משפט פרמה (אינפי): הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־11:39, 7 ביוני 2016

הגדרת נקודת קיצון מקומית

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0) }[/math] (נקודת מקסימום מקומי)

או

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0) }[/math] (נקודת מינימום מקומי)

אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הנה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] .

משפט פרמה

תהי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון מקומית של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]

הוכחה

נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודת מקסימום מקומי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L }[/math]

לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math] , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\gt 0 }[/math] .

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0 }[/math]

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math] , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\lt 0 }[/math] .

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0 }[/math]

סה"כ [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

ראו גם

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==הגדרת נקודת קיצון מקומית==
-תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים:
+תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל <math>x</math> בסביבה מתקיים:
-::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
+:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
 '''או'''
+:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)
-::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)
+אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> .
-אזי <math>x_0</math> הינה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math>.
 ==משפט פרמה==
+תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math> . אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים:
-תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים:
+:<math>f'(x_0)=0</math>
-::<math>f'(x_0)=0</math>
 ===הוכחה===
+נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
+:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>
-נניח כי f גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
+לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.
-::<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>
-לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
+לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math> .
-לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.
 לכן ביחד, מתקיים כי
+:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>
+באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math> .
-::<math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0</math>
+לכן ביחד, מתקיים כי
+:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math>
-באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.
-לכן ביחד, מתקיים כי
-::<math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0</math>
-סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.
-==משפט רול==
-תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math>.
-אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math>
-===הוכחה===
-נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
-לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש<math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
-אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.
-==משפט לגראנז'==
-תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.
-אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
-===הוכחה===
-נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:
-::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
-נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.
-::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>
-קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:
-::<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
-כלומר
-::<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
-כפי שרצינו.
+==ראו גם==
+*[[משפט רול]]
+*[[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']]
 [[קטגוריה:אינפי]]