לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אלגברה לינארית - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
===מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות=== *מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> נקראת '''הפיכה''' אם קיימות מטריצות <math>B,C\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש<math>AB=I_n</math> וכן <math>CA=I_m</math> *אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה '''יחידה''' שנסמנה <math>A^{-1}</math> ונקרא לה '''ההופכית''' של <math>A</math> המקיימת <math>AA^{-1}=I</math>. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת <math>A^{-1}A=I</math>. *תהי <math>A</math> הפיכה, אזי למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=\vec{b}</math> יש פתרון יחיד, והוא <math>\vec{x}=A^{-1}\vec{b}</math> <videoflash>mDGV4RgivKw</videoflash> *תהיינה <math>A,B</math> הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל <math>AB</math> מוגדר, אזי <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math> *תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t</math> *תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^{-1})^{-1}=A</math> *תהי <math>A</math> הפיכה ויהי סקלר <math>\alpha\neq 0</math> אזי <math>(\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}</math> <videoflash>yMNcwMg5TFI</videoflash> ====מטריצות פעולה==== *תהי <math>f</math> פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת. *לכל <math>n</math> נגדיר את מטריצת הפעולה <math>f(I_n)</math>. *לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים כי <math>f(I_m)\cdot A = f(A)</math> *מטריצת הפעולה היא הפיכה. *לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> קיימת מטריצה הפיכה <math>P\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> כך ש <math>P\cdot A=CF(A)</math> <videoflash>YrguBhiobxM</videoflash> ====בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית==== *מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם <math>B\neq 0</math> אך <math>AB=0</math> או <math>BA=0</math> אזי <math>A</math> אינה הפיכה *אם ב<math>A</math> השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל <math>B</math> כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב<math>AB</math> היא שורת אפסים. **ב<math>BA</math> לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת. *מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה. *מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית. <videoflash>jjyjwLKIpO0</videoflash> *מטריצה <math>A</math> היא הפיכה אם ורק אם <math>CF(A)=I</math> *אם <math>A,B</math> '''ריבועיות''' כך ש<math>AB=I</math> אזי <math>A^{-1}=B</math> *תהיינה <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''ריבועיות''' אזי <math>AB</math> הפיכה אם ורק אם <math>A,B</math> הפיכות שתיהן *דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות). **<math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}</math> <videoflash>HIyAwF_JMpc</videoflash> =====אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית===== *תהי מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> *נדרג את מטריצת הבלוקים <math>(A|I)</math> קנונית. *אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של <math>A</math> יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה. *אחרת, הצורה הקנונית של <math>A</math> היא <math>I</math> ולכן היא הפיכה. *הגענו למטריצת הבלוקים <math>(I|A^{-1})</math>. <videoflash>ZCwFECBzsDA</videoflash> ====תרגול==== [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3|תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)