*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]
=שאלות=
== הערה בקשר למבחן ביום שני ==
אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
אשמח אם תתחשבו בנו.
== שאלה :מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על פתרון לתרגיל ==השאלה לגבי חתכי דדקינד.
http://math-wiki.com/images/b/b5/10Infi1Targil11Sol.pdf פה, תרגיל 11, בשאלה 1, כתבת:
"כפי שראינו בכיתה, ניתן להשלים את f לפונקציה רציפה בקטע הסגור a M [ , 1] ולכן היא רציפה שם במ"ש". תוכל להרחיב בנושא? ניתן להוכיח את התרגיל בלי לעשות טריקים כאלה של השלמה?
וגם, בקטע עם דלתא, כתבת "ניתן לבחור 1>ל>0". למה? איך יודעים מהו דלתא? וגם למה צריך את זה? אפשר להוכיח את הקטע הזה בדרך אחרת ע"י השימוש בזה שהגבול בa מימין קיים, ולהראות ש-f רציפה במ"ש ב <math>(a,M]</math>?
:יש לה אי רציפות סליקה בa ולכן ההשלמה הזו זה סילוק אי הרציפות על ידי הגדרת הערך של הפונקציה בa להיות הגבול שם מימיןמצטרף גם. לגבי הדלתא, אם משהו נכון עבור דלתא גדול מאחד, הוא בוודאי נכון לכל דלתא קטן מאחד. אנחנו עושים את זה על מנת שלא יצאו אין לנו שתי נקודות כך שאחת בקטע האינסופי ואחת בקטע הסופי (לכן יש חפיפה בינהם)מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה. --[[משתמש. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:24, 24 בינואר 2011 (IST)http::כמה שאלות: -למה לפונקציה אי רציפות סליקה בa? למה אם משהו נכון עבור דלתא גדול מאחד, הוא נכון גם לדלתא קטן מיוחד (כפי שאני רואה את זה- אם x<d=2 אז לא בהכרח x<1)? -בשביל מה הקטע החופף? בשביל שיהיה "אותו דלתא" גם אם x שייך לקטע האינסופי וגם לסופי? אבל בקטע האינסופי אין בכלל דלתא! תודה//sites.google.com/site/eduardkontorovich/
:::כי יש לה גבול סופי בa זו ההגדרה של אי רציפות סליקה. אמנם זה חד צדדי, אבל זה מספיק כי זה קצה הקטע (פונקציה רציפה ב[a,b] אם היא רציפה בקטע הפתוח וקיימים לה הגבולות החד צדיים בקצות הקטע ושווים לערך הפונקציה שם). הכוונה היא שאם קיים דלתא (נניח 2) כך שלכל איקס שקרוב לאיקס אפס עד כדי דלתא משהו קורה, בפרט המשהו הזה קורה לכל איקס שקרוב לאיקס אפס עד כדי דלתא קטן יותר (נגיד אחד) כי זה אפילו קרוב יותר. יש חפיפה על מנת שלא יהיו x_1,x_2 כך שאחד מהם בקטע אני חושב שכמעט אף אחד והשני בקטע השני ואז ההוכחה בקבוצה לא תהיה תקיפה לגביהםיודע לפתור תרגילים כאלה. --[[משתמש.:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:09, 24 בינואר 2011 ואם מישהו יודע (ISTולא נראה לי)::::2 דברים- לא הבנתי את הקטע של עד כדי דלתא, בד"כ (בפרט בהוכחה של רציפות במ"ש צריך להוכיח שאם משהו (ברציפות במ"ש |x1-x2|<דלתא) אז קורה משהו (..קטן מאפסילון) ופה אם משהו נכון לדלתא כלשהו הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא בהכרח נכון לדלתא קטן יותר (אז לא הבנתי נכון את הכוונה)מכירה. דבר שני, לגבי יש חפיפה על מנת שלא יהיו x_1,x_2 כך שאחד מהם בקטע אחד והשני בקטע השני ואז ההוכחה לא תהיה תקיפה לגביהם"- אבל בפועל כן יכולים להיות 2 איקסים שאחד בקטע ובשני לא, אז אם ההוכחה לא תקפה לגביהם, היא לא נכונה עבורם- ואז לא נכונה תמיד?:::::בגלל שדלתא קטן מאחד, לא יכולים להיות שני איקסים במרחק אחד שלא מוכלים שניהם באחד הקטעים. לגבי הדלתא: אם לכל <math>|x-y|<2</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon</math> בוודאי נכון לומר שלכל <math>|x-y|<0.5</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 24 בינואר 2011 (IST)
== שאלה קודמת (טור) ==http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
עדיין לא הבנתי פתרון לשאלה ששאלתי וכעת שייכת לארכיון - [[http://math-wiki.com/index.php/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/_%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%95%D7%9F_14#.D7.98.D7.95.D7.A8]]תודה!:אני לא יודע מה הקשר לקטן או גדול זה עניין של גבול. אם <math>\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L > 0</math> אזי הטורים a_n וb_n מתכנסים יחדיו (חברים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:41, 24 בינואר 2011 (IST)::וואו, לא היה זכור לי משפט כזה, מזל ששאלתי. תודה:::אני לא יודע אם זה בדיוק משפט. פשוט מבחן ההשוואה השני נובע מזה בקלות - קיים אפסילון כך ש<math>L-\epsilon>0</math> והחל משלב מסויים מתקיים <math>L-\epsilon < \frac{a_n}{b_n} < L + \epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:29, 24 בינואר 2011 (IST)== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?תודה.:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן::יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות == סה"כ 108 נקודות.:תהיה שאלה 1 מועד על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.:[[משתמש:Gordo6|גל א 2007 .]]::לא בדיוק - גם בקבוצה של זלצמן ==שיין לופיטל בחומר.
תהי <math>{an}</math> סדרה כך ש <math>lim( an )= a</math> ו <math>lim (-1)^n an = b</math> הוכח: <math>aשאלה על פתרון שאלה =b=0</math>
אשמח תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם מישהו יגיד לי אם פתרתי נכוןf חסומה בין שליש למינוס שליש, כי אני אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא כלכך בטוח בכךבהכרח רציפה!:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)::אוקי.
פתרון:== עזרה בשאלה ממבחן ==
נניח תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>anlim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math> סדרה חיובית (בהמשך נוכיח לגבי סדרה שלילית וסדרה מעורבת או שאני אגיד שבאופן דומה אפשר להוכיח.הוכח שהסדרה מתכנסת.)תודה!
ידוע שהסדרה <math>an</math> שואפת לגבול a :יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן נכתוב לפי הגדרת מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)::::אוקי..
<math>|a_n-a |< \varepsilon|</math>== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
לכן גםיהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?:::::אכן.
<math> | a_{2n} - a |<\varepsilon </math>בנוסף,== רציפות במ"ש ==
ניתן לתאר את הסדרה מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k})^na_n+ \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> בצורה הבאה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)
<math> b_2n=-a_1+a_2-a_3+a_4...-a_{2n}-1+a_{2n}</math>כלומר:= קירוב ליניארי ==
<math>b_2n=(a_2-a_1)+(a_4-a_3)...+(a_{2n}-a_{2n-1})</math>היי ארז,
באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....
כלומר:איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?
<math> | a_{2n}-a_{2n -1} - b |<\varepsilon </math> לפי הנתון.תודה!
היות ו<math>a_n</math> חיובית:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, נוכל לרשוםעניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (כמסקנה מהמשוואות עד עתהיש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הדבר הבאהפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)
<math>|a_{2n-1} - b|<\varepsilon+ a_{2n}</math>== עזרה בפתרון שאלה ==
ולכן שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!
:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math> \lim |-a_{2n-n_{k+1}} - b|=|a_{2n-1n_k}+b|< = \varepsilon + a_{2n}< 2limsup - \varepsilon +aliminf \neq 0</math>בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)::תודה.
ולכן == מישפט היינה בורל ==
מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה:"יהי <math> |a_K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{2n-1I_a\}+b-_{a|\ in\ A}< 2/math> קטעים פתוחים ב-<math>\varepsilon R</math>כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
הגבול של <math>a_n</math> של <math>a_{2n}</math> ושל <math>a_{2n-1}</math> הוא אותו גבול תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית
ולכן אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות:"תהי <math>b-a=-aS</math>קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]<math>b=0</math>::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)
הצלחתי להגיע עד לפה. אשמח לדעת אם הפתרון שי עד לפה בסדר, ואם הוא טוב אז איך ממשיכים== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
===פתרון נוסף===<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>:{{לא מתרגל}} נראה לי שזה בסדר מה שעשיתמתכנס, אבל אני לא כל כך רואה איך אפשר להכליל את מה שעשית לסדרות אחרות, אשמח גם אני להסברמיד אכתוב למה.בכל אופן אני פתרתי את זה בדרך אחרת, אשמח למשוב:{{הערה|חזרתי:}}הסדרה <math>b_n</math> היא מהצורה <math>-a_1,a_2,-a_3,a_4,...</math>. ידוע שהיא מתכנסת לגבול <math>b</math> ולכן כל תת סדרה שלה תתכנס לגבול זה.{|אם נתבונן בתת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים נקבל שהיא שואפת ל-<math>b<{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/math> אבל באותו אופן גם ל-<math>a</math> (עפ"י נתון התכנסות הסדרה <math>a_n<2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/math>(2n) ולכן <math>a^{2n} } |r=b</math>.\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }אם נתבונן בתת הסדרה של האיברים במקומות האי זוגיים נקבל שהיא שואפת ל-<math>b</math> וגם ל<math>-a</math> ולכן <math>b}}{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)}}{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-a</math>.2}נפתור מערכת משוואות ונקבל ש}}{{=|r=1\cdot e^{-<math>a2}}}{{=b|r=1 |o=0</math>}}|}:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס.{{משל}}פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה
איך הפתרון הזה? תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]== בקשה ==
שלום רב,למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdfתודה מראש!:{{לא מתרגל}}יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!:::{{התנגשותלא מתרגל}} לא יודע לגבי ההוכחה הזו הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (אני יודע להוכיח את הטענות האלה4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), אבל ההוכחות לא מסתדרות עם ההסברים שלך. אולי התבלבת עם הפלוסים והמינוסים?לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), אבל ראה<math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</י שאלה 7 ב[[מדיה:10Infi1Targil3Solmath>.pdf|תרגיל 3]אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.{{משל}}::::או, זה יפה ^^
== התכנסות שאלה אלמנטרית ==<math>(-1)^n ( sin(n!))/n^(3/2) </math>האם בגלל שהטור שואף ל0 זה מספיק כדי להגיד שתנאי לייבניץ מתקיים והוא מתכנס בתנאי?:{{לא מתרגל}} לא. לשם כך תצטרך/י להראות גם ש-<math>\frac{\sin(n!)}{n^{3/2}}</math> היא סדרה יורדת, מה שבוודאי אינו נכון. עם זאת, אפשר להראות שהטור מתכנס בהחלט: <math>0<\frac{|\sin(n!)|}{n^{3/2}}\le\frac{1}{n^{3/2}}</math> ובעזרת מבחן ההשוואה התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}</math> גוררת שהטור מתכנס. {{משל}}
== כלל לופיטל ==המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?
כאשר :גם אני עושה חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את הנגזרת כל הגורמים של המונה חלקי המכנהp, מותר לי להתעסק עם השבר ולהעביר ביטויים מהמכנה למונה?פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
ואם נאי מעביר ביטויים מהמונה למכנה::זה נכון עבור שלמים, כמו צמצום וכד' אז מותר לי להמשיך אחרי אחרת אין משמעות לזוגי. זה בגזירה?נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
:{{לא מתרגל}} אחרי הגזירה - מותר, לפני - רק אם זה עדיין <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
== חתכי דדקינד ==
== מבחן ההשוואה ה2 ==לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.
יוצא שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי שאם ניקח לדוגמא: an = 1/n^2 ו bn = n אז נקבל שהחילוק בינהם מושג לאיזה פתרון הואמצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http:an / bn /sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d= 1/n^3 והוא חסום בין בבקשה ותודה רבה מראש!:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 ל0. אזי אמורים להסיק שהטורים מתבדרים ביחד(הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", מה שכמובן אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא נכוןאמרתי כלום בפתרון הזה.)
אפשר קצת חידוד בנושא מבחן השוואה השני::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..
:לא יודע איך קיבלתם את מבחן ההשוואה בכיתה שלכם, אבל אצלנו (ד"ר הורוביץ) הוא ניתן כך:
אם <math>a_n/b_n -> L</math>אז אם <math>b_n</math>∑ מתכנס אז <math>a_n</math>∑ מתכנס. אם <math>L>0</math> אז יתקיים שהטורים מתכנסים ומתבדרים יחד.
גרסה זו היא בהנתן טור חיובי.
מקווה שעזרתי! [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
== שאלה לגבי גבולות ==http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.'''מי כתב את הפתרון הזה?'''::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...
מתי מותר לכתוב אם בכלל?== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==
כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.
<math>\lim_{x\to x_0}{f(x)} = f(\lim_{x\to x_0}x)</math>:{{לא מתרגל}} כאשר f רציפה. שים/י לב שזה אותו דבר כמו <math>\lim_{x\to x_0}{f(x)} = f(x_0)</math>.למה זה נכון?
בשאלה ששואלים אותי <math>f</math> :זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה בהכרח ב <math>x_{0}</math>במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)
ומה קורה אם הפונקציה רציפה בכל הממשיים פרט ל<math>x_{0}</math>:{{לא מתרגל}}אם היא לא רציפה ב-<math>x_0</math> אז זה בהכרח לא נכון, כי אם <math>\lim_{x\to x_0}{f(x)} = f(\lim_{x\to x_0}x)=f(x_0)</math> אז זה סותר את האי רציפות.כלל לופיטל ==
למהכלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין? הרי ש <math>f(\lim_{x\to x_0}x) </math> נותן :למדנו את ערכי הפונקציה בסביבה של <math>x_{0}</math> ולא את הערך ב<math>x_{0}</math>עצמו:{{לא מתרגל}}לאזה אז כנראה שכן. <math>\lim_{x\to x_0}x=x_0</math> כי <math>\mbox{id}(x)=x</math> היא פונקציה רציפה ולכן <math>f\left(\lim_{x\to x_0}x\right)=f(x_0)</math>. את/ה כנראה מדבר/ת על <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math>.
== משפט רימן כלל לופיטל ==
לפי משפט רימן, שינוי סדרם של איבריו של טור מתכנס בתנאי יכול לשנות את המספר אליו מתכנס הטור או אפילו האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"לבדר" אותו. למרות זאת, כמה פעמים שינינו את סדרם של אינסוף איברים בטורים שאיננו יודעים אם הם מתכנסים (למשל פתרון שאלה 3 ב[[מדיה:10Infi1Targil7Sol.pdf|תרגיל 7]]). מתי (אם בכלל) מותר לשנות את סדרם ש של אינסוף איברים בטור שלא ידוע שהוא מתכנס בהחלטפונקציה?
== עזרה בפתרון שאלה ==:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
אפשר עזרה בהוכחת הטענה הבאה?: אם a_n_(k+1)-a_n_k שואף לאפס כשK שואף לאינסוף לכל ת"ס של an, אז an סדרת == מבחני קושי. אני לא מצליח להוכיח את הטענה ואפילו לא מבין למה בהכרח היא נכונה! תודה לעוזריםודלמבר ==
איפה זה חדר מחלקה שבו יתקיים שיעור חזרה ביום חמישי הקרוב??:{{לא מתרגל}}<math>\lim_{k\to\infty} a_{n_{k+1} }-a_{n_k}=0</math> ולכן <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists k_0\in\mathbb N:\ \forall k>k_0:\ |a_{n_{k+1} }-a_{n_k}|<\varepsilon</math>. זה נכון לכל תת סדרה של <math>\{a_n\}</math>, כלומר לכל סדרה טבעית עולה ממש <math>\{n_k\}</math>. לכן לכל m,n כך ש-m>n (בה"כ) נבחר סדרה <math>\{n_k\}</math> המקיימת <math>\exists k\in\mathbb N:\ n_k=n\and n_{k+1}=m</math> ולכן <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\ne m\and n,m>n_0:\ \vert a_m-a_n\vert<\varepsilon</math>. אם m=n אז <math>|a_m-a_n|=0<\varepsilon</math> ולכן סדרת מבחן קושי. {{משל}}:בקשר לחדר המחלקה, הוא נמצא בבניין 216 בחדר בקומה השנייה וכתוב על הדלת "חדר סטודנטים" עם limsup בשני המקרים (לא זוכר מה המספרהתכנסות והתבדרות).::(לא אני שאלתי על החדר המחלקה, יש לשים את זה בכותרת נפרדת). אני לא בטוח שהפתרון הזה נכון, מכיוון שאני חושב שבפתרון הזה ה n0 תלוי ב-m ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו-nliminf במקרה של התבדרות, ואסור שתהיה תלות. תקנו אותי אם אני טועהאו שיש לי טעות?תודה!:::{{לא מתרגל}}בקשר לחדר המחלקה, התבלבלתי - זה בבניין 416 ולא 216אין טעות. בקשר ל-<math>n_0</math>, זה בסדר כי '''אנחנו''' בוחרים את הסדרה ואת n<sub>0</sub>, ולכן אם n<sub>0</sub> גדול מדי נבחר סדרה אחרת. ניסוח טוב יותר של אותו חלק של התשובה הוא: ... לכן לכל n<sub>0</sub> ולכל m,n כך ש-m>n>n<sub>0</sub> (בה"כ) נבחר סדרה <math>\{n_k\}</math> המקיימת <math>\exists k_0<k\in\mathbb N:\ n_k=n\and n_{k+1}=m</math> ולכן ... (שים לב שצריך לבחור n<sub>0</sub>>k כי אחרת לא קיימת סדרה טבעית עולה ממש כזו)תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.
== הוכחת אינדוקציה חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==
צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
נשמח אם תוכל להסביר למה הסדרה מספר תעודת הזהות שלי (2 בחזקת n312491822) לחלק ל(n בחזקת 2)תמיד גדולה או שווה לאחד, ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? (באינדוקציה)תודה רבה:(לא מתרגל)-נניח לn, אזי <math>2^{n+1}/(n+1)^2=2*2^k/(k^2+יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן..)>=2*2^k/k^2>=2>1</math>כשהשלב לפני אחרון לפני הנחת האינדוקציה::כן, תיכוניסט.תודה::<i style="font-size:80%;">(הלא ארז שיינר שענה אחריך)הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: </i> את/ה מתבלבל/תsites. <math>2\cdot2^kgoogle.com/(k^2+\dots){\color{red}<}2\cdot2^ksite/k^2</math> כי הקטנו את המכנה.eduardkontorovich
:<i style="font= איקס בריבוע == איך מוכיחים ש-size:80%;"<math>(לא ארז שיינר, אבל ביינתיים): x^2</imath>לא רציפה במ"ש? תודה.:{{התנגשותלא מתרגל}}{ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.::תודה. {{=|l=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1} }שאלה קלה מדי? == |r=\frac{n^2צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+2nbn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+1}{2^{nbn מתכנס, ואז הטור an +1} } |cהטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an =ראשית נחשב הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את הביטוי ההופכי עבור <math>n\ge3<המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/math>ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]]):מישהו יודע?}}{{=|r=\frac{n^2}{2^{n+1} }+\frac{2n+1}{2^{n+1} }פתרון של הבחינות ==}}{{=|o=<הי ארז, ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים? |rאגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ =\frac{n^2}{2^{n+שאלה 1} }+\frac{n^של זלצמן, שאלה 2}{2^{n+1} } |cשל הורוביץ =כאשר <math>2n+1< n^שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2</math>של זלצמן). פותרים ומקבלים <math>n\ge3</math>כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.}}{{=|r=\frac{n^2}{2^n}כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו? שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).}}{{=|o=< |r=1 |cתשובה===הנחת האינדוקציה:}}שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.|}:נותר לבדוק עבור <math>n=4</math> (עבור 3 לגבי 5ג, לא מתקיים) ונקבל שלכל <math>n>3</math> מתקיים צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\frac{n^2}{2^n}<1infty)</math> ולכן <math>\frac{2^n}{n^2}>1</math>זה פתרון תקין. בנוסף, בודקים עבור <math>n ==1==תשובה====אוקי,2</math> ... בדקנו. לבסוף לכל <math>n\in\mathbb N\setminus\{3\}</math> הטענה נכונה. {{משל}}שוב תודה :-)