שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(459 גרסאות ביניים של 68 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 14: שורה 14:
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]


=שאלות=
=שאלות=


== הערה בקשר למבחן ביום שני ==


== תרגיל 10 שאלה 5 ==
אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
אני לא בטוח בשאלה הזאת כי אני לא מבין בדיוק מה הכוונה בכל שהפונקציה רציפה במידה שווה כי כשאומרים שהיא רציפה במ"ש גם "הקצוות" שלה כוללים את כל הסביבה או לא? כלומר האם היא תופסת את הסביב מימין ומשמאל??
 
רועי
 
:יש הגדרה ברורה לרציפות במ"ש. לפי התרגיל, הפונקציה מקיימת את התנאים של רציפות במ"ש בקטע. יש להוכיח שהיא רציפה בקטע (בקצוות מספיק להראות שהיא רציפה מצד אחד, כלומר הגבול החד צדדי שלה שווה לערך שלה בקצה הקטע) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:46, 25 בדצמבר 2010 (IST)


== תרגיל 10 שאלה 1 ==
אשמח אם תתחשבו בנו.


אני חושב שיש טעות בתרגיל שכן,
:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.


בתרגיל מבקשים להוכיח או להפריך שהפונקציה קבועה.


אבל ברור שאפשר להגדיר פונקציה שנותנת כפלט ערך רציונלי כש x ב (a,b) ושנותנת כפלט ערך לא רציונלי
מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/


בכל שאר הישר.(וכך בעצם מתקבלת פונקציה לא קבועה שכן היא משתנה בשלושה מקומות בין הערך הרציונלי לערך האי רציונלי).
אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.


יכול להיות שהשאלה היא האם הפונקציה קבועה בתחום (a,b)?
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf


:הכוונה היא ב(a,b), הרי אנחנו לא יודעים כלום על הפונקציה מעבר לתחום הזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:33, 24 בדצמבר 2010 (IST)
== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==


== משפט ==
מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
תודה.
:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.


האם מותר להשתמש במשפט- <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}= 1</math>?
== שאלה על פתרון שאלה ==
:כן, כמו שרשום לעיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:34, 24 בדצמבר 2010 (IST)


== תרגיל 9 שאלה 6 ==
תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
::אוקי.


נקודות אי הרציפות הן רק בתחום ההגדרה נכון? למשל בסעיף a, הנקודה x=0 יכולה להיות נקודת אי רציפות?
== עזרה בשאלה ממבחן ==
גם אשמח לרמז לגבי איך אמורים למצוא נקודות אי רציפות, כי רוב הפונקציות שמה לא הצלחתי למצוא להן נקודות אי רציפות.
ושאלה אחרונה- לא צריך להוכיח שלפונקציה אין עוד נקודות רציפות חוץ מאלה שמצאתי, נכון?
תודה


===תשובה===
תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
נקודת אי הגדרה, היא בפרט נקודת אי רציפות. יש למצוא את '''כל''' נקודות אי הרציפות, לכן יש להוכיח שהשאר רציפות.


בגדול משתמשים בעובדה שהרכבה וחלוקה של רציפות בנקודה היא רציפה בנקודה, אלא אם המכנה הוא אפס או הפונקציה אינה מוגדרת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:35, 24 בדצמבר 2010 (IST)
:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
:אז לכל אחת מהפונקציות בשאלה אני צריך גם להוכיח שלא קיימות עוד נקודות רציפות? זה לא קצת יותר מדי? בנוסף, אני לא חושב שאני יודע איך מוכיחים רציפות עבור אינסוף נקודות! ולגבי נקודות אי ההגדרה, אז אם פונקציה לא מוגדרת למשל כאשר x<0, אז כל נקודה x<0 היא גם נקודת אי רציפות?
::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
::הסברתי איך מוכיחים. חלוקה או הרכבה של רציפות. זה בדיוק משפט אחד (והרי ידוע על רוב הפונקציות הנתונות מתי הן רציפות ומתי הן מוגדרות). לרוב אנחנו לא נותנים שאלות עם אינסוף נקודות רציפות אבל '''ברור''' שפונקציה אינה רציפה בנקודות בהן אינה מוגדרת... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:23, 24 בדצמבר 2010 (IST)
:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
::::אוקי..


== תרגיל 9- שאלה 2 ==
== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==


הפתרונות אמורים להיות שורה אחת, או שלא הבנתי משהו?
יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
:::::אכן.


:תלוי מה השורה הזו. אפשר להשתמש בגבולות ידועים, במשפטי אריתמטיקה והרכבה וכדומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:38, 24 בדצמבר 2010 (IST)
== רציפות במ"ש ==


== תרגיל 9 שאלה 3 ==
מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)


מהי ה'''הגדרה''' של הגבול של <math>f(2x)-f(x)</math> כש-x שואף לאינסוף לפי קושי? ולפי היינה? והאם מותר להשתמש באריתמטיקה של גבולות?
== קירוב ליניארי ==


:מה זאת אומרת? זו בדיוק אותה הגדרה עבור פונקציה כללית <math>g(x)</math> כאשר מגדירים <math>g(x)=f(2x)-f(x)</math>. מותר להשתמש באריתמטיקה אם אתה יודע את הגבולות של <math>f(x),f(2x)</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:05, 24 בדצמבר 2010 (IST)
היי ארז,


::תודה!
באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....


== כולל אינסוף? ==
איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?


בכל הגבולות שמדובר עליהם בתרגילים האלו, האם זה כולל גבול של אינסוף ומינוס אינסוף?
תודה!


הן בגבולות שאנחנו צריכים למצוא, והן בגבולות שנתון למשל שהגבול שווה ל-a.
:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)


:כשצריך למצוא יוצא מה שיוצא. אם זה מתכנס במובן הרחב לאינסוף יש להראות את זה. גבול בנקודה a הוא גבול בנקודה ממשית ולא באינסוף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:47, 24 בדצמבר 2010 (IST)
== עזרה בפתרון שאלה ==


== תרגיל 9 שאלה 4 ==
שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!


מה זה אומר: "פונקציה ממשית"? היא יכולה לשאןף לאינסוף כש-x שואף לאינסוף?
:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
::תודה.


:פונקציה ממשית היא למעשה הפונקציה העיקרית שאנו מדברים עליה. פונקציה <math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>. בוודאי שהיא יכולה לשאוף לאינסוף, את כל הגבולות של פונקציות הגדרה בכלל על פונקציות ממשיות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:21, 25 בדצמבר 2010 (IST)
== מישפט היינה בורל  ==


== תרגיל 9 שאלה 5 ==
מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


הגעתי לזה שלכל <math>\mu>0</math> קיים <math>\epsilon>0</math> כך ש-<math>0<|f(x)-a|<\epsilon</math> גורר <math>|g(f(x))-g(a)|<\mu</math>,
תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית


וגם לזה שלכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך ש-<math>0<|x-x_0|<\delta</math> גורר <math>|f(x)-a|<\epsilon</math>.
אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)


אז בעצם לכל <math>\mu>0</math> קיימים <math>\delta,\epsilon>0</math> כך ש-<math>0<|x-x_0|<\delta</math> גורר <math>|f(x)-a|<\epsilon</math> וכל מה שאני צריכה זה להשתמש בזה ש-<math>0<|f(x)-a|<\epsilon</math> גורר <math>|g(f(x))-g(a)|<\mu</math>, ומ.ש.ל,
== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==


אבל <math>|f(x)-a|<\epsilon</math> ולא בהכרח <math>0<|f(x)-a|<\epsilon</math>. אז מה עושים??
<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
:{{הערה|חזרתי:}}
{|
{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
  |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
}}
{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
}}
{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
}}
{{=|r=1\cdot e^{-2}
}}
{{=|r=1
  |o=<
}}
|}
:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה


עזרה? תודה מראש!
== בקשה ==


:עלה לי רעיון להפריד למקרים, ונראה לי שזה עובד. אז לא משנה.
שלום רב,
למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
תודה מראש!
:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
::::או, זה יפה ^^


== האם זה מותר? ==
== שאלה אלמנטרית ==


אני לא מצליחה לנסח מתמטית את החוק, אז אתן דוגמה: האם <math>limxsin(1/x)=lim(siny/y)</math>, כש- <math>y=1/x</math>, בגבול הראשון x שואף לאינסוף, ובגבול השני y שואף ל-0?
המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?


כלומר האם מותר להציב y שיהיה תלוי ב-x ולראות לאן הוא שואף...
:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.


ואם כן, אז מהו החוק בניסוח מתמטי?
::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
: מה הבעיה לכתוב ככה? xsin1/x = (sin1/x)/(1/x)h כאן זה ש-x שואף לאינסוף.. אבל הגבול של זה.. שווה לגבול של sinx/x כאשר x שואף ל-0, כי הרי אחד חלקי איקס שואף ל-0... אני לא חושבת שזה ממש חוק.... זה פשוט לשנות את הביטוי למשהו שאת יודעת לעבוד איתו..


::כן, תודה, זה מה שגם אני חושבת, אבל לא הוכחנו שזה מותר, והרי צריך להוכיח כל דבר (אם הוכחנו אפילו ש-<math>0*a=0</math>, אז..). אשמח לתשובת מתרגל/ת.
:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".


:(לא מתרגל)מותר לבצע הצבות בחישוב הגבול באופן הנ"ל על פי משפט שהוכחנו: גבול של פונקציה מורכבת. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 19:52, 25 בדצמבר 2010 (IST)
== חתכי דדקינד ==


==  צמצום פונקציה ==
לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.


האם צריך לנמק שהגבול של <math>(x^2-4)/(x-2)</math> שווה לזה של <math>x+2</math>? (זו סתם דוגמה במקום שאלה כללית) ואיך מנמקים?
שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
:בדיוק איך שהגעת לזה שזה שווה לגבול של x+2... הרי x^2-4 = (x-2)(x+2( j ואז אתה פשוט מצמצם...... ובעצם יוצא שזה שווה ל- x+2
:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
לא הבנתי מה השאלה..


::התכוונתי, האם צריך לנמק שהגבול של הפונקציה אחרי צמצום שווה לגבול המקורי. הרי עבור <math>f(x)=(x^2-4)/(x-2)</math>, <math>g(x)=x+2</math>, טעות להגיד ש-<math>f(x)=g(x)</math>.
::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..


== נקודות אי רציפות==


נאבד לי הדף עם המיון, האם זה:
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...


1. סוג ראשון: קיים גבול מימין ומשמאל אבל הם שונים
== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==


2. סוג שני: לפחות גבול חד צדדי אחד - לא קיים
כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.


3. נקודת סליקה: הפונקציה לא מוגדרת בנקודה זו
למה זה נכון?


אם כך, נקודה אחת יכולה להיות מכמה סוגים?
:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)


: סליקה: הגבולות החד צדדים שווים אבל הנקודה לא מוגדרת או פשוט הערך של הפונקציה בנקודה שונה מהגבול בנקודה, זה שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה לא הופך אותה לסליקה... יכול להיות נקודה ממין ראשון או שני שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה..... ולא, לא יכול להיות שהגבולות החד צדדים בנקודה מסויימת גם שווים גם שונים וגם שאחד מהם או שניהם לא קיימים.... (אני לא בטוחה ב-100% במה שאני אומרת, אבל ככה ניראה לי בכל אופן)
== כלל לופיטל ==


::תודה!!
כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
:למדנו את זה אז כנראה שכן...


== כלל לופיטל ==


===תשובה===
האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?


# סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה אבל שונה מערך הפונקציה בנקודה (או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה)
:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
# מין ראשון - הגבולות החד צדיים קיימים, סופיים ושונים בנקודה
# מין שני - כל אופציה אחרת


== מבחני קושי ודלמבר ==


::סתם מתוך סקרנות, למה לא חיפשת [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%A7%D7%95%D7%93%D7%AA_%D7%90%D7%99_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA בוויקיפדיה]?
מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.


:::שאלה טובה. כנראה כי יצאתי מתוך נקודת הנחה שאני זוכרת את ההגדרות (גם מישהו שדיברתי איתו אמר לי אותו הדבר), אז לא הרגשתי צורך לחפש. אולי מישהו מהפקולטה לפסיכולוגיה ידע להסביר טוב יותר :]
== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==


== תרגיל 9- שאלה 3 ==
צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


L ממשי?
== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==


:ראה קישור: [[http://math-wiki.com/index.php/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.9B.D7.95.D7.9C.D7.9C_.D7.90.D7.99.D7.A0.D7.A1.D7.95.D7.A3.3F]]
מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
לא ענית לי על השאלה. שם ענו על:גבולות שצריך למצוא, גבול בנק' ממשית. אבל לא על גבול כמו ב3.
::כן, תיכוניסט. תודה
:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich


::ציטוט משם: "גבול בנקודה a הוא גבול בנקודה ממשית ולא באינסוף." (תחליף את a ב-L)
== איקס בריבוע ==


בתרגיל 3, L הגבול, לא הנק'.
איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
::תודה.


:אוקיי אז מסתבר שארז לא ענה לי על השאלה ששאלתי שם, טוב שהפנת את תשומת ליבי. אז אני מצטרפת לשאלה שלך!
== שאלה קלה מדי? ==


::L ממשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:58, 25 בדצמבר 2010 (IST)
צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
:מישהו יודע?


== תרגיל 9 שאלה 2 סעיף ג ==
== פתרון של הבחינות ==


אני לא מצליחה אותו, אפשר אולי רמז, כיוון, משהו?
הי ארז,


:גבולות ידועים שהוזכרו פה בפורום כמה פעמים (אפשר להסתכל בארכיון האחרון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:59, 25 בדצמבר 2010 (IST)
ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?


::תודה! מוזר שזה גבול ידוע, לי הוא לא היה ידוע.
אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.
::רגע, זה מותר בכלל לכתוב: <math>lim((f(x))/sinx)=lim(f(x))/lim(sinx)=lim(f(x))/lim(x)=lim((f(x))/x)</math>??


:::לא. אם המכנה שואף לאפס אי אפשר להפעיל אריתמטיקה של גבולות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:47, 25 בדצמבר 2010 (IST)
כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?


== שאלה בקשר לנקודות אי רציפות וגבולות חד צדדיים ==
שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
 
אם אחד מהגבולות החד צדדיים הוא אינסוף, זה נחשב שהוא קיים או לא? לדוגמה אם יש פונקציה עם נקודה שבה אחד מהגבולות החד צדדים ממשי והשני אינסוף (אסימפטוטה), אז זה נחשב נקודת אי רציפות מהסוג הראשון (הגבול קיים) או מהשני (לא קיים)? ואם יש פונקציה שבה משני הצדדים הגבולות החד צדדיים שואפים לאינסוף (החיובי), זה נחשב סליקה כי הגבולות החד צדדיים קיימים או סוג שני? תודה!!
 
:לדעתי, ויכול להיות שאני טועה, הדבר הראשון שאמרת הוא סוג ראשון (אינסוף=קיים), והדבר השני שאמרת הוא סליקה (שוב, אינסוף=קיים).
 
:: אהמ.. ניראה לי דוקא שאם גבול חד צצדי הוא אינסוף זה נחשב שהוא לא קיים.... כי הוא לא ממשי. ואם יש גבול חד צצדי1 ממשי והשני אינסוף זה נקודת אי רציפות מהמין השני... וגם אם 2 הגבולות החד צדדים הם אינסוף זה נקודות אי רציפות מהמין השני... אני לא בטוחה במליון אחוז אבל ב-99 אני כן :)
 
:::ראו למעלה הגדרה - סליקה ומין ראשון זה רק כאשר קיים ו'''סופי'''. אם יש צד אחד בו הפונקציה שואפת לאינסוף אז זה מין שני. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:01, 25 בדצמבר 2010 (IST)
::::תודה.
 
== שאלה כללית ==
 
אם פונקציה קבועה באינסוף נקודות וגם לא מוגדרת באינסוף נקודות. הגבול שלה הוא הקבוע?
 
:תלוי הגבול איפה.
 
באינסוף.
 
:(לא מתרגלת) מה הפונקציה? תלוי בפונקציה, אם <math>f(x)=a</math> לכל <math>x>0</math> ולא מוגדר אחרת, אז באינסוף הגבול הוא a. ואם זה לכל <math>x<0</math>, אז באינסוף הגבול לא מוגדר.
 
נניח שעבור x זוגי ֿ מוגדר ועבור אי זוגי לא.
 
:מה ז"א זוגי, זאת פונקציה, הערכים בתחום לא בהכרח שלמים. ועבור סדרה כזו - הגבול לא קיים.


===תשובה===
===תשובה===
על מנת לדבר בכלל על גבול, דורשים שהפונקציה תהיה מוגדרת. בגבול בנקודה דורשים שהפונקציה תהיה מוגדרת בסביבה מנוקבת, בגבול באינסוף דורשים שהפונקציה תהיה מוגדרת החל מM מסויים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:02, 25 בדצמבר 2010 (IST)
שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.
 
:ואם היא לא מוגדרת ומדברים על גבול בכל זאת? אז הוא לא מוגדר (לא קיים) - לא?
::אז הגדרת הגבול לא מתקיימת = לא קיים
 
== תרגיל 9 שאלה 2 סעיף b ==
 
ההוכחה הבאה תקינה <math>lim_{x->-\infty}x(x-\sqrt{x^2-\pi^3})=-\infty(-\infty-\sqrt{\infty^2-\pi^3})=-\infty(-\infty-\infty)=(-\infty)^2=\infty</math>?
 
:כן, זה בסדר.
 
== תרגיל 10 שאלה 6. C. ==


אורך הקטע הוא b-a נחלק  במספר הקטעים נגיד k ואז אורך כל קטע הוא b-a\k שזה קטן מדלתא. אם נבטא את חלקי הקטע באמצעות קצוותיו אז X1 וX2 יהיו קצות הקטע וx1-x2 (בערך מוחלט) קטן מדלתא. לכן fx1-fx2 (בערך מוחלט) קטן מ-1 שזה בודאי קטן מ-k.
לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.
אבל זה נכון רק לנקודות שהן קצוות של חלק מהקטע כאשר חולק באופן שווה, איך ניתן להוכיח לכל x1 x2 , האם בכלל זה הכיוון?


:ראשית <math>x_1,x_2</math> לא חייבים להיות בקצוות, התנאי בסעיף הקודם אומר שהמרחק בינהם צריך להיות קטן מדלתא, לא שווה לדלתא. שנית, אם המרחק בינהם קטן מפעמיים דלתא, מה אפשר לומר על המרחק בין <math>f(x_1),f(x_2)</math>? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:45, 25 בדצמבר 2010 (IST)
====תשובה====
אוקי, שוב תודה :-)

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון


שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.


מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
גל א.
לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי [math]\displaystyle{ a_{2k+1}-a_{2k-1}\lt 0 \and a_{2k+2}-a_{2k}\gt 0 }[/math], וגם ש [math]\displaystyle{ lim_{n-\gt infinity}a_{n+1}-a_n=0 }[/math]. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב [math]\displaystyle{ lim_{x-\gt 0}(fx/(sin2x)^n) }[/math]. תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.
לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
[math]\displaystyle{ Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n} }[/math] כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.
נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

[math]\displaystyle{ f(x)=xsinx }[/math] ו[math]\displaystyle{ x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0 }[/math] --ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, [math]\displaystyle{ \lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0 }[/math] בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי [math]\displaystyle{ K }[/math] קטע סגור, ויהיו [math]\displaystyle{ \{I_a\}_{a\ in\ A} }[/math] קטעים פתוחים ב-[math]\displaystyle{ \R }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ K }[/math] מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-[math]\displaystyle{ K }[/math] מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי [math]\displaystyle{ S }[/math] קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.
אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

[math]\displaystyle{ \sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}} }[/math]

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
חזרתי:
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 } }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} } }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2} }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1\cdot e^{-2} }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ \lt }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור [math]\displaystyle{ \sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!} }[/math] מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן [math]\displaystyle{ \frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0 }[/math] ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), [math]\displaystyle{ \frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty }[/math]. אח"כ, מכיוון ש-[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1 }[/math] ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה [math]\displaystyle{ A_n/A_{L-\epsilon} }[/math] מוכלת ב-[math]\displaystyle{ (L-\epsilon,L) }[/math]. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
לא התבלבלתי, זה הקבוצה [math]\displaystyle{ A_n }[/math] בלי הקבוצה [math]\displaystyle{ A_{L-\epsilon} }[/math]. תיזכר בסימונים של בדידה.
אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..


http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש<[math]\displaystyle{ e^{(x^2)} }[/math] רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
כן, תיכוניסט. תודה
הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש-[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.
תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)