לדלג לתוכן
שינוי מצב סרגל צד
Math-Wiki
חיפוש
יצירת חשבון
כלים אישיים
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
דפים לעורכים שלא נכנסו לחשבון
מידע נוסף
שיחה
תרומות
ניווט
עמוד ראשי
שינויים אחרונים
העלאת קובץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
מידע על הדף
עריכת הדף "
אלגברה לינארית - ארז שיינר
" (פסקה)
דף
שיחה
עברית
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
אזהרה:
אינכם מחוברים לחשבון. כתובת ה־IP שלכם תוצג בפומבי אם תבצעו עריכות כלשהן. אם
תיכנסו לחשבון
או
תיצרו חשבון
, העריכות שלכם תיוחסנה לשם המשתמש שלכם ותקבלו גם יתרונות אחרים.
בדיקת אנטי־ספאם.
אין
למלא שדה זה!
==פרק 6 - דטרמיננטות== ===תמורות=== *נגדיר את אוסף התמורות <math>S_n</math> להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה <math>\{1,2,...,n\}</math> לעצמה. *לכל תמורה (פונקציה) <math>f\in S_n</math> נגדיר את סימן התמורה <math>sign(f)=\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}</math> *תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1. *כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי <math>sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)</math> *עבור תמורת הזהות <math>I\in S_n</math> מתקיים כי<math>sign(I)=1</math> <videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash> *חילוף הוא תמורה <math>(i\ j)\in S_n</math> המחליפה בין האיברים <math>i,j</math> ושולחת את שאר האיברים לעצמם. *חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית). *מחזור הוא תמורה <math>(p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k)</math> וסימנו הוא <math>(-1)^{k-1}</math> *המחזור שולח כל איבר <math>p_{i-1}</math> ל<math>p_i</math>, את <math>p_k</math> ל<math>p_1</math> ואת שאר האיברים לעצמם. *כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה. <videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash> ===הגדרת הדטרמיננטה ותכונות=== *עבור מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את הדטרמיננטה: **<math>det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}</math> <videoflash>iS2k9gdW51A</videoflash> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ויהיו <math>1\leq i\neq j\leq n</math> כך ש <math>R_i(A)=R_j(A)</math> אזי <math>det(A)=0</math> *כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס. <videoflash>OJG5zEfaJRE</videoflash> *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהי <math>B</math> המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על <math>A</math> אזי: **אם פעולת הדירוג היא <math>R_i+a\cdot R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=|A|</math> **אם פעולת הדירוג היא <math>a\cdot R_i</math> אזי <math>|B|=a\cdot |A|</math> **אם פעולת הדירוג היא <math>R_i \leftrightarrow R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=-|A|</math> <videoflash>QpfCfN5K8VY</videoflash> ===חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות=== *עבור מטריצה משולשית <math>A</math> מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון. *מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. *לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי <math>|AB|=|A|\cdot |B|</math> <videoflash>kaM3ugX7izs</videoflash> ===דטרמיננטת המשוחלפת=== *<math>|A^t|=|A|</math> *פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות <videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash> ===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה=== *<math>A_{ij}</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה. *הדטרמיננטה <math>|A_{ij}|</math> נקראית '''מינור'''. *לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> *לכל j מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> <videoflash>Yb1rS4lNyWk</videoflash> ===מטריצה נלווית=== *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את המטריצה הנלווית <math>adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ע"י: **<math>[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|</math> *מתקיים כי <math>A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I</math> *אם A הפיכה מתקיים כי <math>A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)</math> *מתקיים כי <math>|adj(A)|=|A|^{n-1}</math> <videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash> ===כלל קרמר=== *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''הפיכה''' ויהי <math>b\in\mathbb{F}^n</math> וקטור קבועים. *אזי הפתרון היחיד <math>\vec{x}=(x_1,...,x_n)</math> למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=b</math> מקיים כי: *לכל i ערך המשתנה נתון ע"י <math>x_i =\frac{|A_i|}{|A|}</math> *כאשר <math>A_i</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי החלפת העמודה ה<math>i</math> בוקטור הקבועים <math>b</math> *במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה. *במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר. <videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash> ===תרגול=== *[[מדיה:88-112-2011S11.pdf|תרגול בנושא דטרמיננטות]] *[[מדיה:88-112-2011S12b.pdf|תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות]] *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11|עוד אחד]]
תקציר:
לתשומת לבך: תורמים אחרים עשויים לערוך או אף להסיר את תרומתך ל־Math-Wiki. אם אינך רוצה שעבודתך תהיה זמינה לעריכה על־ידי אחרים, אין לפרסם אותה פה.
כמו־כן, שמירת העריכה משמעה הבטחה שכתבת את הטקסט הזה בעצמך, או העתקת אותו ממקור שאינו מוגן בזכויות יוצרים (אפשר לעיין בדף
Math-Wiki:זכויות יוצרים
לפרטים נוספים).
אין לעשות שימוש בחומר המוגן בזכויות יוצרים ללא רשות!
ביטול
עזרה בעריכה
(נפתח בחלון חדש)