לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אלגברה לינארית - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 1 - שדות== ===הגדרה ותכונות של שדה=== *'''שדה''' הוא קבוצה <math>\mathbb{F}</math> יחד עם שתי פעולות <math>+,\cdot</math> כך שמתקיימות התכונות הבאות: #סגירות: לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}</math> #קומוטטיביות (חילופיות): לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+b=b+a</math> וכן <math>a\cdot b=b\cdot a</math> #אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>a,b,c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math> וכן <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math> #נייטרליים: קיימים <math>0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a</math> #נגדיים: לכל <math>a\in\mathbb{F}</math> קיים נגדי <math>-a\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>a+(-a)=0_{\mathbb{F}}</math> #הופכיים: לכל <math>0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F}</math> קיים הופכי <math>a^{-1}\in \mathbb{F}</math> כך ש <math>a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}</math> #דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל <math>a,b,c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math> <videoflash>3SAV7M1gJxM</videoflash> *יהי שדה <math>\mathbb{F}</math> אזי לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a\cdot b=0_{\mathbb{F}}</math> אם ורק אם <math>a=0_{\mathbb{F}}</math> או <math>b=0_{\mathbb{F}}</math> <videoflash>Xv-OOeh9gj8</videoflash> *תכונות נוספות של שדות **<math>(-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a</math> **אם <math>a+b=a+c</math> אזי <math>b=c</math> **אם <math>a\neq 0_{\mathbb{F}}</math> וגם <math>a\cdot b = a\cdot c</math> אזי <math>b=c</math> ===שדות סופיים=== <videoflash>quaMfbG6eTU</videoflash> ===שדה המרוכבים=== ====הגדרת המספרים המרוכבים==== *<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> *<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> *<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math> *נסמן **<math>a=(a,0)</math> **<math>i=(0,1)</math> *נובע כי <math>a+b\cdot i =(a,b)</math> <videoflash>aDPMK03MCLg</videoflash> *הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math> **<math>\overline{z}=a-b\cdot i</math> **<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> **<math>Re(z)=a</math> **<math>Im(z)=b</math> *תכונות **<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> אם <math>z\neq 0</math> **<math>z+\overline{z}=2\cdot Re(z)</math> **<math>z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)</math> **<math>\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}</math> **<math>\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}</math> <videoflash>OmslUn1rJqM</videoflash> ====צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)==== *<math>a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)</math> *<math>cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)</math> *<math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> *עבור הזוית נחלק למקרים: **אם <math>a>0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math> **אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> **אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\theta=-\frac{\pi}{2}</math> **אם <math>a<0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi</math> <videoflash>3GOI4vdKv4w</videoflash> *<math>r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)</math> <videoflash>kmoxv6cTI24</videoflash> *<math>(r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)</math> *עבור <math>n\geq 2</math> טבעי, ומספר מרוכב <math>a+b\cdot i\neq 0</math> קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה <math>z^n=a+b\cdot i</math> *הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים: **נעביר את המספר לצורתו הקוטבית <math>a+b\cdot i = r cis(\theta)</math> **הפתרונות הם <math>z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)</math> עבור <math>k=0,1,...,n-1</math> <videoflash>v7zmdJbGyBI</videoflash> ===תרגול=== *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)