שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(←‏רציפות במ"ש: פסקה חדשה)
 
(107 גרסאות ביניים של 19 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 17: שורה 17:
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]




=שאלות=
=שאלות=


== הערה בקשר למבחן ביום שני ==


אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.


אשמח אם תתחשבו בנו.


== שאלה על פתרון לתרגיל ==
:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.


http://math-wiki.com/images/b/b5/10Infi1Targil11Sol.pdf פה, תרגיל 11, בשאלה 1, כתבת:
"כפי שראינו בכיתה, ניתן להשלים את f לפונקציה רציפה בקטע הסגור a M [ ,  1]  ולכן היא רציפה שם במ"ש". תוכל להרחיב בנושא? ניתן להוכיח את התרגיל בלי לעשות טריקים כאלה של השלמה?
וגם, בקטע עם דלתא, כתבת "ניתן לבחור 1>ל>0". למה? איך יודעים מהו דלתא? וגם למה צריך את זה? אפשר להוכיח את הקטע הזה בדרך אחרת ע"י השימוש בזה שהגבול בa מימין קיים, ולהראות ש-f רציפה במ"ש ב <math>(a,M]</math>?


:יש לה אי רציפות סליקה בa ולכן ההשלמה הזו זה סילוק אי הרציפות על ידי הגדרת הערך של הפונקציה בa להיות הגבול שם מימין. לגבי הדלתא, אם משהו נכון עבור דלתא גדול מאחד, הוא בוודאי נכון לכל דלתא קטן מאחד. אנחנו עושים את זה על מנת שלא יצאו לנו שתי נקודות כך שאחת בקטע האינסופי ואחת בקטע הסופי (לכן יש חפיפה בינהם). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:24, 24 בינואר 2011 (IST)
מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
::כמה שאלות: -למה לפונקציה אי רציפות סליקה בa? למה אם משהו נכון עבור דלתא גדול מאחד, הוא נכון גם לדלתא קטן מיוחד (כפי שאני רואה את זה- אם x<d=2 אז לא בהכרח x<1)? -בשביל מה הקטע החופף? בשביל שיהיה "אותו דלתא" גם אם x שייך לקטע האינסופי וגם לסופי? אבל בקטע האינסופי אין בכלל דלתא! תודה.
http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/


:::כי יש לה גבול סופי בa זו ההגדרה של אי רציפות סליקה. אמנם זה חד צדדי, אבל זה מספיק כי זה קצה הקטע (פונקציה רציפה ב[a,b] אם היא רציפה בקטע הפתוח וקיימים לה הגבולות החד צדיים בקצות הקטע ושווים לערך הפונקציה שם). הכוונה היא שאם קיים דלתא (נניח 2) כך שלכל איקס שקרוב לאיקס אפס עד כדי דלתא משהו קורה, בפרט המשהו הזה קורה לכל איקס שקרוב לאיקס אפס עד כדי דלתא קטן יותר (נגיד אחד) כי זה אפילו קרוב יותר. יש חפיפה על מנת שלא יהיו x_1,x_2 כך שאחד מהם בקטע אחד והשני בקטע השני ואז ההוכחה לא תהיה תקיפה לגביהם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:09, 24 בינואר 2011 (IST)
אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
::::2 דברים- לא הבנתי את הקטע של עד כדי דלתא, בד"כ (בפרט בהוכחה של רציפות במ"ש צריך להוכיח שאם משהו (ברציפות במ"ש |x1-x2|<דלתא) אז קורה משהו (..קטן מאפסילון) ופה אם משהו נכון לדלתא כלשהו הוא לא בהכרח נכון לדלתא קטן יותר (אז לא הבנתי נכון את הכוונה). דבר שני, לגבי יש חפיפה על מנת שלא יהיו x_1,x_2 כך שאחד מהם בקטע אחד והשני בקטע השני ואז ההוכחה לא תהיה תקיפה לגביהם"- אבל בפועל כן יכולים להיות 2 איקסים שאחד בקטע ובשני לא, אז אם ההוכחה לא תקפה לגביהם, היא לא נכונה עבורם- ואז לא נכונה תמיד?
::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.
:::::בגלל שדלתא קטן מאחד, לא יכולים להיות שני איקסים במרחק אחד שלא מוכלים שניהם באחד הקטעים. לגבי הדלתא: אם לכל <math>|x-y|<2</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon</math> בוודאי נכון לומר שלכל <math>|x-y|<0.5</math> מתקיים <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 24 בינואר 2011 (IST)


== שאלה קודמת (טור) ==
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf


עדיין לא הבנתי פתרון לשאלה ששאלתי וכעת שייכת לארכיון - [[http://math-wiki.com/index.php/%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90/_%D7%90%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%95%D7%9F_14#.D7.98.D7.95.D7.A8]]
== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
תודה!
:אני לא יודע מה הקשר לקטן או גדול זה עניין של גבול. אם <math>\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L > 0</math> אזי הטורים a_n וb_n מתכנסים יחדיו (חברים). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:41, 24 בינואר 2011 (IST)
::וואו, לא היה זכור לי משפט כזה, מזל ששאלתי. תודה
:::אני לא יודע אם זה בדיוק משפט. פשוט מבחן ההשוואה השני נובע מזה בקלות - קיים אפסילון כך ש<math>L-\epsilon>0</math> והחל משלב מסויים מתקיים <math>L-\epsilon < \frac{a_n}{b_n} < L + \epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:29, 24 בינואר 2011 (IST)


== שאלה 1 מועד א 2007 של זלצמן ==
מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
תודה.
:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.


תהי <math>{an}</math> סדרה כך ש <math>lim( an )= a</math> ו <math>lim (-1)^n an = b</math>  הוכח: <math>a=b=0</math>
== שאלה על פתרון שאלה ==


אשמח אם מישהו יגיד לי אם פתרתי נכון, כי אני לא כלכך בטוח בכך.
תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
::אוקי.


פתרון:
== עזרה בשאלה ממבחן ==


נניח ש <math>an</math> סדרה חיובית (בהמשך נוכיח לגבי סדרה שלילית וסדרה מעורבת או שאני אגיד שבאופן דומה אפשר להוכיח..)
תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!


ידוע שהסדרה <math>an</math> שואפת לגבול a ולכן נכתוב לפי הגדרת הגבול
:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
::::אוקי..


== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
<math>|a_n-a |< \varepsilon|</math>


לכן גם
יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
:::::אכן.


<math> | a_{2n} - a  |<\varepsilon </math>
== רציפות במ"ש ==
בנוסף,


ניתן לתאר את הסדרה <math>(-1)^na_n</math>  
מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
בצורה הבאה :
:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)


<math> b_2n=-a_1+a_2-a_3+a_4...-a_{2n}-1+a_{2n}</math>
== קירוב ליניארי ==
כלומר:


<math>b_2n=(a_2-a_1)+(a_4-a_3)...+(a_{2n}-a_{2n-1})</math>
היי ארז,


באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....


כלומר:
איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?


<math> | a_{2n}-a_{2n -1} - b  |<\varepsilon </math> לפי הנתון.
תודה!


היות ו<math>a_n</math> חיובית, נוכל לרשום(כמסקנה מהמשוואות עד עתה) את הדבר הבא
:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)


<math>|a_{2n-1} - b|<\varepsilon+ a_{2n}</math>
== עזרה בפתרון שאלה ==
 
ולכן :
 
<math> |-a_{2n-1} - b|=|a_{2n-1}+b|< \varepsilon + a_{2n}< 2\varepsilon +a</math>
 
ולכן
 
<math> |a_{2n-1}+b-a|< 2\varepsilon </math>
 
הגבול של <math>a_n</math> של <math>a_{2n}</math> ושל <math>a_{2n-1}</math> הוא אותו גבול
 
ולכן <math>b-a=-a</math>
<math>b=0</math>
 
הצלחתי להגיע עד לפה. אשמח לדעת אם הפתרון שי עד לפה בסדר, ואם הוא טוב אז איך ממשיכים
 
===פתרון נוסף===
{{לא מתרגל}} נראה לי שזה בסדר מה שעשית, אבל אני לא כל כך רואה איך אפשר להכליל את מה שעשית לסדרות אחרות, אשמח גם אני להסבר.
בכל אופן אני פתרתי את זה בדרך אחרת, אשמח למשוב:
הסדרה <math>b_n</math> היא מהצורה <math>-a_1,a_2,-a_3,a_4,...</math>. ידוע שהיא מתכנסת לגבול <math>b</math> ולכן כל תת סדרה שלה תתכנס לגבול זה.
אם נתבונן בתת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים נקבל שהיא שואפת ל-<math>b</math> אבל באותו אופן גם ל-<math>a</math> (עפ"י נתון התכנסות הסדרה <math>a_n</math>) ולכן <math>a=b</math>.
אם נתבונן בתת הסדרה של האיברים במקומות האי זוגיים נקבל שהיא שואפת ל-<math>b</math> וגם ל<math>-a</math> ולכן <math>b=-a</math>.
נפתור מערכת משוואות ונקבל ש-<math>a=b=0</math>.
 
איך הפתרון הזה? תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 
{{לא מתרגל}}{{התנגשות}} לא יודע לגבי ההוכחה הזו (אני יודע להוכיח את הטענות האלה, אבל ההוכחות לא מסתדרות עם ההסברים שלך. אולי התבלבת עם הפלוסים והמינוסים?), אבל ראה/י שאלה 7 ב[[מדיה:10Infi1Targil3Sol.pdf|תרגיל 3]].


== התכנסות ==
שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!
<math>(-1)^n  ( sin⁡(n!))/n^(3/2) </math>
האם בגלל שהטור שואף ל0 זה מספיק כדי להגיד שתנאי לייבניץ מתקיים והוא מתכנס בתנאי?
:{{לא מתרגל}} לא. לשם כך תצטרך/י להראות גם ש-<math>\frac{\sin(n!)}{n^{3/2}}</math> היא סדרה יורדת, מה שבוודאי אינו נכון. עם זאת, אפשר להראות שהטור מתכנס בהחלט: <math>0<\frac{|\sin(n!)|}{n^{3/2}}\le\frac{1}{n^{3/2}}</math> ובעזרת מבחן ההשוואה התכנסות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}</math> גוררת שהטור מתכנס. {{משל}}


== כלל לופיטל ==
:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
::תודה.


כאשר אני עושה את הנגזרת של המונה חלקי המכנה, מותר לי להתעסק עם השבר ולהעביר ביטויים מהמכנה למונה?
== מישפט היינה בורל  ==


ואם נאי מעביר ביטויים מהמונה למכנה, כמו צמצום וכד' אז מותר לי להמשיך אחרי זה בגזירה?
מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


:{{לא מתרגל}} אחרי הגזירה - מותר, לפני - רק אם זה עדיין <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>.
תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית


אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)


== מבחן ההשוואה ה2 ==
== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==


יוצא לי שאם ניקח לדוגמא:  an = 1/n^2 ו bn = n אז נקבל שהחילוק בינהם הוא:
<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
an / bn = 1/n^3 והוא חסום בין 1 ל0. אזי אמורים להסיק שהטורים מתבדרים ביחד, מה שכמובן לא נכון.
:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
 
:{{הערה|חזרתי:}}
אפשר קצת חידוד בנושא מבחן השוואה השני?
 
:לא יודע איך קיבלתם את מבחן ההשוואה בכיתה שלכם, אבל אצלנו (ד"ר הורוביץ) הוא ניתן כך:
אם <math>a_n/b_n -> L</math>אז אם <math>b_n</math>∑ מתכנס אז <math>a_n</math>∑ מתכנס. אם <math>L>0</math> אז יתקיים שהטורים מתכנסים ומתבדרים יחד.
גרסה זו היא בהנתן טור חיובי.
מקווה שעזרתי! [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 
== שאלה לגבי גבולות ==
 
מתי מותר לכתוב אם בכלל?
 
 
<math>\lim_{x\to x_0}{f(x)} = f(\lim_{x\to x_0}x)</math>
:{{לא מתרגל}} כאשר f רציפה. שים/י לב שזה אותו דבר כמו <math>\lim_{x\to x_0}{f(x)} = f(x_0)</math>.
 
בשאלה ששואלים אותי <math>f</math> לא רציפה בהכרח ב <math>x_{0}</math>
 
ומה קורה אם הפונקציה רציפה בכל הממשיים פרט ל<math>x_{0}</math>
:{{לא מתרגל}}אם היא לא רציפה ב-<math>x_0</math> אז זה בהכרח לא נכון, כי אם <math>\lim_{x\to x_0}{f(x)} = f(\lim_{x\to x_0}x)=f(x_0)</math> אז זה סותר את האי רציפות.
 
למה? הרי ש
<math>f(\lim_{x\to x_0}x) </math> נותן את ערכי הפונקציה בסביבה של <math>x_{0}</math> ולא את הערך ב<math>x_{0}</math>
עצמו
:{{לא מתרגל}}לא. <math>\lim_{x\to x_0}x=x_0</math> כי <math>\mbox{id}(x)=x</math> היא פונקציה רציפה ולכן <math>f\left(\lim_{x\to x_0}x\right)=f(x_0)</math>. את/ה כנראה מדבר/ת על <math>\lim_{x\to x_0}f(x)</math>.
 
== משפט רימן ==
 
לפי משפט רימן, שינוי סדרם של איבריו של טור מתכנס בתנאי יכול לשנות את המספר אליו מתכנס הטור או אפילו "לבדר" אותו. למרות זאת, כמה פעמים שינינו את סדרם של אינסוף איברים בטורים שאיננו יודעים אם הם מתכנסים (למשל פתרון שאלה 3 ב[[מדיה:10Infi1Targil7Sol.pdf|תרגיל 7]]). מתי (אם בכלל) מותר לשנות את סדרם של אינסוף איברים בטור שלא ידוע שהוא מתכנס בהחלט?
 
:אסור לשנות את הסדר. מה שעשינו בתרגיל 3 הוא הפרדנו טור לכמה חלקים שונים, תוך שמירה על הסדר. מותר לעשות זאת מכיוון שאפשר לרפד באפסים (לפי למה שקל להוכיח). אסביר על ידי דוגמא: יהי <math>a_n=1,0.1,0.01,0.001,...</math> אזי לפי למה מותר לרפד במספר סופי של אפסים בין כל שני איברים וסכום הטור ישאר זהה, כלומר עבור <math>b_n=1,0,0,0.1,0,0,0,0,0.01,0,0.001,...</math> מתקיים <math>\sum a_n=\sum b_n</math>. כעת, ניתן לפצל באופן זה טור לשניים: <math>b_n=a_1,0,a_3,0,a_5,0,a_7,...</math> ו <math>c_n=0,a_2,0,a_4,0,a_6,...</math>. בבירור, אם הטורים <math>b_n,c_n</math> מתכנסים אזי <math>a_n=b_n+c_n</math> מתכנס. ולפי מה שאמרנו קודם, אפשר להעיף את האפסים ולהסתכל על הטורים <math>b'_n=a_1,a_3,a_5,...</math> ו <math>c'_n=a_2,a_4,a_6,...</math>. כל זה מבלי לשנות את סדר האיברים כלל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:25, 26 בינואר 2011 (IST)
 
== עזרה בפתרון שאלה ==
 
אפשר עזרה בהוכחת הטענה הבאה?: אם a_n_(k+1)-a_n_k שואף לאפס כשK שואף לאינסוף לכל ת"ס של an, אז an סדרת קושי. אני לא מצליח להוכיח את הטענה ואפילו לא מבין למה בהכרח היא נכונה! תודה לעוזרים
 
איפה זה חדר מחלקה שבו יתקיים שיעור חזרה ביום חמישי הקרוב??
:{{לא מתרגל}}<math>\lim_{k\to\infty} a_{n_{k+1} }-a_{n_k}=0</math> ולכן <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists k_0\in\mathbb N:\ \forall k>k_0:\ |a_{n_{k+1} }-a_{n_k}|<\varepsilon</math>. זה נכון לכל תת סדרה של <math>\{a_n\}</math>, כלומר לכל סדרה טבעית עולה ממש <math>\{n_k\}</math>. לכן לכל m,n כך ש-m>n (בה"כ) נבחר סדרה <math>\{n_k\}</math> המקיימת <math>\exists k\in\mathbb N:\ n_k=n\and n_{k+1}=m</math> ולכן <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\ne m\and n,m>n_0:\ \vert a_m-a_n\vert<\varepsilon</math>. אם m=n אז <math>|a_m-a_n|=0<\varepsilon</math> ולכן סדרת קושי. {{משל}}
:בקשר לחדר המחלקה, הוא נמצא בבניין 216 בחדר בקומה השנייה וכתוב על הדלת "חדר סטודנטים" (לא זוכר מה המספר).
::(לא אני שאלתי על החדר המחלקה, יש לשים את זה בכותרת נפרדת). אני לא בטוח שהפתרון הזה נכון, מכיוון שאני חושב שבפתרון הזה ה n0 תלוי ב-m ו-n, ואסור שתהיה תלות. תקנו אותי אם אני טועה?
:::{{לא מתרגל}}בקשר ל-<math>n_0</math>, זה בסדר כי '''אנחנו''' בוחרים את הסדרה ואת n<sub>0</sub>, ולכן אם n<sub>0</sub> גדול מדי נבחר סדרה אחרת. ניסוח טוב יותר של אותו חלק של התשובה הוא: ... לכן לכל n<sub>0</sub> ולכל m,n כך ש-m>n>n<sub>0</sub> (בה"כ) נבחר סדרה <math>\{n_k\}</math> המקיימת <math>\exists k_0<k\in\mathbb N:\ n_k=n\and n_{k+1}=m</math> ולכן ... (שים לב שצריך לבחור n<sub>0</sub>>k כי אחרת לא קיימת סדרה טבעית עולה ממש כזו).
::::אנחנו בוחרים את הn0, אבל אנחנו בוחרים אותו להיות משהו שקשור לn וm, כלומר אם נשאיר את אותו n0 ונשנה את הm והn, זה כבר לא נכון. (?)
:::::{{לא מתרגל}}לא, ה-m וה-n נבחרים לפי n<sub>0</sub> ולא להפך. ההוכחה שנתתי לא מלאה ונותנת רק את הרעיון הכללי, אבל בגלל ריבוי השאלות אני אכתוב את ההוכחה המלאה: מתקיים <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists k_0\in\mathbb N:\ \forall k>k_0:\ \forall \{n_i\}\in\Big\{\{s_i\}\subseteq\mathbb N:\ \forall i\in\mathbb N:\ s_i<s_{i+1}\Big\}:\ |a_{n_{k+1} }-a_{n_k}|<\varepsilon</math>. לפיכך <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists k_0\in\mathbb N:\ \forall k>k_0:\ \forall n>k:\ \forall m>n:\ \exists\{n_i\}\in\Big\{\{s_i\}\subseteq\mathbb N:\ \forall i\in\mathbb N:\ s_i<s_{i+1}\Big\}:\ n_k=n\ \and\ n_{k+1}=m\ \and\ |a_{n_{k+1} }-a_{n_k}|<\varepsilon</math>. מכאן נובע <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists k_0\in\mathbb N:\ \forall k>k_0:\ \forall n>k:\ \forall m>n:\ |a_n-a_m|<\varepsilon</math> לכן <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists k_0\in\mathbb N:\ \exists k>k_0:\ \forall n>k:\ \forall m>n:\ |a_n-a_m|<\varepsilon</math> ולפיכך <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists k\in\mathbb N:\ \forall n>k:\ \forall m>n:\ |a_n-a_m|<\varepsilon</math>. לבסוף,  m=n אז <math>|a_m-a_n|=0<\varepsilon</math>  ולכן <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n,m>n_0:\ |a_m-a_n|<\varepsilon</math> כלומר סדרת קושי {{משל}}.
 
== הוכחת אינדוקציה ==
 
 
 
  נשמח אם תוכל להסביר למה הסדרה (2 בחזקת n) לחלק ל(n בחזקת 2)תמיד גדולה או שווה לאחד? (באינדוקציה)
:(לא מתרגל)-נניח לn, אזי
<math>2^{n+1}/(n+1)^2=2*2^k/(k^2+..)>=2*2^k/k^2>=2>1</math>
כשהשלב לפני אחרון לפני הנחת האינדוקציה.
::<i style="font-size:80%;">(הלא ארז שיינר שענה אחריך): </i> את/ה מתבלבל/ת. <math>2\cdot2^k/(k^2+\dots){\color{red}<}2\cdot2^k/k^2</math> כי הקטנו את המכנה.
 
:<i style="font-size:80%;">(לא ארז שיינר, אבל ביינתיים): </i>{{התנגשות}}
{|
{|
{{=|l=\frac{(n+1)^2}{2^{n+1} }
{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
   |r=\frac{n^2+2n+1}{2^{n+1} }
   |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
  |c=ראשית נחשב את הביטוי ההופכי עבור <math>n\ge3</math>:
}}
}}
{{=|r=\frac{n^2}{2^{n+1} }+\frac{2n+1}{2^{n+1} }
{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
}}
}}
{{=|o=\le
{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
  |r=\frac{n^2}{2^{n+1} }+\frac{n^2}{2^{n+1} }
  |c=כאשר <math>2n+1< n^2</math>. פותרים ומקבלים <math>n\ge3</math>.
}}
}}
{{=|r=\frac{n^2}{2^n}
{{=|r=1\cdot e^{-2}
}}
}}
{{=|o=\le
{{=|r=1
  |r=1
   |o=<
   |c=הנחת האינדוקציה:
}}
}}
|}
|}
:נותר לבדוק עבור <math>n=4</math> (עבור 3 לא מתקיים) ונקבל שלכל <math>n>3</math> מתקיים <math>\frac{n^2}{2^n}\le1</math> ולכן <math>\frac{2^n}{n^2}\ge1</math>. בנוסף, בודקים עבור <math>n=1,2</math> ... בדקנו. לבסוף לכל <math>n\in\mathbb N\setminus\{3\}</math> הטענה נכונה. {{משל}}
:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה


== מבחן באינפי ==
== בקשה ==


היי ארז,  
שלום רב,
למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
תודה מראש!
:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
::::או, זה יפה ^^


איך נוכל לפתור 6 שאלות בשעתיים? זה ממש לא מספיק...ועוד יש בחירה מתוך 8...
== שאלה אלמנטרית ==


האם יש אפשרות שיתנו לנו הארכה?
המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?


:המבחן הזה במתכונת הזו נעשה כבר עשרות שנים :) בכל אופן זו החלטה של זלצמן --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:14, 26 בינואר 2011 (IST)
:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.


::ובד"כ הוא לא נותן הארכה של חצי שעה בזמן המבחן, כמו אצל הורוביץ?
::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)


:::אם אני לא טועה שנה שעברה הוא לא נתן, לא הייתי בונה על זה. תכוונו לפתור את המבחן בזמן הנתון --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:56, 26 בינואר 2011 (IST)
:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".


== תרגילים ==
== חתכי דדקינד ==


לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.


שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)


כאשר אני מנסה להיכנס לתרגילים,זה מחזיר אותי לדף הראשי של wiki.
::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..


מדוע?


תוכל להעלות שוב את הפתרונות של תרגילים 10-12 ותרגיל 13?
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...


תודה!
== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==


:תנסה שוב, אולי תקלה זמנית. זה עובד... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:13, 26 בינואר 2011 (IST)
כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.


== פתרון מבחנים ==
למה זה נכון?


:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)


== כלל לופיטל ==


האם יש אפשרות לעלות פתרונות למבחנים של זלצמן? לפחות את חלקם או תשובות מקוצרות?
כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
:למדנו את זה אז כנראה שכן...


תודה!!!!!!!
== כלל לופיטל ==
 
:אין פתרונות. אפשר לשאול שאלות ספציפיות פה, או להגיע לשיעורי חזרה או לצלם אותם, שם נפתרים לא מעט מבחנים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:15, 26 בינואר 2011 (IST)
 
== פונקציה הפוכה ==
 
האם זה נכון שאם f רציפה אזי f חח"ע ולכן קיימת הפונקציה ההפוכה לf? אם כן אפשר הוכחה קצרה או רעיון כללי להוכחה? אולי צריך להוסיף את העובדה שFx>0 לכל x? תודה
:{{לא מתרגל}}ממש לא (גם אם f(x)>0). הפונקצייה <math>2+sin(x)</math> תמיד גדולה מ-0 וכן רציפה (כסכום של פונקציות רציפות) אבל בוודאי שאינה חח"ע. לעומת זאת, אם ב-F התכוונת ל-f' אז הטענה נכונה: <math>\forall x:\ f'(x)>0</math> לכן לכל x<sub>1</sub>>x<sub>2</sub> (בה"כ) <math>f(x_1)>f(x_2)</math> ובפרט <math>f(x_1)\ne f(x_2)</math>. {{משל}}
 
== עזרה בקביעת התכנסות טור ==
 
הטור של הסדרה <math>(sin(-1/\sqrt n))^2</math> - האם הוא מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר? אני לא מוצא אף מבחן או שום דבר לעשות עם הטור שעוזר לפתור. תודה מראש
לא מתרגלת.. אבל תחל ב<math>(-1/\sqrt n)^2</math>
ואז על פי מבחן ההשואה של טורים חיוביים, בגלל שכאשר n שואף לאינסוף הגבול של מה שיצא הוא אחד הטורים מתכנסים ומתבדרים כאחד, ולכן בגלל שהטור שחילקנו בו מתבדר גם הטור הנתון מתבדר
:תודה
 
== שאלה ממבחן ==
 
נתונה פונקציה F:
כאשר X רציונלי זה X^3
כאשר X לא רציונלי זה 3X-2
צריך לבדוק איפה F רציפה ואיפה F גזירה.. מה הפתרון?


עוד שאלה, האם נכון להניח שאם פונקציה אינה רציפה בנקודה אז היא אינה גזירה שם?
האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?
:(לא ארז)- קודם כל, זה נכון שאינה רציפה היא אינה גזירה מכיוון שגזירה היא בפרט רציפה. לשאלה- כל עוד x^3 לא שווה ל 3x-2 יש נקודת אי רציפה ממין שני כי (אולי קשה להסביר את זה)- הפונקציה מתנהגת כמו פונקציית דיריכלה- לא יכול להיות שאחד מהגבולות החד צדדיים קיימים כי יש אינסוף נקודות רציונליות ואי רציונליות, והרי לקיחת תת סדרה של רציונליים או אי רציונליים תיתן הסדרה ששואפת לגבול x^3 או 3x-2 בהתאמה, שהם שונים (כאשר 3x-2!=x^3). נותרו רק הנקודות שבהן
3x-2=x^3 - מנסים לפתור את המשוואה, אם יש פתרונות אז בנקודות האלה הפונקציה רציפה, אם אין פתרון אז אין נקודות רציפות. גזירה- דומה. מקווה שעזרתי (ותקנו אותי אם יש לי טעויות!)


== נגזרת arctan, arcsin, arccos ==
:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)


האם במבחן יש להוכיח את הנגזרות של arcsin וarctan או שמספיק לדעת למה זה שווה ע"פ מה שהוכחנו בכיתה?
== מבחני קושי ודלמבר ==


למה שורש שלישי של X רציפה במ"ש בקטע [0,1] לא הבנו את זה בתרגול..
מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
תודה!!
:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.


== רציפות במ"ש ==
== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==


מדוע הפונקציה שורש שלישי של X רציפה במ"ש בקטע 0-1 ו: -1-0.. הסברת את זה בתרגול אבל לא הבנו..
צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
תודה!!
:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


תשובה: אפשר לראות שקיימים גבולות סופיים כאשר מציבים את קצות הקטע ולכן רציפה במ"ש...
== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==


== שלבים לקביעת התכנסות טור ==
מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
::כן, תיכוניסט. תודה
:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich


היי ארז,
== איקס בריבוע ==


מהם שלבי העבודה המומלצים לקביעת התכנסות בתנאי או בהחלט או התבדרות הטור?
איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
::תודה.


בנוסף אם יש לי טור כלשהו כפול הטור מינוס 1 בחזקת n אזי אם הטור a_n  מתכנס אזי המכפלה של שני הטורים תתכנס בהחלט?
== שאלה קלה מדי? ==


אם הטור a_n  מתבדר אזי מכפלת שני הטורים תתכנס בתנאי?
צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
:מישהו יודע?


ואם הסדרה a_n תשאף לכל גבול ממשי ששונה מאפס, אזי הטור יתבדר?
== פתרון של הבחינות ==
 
תודה!
 
== פונקציה מעריכית ==
 
אני לא מצליח להוכיח שהיא רציפה במידה שווה לפי ההגדרה של רצב"ש!
:{{לא מתרגל}}זה בגלל שהיא לא רציפה במידה שווה... בקטע סופי היא כן רצב"ש, ואת זה קל להוכיח כי היא כמובן רציפה וחסומה. אם רוצים להוכיח לפי ההגדרה זה קצת יותר מסובך: יהי I קטע סופי ותהא <math>f(x)=a^x</math> פונקציה מעריכית. כמו כן תהא <math>\varepsilon>0</math> וצ"ל <math>\exists\delta>0:\ \forall x,x_0\in I\ \and\ |x-x_0|<\delta:\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. עבור <span dir="ltr">a>1</span>:
{|
{{=|l=\vert f(x)-f(x_0)\vert
  |r=\vert a^x-a^{x_0}\vert
}}
{{=|r=\vert a^{x_0}\vert\cdot\vert a^{x-x_0}-1\vert
}}
{{=|r=\vert a^M\vert\cdot\vert a^{x-x_0}-1\vert
  |o=\le
  |c=כמובן שאם M>x אז a<sup>M</sup>>a<sup>x</sup>. נסמן <math>M=\sup(I)</math>:
}}
{{=|r=a^M\cdot\vert a^\delta-1\vert
  |o=<
  |c=בה"כ נאמר ש-<math>x\ge x_0</math> ולכן:
}}
{{=|r=a^M(a^\delta-1)
  |c=<math>\delta>0</math> ולכן <math>a^\delta>1\implies a^\delta-1>0</math>
}}
{{=|r=\varepsilon
  |c=נבחר <math>\delta=\log_a\left(1+\frac{\varepsilon}{a^M}\right)</math> (אכן גדול מ-0 כי <math>\varepsilon,a^M>0\implies 1+\frac{\varepsilon}{a^M}>1</math>)
}}
|}
:לבסוף, אם <span dir="ltr">0<a<1</span> נתבונן בפונקציה a<sup>-x</sup> בקטע <math>\{x:\ -x\in I\}</math> ואם a=1 הטענה בוודאי נכונה (במקרה הזה בלבד גם בקטע לא סופי) ונקבל שהטענה נכונה לכל a>0. {{משל}}
 
אם ככה אז למה בפיתרון של המיבחן תרגיל 5 סעיפ c כתוב ש (e^(X^2 פונקציה רציפה במידה שווה?
 
סליחה טעות שלי זה פונקציה רציפה על פונקציה מחזורית  תודה בכל מיקרה
 
== log ==
 
 
כשהפונקציה log מופיעה במבחנים של זלצמן מתכוונים ללוג בבסיס 10 כפי שנהוג בד"כ או שהוא מתכוון לבסיס e?
 
ועוד שאלה לגבי התכנסות טורים- אם אני קובע שטור מסויים מתכנס, נניח לפי מבחן ההשוואה הראשון, הטור גדול שווה או קטן שווה מטור אחר אזי צריך להוכיח זאת באינדוקציה? כלומר, כל קביעה כזאת דורשת הוכחה באינדוקציה או הסבר נוסף?
 
:זלמן תמיד מתכוון לבסיס e. לגבי טורים, בדר"כ מראים שa_n<b_n באופן כללי ואין צורך באינדוקציה. זה תלוי מקרה עדיף לשאול את הבוחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 10:37, 27 בינואר 2011 (IST)
 
== שאלה על סדרות ==
 
אם נתון שסדרה a_n שואפת ל a.
איך אפשר להוכיח שהסדרה a_n*a_n+1 שואפת ל a^2?
:אם אני מבין נכון, אז פשוט גם הסדרה a_n+1 גם מתכנסת לa (לא כמו בטורים- בסדרות הורדת מספר סופי של איברים מההתחלה לא תשנה בכלל את גבול הסדרה (וכמובן אם היא מתכנסת/מתבדרת)), וכעת לפי אריתמטיקה של גבולות הכפל המבוקש שואף ל a*a=a^2.
זה נכון,אבל איך אתה מוכיח שגם a_n+1 מתכנסת ל a?
::ברור, ידוע שזה יתכנס לאותו גבול. הגבול של סדרה לא מושפע מהאיברים הראשונים שלה אלא רק מ"האחרונים". (זה לא פורמלי אבל כדי שתבין). במילים אחרות, סופר קל להוכיח את זה- צ"ל שלכל אפסילון קיים N כך שבשבילו לכל n>N יקרה משהו. an+1 הוא אותו הטור כמו an רק שכל איבר זז אחורה והאיבר הראשון נעלם. לכן ניקח את הN החדש להיות N+1 הקודם, ואז אותו בשביל n+1 > N+1 יתקיים n>N ומכאן הסדרה תתכנס כמו הסדרה הראשונה.
 
== שאלה ממבחן ==
 
an חיובית יורדת. צ"ל שאם הטור של a_5n מתכנס אז הטור (a_n) מתכנס. תודה!
:{{לא מתרגל}} תהא <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית ויורדת כך ש-<math>\sum_{n=1}^\infty a_{5n}\in\mathbb R</math> (כלומר מתכנס). מכיוון שהסדרה חיובית יורדת מתקיים <math>a_{5n}\ge a_{5n+1}\ge a_{5n+2}\ge a_{5n+3}\ge a_{5n+4}>0</math> ולכן (ממבחן ההשוואה) <math>\sum a_{5n+1},\ \sum a_{5n+2},\ \sum a_{5n+3},\ \sum a_{5n+4}\in\mathbb R</math>. כמו כן <math>a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4\in\mathbb R</math> ולכן <math>a_1+a_2+a_3+a_4+\sum a_{5n}+\sum a_{5n+1}+\sum a_{5n+2}+\sum a_{5n+3}+\sum a_{5n+4}=\sum a_n\in\mathbb R</math>. {{משל}}
::תודה!
 
== תקלה באתר ==


הי ארז,
הי ארז,


רבים מאיתנו חווים תקלה באתר, במסגרתה ההפניות מדפי הקורסים לדף השאלות והתשובות ולדף שיעורי הבית לא עובדים (וזה לא רק באינפי 1, זה גם למשל בלינארית 2). כדי להגיע לדף זה עלינו ללחוץ על הלשונית שיחה (בקורס זה, בלינארית 2 אפילו זה לא עובד) וכדי להגיע לשיעורי הבית עלינו להיכנס להיסטוריה של דף הקורס, ודרכה להיכנס להיסטוריה של דף שיעורי הבית ולהוריד ממנו את הקבצים. האם יש סיכוי שתוכל לטפל בזה? אמנם אני מודע לקשיים אלו, אבל רבים המשתמשים באתר עלולים לחוות בעיות עם השימוש בו, והבעיה בהצגת שיעורי הבית ממש מפריענ, אחרי הכל אנחנו צריכים אותם להתכוננות למבחן.
ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?
 
תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 
:אני עכשיו שם לב שיש לי את הבעיה רק כשאני לא מחובר לאתר. גל.
 
== מבחן ==
 
היי,
 
מי בודק את המבחן של התלמידים של זלצמן?
 
כמה אחוזים המבחן מהציון הכללי?
 
פרופ' זלצמן יהיה בבחינה?
 
== מיבחן המנה  ==
 
ברור שאם  a_n+1/a_n <1  החל ממיקום מסוים זה מספיק בהחלט בישביל שהטור a_n שהוא טור חיובי יתכנס .האם זה תופס במיבחן או שצריך למיצוא את הגבול העליון?
 
::: (לא מתרגל) לא מספיק, תבחן את הטור הההרמוני.
 
== זיהוי וסיווג נקודות אי רציפות של הפונקציה ==
 
שלום,
 
האם עבור כל נק' אי רציפות שמצאתי, יש לבדוק את הגבול בסביבה הימנית והשמאלית של הגבול?
 
תודה!
:{{לא מתרגל}}לא. אם זו נקודת אי-רציפות סליקה מספיק למצוא את הגבול הכללי. כמובן שבמקרה של נקודות אי-רציפות ממין ראשון או שני צריך.
 
== מה מידת הדיוק שנדרשת בשאלות של גזירת פונקציות? ==


אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.


כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?


כלומר עד לאיזה ביטוי מצפים שנגיע בתשובה?
שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
:(לא מתרגל) לפי מה שמבקשים בשאלה
::{{הערה|לא מתרגל אחר:}} אני חושב שהוא התכוון עד כמה צריך לצמצם איברים, לפתוח סוגריים וכו' - דבר שבד"כ לא מפורט בשאלות. אולי צריך מתרגל שיבהיר את העניין.
:::כמה שאפשר, אם לא בטוחים אפשר לשאול בזמן המבחן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 28 בינואר 2011 (IST)


== אי רציפות ==
===תשובה===
שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.


בפונקציה (x*sin(1/x^2 האם זה נכון שב0 יש נק אי רציפות סליקה מיכיוון זאת פונקציה חסומה כפול פונקציה ששואפת לאפס ולכן הגבול בנק קיים ?תודה
לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.


תשובה: גם לי יצא ככה.
====תשובה====
 
אוקי, שוב תודה :-)
== מועד ב' של שנה שעברה ==
 
ארז, יש מצב שאתה מעלה את המבחן מועד ב' של שנה שעברה, אפילו בלי פתרונות, לא הצלחתי למצוא אותו בשום מקום.
 
תודה.
 
:מצטער, אין לי. תנסו לבקש מהחברה של שנה שעברה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:29, 28 בינואר 2011 (IST)
 
== שאלה על פתרון שאלה ==
 
תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
 
== עזרה בשאלה ממבחן ==
 
תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
 
== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
 
יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
 
== רציפות במ"ש ==
 
מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון


שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.


מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
גל א.
לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי [math]\displaystyle{ a_{2k+1}-a_{2k-1}\lt 0 \and a_{2k+2}-a_{2k}\gt 0 }[/math], וגם ש [math]\displaystyle{ lim_{n-\gt infinity}a_{n+1}-a_n=0 }[/math]. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב [math]\displaystyle{ lim_{x-\gt 0}(fx/(sin2x)^n) }[/math]. תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.
לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
[math]\displaystyle{ Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n} }[/math] כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.
נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

[math]\displaystyle{ f(x)=xsinx }[/math] ו[math]\displaystyle{ x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0 }[/math] --ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, [math]\displaystyle{ \lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0 }[/math] בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי [math]\displaystyle{ K }[/math] קטע סגור, ויהיו [math]\displaystyle{ \{I_a\}_{a\ in\ A} }[/math] קטעים פתוחים ב-[math]\displaystyle{ \R }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ K }[/math] מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-[math]\displaystyle{ K }[/math] מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי [math]\displaystyle{ S }[/math] קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.
אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

[math]\displaystyle{ \sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}} }[/math]

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
חזרתי:
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 } }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} } }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right) }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ \lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2} }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1\cdot e^{-2} }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ 1 }[/math] [math]\displaystyle{ \lt }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור [math]\displaystyle{ \sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!} }[/math] מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן [math]\displaystyle{ \frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0 }[/math] ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), [math]\displaystyle{ \frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty }[/math]. אח"כ, מכיוון ש-[math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1 }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1 }[/math] ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה [math]\displaystyle{ A_n/A_{L-\epsilon} }[/math] מוכלת ב-[math]\displaystyle{ (L-\epsilon,L) }[/math]. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
לא התבלבלתי, זה הקבוצה [math]\displaystyle{ A_n }[/math] בלי הקבוצה [math]\displaystyle{ A_{L-\epsilon} }[/math]. תיזכר בסימונים של בדידה.
אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..


http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש<[math]\displaystyle{ e^{(x^2)} }[/math] רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
כן, תיכוניסט. תודה
הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש-[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.
תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-132_סמסטר_א%27_תשעא&oldid=9666"