאלה קצת מגוחכת.

סדרות פונ'

אם fn מתכנסת במ״ש בתחום, האם בהכרח |fn| מתכנסת במ״ש שם ל|f|?

במש

מצא שתי סדרות פונ' מתכנסות במ"ש בקטע סגור כך שהמכפלה אינה מתכנסת במ"ש לכלום.

ממש בסיסי

אם יש שתי פונקציות f,g אינטגרביליות, וg לא מתאפסת בקטע הסגור שבו הן מוגדרות, אז המנה אינטגרבילית?

טורים מאינפי 1

למה [math]\displaystyle{ \sum_{k=3}^{\infty}b_{k}\leq\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}b_{2^{k}}\leq 2\sum_{k=1}^{\infty}b_{k} }[/math]  ?