לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אלגברה לינארית - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 5 - העתקות לינאריות== ===העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות=== *יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>. *פונקציה <math>T:V\to W</math> נקראת '''העתקה לינארית''' אם לכל <math>v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F}</math> היא מקיימת: **<math>T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2</math> **<math>T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1</math> *שימו לב לסימון <math>Tv_1=T(v_1)</math> <videoflash>jU5KHYC2E7s</videoflash> ====פעולות בין העתקות לינאריות==== *הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית *סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית *הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית <videoflash>YxwGnruuVzk</videoflash> ===גרעין ותמונה=== * תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית ** הגרעין <math>\ker T=\{v\in V|Tv=0_W\}</math> הוא תת מרחב של התחום <math>V</math> ** התמונה <math>Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\}</math> היא תת מרחב של הטווח <math>W</math> *ההעתקה <math>T:V\to W</math> חח"ע אם ורק אם <math>\dim\ker T=0</math> *ההעתקה <math>T:V\to W</math> על אם ורק אם <math>\dim Im T = \dim W</math> <videoflash>8dQ9s5sLfGY</videoflash> ====משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות==== *תהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס לV. *אזי <math>Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}</math> <videoflash>jT-LlnbGFmM</videoflash> *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית אזי <math>\dim \ker T +\dim Im T = \dim V</math> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי <math>\dim N(A) + rank(A)=n</math> <videoflash>iJWnxV8jZ3A</videoflash> *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית. **אם T חח"ע אז <math>\dim V\leq \dim W</math> **אם T על אזי <math>\dim V \geq \dim W</math> **אם <math>\dim V = \dim W</math> אזי T חח"ע אם"ם T על. *העתקה לינארית נקראת גם '''הומומורפיזם'''. העתקה לינארית הפיכה נקראת '''איזומורפיזם'''. *מרחבים וקטוריים נקראים '''איזומורפייים''' זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות). *מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים. <videoflash>Y-NJvNQWFzM</videoflash> ====תרגול==== *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה]] ===יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה=== *יהי V מ"ו ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. *אזי לכל <math>x\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס: **<math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math> <videoflash>qzvrMPhp3eY</videoflash> *יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. *תהיינה סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_n\in W</math> לאו דווקא שונים. *אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת: **לכל i מתקיים כי <math>Tv_i=w_i</math> <videoflash>NvTFxVhaenY</videoflash> ===מטריצה מייצגת העתקה=== <videoflash>IOYMxNgkQoY</videoflash> ====קואורדינטות==== *יהי V מ"ו ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. *לכל <math>v\in V</math> נגדיר את '''וקטור הקואורדינטות לפי B''' להיות הסקלים מההצגה היחידה: **<math>[v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}</math> אם ורק אם <math>v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n</math> *מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס! <videoflash>wi8TNSA5Los</videoflash> *נגדיר פונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> ע"י <math>Tv=[v]_B</math>, אזי T היא איזומורפיזם. לכן **<math>[a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B</math> **הסדרה <math>u_1,...,u_k\in V</math> בת"ל אם ורק אם הסדרה <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל **<math>v\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם ורק אם <math>[v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> <videoflash>VSpBzsMVgMw</videoflash> ====משפט קיום ויחידות==== *יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>. *נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו. *נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו. *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית. *אזי: **'''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' <math>[T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המקיימת: **לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C</math> *על מנת למצוא את המטריצה המייצגת: **נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום. **נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח. **נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת. *<math>[T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> <videoflash>iglkE9qqy84</videoflash> ====המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית==== *יהיו <math>V,W</math> מ"ו ממימד סופי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math> עם בסיסים <math>B,C</math> בהתאמה. *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> *אזי **<math>[T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C</math> **<math>[\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C</math> **<math>[S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B</math> **ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת <math>[T]^B_C</math> הפיכה ***אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי <math>[T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}</math> <videoflash>EYU0bMBYEJM</videoflash> ====מטריצות מעבר בין בסיסים==== *<math>[I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}</math> *<math>\left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C</math> <videoflash>FIoJr-dRk9Y</videoflash> ===שלוש צורות הצגת ההעתקה=== *ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים: **נוסחא מפורשת **לפי בסיס **בעזרת מטריצה מייצגת <videoflash>ouEdwylqPiQ</videoflash> =====תרגול===== *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים]] *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות]] *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/10|תרגול נוסף בנושא העתקות]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)