*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]
=שאלות=
== תרגיל 11 שאלה 2 הערה בקשר למבחן ביום שני ==
בתרגיל 2 הכוונה לרציפות במ"ש בקטע סופי?אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
:אממאשמח אם תתחשבו בנו... שיהיה בקטע כלשהו, זה לא ממש משנה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:21, 29 בדצמבר 2010 (IST)
== שאלה אל רציפות במ"ש ==:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.
פונקציה מחזורית רציפה במידה שווה בגלל שהיא חסומה? האם כל הפונקציות מחזוריות רציפות במ"ש?
:לאמצטרף גם. חסימות . אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא גורר רציפות במ"שהראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה. יש משפט שפונקציה מחזורית שרציפה בכל הממשיים היא רציפה במ"ש. --[[משתמשאפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16http:22, 29 בדצמבר 2010 (IST)//sites.google.com/site/eduardkontorovich/
== שאלה ==אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.
האם ההרכבה של פונקציה מחזורית אל פונקציה שאינה מחזורית היא גם מחזורית?http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
:לא בהכרח. למשל <math>sin(x^2)</math> אינה מחזורית. אבל הרכבה של פונקציה כלשהי על פונקציה מחזורית היא תמיד מחזורית, למשל <math>f(sin(x))</math> מחזורית לכל f. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:35, 29 בדצמבר 2010 (IST)== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?תודה.:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן::יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות == תרגיל 10 סה"כ 108 נקודות.:תהיה שאלה 4 ==על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.
בקשר לזה שצריך שהפונקציה תהיה חסומה מלעיל ומלרע בקטע [0,1) - אז העובדה שהפו' צריכה להיות רציפה גם ב1 עצמו לא סותר את זה שהיא תהיה חסומה? כי כל הפונקציות שאני מוצא שמתאימות לתרגיל, יש להן אסימפטוטות ב0 (שבו שהפו' שואפת למינוס אינסוף) וב1 (שבו הפו' שואפת לאינסוף), אבל העובדה שצריך שהפו' תהיה רציפה גם ב 1 עצמו הורסת את הדוגמאות הנגדיות מכיוון שהפונקציות ששואפות לאינסוף ב1, לא מוגדרות ב1. אפשר עזרה/הכוונה לגבי העניין הזה? תודה!== שאלה על פתרון שאלה ==
תרגיל 10 (http:אתה מתכוון וודאי ל'''לא חסומה''' במקום חסומה//www. זה נכון, בצד של אחד הפונקציה חייבת להיות חסומהmath-wiki. לכן אי com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לקחת פונקציה ששואפת לאינסוף או לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס אינסוף באפס כי שליש, אז אתה מאבד אחד מהם. צריך למצוא פונקציה שגם עולה וגם יורדת באפס1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 2313:3658, 29 בדצמבר 2010 בינואר 2011 (IST)::פונקציה '''רציפה''' שמתכנסת גם לאינסוף '''וגם''' למינוס אינסוף?? (זה לא נשמע כזה הגיוני):::נראה לי שמצאתי פונקציה טובהאוקי. תודה
== תרגיל 11-שאלה 4, סעיף A עזרה בשאלה ממבחן ==
האם הרכבה של פונק' לא רציפה על פונק' רציפהתהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>,בהכרח לא רציפה?וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
===תשובה===:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)ממש ::הבנתי אותך. רק לאהצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, גם לגבי במ"ש וגם רציפות רגילהההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)::::אוקי..
רציפות רגילה: ניקח <math>f=\frac{1}{x},g=1+x^2</math> אזי <math>f\circ g עזרה בשאלה נוספת ממבחן == \frac{1}{1+x^2}</math>
רציפות במ"ש: ניקח <math>יהי n טבעי, נניח f=lnxמוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0,gו f0=ef'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. בקטע תודה מראש:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.:::<math>Lim\frac{f(1,x)}{(sin2x)^n}=Lim\inftyfrac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה lnx רציפה במבמכנה "ש בעוד e^x אינה רציפה במנוחה לגזירה"ש אבל ההרכבה שלהן x רציפה במ"ש. מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?:::::אכן.
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:33, 29 בדצמבר 2010 (IST)== רציפות במ"ש ==
מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n= תרגיל 102\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)- שאלה 6 - סעיף c =f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)
בטוח שצריך להיות קטן שווה ולא קטן ממש? (בכל מקרה, תמיד מותר לי להגיד שאם a קטן ממש מ-b הוא גם קטן שווה ל-b, נכון?)== קירוב ליניארי ==
:כן, זה לא משנה, מה שקטן ממש הוא בפרט קטן שווה. --[[משתמש:ארז שיינר|היי ארז שיינר]] 23:37, 29 בדצמבר 2010 (IST)
== תרגיל 11 שאלה 1 ==באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....
אפשר כיוון/ דרך לפתרוןאיך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה? חשבתי על זה הרבה ואין לי שמץ של מושג מאיפה להתחיל אפילו..
:מה יכולים להיות ההפרשים בציר y אם הפונקציה שואפת לגבול מסוים? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:40, 30 בדצמבר 2010 (IST)תודה!
== תרגיל 10 שאלה 2 ==:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)
שאם אפשר להשתמש בכך שאפשר לחלק כל פונקציה רציפה לקטעים בהם היא מונוטונית?\== עזרה בפתרון שאלה ==
:הצלחתי גם בלי זהשאלתי את השאלה קודם, אבל בכל מקרה, זה בסדר?::דבר ראשון אך אני לא בטוח מאיפה המשפט הזה ובאיזה תנאים הוא שהפתרון שנתנו לי נכון אם בכלל. שנית, אני לא רואה את הקשר לתרגיללכן אבקש, זה תרגיל למשפט ערך הבינייםארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. --הנה השאלה [[משתמשhttp:ארז שיינר|ארז שיינר//math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]] 19:14, 1 בינואר 2011 (IST). תודה!
:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| == תרגיל 10 שאלה 7 ==\limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)::תודה.
האם צריך להוכיח דברים שקשה מאוד להוכיח אותם כגון בסעיף ב' שהפונקציה שואפת לאינסוף מהכיוון החיובי כאשר X שואף ל 2^(nPie) מהכיוון החיובי? או שאפשר להגיד את זה?== מישפט היינה בורל ==
מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה:זה לא קשה מאד להוכיח. אפשר להשתמש במשפט שאם פונקציה חיובית ושואפת לאפס אז אחד חלקי הפונקציה שואף לאינסוף. "יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:ארז שיינרGordo6|ארז שיינרגל א.]] 21:53, 3 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 10- שאלה 2 ==תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית
אפשר בבקשה כיוון/רמז?אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות:מצטרף לבקשה::(רמז לא ממתרגל) אתה נדרש להוכיח שקיים "תהי <math>a</math> עבורו <math>f(a)=\frac{1}{a}S</math>קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. מהי הפונקציה הכי פשוטה עליה אתה מסוגל לחשוב בה <math>h(a)=\frac{1}{a}</math>? בנה בעזרת שתי אלו פונקציה אחרת כך שהפונקציה תתאפס בנקודה שתעזור לך להוכיח את הדרוש (הראה כי הפונקציה אכן מתאפסת!)אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]::רמז אחר (גם אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא מתרגל): משפט ערך הביניים אומר שלכל ערך '''קבוע''' (שאינו תלוי במקור) בין <math>f(0)לומד אצלו, f(2)</math> יש מקור בין 0 ל-2. שנה ייתכן שהמרצה שלך ניסח את הפונקציה כך שתצטרך למצוא מקור לערך קבוע במקום ל-<math>\frac{1}{a}</math>זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים. נ"ב:: מתי עזרה עוברת את הגבול המותר והופכת למתן תשובה? כלומר, עד כמה מותר לנו לעזור אחד לשני:בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?:::ברגע שהקורא לא תופס רעיון אלא מעתיק את השורות אחת לאחת. :אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 2119:4326, 1 30 בינואר 2011 (IST)
== רציפות פונקציה עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
האם פונקציה רציפה היא פונקציה מונוטונית <math>\sum \frac{(לא עולה/לא יורדת2n) ולהפך - מונוטונית היא רציפה?תודה!}{(2n)^{2n}}</math>: פונקציה מונוטנית היא רציפה אם אין לה שום נקודת אי רציפות, ופונקציה רציפה {{לא בהכרח מונוטינית (דוגמא: x^2)... מתרגל}} מתכנס, אני משארת שהתכוונת לשאול על רציפות במ"ש אבל גם אז.. פונקציה מונוטונית אומנם רציפה במידה שווה אבל פונקציה אשר רציפה במידה שווה לא מונוטונית בהכרח..מיד אכתוב למה.:{{הערה|חזרתי:לעניות דעתי פונקציה מונוטונית אינה בהכרח רציפה במ"ש כפי שכתבת, אפילו אם היא רציפה. לדוגמה הפונקציה שנתת x}}{|{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2 בקטע R} }{(2n)!/(2n)^{2n} } |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+. [[משתמש:לידור.א.1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }}}{{=|-לידור.א.-]] 22:30, 31 בדצמבר 2010 r=\lim\left(IST\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right):::מונוטונית ממש לא חייבת להיות רציפה במ"ש, הרי רציפות במ"ש מתרחשת כאשר יש חסם על מהירות הפונקציה. אם היא שואפת ממש מהר לאינסוף היא לא תהיה רציפה במ"ש. להפך, אם פונקציה רציפה במ"ש היא יכול להיות מחזורית כמו סינוס }}{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(למשל\left(1+\frac1n\right) ולכן לא חייבת להיות מונוטונית. ^n\right)^{-2}}}{{=|r=1\cdot e^{-[[משתמש:ארז שיינר2}}}{{=|ארז שיינר]] 19:16, r=1 בינואר 2011 |o=<}}|}:והודות לד'אלמבר הטור (ISTשהוא טור חיובי)מתכנס. {{משל}}פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה
== תרגיל 11 שאלה 4 בקשה ==
האם כשאני שולל רציפות במ"ש של פונקציה לפי נגיד זה שהיא שלום רב,למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdfתודה מראש!:{{לא רציפה בחלק מהתחוםמתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אני צריך לתת דוגמא של של סדרות כדי להפריך רציפות במאבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.{{משל}}::::או, זה יפה ^^
:לא, יש משפט לפיו רציפה במ"ש היא רציפה בכל נקודה. אם היא לא רציפה בנקודה מסוימת אז היא לא רציפה במ"ש בגלל המשפט. אם היא לא מוגדרת באיזו נקודה, אז ממש ברור שהיא לא רציפה במ"ש (כי ההגדרה של רציפה במ"ש דורשת מוגדרות). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:37, 1 בינואר 2011 (IST)== שאלה אלמנטרית ==
== משפט ערך הביניים ==המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?
הוכחנו אותו עבור פונקציה רציפה בקטע סגור:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. האם אז אם הוא נכון גם עבור פונקציה רציפה בקטע פתוח?זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
בהוכחה, נראה שלנתון הזה שהקטע סגור יש משמעות, כי השתמשו בלמה של קאנטור (::זה נכון עבור קטעים מקוננים)שלמים, ובה חשוב שהקטעים הם סגורים - ושוב, אני אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא רואה של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את החשיבותab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, גם בלמהלכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a.--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
===תשובה===בוא תנסה לנסח את המשפט בקטע פתוח, ואז לחשוב לבד אם הוא נכון, זה תרגיל קל (גם עשינו אותו בכיתה פחות או יותר). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:39, 1 בינואר 2011 (IST):ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
:הבנתי את הבעיתיות. אם a ו-b הם הקצוות של הקטע הפתוח, אז קודם כל, לא בהכרח קיים <math>f(a)</math>. אם הוא קיים, יכול להיות שהוא מאוד רחוק משאר התמונות של הפונקציה, כי לא נתון שהיא רציפה שם.::יפה. יותר מזה, לא נתון האם בכלל קיים גבול חד צדדי שם. קח למשל את <math>sin(\frac{1}{x})</math>. איך תנסח את המשפט לגביו בקטע (0,1)? אפשר לנסח משפט על הקטע הפתוח כאשר הגבולות החד צדדיים קיימים. מוכיחים את המשפט באמצעות לקחת קטע סגור המוכל בקטע הפתוח, שקצותיו רחוקים מרחק אפסילון מקצות הקטע המקורי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:39, 1 בינואר 2011 (IST):::משהו כמו: "תהי f פונקציה רציפה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי לכל <math>f(c)<D<f(e)</math> (קטן-שווה) קיים d בקטע <math>(a,b)</math> כך ש- <math>f(d)=D</math>, כאשר לכל <math>\epsilon>0</math> מתקיים <math>|f(c)-f(a)|<\epsilon</math> וגם <math>|f(b)-f(e)|<\epsilon</math>"? יש למשפט הזה שם? אפשר להשתמש בו?::::לא לא. לא הזכרת כלל את הגבולות החד צדדים, ואני בתיאור שלי דברתי על ההוכחה ולא על המשפט. המשפט לדוגמא יהיה: תהי f מוגדרת בקטע (a,b) כך ש <math>\lim_{x->a^+}f(x)=m</math> וגם <math>\lim_{x->b^-}f(x)חתכי דדקינד =l</math>, אני לכל <math>l<d<m</math> קיימת נקודה c בקטע הפתוח (a,b) כך ש <math>f(c)=d</math>. ההוכחה היא באמצעות הקטנת הקטע באפסילון '''מסויים''' מכל צד. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 02:20, 2 בינואר 2011 (IST)::::אגב, אם לכל אפסילון מתקיים <math>|a-b|<\epsilon</math> אז '''בהכרח''' מתקיים a=b. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 02:20, 2 בינואר 2011 (IST):::::אמממ.. אוקיי (לגבי המשפט). למה מתקיים a=b? ואם ככה, אז איך מבטאים את "המספר הקרוב ביותר שיש" ל-a? נניח שיש לי קטע (a,b) ואני רוצה לבטא את האיבר ה"ראשון" שבתוך הקטע הזה - למרות שברור שהוא לא קיים באמת.::::::נו, אני לא מבין את השאלה. אם ברור שהוא לא קיים, איך אפשר לבטא אותו? אין סימון לדברים שאינם קיימים, ואין מספר קרוב ביותר. מתקיים a=b מהסיבה שהמספר '''היחיד''' שקטן מכל גודל חיובי הינו אפס. היה לכם תרגיל כזה בהתחלת השנה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:56, 5 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 10 לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה 7 b ==על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.
מותר לעשות קירוב על פי טורי טיילור עבור x->0שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"?אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?::::לאהתבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.:::::אוקי.. אבל אני לא למדנו טורי טיילור בקורסרואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה-כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-[[משתמש:ארז שיינר" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|ארז שיינר]] 19:39A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, 1 בינואר 2011 וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (ISTחתך)חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..
== צריך להסביר? ==
בתרגיל 10, שאלה 4 מצאתי פונקציה <math>f(x)<http:/math> כך שקיימת תת סדרה <math>\{a_n\}\subset\mathbb R</math> שעבורה <math>\lim_{n\to\infty}f(a_n)=\infty<dl.dropbox.com/math> וסדרה <math>\{b_n\}\subset\mathbb R<u/math> שעבורה <math>\lim_{n\to\infty}f(b_n)=-\infty<2237179/math>infi1dedekind. זה מספיק מפורט כדי להסביר ש-<math>f(x)</math> אינה חסומה מלעיל ואינה חסומה מלרעpdf:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.'''מי כתב את הפתרון הזה? '''::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודהשיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...
:(לא מתרגלת) אבל היא אמורה להיות לא חסומה מלעיל ולא חסומה מלרע בקטע [0,1)...== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==
::את צודקת, אז מה אם אני מפרט גם כתוב בפיתרון לשאלה 5.גש-<<math>\e^{a_n\},\{b_n\}\subset(0,1]x^2)}</math>?רציפה במ"ש.
:כן, למה זה בהחלט מספיק ישירות מההגדרה של חסימות (הסדרות מוכיחות שאין חסם). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:41, 1 בינואר 2011 (IST)נכון?
== <span dir=:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ltr">log(x)=log<sub>10</sub>(x) או lnש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (xIST)?</span> ==
רק ליתר ביטחון, כשכתוב בש"ב log הכוונה היא ל-ln או ל-log<sub>10</sub>? או שזה בכלל log<sub>2</sub>?== כלל לופיטל ==
כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?:לא מתרגלת: log בלי בסיס למדנו את זה אומר בסיס 10אז כנראה שכן.::[http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x%29 לא תמיד].
== כלל לופיטל ==
:::אצל זלצמן Log הוא תמיד lan. אבל זה באמת לא משנה לאף תרגיל באופן מהותי, כי הרי ההבדל בין בסיסים שונים של הלוג הוא סההאם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"כ כפל בקבוע. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:40, 1 בינואר 2011 (IST)ש של פונקציה?
== פונקציה לא רציפה במ"ש ==:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
יש דרך לדעת בקלות שפונקציה היא לא רציפה במ"ש? לדוגמה, הייתי בטוח ש fx=x^2 היא רבמ"ש, אבל מישהו כאן אמר שהיא לא. איך יודעים?תודה:[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%A4%D7%95%D7%AA_%D7%91%D7%9E%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%94 ראה בוויקיפדיה]. אולי יעניין אותך לדעת שפרופ' [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] תרם לערך כ-1,400 בתים מתוך ה-12,800 שהוא כולל.= מבחני קושי ודלמבר ==
מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.
== תרגיל 12 חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==
האם יש אפשרות שיפורסם בהקדם האפשריצריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? בשבוע שעבר פורסם תרגיל 11 רק ביום שלישי(תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, דבר שיצא מאוד האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא נוח מכיוון שכל הזמן של יום שני בו אפשר לפתור את התרגיל בעצם הופך לזמן "מת".זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?:מצטרפת::יפורסם היום בערב --הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:ארז שיינרGordo6|ארז שיינרגל א.]] 12:21, 3 בינואר 2011 (IST)
== בחינות משנים קודמות [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
שלום רב,לקראת הבחינה הקרבה ברצוני מספר תעודת הזהות שלי (וברצונם של אחרים שדיברתי איתם312491822) לעשות שאלות חזרה מבחינות קודמות, ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום... האם יש סיכוי להעלות לכאן בחינות קודמות (עדיף עם פתרונות, אבל אפשר גם בלי) כדי שנוכל לתרגלאתם יכולים לבדוק את זה?תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]רבה: אתה מוזמן להסתכל באתר www.studenteen.org, בו יש בחינות משנים קודמות גם באינפי 1יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.::מכיר את האתר וראיתי את הבחינות שבוכן, תיכוניסט. ובכל זאת, ברצוני לשאול האם קיימות בחינות קצת יותר מעודכנות, ובמידת האפשר האם אפשר להעלות בחינות עם פתרונות? תודה מראש.:::אני (ארז) לא אספק עוד בחינות ופתרונות פרט לבחינה הציונים של זלצמן שמימלא נמצאת כבר ברובה בשיעורי הביתהתיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites. מומלץ לבקש בחינות מהעבר ישירות מהמרציםgoogle. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:42, 3 בינואר 2011 (IST)com/site/eduardkontorovich
== שלילת רציפות במ"ש איקס בריבוע ==
אני רוצה לבדוק את עצמי: האם שלילת רציפות במ"איך מוכיחים ש (בקטע) אומרת שקיים אפסילון גדול מאפס שבשבילו לכל דלתא גדול מאפס ול-x1,x2 מסוימים (קיימים) כך ש אם |x1-x2|<דלתא אז |fx1-fx2|math>x^2<אפסילון /math> לא רציפה במ"ש?תודה!.:({{לא מתרגלת) אני חושבת שזה צריך להיות גדול או שווה אפסילון.::צודקת, גדול שווה אפסילון --מתרגל}}ראה [[משתמשמדיה:ארז שיינר10Infi1Targil8Sol.pdf|ארז שיינרפתרון תרגיל 8]] 23, שאלה 9.:47, 4 בינואר 2011 (IST):תודה.
== תרגיל 12 שאלה 4 קלה מדי? ==
האם צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להתייחס לlog בתור ln?:אצל זלצמן log אם"ם ln --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:41להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, 3 בינואר 2011 ואז הטור an + הטור bn מתכנס (IST*)::(מישהו אחר) - אז רק כדי לוודא, בשאלה 4לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, האם הבסתירה. אבל ב-log שם הוא ln? אני לא סטודנט של זלצמן (תיכוניסט*)הזזנו את המקום של אינסוף איברים, מה שרלוונטי לי כרגע האם בשאלה זה ln או log10, כי אני עדיין ולכן ההוכחה לא סגור על זהמספיקה.:::'''רק ln''' --מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[משתמששיחה:ארז שיינר88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארז שיינרארכיון 15]] 13):23, 5 בינואר 2011 (IST)מישהו יודע?
== לגבי הפתרון פתרון של תרגיל 10, שאלה 7, ג' הבחינות ==
השאלה שהייתה בשיעורים (לא במבחן):הי ארז,
נכון, לפי היינה הגבול ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא קיים, במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל זה יכול להיות גם סוג ראשון מה עם הפתרון לשאלות 3 ו- גבולות חד צדדיים קיימים ושונים. צריך לבדוק את האפשרות הזו, לא6 בבחינה שלו? אני מפספספת משהוהן היו שאלות של ציטוט משפטים?
:לא קיים גבול חד צדדיאגב, הרציונאלים זה לא "צד". גבול חד צדדי ימני זה אם לכל הסדרות <math>x_0<x_n\rightarrow x_0</math> מתקיים <math>fאולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (x_n)\rightarrow L</math> אז הגבול החד צדדי הימני הוא L. זה ממש לא המצב פה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:42שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 בינואר 2011 (ISTשל הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.
כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם::אז בעצם במהלך הבדיקהבשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, הוכחת שיש גבול חד צדדי שלא קיים?:::שני הגבולות החד צדדיים אבל זה כמובן לא קיימיםנכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. רק צריך להחליף שם בפתרון את <math>x_n\neq x_0</math> ב<math>x_n>x_0</math> (או קטן) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:57, 5 בינואר 2011 (IST)האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?
== הוכחת רציפות במידה שווה == בתרגיל 11, באילו משפטים שמשמשים להוכחת או שלילת רציפות במידה שווה מותר להשתמש? אפשר לקבל רשימה של המשפטים האלו? שוב תודה על פרסום הפתרונות (וראיתי כבר את הערך בויקיפדיה - האם מותר להשתמש בכל המשפטים שכתובים שם?במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו) עוד דבר, רק לוודא - אם צריך להוכיח רציפות במידה שווה בקטע פתוח, אז אפשר להוכיח רציפות בקטע אחר, סגור - שמכיל אותו, ואז היא רציפה במידה שווה בקטע הגדול, ולכן גם בקטן, נכון?.
===תשובה===
תלוי מה למדתם בהרצאה ובתרגיל שלכם. וכןשאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, אם יש רציפות במ"ש על A אז יש רציפות במ"ש בכל קטע המוכל בA. שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:19, 5 בינואר 2011 (IST) :תודה. אבל לא למדנו שום דבר שימושי לזה... רק שאם פונקציה רציפה בקטע סגור אז היא רציפה במידה שווהכתבתי להן פתרונות, ואת ההגדרה. להוכחה:* המשפט הראשון בתרגיל, שניתן להכליל אותו כך: תהי פונקציה רציפה בקטע A (גם כמו כן לא סופי). אם יש לה גבולות סופיים בקצות הקטע (גם אם קצה הקטע הוא אינסוף) אזי היא רציפה במ"ש בקטע.* פונקציה מחזורית שרציפה כתבתי פתרון לשאלה על כל הממשיים - רציפה במ"ש בכל הממשייםחתכי דדיקינד.* הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש. (יש לשים לב שהפונקציה החיצונית רציפה במ"ש על התמונה של הפנימית, למעשה).* סכום של רציפות במ"A הינה רציפה במ"ש (אבל כפל לא - x^2=xx).* אם הנגזרת של פונקציה חסומה בקטע אזי הפונקציה רציפה בו במ"ש לשלילה: *אם קיים <math>\epsilon > 0</math> וקיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n \in A</math> המקיימות: <math>|x_n-y_n|\rightarrow 0</math> וגם <math>\forall n: |f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon</math> אזי הפונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A.*אם פונקציה אינה חסומה בקטע '''סופי''' אזי היא אינה רציפה בו במ"ש.*אם פונקציה אינה רציפה או אינה מוגדרת בקטע היא אינה רציפה בו במ"ש. == שאלה (קשור לרציפות) ==
זה נכון שלכל פונקציה רציפה בקטעלגבי 5ג, לדוגמה (אינסוף,a) כך שהפונקציה לא שואפת לאינסוף בגבולות (גם כשאיקס שואף לאינסוף אז הפונקציה רק שואפת למספר סופי וכו') אז לכל סדרה x_n מתקיים צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש f(x_n) חסומה ( ולכן קיימת תעל כל הממשיים, אלא רציף במ"ס x_n_k כך ש f(x_n_k) מתכנסת)? ואם בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה נכוןהערך המוחלט ותמונתו <math>[0, צריך להוכיח את \infty)</math> ולכן זה?תודהפתרון תקין.
:מה זה כו'? במתמטיקה מדייקים, לא אומרים וכו'. אם הפונקציה חסומה (וזה לא נובע בהכרח מזה שהיא לא מתכנסת לאינסוף) אז מה שרשמת נכון. כמו כן, אין לזה קשר לרציפות. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:21, 5 בינואר 2011 (IST)====תשובה====::אם מתקיימים התנאים בשאלה 1 תרגיל 11אוקי, זה נכון?????שוב תודה :::איך זה יעזור שם למצוא תת סדרה מתכנסת? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:14, 5 בינואר 2011 (IST)::::הוכחנו בהרצאה בעזרת ת"ס מתכנס שפונקציה היא רציפה במ"ש כאשר נתון שהיא רציפה בקטע הסגור [a,b]. חשבתי להשתמש בהוכחה דומה מאוד לזאת שעשינו בכיתה רק בהתאמה לתנאי השאלה הנתונה, ולכן אם אני לא טועה, אז תנאי השאלה צריכים להביא לת"ס מתכנסת ובכך לפתרון נכון של השאלה.:::::המממ... אני לא בטוח לגבי הכיוון הזה, לצערי אני לא מכיר את ההוכחה שציינת. אני מנחש שהרעיון שם הוא שx_n_k עצמה מתכנסת, ומכיוון שפה התחום הינו אינסופי זה לא יעזור. תנסה להבין מה העובדה שהפונקציה מתכנסת באינסוף אומר על ההפרשים בציר הy. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:39, 5 בינואר 2011 (IST)