קבוצה פורשת: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F '''פורשת''' את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא [[צירוף ...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
כל קבוצה B פורשת את [[הקבוצה הנפרשת]] על-ידיה. | כל קבוצה B פורשת את [[הקבוצה הנפרשת]] על-ידיה. | ||
'''המקרה הסופי'''. נניח ש-<math> | '''המקרה הסופי'''. נניח ש- <math>B=\{v_1,\dots,v_n\}</math> היא [[קבוצה סופית]]. אז B פורשת את V אם לכל <math>v\in V</math> קיימים <math>a_1,\dots,a_n\in\mathbb F</math> כך ש- <math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math> . | ||
'''המקרה הכללי'''. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל <math> | '''המקרה הכללי'''. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל <math>v\in V</math> קיימים <math>b_1,\dots,b_n\in B</math> ו- <math>a_1,\dots,a_n\in\mathbb F</math> כך ש- <math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math> (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v). | ||
== דוגמאות == | ==דוגמאות== | ||
[[וקטורי היחידה]] <math>e_1,\dots,e_n</math> פורשים את [[מרחב הוקטורים]] <math>{\mathbb F}^n</math> . הקבוצה <math>\{1,x,x^2,\dots\}</math> פורשת את מרחב ה[[פולינום|פולינומים]] <math>{\mathbb F}[x]</math> . | |||
==הקשר לבסיסים== | |||
קבוצה פורשת ו[[קבוצה בלתי תלויה|בלתי תלויה]] היא [[בסיס]]. כל קבוצה פורשת של V מכילה [[בסיס]]. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת. | |||
== הקשר לבסיסים == | |||
קבוצה פורשת ו[[קבוצה בלתי תלויה|בלתי תלויה]] היא [[בסיס]]. כל קבוצה פורשת של V מכילה [[בסיס]]. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת. | |||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
גרסה אחרונה מ־17:55, 27 בפברואר 2016
קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F פורשת את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא צירוף לינארי (עם מקדמים מ-F) של וקטורי B.
כל קבוצה B פורשת את הקבוצה הנפרשת על-ידיה.
המקרה הסופי. נניח ש- [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\dots,v_n\} }[/math] היא קבוצה סופית. אז B פורשת את V אם לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימים [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_n\in\mathbb F }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n }[/math] .
המקרה הכללי. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימים [math]\displaystyle{ b_1,\dots,b_n\in B }[/math] ו- [math]\displaystyle{ a_1,\dots,a_n\in\mathbb F }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n }[/math] (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v).
דוגמאות
וקטורי היחידה [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_n }[/math] פורשים את מרחב הוקטורים [math]\displaystyle{ {\mathbb F}^n }[/math] . הקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,x,x^2,\dots\} }[/math] פורשת את מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ {\mathbb F}[x] }[/math] .
הקשר לבסיסים
קבוצה פורשת ובלתי תלויה היא בסיס. כל קבוצה פורשת של V מכילה בסיס. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת.