הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←קבוצות מספרים) |
(←חסמים) |
||
שורה 55: | שורה 55: | ||
**M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math> | **M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר <math>M-\varepsilon<M</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\varepsilon</math> | ||
**m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math> | **m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר <math>m<m+\varepsilon</math> קיים מספר <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\varepsilon</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: תהיינה <math>\emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R}</math> כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי <math>\sup(A)\leq\sup(B)</math> | ||
גרסה מ־12:44, 15 באוקטובר 2020
תוכן עניינים
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים כך ש .
- במילים פשוטות, אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חסמים
- תהי אזי:
- נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלעיל של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלרע של A אם לכל מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- דוגמא: תהיינה כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
פרק 2 - סדרות
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית ויהי מספר ממשי .
- הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם לכל קיים כך שלכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם
- טענה: תהי אזי
- טענה: תהי אזי
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
פרק 5 - גזירות