לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
סיווג נקודה חשודה
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==='''הוכחה:'''=== לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש: :<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math> אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- <math>a</math> , מתקיים :<math>f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math> לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה מתקיים: :<math>f(x)-f(a)\ge0</math> שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי. כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''. באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום]]'''. אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה. כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבת <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> . אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)