משפט פרמה (אינפי): הבדלים בין גרסאות בדף
(←ראו גם) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==הגדרת נקודת קיצון מקומית== | ==הגדרת נקודת קיצון מקומית== | ||
תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל | תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל <math>x</math> בסביבה מתקיים: | ||
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי) | |||
'''או''' | '''או''' | ||
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי) | |||
אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> . | |||
אזי <math>x_0</math> | |||
==משפט פרמה== | ==משפט פרמה== | ||
תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math> . אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים: | |||
תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים: | :<math>f'(x_0)=0</math> | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים: | |||
:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math> | |||
לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים. | |||
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math> . | |||
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\ | |||
לכן ביחד, מתקיים כי | לכן ביחד, מתקיים כי | ||
:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math> | |||
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math> . | |||
לכן ביחד, מתקיים כי | |||
:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math> | |||
לכן ביחד, מתקיים כי | |||
= | סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | ||
* [[משפט רול]] | ==ראו גם== | ||
* [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']] | *[[משפט רול]] | ||
*[[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']] | |||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה אחרונה מ־11:39, 7 ביוני 2016
הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה מתקיים:
- [math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0) }[/math] (נקודת מקסימום מקומי)
או
- [math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0) }[/math] (נקודת מינימום מקומי)
אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הנה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] .
משפט פרמה
תהי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון מקומית של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקיים:
- [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]
הוכחה
נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודת מקסימום מקומי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L }[/math]
לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math] , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\gt 0 }[/math] .
לכן ביחד, מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0 }[/math]
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math] , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\lt 0 }[/math] .
לכן ביחד, מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0 }[/math]
סה"כ [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]