לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אלגברה לינארית - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 4 - מרחבים וקטוריים== ===הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים=== *מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות: #סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math> #חילופיות: <math>\forall u,w\in V:u+w=w+u</math> #אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math> #נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math> #נגדיים: <math>\forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V</math> #נייטרלי לכפל בסקלר: <math>\forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v</math> #דיסטריביוטיביות (פילוג): <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w</math> <videoflash>wd1XcxGymM0</videoflash> *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ויהיו <math>\alpha\in\mathbb{F},u\in V</math> אזי: **<math>\alpha u = 0_V</math> אם ורק אם <math>\alpha=0_\mathbb{F}</math> או <math>u=0_V</math> *כמו כן, <math>(-1_\mathbb{F})u=-u</math> <videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash> ===תתי מרחבים=== *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים. *אזי <math>U</math> נקרא '''תת מרחב''' של <math>V</math> אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של <math>V</math>. *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים. *אזי <math>U</math> תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים: **<math>0_V\in U</math> **לכל <math>v_1,v_2\in U</math> ולכל <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>v_1+\alpha v_2\in U</math> <videoflash>JYKLCPsrzY8</videoflash> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>N(A)\subseteq\mathbb{F}^n</math> הינה תת מרחב וקטורי. **קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית '''אינה''' תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס. *אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות. *אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים. <videoflash>ryvLbuYq5nY</videoflash> ====חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים==== *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב. **<math>U\cap W</math> הינו תת מרחב של <math>V</math>. **<math>U\cup W</math> תת מרחב של <math>V</math> אם ורק אם <math>U\subseteq W</math> או <math>W\subseteq U</math>. <videoflash>CriKpGqFQvs</videoflash> *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב. *נגדיר את סכום תתי המרחבים: **<math>U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}</math> *<math>U+W</math> הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>U,W</math>. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם: **לכל תת מרחב <math>U,W\subseteq T</math> מתקיים כי <math>U,W\subseteq U+W\subseteq T</math> *<math>U\cap W</math> הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב<math>U,W</math>. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם: **לכל תת מרחב <math>T\subseteq U,W</math> מתקיים כי <math>T\subseteq U\cap W\subseteq U,W</math> <videoflash>JbSFfscwrSE</videoflash> *דוגמא: *<math>V=\mathbb{R}^3</math> *<math>U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> *<math>W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> *<math>U+W=V</math> *ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW: **<math>(4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1)</math> *סכום ישר: *יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש <math>V=U\oplus W</math> אם מתקיימים שני התנאים הבאים: **<math>V=U+W</math> **<math>U\cap W =\{0_V\}</math> *משפט: *<math>V=U\oplus W</math> אם ורק אם לכל וקטור <math>v\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' <math>v=u+w</math> כסכום של רכיבים מU ומW. *כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות. <videoflash>T3OkiTwXoH0</videoflash> ====תרגול==== *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4|תרגול על מרחבים ותתי מרחבים]] ===פרישה ותלות לינארית=== *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>. **וקטור <math>x\in V</math> נקרא '''צירוף לינארי''' של הקבוצה <math>S</math> אם <math>x=0_V</math> או קיימים וקטורים בקבוצה <math>v_1,...,v_n\in S</math> וסקלרים מהשדה <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math> *כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0) *אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא <math>span(S)</math>. *טענה: יהי V מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> אזי <math>span(S)</math> הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>S</math>. כלומר: **<math>span(S)</math> תת מרחב וקטורי **לכל תת מרחב <math>T</math> כך ש <math>S\subseteq T</math> מתקיים כי <math>S\subseteq span(S)\subseteq T</math> <videoflash>4hLYHhGE-68</videoflash> *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי n-ית וקטורים <math>(v_1,...,v_n)\in V^n</math>. אומרים שהוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> (לאו דווקא שונים) '''תלויים לינארית''' או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> '''לא כולם אפס''' כך שהצירוף הלינארי מתאפס <math>a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V</math>. *אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם '''בלתי תלויים לינארית''' או בת"ל בקיצור. *קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימים <math>v_1,...,v_n\in S</math> וקטורים '''שונים''' שתלויים לינארית. <videoflash>7xoVNM3OX2A</videoflash> *יהיו <math>v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n</math>. *הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה <math>x_1v_1+...+x_kv_k=0_V</math> הוא שכל הסקלרים הם אפסים. **בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות <math>x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix}</math> *לכן אם נשים את הוקטורים '''בעמודות''' מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש '''פתרון יחיד''' כלומר <math>N(A)=\{0_v\}</math> *באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם <math>v\in span\{v_1,...,v_k\}</math>: **נשים את הוקטורים <math>v_1,...,v_k</math> '''בעמודות''' מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים. **הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון. <videoflash>JOYrFXvKwzY</videoflash> ===בסיס ומימד=== *לֶמת ההחלפה של שטייניץ *יהי <math>V</math> מ"ו ותהיינה <math>A\subseteq V</math> בת"ל וכן <math>B\subseteq V</math> פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>). *אזי לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>b\notin A\setminus \{a\}</math> וגם הקבוצה <math>(A\setminus \{a\})\cup \{b\}</math> בת"ל. <videoflash>_vIuR0AuJ68</videoflash> *יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>B\subseteq V</math> קבוצה פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>) כך ש <math>|B|=n</math> (כלומר יש בה n וקטורים). *תהי בנוסף <math>A\subseteq V</math> קבוצה בת"ל, אזי <math>|A|\leq |B|</math> (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת). <videoflash>nHeL8a3KNhs</videoflash> *הגדרת בסיס: *יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> קבוצת וקטורים. *אם <math>S</math> בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר <math>sp(S)=V</math>) אזי היא נקראת '''בסיס''' למרחב <math>V</math>. *יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית <math>B\subseteq V</math> שפורשת את כל המרחב <math>sp(B)=V</math>). *אזי קיים לו בסיס סופי. *כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים. *כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות '''המימד''' של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים <math>dim(V)=|B|</math>. *כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד. <videoflash>UR9LnbO4QGE</videoflash> ====העשרה==== *לכל מרחב וקטורי יש בסיס. *ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M. *נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B. *B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן) *B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה. <videoflash>qzUDzq2pB1Q</videoflash> ====משפט השלישי חינם==== *יהי <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>. *אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו<math>S</math> מהווה בסיס למרחב <math>V</math>. **<math>S</math> בת"ל **<math>S</math> פורשת (כלומר <math>sp(S)=V</math>) **<math>|S|=n</math> (כלומר כמות הוקטורים ב<math>S</math> שווה למימד) <videoflash>PuWBn0h7POQ</videoflash> *יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב. *אם <math>\dim (U)=\dim (V)</math> אזי <math>U=V</math> <videoflash>Ab1UEuTwM_U</videoflash> ====תרגול==== *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד]] ===משפט המימדים=== <math>sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B)</math> <videoflash>eLO8bpTu3N4</videoflash> *<math>\dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W)</math> <videoflash>47JbbBo48BA</videoflash> ====תרגול==== *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|תרגול על משפט המימדים]] ===הצגה פרמטרית ואלגברית=== <videoflash>N-NLiHVo3_0</videoflash> ===שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים=== *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> **<math>R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n</math> **<math>C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> **<math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n</math> <videoflash>KC3s33u3x4o</videoflash> *<math>R(AB)\subseteq R(B)</math> *<math>C(AB)\subseteq C(A)</math> <videoflash>WWcHqqshzlo</videoflash> *על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות. *על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות. <videoflash>W3jcV4O-FLc</videoflash> *ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס. *לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים. <videoflash>XKutm8q2elw</videoflash> ====תרגול==== *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|תרגול בנושא מרחבי המטריצה]] ===דרגה של מטריצה=== *בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות. <videoflash>pMNQF8yucGs</videoflash> *כל הגדלים הבאים שווים: **דרגה של מטריצה **מימד מרחב העמודות **מימד מרחב השורות **מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת **מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית *כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים. *ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים). <videoflash>K3GRdLnuVm4</videoflash>
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)