(←סרטוני ותקציר הרצאות) |
(←הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים) |
||
(167 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=חומר עזר= | =חומר עזר= | ||
*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]] | *[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]] | ||
− | *[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים באלגברה לינארית 1]] | + | *[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1]] |
=סרטוני ותקציר הרצאות= | =סרטוני ותקציר הרצאות= | ||
+ | [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-s2FLlORO26_lglSVhtF-Fy פלייליסט של כל הסרטונים] | ||
+ | |||
+ | |||
==פרק 1 - שדות== | ==פרק 1 - שדות== | ||
+ | ===הגדרה ותכונות של שדה=== | ||
+ | *'''שדה''' הוא קבוצה <math>\mathbb{F}</math> יחד עם שתי פעולות <math>+,\cdot</math> כך שמתקיימות התכונות הבאות: | ||
+ | #סגירות: לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}</math> | ||
+ | #קומוטטיביות (חילופיות): לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+b=b+a</math> וכן <math>a\cdot b=b\cdot a</math> | ||
+ | #אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>a,b,c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math> וכן <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math> | ||
+ | #נייטרליים: קיימים <math>0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a</math> | ||
+ | #נגדיים: לכל <math>a\in\mathbb{F}</math> קיים נגדי <math>-a\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>a+(-a)=0_{\mathbb{F}}</math> | ||
+ | #הופכיים: לכל <math>0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F}</math> קיים הופכי <math>a^{-1}\in \mathbb{F}</math> כך ש <math>a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}</math> | ||
+ | #דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל <math>a,b,c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>3SAV7M1gJxM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי שדה <math>\mathbb{F}</math> אזי לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a\cdot b=0_{\mathbb{F}}</math> אם ורק אם <math>a=0_{\mathbb{F}}</math> או <math>b=0_{\mathbb{F}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Xv-OOeh9gj8</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תכונות נוספות של שדות | ||
+ | **<math>(-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a</math> | ||
+ | **אם <math>a+b=a+c</math> אזי <math>b=c</math> | ||
+ | **אם <math>a\neq 0_{\mathbb{F}}</math> וגם <math>a\cdot b = a\cdot c</math> אזי <math>b=c</math> | ||
+ | |||
+ | ===שדות סופיים=== | ||
+ | <videoflash>quaMfbG6eTU</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===שדה המרוכבים=== | ||
+ | ====הגדרת המספרים המרוכבים==== | ||
+ | *<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> | ||
+ | *<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math> | ||
+ | *<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נסמן | ||
+ | **<math>a=(a,0)</math> | ||
+ | **<math>i=(0,1)</math> | ||
+ | *נובע כי <math>a+b\cdot i =(a,b)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>aDPMK03MCLg</videoflash> | ||
+ | |||
+ | *הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math> | ||
+ | **<math>\overline{z}=a-b\cdot i</math> | ||
+ | **<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> | ||
+ | **<math>Re(z)=a</math> | ||
+ | **<math>Im(z)=b</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תכונות | ||
+ | **<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> אם <math>z\neq 0</math> | ||
+ | **<math>z+\overline{z}=2\cdot Re(z)</math> | ||
+ | **<math>z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)</math> | ||
+ | **<math>\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}</math> | ||
+ | **<math>\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>OmslUn1rJqM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)==== | ||
+ | |||
+ | *<math>a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)</math> | ||
+ | *<math>cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)</math> | ||
+ | |||
+ | *<math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math> | ||
+ | *עבור הזוית נחלק למקרים: | ||
+ | **אם <math>a>0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math> | ||
+ | **אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | **אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\theta=-\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | **אם <math>a<0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>3GOI4vdKv4w</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>kmoxv6cTI24</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>(r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *עבור <math>n\geq 2</math> טבעי, ומספר מרוכב <math>a+b\cdot i\neq 0</math> קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה <math>z^n=a+b\cdot i</math> | ||
+ | *הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים: | ||
+ | **נעביר את המספר לצורתו הקוטבית <math>a+b\cdot i = r cis(\theta)</math> | ||
+ | **הפתרונות הם <math>z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)</math> עבור <math>k=0,1,...,n-1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>v7zmdJbGyBI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===תרגול=== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות]] | ||
==פרק 2- מערכות משוואות לינאריות== | ==פרק 2- מערכות משוואות לינאריות== | ||
+ | ===מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות=== | ||
+ | *<math>\mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\}</math> קבוצת הn-יות הסדורות. | ||
+ | *<math>\mathbb{F}^{n\times m}</math> קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה <math>\mathbb{F}</math> | ||
+ | <videoflash>McOiAYPFI8Y</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות=== | ||
+ | *מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ומטריצת (וקטור) קבועים <math>\vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1}</math>. | ||
+ | *קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות: | ||
+ | *<math>\begin{cases} | ||
+ | a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m | ||
+ | \end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | <videoflash>7d0-QKqsKFQ</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===פעולות דירוג אלמנטריות=== | ||
+ | |||
+ | *שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות: | ||
+ | **<math>\alpha R_i</math> עבור <math>0\neq \alpha\in\mathbb{F}</math> (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס) | ||
+ | **<math>R_i+\alpha R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת) | ||
+ | **<math>R_i \leftrightarrow R_j</math> (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>c0OMS3WDhro</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה=== | ||
+ | <videoflash>wAAnDAtYMdc</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית=== | ||
+ | |||
+ | *איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס. | ||
+ | |||
+ | *מטריצה נקראת מדורגת אם: | ||
+ | **אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית. | ||
+ | **כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו. | ||
+ | |||
+ | *מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם: | ||
+ | **היא מדורגת. | ||
+ | **כל האיברים הפותחים שווים ל1. | ||
+ | **בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>0vAfIyylmJQ</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===משתנים חופשיים ותלויים=== | ||
+ | *משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו. | ||
+ | *כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי. | ||
+ | |||
+ | *מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית: | ||
+ | **מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת. | ||
+ | **אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת. | ||
+ | **אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת. | ||
+ | **אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית: | ||
+ | **מדרגים '''קנונית''' את המטריצה שמייצת את המערכת. | ||
+ | **מוודאים שאין שורת סתירה. | ||
+ | **בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר. | ||
+ | **מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>7LVNxZYqxA0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===דירוג מטריצה עם פרמטר=== | ||
+ | <videoflash>xtoSEf5__3g</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית=== | ||
+ | <videoflash>krxl_7L1Fp8</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===תרגול=== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות]] | ||
==פרק 3 - אלגברת מטריצות== | ==פרק 3 - אלגברת מטריצות== | ||
+ | ===חיבור מטריצות וכפל בסקלר=== | ||
+ | |||
+ | *תהיינה <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> | ||
+ | **נגדיר את <math>A+B\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> על ידי <math>[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}</math> | ||
+ | **נגדיר את <math>\alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> על ידי <math>[\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>nPp9fKfX2D4</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===כפל מטריצות=== | ||
+ | *<math>\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n</math> | ||
+ | *<math>\prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n</math> | ||
+ | |||
+ | <videoflash>u2yfOPoNN_A</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהיינה <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k}</math> | ||
+ | **נגדיר את המכפלה <math>AB\in\mathbb{F}^{n\times k}</math> על ידי | ||
+ | **<math>[AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>kQ769lnvuQw</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוקטור <math>\vec{x}</math> הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים <math>A</math> ווקטור הקבועים <math>\vec{b}</math> אם ורק אם <math>A\cdot \vec{x}=\vec{b}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>EJvkvjukJSA</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====שיטות לחישוב כפל מטריצות==== | ||
+ | |||
+ | <videoflash>9OZayHru9Qc</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *חישוב הכפל לפי עמודות | ||
+ | **<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | | & & |\\ | ||
+ | v_1 & \cdots & v_n \\ | ||
+ | | & & |\\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | x_1\\ | ||
+ | \vdots \\ | ||
+ | x_n | ||
+ | \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n</math> | ||
+ | **<math>C_i(AB)=AC_i(B)</math> | ||
+ | *חישוב הכפל לפי שורות | ||
+ | **<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | x_1 & \cdots & x_n\\ | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | - & v_1 & - \\ | ||
+ | & \vdots & \\ | ||
+ | - & v_n & - | ||
+ | \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n</math> | ||
+ | **<math>R_i(AB)=R_i(A)B</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>1oxFEUvo93U</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===תכונות של אלגברת מטריצות=== | ||
+ | *<math>A(B+C)=AB+AC</math> וכן <math>(A+B)C=AC+BC</math> | ||
+ | *<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math> | ||
+ | *<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math> | ||
+ | *<math>(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>vijM_8tKysI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מטריצת היחידה <math>I_n\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מוגדרת על ידי <math>[I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}</math> | ||
+ | *לכל <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> מתקיים כי <math>I_n\cdot A=A\cdot I_m =A</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>NgjeAJ32klI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) | ||
+ | **<math>(AB)C=A(BC)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>d2iJot9FD1I</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית=== | ||
+ | |||
+ | *פתרון '''פרטי''' למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון '''כללי''' למערכת הלא הומוגנית | ||
+ | |||
+ | <videoflash>AVg19Sgbu3w</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===שחלוף=== | ||
+ | |||
+ | *עבור <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> נגדיר את המטריצה המשוחלפת <math>A^t\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> על ידי <math>[A^t]_{ij}=[A]_{ji}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>R_i(A^t)=C_i^t(A)</math> | ||
+ | *<math>C_i(A^t)=R_i^t(A)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>(A^t)^t=A</math> | ||
+ | *<math>(A+B)^t = A^t+B^t</math> | ||
+ | *<math>(\alpha A)^t = \alpha A^t</math> | ||
+ | *<math>(AB)^t=B^tA^t</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Z-SaVq8P4F0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===עקבה=== | ||
+ | *העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון: | ||
+ | **עבור <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר <math>tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תכונות העקבה: | ||
+ | **<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math> | ||
+ | **<math>tr(\alpha A)=\alpha tr(A)</math> | ||
+ | **<math>tr(AB)=tr(BA)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות <math>A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> כך ש <math>AB-BA=I</math> | ||
+ | **<math>tr(AB-BA)=0</math> אך <math>tr(I)=n\neq 0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>n0Ip_PY18G8</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===תרגול=== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2|תרגול בנושא אלגברת מטריצות]] | ||
+ | |||
+ | ===מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות=== | ||
+ | |||
+ | *מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> נקראת '''הפיכה''' אם קיימות מטריצות <math>B,C\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש<math>AB=I_n</math> וכן <math>CA=I_m</math> | ||
+ | *אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה '''יחידה''' שנסמנה <math>A^{-1}</math> ונקרא לה '''ההופכית''' של <math>A</math> המקיימת <math>AA^{-1}=I</math>. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת <math>A^{-1}A=I</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>A</math> הפיכה, אזי למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=\vec{b}</math> יש פתרון יחיד, והוא <math>\vec{x}=A^{-1}\vec{b}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>mDGV4RgivKw</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהיינה <math>A,B</math> הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל <math>AB</math> מוגדר, אזי <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math> | ||
+ | *תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t</math> | ||
+ | *תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^{-1})^{-1}=A</math> | ||
+ | *תהי <math>A</math> הפיכה ויהי סקלר <math>\alpha\neq 0</math> אזי <math>(\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>yMNcwMg5TFI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====מטריצות פעולה==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>f</math> פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת. | ||
+ | *לכל <math>n</math> נגדיר את מטריצת הפעולה <math>f(I_n)</math>. | ||
+ | *לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים כי <math>f(I_m)\cdot A = f(A)</math> | ||
+ | *מטריצת הפעולה היא הפיכה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> קיימת מטריצה הפיכה <math>P\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> כך ש <math>P\cdot A=CF(A)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>YrguBhiobxM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית==== | ||
+ | |||
+ | *מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם <math>B\neq 0</math> אך <math>AB=0</math> או <math>BA=0</math> אזי <math>A</math> אינה הפיכה | ||
+ | *אם ב<math>A</math> השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל <math>B</math> כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב<math>AB</math> היא שורת אפסים. | ||
+ | **ב<math>BA</math> לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת. | ||
+ | *מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה. | ||
+ | *מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>jjyjwLKIpO0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מטריצה <math>A</math> היא הפיכה אם ורק אם <math>CF(A)=I</math> | ||
+ | *אם <math>A,B</math> '''ריבועיות''' כך ש<math>AB=I</math> אזי <math>A^{-1}=B</math> | ||
+ | *תהיינה <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''ריבועיות''' אזי <math>AB</math> הפיכה אם ורק אם <math>A,B</math> הפיכות שתיהן | ||
+ | |||
+ | *דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות). | ||
+ | **<math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>HIyAwF_JMpc</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית===== | ||
+ | *תהי מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> | ||
+ | *נדרג את מטריצת הבלוקים <math>(A|I)</math> קנונית. | ||
+ | *אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של <math>A</math> יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה. | ||
+ | *אחרת, הצורה הקנונית של <math>A</math> היא <math>I</math> ולכן היא הפיכה. | ||
+ | *הגענו למטריצת הבלוקים <math>(I|A^{-1})</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>ZCwFECBzsDA</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====תרגול==== | ||
+ | [[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3|תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה]] | ||
==פרק 4 - מרחבים וקטוריים== | ==פרק 4 - מרחבים וקטוריים== | ||
+ | |||
+ | ===הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים=== | ||
+ | |||
+ | *מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות: | ||
+ | #סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math> | ||
+ | #חילופיות: <math>\forall u,w\in V:u+w=w+u</math> | ||
+ | #אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math> | ||
+ | #נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math> | ||
+ | #נגדיים: <math>\forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V</math> | ||
+ | #נייטרלי לכפל בסקלר: <math>\forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v</math> | ||
+ | #דיסטריביוטיביות (פילוג): <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>wd1XcxGymM0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ויהיו <math>\alpha\in\mathbb{F},u\in V</math> אזי: | ||
+ | **<math>\alpha u = 0_V</math> אם ורק אם <math>\alpha=0_\mathbb{F}</math> או <math>u=0_V</math> | ||
+ | *כמו כן, <math>(-1_\mathbb{F})u=-u</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===תתי מרחבים=== | ||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים. | ||
+ | *אזי <math>U</math> נקרא '''תת מרחב''' של <math>V</math> אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של <math>V</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים. | ||
+ | *אזי <math>U</math> תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים: | ||
+ | **<math>0_V\in U</math> | ||
+ | **לכל <math>v_1,v_2\in U</math> ולכל <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>v_1+\alpha v_2\in U</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>JYKLCPsrzY8</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>N(A)\subseteq\mathbb{F}^n</math> הינה תת מרחב וקטורי. | ||
+ | **קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית '''אינה''' תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>ryvLbuYq5nY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים==== | ||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב. | ||
+ | **<math>U\cap W</math> הינו תת מרחב של <math>V</math>. | ||
+ | **<math>U\cup W</math> תת מרחב של <math>V</math> אם ורק אם <math>U\subseteq W</math> או <math>W\subseteq U</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>CriKpGqFQvs</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב. | ||
+ | *נגדיר את סכום תתי המרחבים: | ||
+ | **<math>U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>U+W</math> הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>U,W</math>. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם: | ||
+ | **לכל תת מרחב <math>U,W\subseteq T</math> מתקיים כי <math>U,W\subseteq U+W\subseteq T</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>U\cap W</math> הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב<math>U,W</math>. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם: | ||
+ | **לכל תת מרחב <math>T\subseteq U,W</math> מתקיים כי <math>T\subseteq U\cap W\subseteq U,W</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>JbSFfscwrSE</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | *<math>V=\mathbb{R}^3</math> | ||
+ | *<math>U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> | ||
+ | *<math>W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math> | ||
+ | *<math>U+W=V</math> | ||
+ | *ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW: | ||
+ | **<math>(4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *סכום ישר: | ||
+ | *יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש <math>V=U\oplus W</math> אם מתקיימים שני התנאים הבאים: | ||
+ | **<math>V=U+W</math> | ||
+ | **<math>U\cap W =\{0_V\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *משפט: | ||
+ | *<math>V=U\oplus W</math> אם ורק אם לכל וקטור <math>v\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' <math>v=u+w</math> כסכום של רכיבים מU ומW. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>T3OkiTwXoH0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====תרגול==== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4|תרגול על מרחבים ותתי מרחבים]] | ||
+ | |||
+ | ===פרישה ותלות לינארית=== | ||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>. | ||
+ | **וקטור <math>x\in V</math> נקרא '''צירוף לינארי''' של הקבוצה <math>S</math> אם <math>x=0_V</math> או קיימים וקטורים בקבוצה <math>v_1,...,v_n\in S</math> וסקלרים מהשדה <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math> | ||
+ | *כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0) | ||
+ | *אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא <math>span(S)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *טענה: יהי V מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> אזי <math>span(S)</math> הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>S</math>. כלומר: | ||
+ | **<math>span(S)</math> תת מרחב וקטורי | ||
+ | **לכל תת מרחב <math>T</math> כך ש <math>S\subseteq T</math> מתקיים כי <math>S\subseteq span(S)\subseteq T</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>4hLYHhGE-68</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי n-ית וקטורים <math>(v_1,...,v_n)\in V^n</math>. אומרים שהוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> (לאו דווקא שונים) '''תלויים לינארית''' או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> '''לא כולם אפס''' כך שהצירוף הלינארי מתאפס <math>a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V</math>. | ||
+ | *אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם '''בלתי תלויים לינארית''' או בת"ל בקיצור. | ||
+ | *קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימים <math>v_1,...,v_n\in S</math> וקטורים '''שונים''' שתלויים לינארית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>7xoVNM3OX2A</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהיו <math>v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n</math>. | ||
+ | *הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה <math>x_1v_1+...+x_kv_k=0_V</math> הוא שכל הסקלרים הם אפסים. | ||
+ | **בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות <math>x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix}</math> | ||
+ | *לכן אם נשים את הוקטורים '''בעמודות''' מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש '''פתרון יחיד''' כלומר <math>N(A)=\{0_v\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם <math>v\in span\{v_1,...,v_k\}</math>: | ||
+ | **נשים את הוקטורים <math>v_1,...,v_k</math> '''בעמודות''' מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים. | ||
+ | **הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>JOYrFXvKwzY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===בסיס ומימד=== | ||
+ | *לֶמת ההחלפה של שטייניץ | ||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו ותהיינה <math>A\subseteq V</math> בת"ל וכן <math>B\subseteq V</math> פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>). | ||
+ | *אזי לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>b\notin A\setminus \{a\}</math> וגם הקבוצה <math>(A\setminus \{a\})\cup \{b\}</math> בת"ל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>_vIuR0AuJ68</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>B\subseteq V</math> קבוצה פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>) כך ש <math>|B|=n</math> (כלומר יש בה n וקטורים). | ||
+ | *תהי בנוסף <math>A\subseteq V</math> קבוצה בת"ל, אזי <math>|A|\leq |B|</math> (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>nHeL8a3KNhs</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הגדרת בסיס: | ||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> קבוצת וקטורים. | ||
+ | *אם <math>S</math> בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר <math>sp(S)=V</math>) אזי היא נקראת '''בסיס''' למרחב <math>V</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית <math>B\subseteq V</math> שפורשת את כל המרחב <math>sp(B)=V</math>). | ||
+ | *אזי קיים לו בסיס סופי. | ||
+ | *כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים. | ||
+ | *כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות '''המימד''' של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים <math>dim(V)=|B|</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>UR9LnbO4QGE</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====העשרה==== | ||
+ | |||
+ | *לכל מרחב וקטורי יש בסיס. | ||
+ | *ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M. | ||
+ | *נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B. | ||
+ | *B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן) | ||
+ | *B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>qzUDzq2pB1Q</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====משפט השלישי חינם==== | ||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>. | ||
+ | *אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו<math>S</math> מהווה בסיס למרחב <math>V</math>. | ||
+ | **<math>S</math> בת"ל | ||
+ | **<math>S</math> פורשת (כלומר <math>sp(S)=V</math>) | ||
+ | **<math>|S|=n</math> (כלומר כמות הוקטורים ב<math>S</math> שווה למימד) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>PuWBn0h7POQ</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב. | ||
+ | *אם <math>\dim (U)=\dim (V)</math> אזי <math>U=V</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Ab1UEuTwM_U</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====תרגול==== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד]] | ||
+ | |||
+ | ===משפט המימדים=== | ||
+ | <math>sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>eLO8bpTu3N4</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>47JbbBo48BA</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====תרגול==== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|תרגול על משפט המימדים]] | ||
+ | |||
+ | ===הצגה פרמטרית ואלגברית=== | ||
+ | <videoflash>N-NLiHVo3_0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים=== | ||
+ | |||
+ | *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> | ||
+ | **<math>R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n</math> | ||
+ | **<math>C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m</math> | ||
+ | **<math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>KC3s33u3x4o</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>R(AB)\subseteq R(B)</math> | ||
+ | *<math>C(AB)\subseteq C(A)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>WWcHqqshzlo</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות. | ||
+ | *על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>W3jcV4O-FLc</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס. | ||
+ | *לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>XKutm8q2elw</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====תרגול==== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|תרגול בנושא מרחבי המטריצה]] | ||
+ | |||
+ | ===דרגה של מטריצה=== | ||
+ | |||
+ | *בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>pMNQF8yucGs</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כל הגדלים הבאים שווים: | ||
+ | **דרגה של מטריצה | ||
+ | **מימד מרחב העמודות | ||
+ | **מימד מרחב השורות | ||
+ | **מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת | ||
+ | **מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>K3GRdLnuVm4</videoflash> | ||
==פרק 5 - העתקות לינאריות== | ==פרק 5 - העתקות לינאריות== | ||
+ | |||
+ | ===העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>. | ||
+ | *פונקציה <math>T:V\to W</math> נקראת '''העתקה לינארית''' אם לכל <math>v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F}</math> היא מקיימת: | ||
+ | **<math>T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2</math> | ||
+ | **<math>T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב לסימון <math>Tv_1=T(v_1)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>jU5KHYC2E7s</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====פעולות בין העתקות לינאריות==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית | ||
+ | *סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית | ||
+ | *הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>YxwGnruuVzk</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===גרעין ותמונה=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | * תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית | ||
+ | ** הגרעין <math>\ker T=\{v\in V|Tv=0_W\}</math> הוא תת מרחב של התחום <math>V</math> | ||
+ | ** התמונה <math>Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\}</math> היא תת מרחב של הטווח <math>W</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ההעתקה <math>T:V\to W</math> חח"ע אם ורק אם <math>\dim\ker T=0</math> | ||
+ | *ההעתקה <math>T:V\to W</math> על אם ורק אם <math>\dim Im T = \dim W</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>8dQ9s5sLfGY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות==== | ||
+ | |||
+ | *תהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס לV. | ||
+ | *אזי <math>Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>jT-LlnbGFmM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית אזי <math>\dim \ker T +\dim Im T = \dim V</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי <math>\dim N(A) + rank(A)=n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>iJWnxV8jZ3A</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית. | ||
+ | **אם T חח"ע אז <math>\dim V\leq \dim W</math> | ||
+ | **אם T על אזי <math>\dim V \geq \dim W</math> | ||
+ | **אם <math>\dim V = \dim W</math> אזי T חח"ע אם"ם T על. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *העתקה לינארית נקראת גם '''הומומורפיזם'''. העתקה לינארית הפיכה נקראת '''איזומורפיזם'''. | ||
+ | *מרחבים וקטוריים נקראים '''איזומורפייים''' זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות). | ||
+ | *מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Y-NJvNQWFzM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====תרגול==== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה]] | ||
+ | |||
+ | ===יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה=== | ||
+ | |||
+ | *יהי V מ"ו ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. | ||
+ | *אזי לכל <math>x\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס: | ||
+ | **<math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>qzvrMPhp3eY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. | ||
+ | *תהיינה סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_n\in W</math> לאו דווקא שונים. | ||
+ | *אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת: | ||
+ | **לכל i מתקיים כי <math>Tv_i=w_i</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>NvTFxVhaenY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===מטריצה מייצגת העתקה=== | ||
+ | <videoflash>IOYMxNgkQoY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====קואורדינטות==== | ||
+ | |||
+ | *יהי V מ"ו ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV. | ||
+ | *לכל <math>v\in V</math> נגדיר את '''וקטור הקואורדינטות לפי B''' להיות הסקלים מההצגה היחידה: | ||
+ | **<math>[v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}</math> אם ורק אם <math>v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>wi8TNSA5Los</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נגדיר פונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> ע"י <math>Tv=[v]_B</math>, אזי T היא איזומורפיזם. לכן | ||
+ | **<math>[a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B</math> | ||
+ | **הסדרה <math>u_1,...,u_k\in V</math> בת"ל אם ורק אם הסדרה <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל | ||
+ | **<math>v\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם ורק אם <math>[v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>VSpBzsMVgMw</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====משפט קיום ויחידות==== | ||
+ | *יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>. | ||
+ | *נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו. | ||
+ | *נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו. | ||
+ | *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית. | ||
+ | *אזי: | ||
+ | **'''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' <math>[T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המקיימת: | ||
+ | **לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *על מנת למצוא את המטריצה המייצגת: | ||
+ | **נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום. | ||
+ | **נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח. | ||
+ | **נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>[T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>iglkE9qqy84</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית==== | ||
+ | |||
+ | *יהיו <math>V,W</math> מ"ו ממימד סופי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math> עם בסיסים <math>B,C</math> בהתאמה. | ||
+ | *תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> | ||
+ | *אזי | ||
+ | **<math>[T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C</math> | ||
+ | **<math>[\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C</math> | ||
+ | **<math>[S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B</math> | ||
+ | **ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת <math>[T]^B_C</math> הפיכה | ||
+ | ***אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי <math>[T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>EYU0bMBYEJM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====מטריצות מעבר בין בסיסים==== | ||
+ | *<math>[I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}</math> | ||
+ | *<math>\left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>FIoJr-dRk9Y</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===שלוש צורות הצגת ההעתקה=== | ||
+ | *ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים: | ||
+ | **נוסחא מפורשת | ||
+ | **לפי בסיס | ||
+ | **בעזרת מטריצה מייצגת | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>ouEdwylqPiQ</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====תרגול===== | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים]] | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות]] | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/10|תרגול נוסף בנושא העתקות]] | ||
==פרק 6 - דטרמיננטות== | ==פרק 6 - דטרמיננטות== | ||
+ | ===תמורות=== | ||
+ | |||
+ | *נגדיר את אוסף התמורות <math>S_n</math> להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה <math>\{1,2,...,n\}</math> לעצמה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכל תמורה (פונקציה) <math>f\in S_n</math> נגדיר את סימן התמורה <math>sign(f)=\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}</math> | ||
+ | *תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי <math>sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *עבור תמורת הזהות <math>I\in S_n</math> מתקיים כי<math>sign(I)=1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *חילוף הוא תמורה <math>(i\ j)\in S_n</math> המחליפה בין האיברים <math>i,j</math> ושולחת את שאר האיברים לעצמם. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מחזור הוא תמורה <math>(p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k)</math> וסימנו הוא <math>(-1)^{k-1}</math> | ||
+ | *המחזור שולח כל איבר <math>p_{i-1}</math> ל<math>p_i</math>, את <math>p_k</math> ל<math>p_1</math> ואת שאר האיברים לעצמם. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===הגדרת הדטרמיננטה ותכונות=== | ||
+ | *עבור מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את הדטרמיננטה: | ||
+ | **<math>det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>iS2k9gdW51A</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ויהיו <math>1\leq i\neq j\leq n</math> כך ש <math>R_i(A)=R_j(A)</math> אזי <math>det(A)=0</math> | ||
+ | *כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>OJG5zEfaJRE</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהי <math>B</math> המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על <math>A</math> אזי: | ||
+ | **אם פעולת הדירוג היא <math>R_i+a\cdot R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=|A|</math> | ||
+ | **אם פעולת הדירוג היא <math>a\cdot R_i</math> אזי <math>|B|=a\cdot |A|</math> | ||
+ | **אם פעולת הדירוג היא <math>R_i \leftrightarrow R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=-|A|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>QpfCfN5K8VY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות=== | ||
+ | |||
+ | *עבור מטריצה משולשית <math>A</math> מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי <math>|AB|=|A|\cdot |B|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>kaM3ugX7izs</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===דטרמיננטת המשוחלפת=== | ||
+ | |||
+ | *<math>|A^t|=|A|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה=== | ||
+ | |||
+ | *<math>A_{ij}</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה. | ||
+ | *הדטרמיננטה <math>|A_{ij}|</math> נקראית '''מינור'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> | ||
+ | *לכל j מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Yb1rS4lNyWk</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===מטריצה נלווית=== | ||
+ | |||
+ | *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את המטריצה הנלווית <math>adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ע"י: | ||
+ | **<math>[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מתקיים כי <math>A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם A הפיכה מתקיים כי <math>A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מתקיים כי <math>|adj(A)|=|A|^{n-1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===כלל קרמר=== | ||
+ | *תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''הפיכה''' ויהי <math>b\in\mathbb{F}^n</math> וקטור קבועים. | ||
+ | *אזי הפתרון היחיד <math>\vec{x}=(x_1,...,x_n)</math> למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=b</math> מקיים כי: | ||
+ | *לכל i ערך המשתנה נתון ע"י <math>x_i =\frac{|A_i|}{|A|}</math> | ||
+ | *כאשר <math>A_i</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי החלפת העמודה ה<math>i</math> בוקטור הקבועים <math>b</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה. | ||
+ | *במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===תרגול=== | ||
+ | *[[מדיה:88-112-2011S11.pdf|תרגול בנושא דטרמיננטות]] | ||
+ | *[[מדיה:88-112-2011S12b.pdf|תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות]] | ||
+ | *[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11|עוד אחד]] |
גרסה אחרונה מ־07:30, 18 ביולי 2023
חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - שדות
הגדרה ותכונות של שדה
- שדה הוא קבוצה
יחד עם שתי פעולות
כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות: לכל
מתקיים כי
- קומוטטיביות (חילופיות): לכל
מתקיים כי
וכן
- אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל
מתקיים כי
וכן
- נייטרליים: קיימים
כך שלכל
מתקיים כי
- נגדיים: לכל
קיים נגדי
כך ש
- הופכיים: לכל
קיים הופכי
כך ש
- דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל
מתקיים כי
- יהי שדה
אזי לכל
מתקיים כי
אם ורק אם
או
- תכונות נוספות של שדות
- אם
אזי
- אם
וגם
אזי
שדות סופיים
שדה המרוכבים
הגדרת המספרים המרוכבים
- נסמן
- נובע כי
- הגדרות עבור
- תכונות
אם
צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)
- עבור הזוית נחלק למקרים:
- אם
אזי
- אם
וגם
אזי
- אם
וגם
אזי
- אם
אזי
- אם
- עבור
טבעי, ומספר מרוכב
קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה
- הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית
- הפתרונות הם
עבור
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית
תרגול
פרק 2- מערכות משוואות לינאריות
מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות
קבוצת הn-יות הסדורות.
קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה
הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות
- מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים
ומטריצת (וקטור) קבועים
.
- קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
פעולות דירוג אלמנטריות
- שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
עבור
(כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
עבור
(הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
(החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)
ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה
צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית
- איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
- מטריצה נקראת מדורגת אם:
- אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
- כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
- מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
- היא מדורגת.
- כל האיברים הפותחים שווים ל1.
- בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.
משתנים חופשיים ותלויים
- משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
- כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
- מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
- אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
- מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
- מוודאים שאין שורת סתירה.
- בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
- מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.
דירוג מטריצה עם פרמטר
הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית
תרגול
פרק 3 - אלגברת מטריצות
חיבור מטריצות וכפל בסקלר
- תהיינה
ויהי סקלר
- נגדיר את
על ידי
- נגדיר את
על ידי
- נגדיר את
כפל מטריצות
- תהיינה
- נגדיר את המכפלה
על ידי
- נגדיר את המכפלה
- הוקטור
הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים
ווקטור הקבועים
אם ורק אם
שיטות לחישוב כפל מטריצות
- חישוב הכפל לפי עמודות
- חישוב הכפל לפי שורות
תכונות של אלגברת מטריצות
וכן
וכן
- מטריצת היחידה
מוגדרת על ידי
- לכל
מתקיים כי
- לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית
- פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית
שחלוף
- עבור
נגדיר את המטריצה המשוחלפת
על ידי
עקבה
- העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
- עבור
נגדיר
- עבור
- תכונות העקבה:
- דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות
כך ש
אך
תרגול
מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות
- מטריצה
נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות
כך ש
וכן
- אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה
ונקרא לה ההופכית של
המקיימת
. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת
.
- תהי
הפיכה, אזי למערכת המשוואות
יש פתרון יחיד, והוא
- תהיינה
הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל
מוגדר, אזי
- תהי
הפיכה אזי
- תהי
הפיכה אזי
- תהי
הפיכה ויהי סקלר
אזי
מטריצות פעולה
- תהי
פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
- לכל
נגדיר את מטריצת הפעולה
.
- לכל מטריצה
מתקיים כי
- מטריצת הפעולה היא הפיכה.
- לכל מטריצה
קיימת מטריצה הפיכה
כך ש
בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית
- מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם
אך
או
אזי
אינה הפיכה
- אם ב
השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל
כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב
היא שורת אפסים.
- ב
לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
- ב
- מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
- מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.
- מטריצה
היא הפיכה אם ורק אם
- אם
ריבועיות כך ש
אזי
- תהיינה
ריבועיות אזי
הפיכה אם ורק אם
הפיכות שתיהן
- דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
- תהי מטריצה ריבועית
- נדרג את מטריצת הבלוקים
קנונית.
- אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של
יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
- אחרת, הצורה הקנונית של
היא
ולכן היא הפיכה.
- הגענו למטריצת הבלוקים
.
תרגול
תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה
פרק 4 - מרחבים וקטוריים
הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים
- מרחב וקטורי
מעל שדה
הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות:
- חילופיות:
- אסוציאטיביות (קיבוץ):
- נייטרלי לחיבור:
- נגדיים:
- נייטרלי לכפל בסקלר:
- דיסטריביוטיביות (פילוג):
- יהי
מ"ו מעל שדה
ויהיו
אזי:
אם ורק אם
או
- כמו כן,
תתי מרחבים
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי
תת קבוצה של וקטורים.
- אזי
נקרא תת מרחב של
אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של
.
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי
תת קבוצה של וקטורים.
- אזי
תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- לכל
ולכל
מתקיים כי
- תהי
אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית
הינה תת מרחב וקטורי.
- קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.
- אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.
- אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.
חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ויהיו
, תתי מרחב.
הינו תת מרחב של
.
תת מרחב של
אם ורק אם
או
.
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ויהיו
, תתי מרחב.
- נגדיר את סכום תתי המרחבים:
הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את
. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב
מתקיים כי
- לכל תת מרחב
הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב
. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב
מתקיים כי
- לכל תת מרחב
- דוגמא:
- ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
- סכום ישר:
- יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש
אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- משפט:
אם ורק אם לכל וקטור
קיימת הצגה יחידה
כסכום של רכיבים מU ומW.
- כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.
תרגול
פרישה ותלות לינארית
- יהי
מ"ו מעל שדה
ותהי
.
- וקטור
נקרא צירוף לינארי של הקבוצה
אם
או קיימים וקטורים בקבוצה
וסקלרים מהשדה
כך ש
- וקטור
- כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
- אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא
.
- טענה: יהי V מ"ו ותהי
אזי
הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את
. כלומר:
תת מרחב וקטורי
- לכל תת מרחב
כך ש
מתקיים כי
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי n-ית וקטורים
. אומרים שהוקטורים
(לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים
לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס
.
- אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
- קבוצה
נקראת תלוייה לינארית אם קיימים
וקטורים שונים שתלויים לינארית.
- יהיו
.
- הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה
הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
- בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות
- בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות
- לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר
- באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם
:
- נשים את הוקטורים
בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
- הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.
- נשים את הוקטורים
בסיס ומימד
- לֶמת ההחלפה של שטייניץ
- יהי
מ"ו ותהיינה
בת"ל וכן
פורשת (כלומר
).
- אזי לכל
קיים
כך ש
וגם הקבוצה
בת"ל.
- יהי
מ"ו ותהי
קבוצה פורשת (כלומר
) כך ש
(כלומר יש בה n וקטורים).
- תהי בנוסף
קבוצה בת"ל, אזי
(כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).
- הגדרת בסיס:
- יהי
מ"ו ותהי
קבוצת וקטורים.
- אם
בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר
) אזי היא נקראת בסיס למרחב
.
- יהי
מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית
שפורשת את כל המרחב
).
- אזי קיים לו בסיס סופי.
- כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
- כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים
.
- כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.
העשרה
- לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
- ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
- נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
- B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
- B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.
משפט השלישי חינם
- יהי
מ"ו ממימד
ותהי
.
- אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו
מהווה בסיס למרחב
.
בת"ל
פורשת (כלומר
)
(כלומר כמות הוקטורים ב
שווה למימד)
- יהי
מ"ו נוצר סופית, ויהי
תת מרחב.
- אם
אזי
תרגול
משפט המימדים
תרגול
הצגה פרמטרית ואלגברית
שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים
- תהי
- על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
- על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.
- ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
- לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.
תרגול
דרגה של מטריצה
- בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.
- כל הגדלים הבאים שווים:
- דרגה של מטריצה
- מימד מרחב העמודות
- מימד מרחב השורות
- מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
- מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית
- כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.
- ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).
פרק 5 - העתקות לינאריות
העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות
- יהיו
מ"ו מעל אותו שדה
.
- פונקציה
נקראת העתקה לינארית אם לכל
היא מקיימת:
- שימו לב לסימון
פעולות בין העתקות לינאריות
- הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית
גרעין ותמונה
- תהי
העתקה לינארית
- הגרעין
הוא תת מרחב של התחום
- התמונה
היא תת מרחב של הטווח
- הגרעין
- ההעתקה
חח"ע אם ורק אם
- ההעתקה
על אם ורק אם
משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות
- תהי העתקה לינארית
ויהי
בסיס לV.
- אזי
- תהי
העתקה לינארית אזי
- תהי
אזי
- תהי
העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
- אם T חח"ע אז
- אם T על אזי
- אם
אזי T חח"ע אם"ם T על.
- אם T חח"ע אז
- העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
- מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
- מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.
תרגול
יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה
- יהי V מ"ו ויהי
בסיס סדור לV.
- אזי לכל
קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
- יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי
בסיס סדור לV.
- תהיינה סדרת וקטורים
לאו דווקא שונים.
- אזי קיימת העתקה לינארית יחידה
המקיימת:
- לכל i מתקיים כי
- לכל i מתקיים כי
מטריצה מייצגת העתקה
קואורדינטות
- יהי V מ"ו ויהי
בסיס סדור לV.
- לכל
נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
אם ורק אם
- מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!
- נגדיר פונקציה
ע"י
, אזי T היא איזומורפיזם. לכן
- הסדרה
בת"ל אם ורק אם הסדרה
בת"ל
אם ורק אם
משפט קיום ויחידות
- יהיו
מ"ו מעל אותו שדה
.
- נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
- נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
- תהי
העתקה לינארית.
- אזי:
- קיימת מטריצה יחידה
המקיימת:
- לכל
מתקיים כי
- קיימת מטריצה יחידה
- על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
- נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
- נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
- נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.
המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית
- יהיו
מ"ו ממימד סופי מעל השדה
עם בסיסים
בהתאמה.
- תהי
העתקה לינארית, ויהי סקלר
- אזי
- ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת
הפיכה
- אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי
- אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי
מטריצות מעבר בין בסיסים
שלוש צורות הצגת ההעתקה
- ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
- נוסחא מפורשת
- לפי בסיס
- בעזרת מטריצה מייצגת
תרגול
- תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
- תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
- תרגול נוסף בנושא העתקות
פרק 6 - דטרמיננטות
תמורות
- נגדיר את אוסף התמורות
להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה
לעצמה.
- לכל תמורה (פונקציה)
נגדיר את סימן התמורה
- תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.
- כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי
- עבור תמורת הזהות
מתקיים כי
- חילוף הוא תמורה
המחליפה בין האיברים
ושולחת את שאר האיברים לעצמם.
- חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).
- מחזור הוא תמורה
וסימנו הוא
- המחזור שולח כל איבר
ל
, את
ל
ואת שאר האיברים לעצמם.
- כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.
הגדרת הדטרמיננטה ותכונות
- עבור מטריצה ריבועית
נגדיר את הדטרמיננטה:
- תהי
ויהיו
כך ש
אזי
- כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.
- תהי
ותהי
המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על
אזי:
- אם פעולת הדירוג היא
עבור
אזי
- אם פעולת הדירוג היא
אזי
- אם פעולת הדירוג היא
עבור
אזי
- אם פעולת הדירוג היא
חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות
- עבור מטריצה משולשית
מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.
- מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.
- לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי
דטרמיננטת המשוחלפת
- פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות
נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה
היא המטריצה המתקבלת מ
על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
- הדטרמיננטה
נקראית מינור.
- לכל i מתקיים כי
- לכל j מתקיים כי
מטריצה נלווית
- תהי
נגדיר את המטריצה הנלווית
ע"י:
- מתקיים כי
- אם A הפיכה מתקיים כי
- מתקיים כי
כלל קרמר
- תהי
הפיכה ויהי
וקטור קבועים.
- אזי הפתרון היחיד
למערכת המשוואות
מקיים כי:
- לכל i ערך המשתנה נתון ע"י
- כאשר
היא המטריצה המתקבלת מ
על ידי החלפת העמודה ה
בוקטור הקבועים
- במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
- במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.