לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
משפט לייבניץ
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי: *הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n</math> מתכנס *השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le |a_{k+1}|</math> ===הוכחה=== נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> . *<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\bigg|</math> נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה: :<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math> לכן :<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math> כלומר :<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math> וכן הלאה עד שנקבל :<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math> וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>). לפי טיעון דומה, <math>\left|\displaystyle\sum_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|=\bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן :<math>|R_k|=\displaystyle\lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K(-1)^na_n\right|\le a_{k+1}</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> [[קטגוריה:אינפי]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)