משפטי אי השלימות של גדל (Gödel)

לוגיקה מסדר ראשון הינה שפת הבסיס של המתמטיקטים כפי שלמדנו בקורס 88-101 חשיבה מתמטית. זו שפה המכילה קשרים לוגיים (או, וגם, שלילה, גרירה), כמתים (לכל, קיים), פסוקים ("לכל x קיים y הגדול ממנו") ופרדיקטים ("ל-x קיים y הגדול ממנו"). הוכחה בשפה זו היא אוסף משפטים אשר כל אחד נובע מקודמיו, או ידוע כנכון מהוכחה אחרת, או אקסיומה.

למדנו שעל מנת להעריך "גודל" של קבוצה אינסופית אנו משתמשים במושג עוצמות. כמו כן, ראינו בתרגיל כי אוסף המילים מעל אלפאבית סופי הוא בן מנייה. באופן דומה, אוסף המשפטים והטקסטים הסופיים בכלל הוא בן מנייה. נשתמש בעובדה זו בהמשך.

הגדרה: בלוגיקה מסדר ראשון, מערכת אקסיומטית ראוייה הינה אוסף סופי או בן מנייה של משפטים מהשפה הנקראים אקסיומות המכיל את אוסף האקסיומות הבסיסיות של האריתמטיקה (המאפשרות לנו לבנות את המספרים הטבעיים)

הגדרה: מערכת אקסיומתית נקראת עקבית אם לא קיים משפט בתאוריה שניתן להוכחה וגם השלילה שלו ניתנת להוכחה.

הגדרה: מערכת אקסיומתית נקראת שלימה אם ניתן להוכיח או להפריך כל משפט הניתן לניסוח בתאוריה.

משפט אי השלימות הראשון של גדל

--מערכת אקסיומתית ראוייה הינה שלימה אם"ם אם היא אינה עקבית.

במילים פשוטות, אם התאורייה שלימה היא מכילה סתירה ואז ניתן להוכיח כל משפט בה (שכן שקר גורר כל דבר). תאוריה ללא סתירות אינה שלימה, לכן בהכרח יש משפט אמיתי בה שלא ניתן להוכחה.

הוכחת המשפט

משפט אי השלימות השני של גדל

--מערכת אקסיומתית ראוייה הינה עקבית אם"ם לא ניתן להוכיח שהיא עקבית (על ידי הוכחה בתוך התאוריה)

במילים פשוטות, אפילו אם התמזל מזלינו למצוא תאוריה עקבית, אין לנו דרך להיות בטוחים בכך מעבר לאמונה.

הוכחת המשפט