הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←כלים לחישוב גבולות) |
(←אריתמטיקה של גבולות (חשבון גבולות)) |
||
שורה 112: | שורה 112: | ||
**<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math> | **<math>\sqrt[n]{n}\to 1</math> | ||
− | ===אריתמטיקה של גבולות ( | + | ===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)=== |
+ | |||
+ | *אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק): | ||
+ | **חסומה כפול אפיסה = אפיסה | ||
+ | **חסומה חלקי אינסוף = אפיסה | ||
+ | **<math>\infty+\infty=\infty</math> | ||
+ | **<math>\infty\cdot\infty=\infty</math> | ||
+ | **<math>\infty^\infty=\infty</math> | ||
+ | **<math>\frac{1}{0}\neq\infty</math> | ||
+ | **<math>\frac{1}{0^+}=\infty</math> | ||
+ | **<math>0^\infty = 0</math> | ||
+ | **אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף. | ||
+ | **אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף. | ||
+ | **יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי. | ||
+ | **אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף. | ||
+ | **אם <math>a>1</math> אזי <math>a^\infty=\infty</math> | ||
+ | **חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות. | ||
+ | *המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול: | ||
+ | **<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math> | ||
+ | *מבחן המנה ([[אי-שוויון הממוצעים]]). | ||
+ | *הגבול של השורש הn של n. | ||
==פרק 3 - טורים== | ==פרק 3 - טורים== |
גרסה מ־08:30, 16 באוקטובר 2020
תוכן עניינים
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים כך ש .
- במילים פשוטות, אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חסמים
- תהי אזי:
- נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלעיל של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלרע של A אם לכל מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- דוגמא: תהיינה חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
פרק 2 - סדרות
הגדרת הגבול
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית ויהי מספר ממשי .
- הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם לכל קיים כך שלכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם
- טענה: תהי אזי
- טענה: תהי אזי
- הגבול הוא יחיד
- מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול
- סדרה מתכנסת במובן הצר חסומה
מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה.
כלים לחישוב גבולות
- סנדביץ' וחצי סדנביץ'
- חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
- מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- אם מתקיים כי
- אם מתקיים כי
- מתקיים כי
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- דוגמא:
חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם אזי
- חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
- מבחן המנה (אי-שוויון הממוצעים).
- הגבול של השורש הn של n.
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
פרק 5 - גזירות