הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←מבוא לגבולות) |
(←הגדרת הגבול לפי היינה) |
||
שורה 182: | שורה 182: | ||
===הגדרת הגבול לפי היינה=== | ===הגדרת הגבול לפי היינה=== | ||
+ | |||
+ | *מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות | ||
===הפונקציות הטריגונומטריות=== | ===הפונקציות הטריגונומטריות=== |
גרסה מ־08:44, 16 באוקטובר 2020
תוכן עניינים
מבחנים ופתרונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים
, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים
כך ש
.
- במילים פשוטות,
אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חסמים
- תהי
אזי:
נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא חסם מלעיל של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל
מתקיים כי
נקרא חסם מלרע של A אם לכל
מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה
אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי
ויהי
אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר
קיים מספר
כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר
קיים מספר
כך ש
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר
- דוגמא: תהיינה
חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
פרק 2 - סדרות
הגדרת הגבול
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית
ויהי מספר ממשי
.
הינו גבול הסדרה
(מסומן
או
) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק
קיים מקום
כך שאחריו לכל
מתקיים כי
- נגדיר ש
אם לכל
קיים
כך שלכל
מתקיים כי
- נגדיר ש
אם
- טענה: תהי
אזי
- טענה: תהי
אזי
- הגבול הוא יחיד
- מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול
- סדרה מתכנסת במובן הצר חסומה
מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה.
כלים לחישוב גבולות
- סנדביץ' וחצי סדנביץ'
- חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
- מבחן המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה
המקיימת כי גבול המנה הוא
אזי:
- אם
מתקיים כי
- אם
מתקיים כי
- מתקיים כי
- אם
- תהי סדרה
- דוגמא:
- אינדוקציה.
- ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם
אזי
- חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
המקרים הבעייתיים
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
סדרות מונוטוניות והמספר e
- כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
- המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).
.
- אם
אזי
, כאשר
הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל
.
- שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
- אם
אזי
- ראשית
(הוכחה בקישור לערך על המספר e).
- כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
- ראשית
- אם
אזי
.
בין אם
שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם
, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב
ששווה אפס.
- דוגמא:
תתי סדרות וגבולות חלקיים
פרק 3 - טורים
פרק 4 - פונקציות ורציפות
מבוא לגבולות
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
הגדרת הגבול לפי קושי
הגדרת הגבול לפי היינה
- מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
הפונקציות הטריגונומטריות
- הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
- עבור זוית
שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
- כיוון ש
בתחום
, נובע לפי סנדוויץ' ש
.
- כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
- כעת בתחום
הקוסינוס חיובית ולכן
ונובע כי
.
- כיוון ש
- נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
- לפי כלל הסנדביץ
- כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
- עבור זוית
- ראינו ש
.
- שימו לב ש
, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
רציפות
- גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
מתקיים כי
אבל
.
- רציפות.
- טענה: אם f רציפה ב
אזי לכל סדרה
(גם אם אינה שונה מ
) מתקיים כי
.
- הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב
ותהי g רציפה ב
. אזי
רציפה ב
.
- הוכחה:
- תהי סדרה
אזי
- לפי הטענה הקודמת,
.
- מיון אי רציפות.
- רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
- סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
- קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
- עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
פרק 5 - גזירות