88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־13:01, 15 בפברואר 2017

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\big[\sqrt[n]n-1\big] }[/math]

נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]n-1\gt \dfrac1n }[/math]

אם"ם

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]n\gt 1+\dfrac1n }[/math]

אם"ם

[math]\displaystyle{ n\gt \left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math]

אך כיון ש- [math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math] שואף למספר e מלמטה מתקיים כי

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n\lt e }[/math]

ולכן, סה"כ, החל מ [math]\displaystyle{ n\gt 3 }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ n\gt 3\gt e\gt \left(1+\frac1n\right)^n }[/math]

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מתבדר.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
-*<math>\sum \sqrt[n]{n}-1</math>
+*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\big[\sqrt[n]n-1\big]</math>
-נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני <math>\sum\frac{1}{n}</math>
-::<math>\sqrt[n]{n}-1>\frac{1}{n}</math>
+נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n</math>
+:<math>\sqrt[n]n-1>\dfrac1n</math>
 אם"ם
+:<math>\sqrt[n]n>1+\dfrac1n</math>
-::<math>\sqrt[n]{n}>1+\frac{1}{n}</math>
 אם"ם
+:<math>n>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math>
-::<math>n>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n</math>
-אבל כיוון ש <math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n</math> שואף למספר e '''מלמטה''' מתקיים כי
-::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n<e</math>
+אך כיון ש- <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> שואף למספר e '''מלמטה''' מתקיים כי
+:<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e</math>
 ולכן, סה"כ, החל מ <math>n>3</math> מתקיים
+:<math>n>3>e>\left(1+\frac1n\right)^n</math>
-::<math>n>3>e>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n</math>
 ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור '''מתבדר'''.