משפט רול: הבדלים בין גרסאות בדף
(←הוכחה) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==משפט רול== | ==משפט רול== | ||
תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש- <math>f(a)=f(b)</math> . | |||
אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math> . | |||
אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math> | |||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה. | נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע [[משפט פרמה (אינפי)|ממשפט פרמה]]. | ||
לפי משפט | לפי משפט ויירשטראס השני, כיון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. | ||
נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, | נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע <math>[a,b]</math> . על כן, כיון ש- <math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה. | ||
אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה. | אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה. | ||
== ראו גם == | ==ראו גם== | ||
*[[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] | |||
* [[משפט פרמה (אינפי)|משפט פרמה]] | *[[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']] | ||
* [[משפט לגראנז' (אינפי)|משפט לגראנז']] | |||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה אחרונה מ־09:59, 13 באוקטובר 2016
משפט רול
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math] .
אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=0 }[/math] .
הוכחה
נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
לפי משפט ויירשטראס השני, כיון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.
נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . על כן, כיון ש- [math]\displaystyle{ f(a)=f(b) }[/math] אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.