הצגת המקור של הדף "משפט לגראנז' (אינפי)"

==משפט לגראנז'==
תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> .

אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .

===הוכחה===
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> :

:<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
:<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> .

אבל:
:<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math>
כלומר
:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

==ראו גם== 
*[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]]
*[[משפט רול]]

[[קטגוריה:אינפי]]