משפט לגראנז' (אינפי): הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן " ==משפט לגראנז'== תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==משפט לגראנז'== | ==משפט לגראנז'== | ||
תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>. | תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> . | ||
אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> . | |||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>: | |||
:<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)</math> | |||
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה. | |||
:<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)-f(a)</math> | |||
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה | |||
קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל: | |||
:<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | |||
כלומר | כלומר | ||
:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | |||
כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | |||
* [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] | ==ראו גם== | ||
* [[משפט רול]] | *[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] | ||
*[[משפט רול]] | |||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה מ־00:12, 27 בינואר 2016
משפט לגראנז'
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] .
אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math] .
הוכחה
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות [math]\displaystyle{ \big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a) }[/math]
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
- [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)-f(a) }[/math]
קל לראות כי [math]\displaystyle{ g(a)=g(b)=0 }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g }[/math] מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math]. אבל:
- [math]\displaystyle{ 0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]
כלומר
- [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]
כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]