88-132 סמסטר א' תשעא

88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1

קישורים

דף שאלות ותשובות

תרגילים

הודעות

מבחן מועד א'

פתרון מועד א'

פתרון מועד ב'

ציוני התרגיל

ציונים. הציון הינו ממוצע של 9 התרגילים הטובים והבוחן. ערעורים יש להגיש בהקדם, נא לא להגיש ערעור על תרגיל אם זה לא משפיע על הציון הסופי.

פתרון שאלה משיעור החזרה

שאלה

תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה חיובית יורדת

1. הוכח ש[math]\displaystyle{ nb_n\rightarrow 0 }[/math] הינו תנאי הכרחי להתכנסות הטור [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math]
2. הוכח דרך דוגמא שתנאי זה אינו מספיק להתכנסות הטור
3. הוכח דרך דוגמא שהתנאי אינו הכרחי אם [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אינה יורדת

פתרון

1.

אם הטור מתכנס, אזי הסדרה b_n שואפת לאפס ולכן מתקיימים תנאי מבחן העיבוי. לכן הטור [math]\displaystyle{ \sum 2^nb_{2^n} }[/math] מתכנס ולכן הסדרה [math]\displaystyle{ 2^nb_{2^n} }[/math] שואפת לאפס.

לכל n קיים k כך ש [math]\displaystyle{ 2^k\lt n\lt 2^{k+1} }[/math]. מכיוון שהסדרה יורדת מתקיים [math]\displaystyle{ b_{2^{k}}\geq b_n \geq b_{2^{k+1}} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ nb_{2^{k}}\geq nb_n \geq nb_{2^{k+1}} }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ 2^{k+1}b_{2^{k}}\geq nb_n \geq 2^kb_{2^{k+1}} }[/math].

אבל [math]\displaystyle{ 2^{k+1}b_{2^{k}}=2\cdot 2^kb_{2^k}\rightarrow 0 }[/math] וכמו כן [math]\displaystyle{ 2^{k}b_{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\cdot 2^kb_{2^k}\rightarrow 0 }[/math]

ולפי חוק הסנדביץ גם הסדרה [math]\displaystyle{ nb_n }[/math] שואפת לאפס.

2.

ניקח את הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{nlogn} }[/math] שלמדנו שאינו מתכנס לפי מבחן העיבוי. למרות זאת, [math]\displaystyle{ n\cdot\frac{1}{nlogn}=\frac{1}{logn}\rightarrow 0 }[/math]

3.

ניקח את הסדרה b_n ששווה לאפס כאשר n אינו ריבוע שלם ושווה ל[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] אחרת.

כלומר [math]\displaystyle{ b_n=1,0,0,\frac{1}{4},0,0,0,0,\frac{1}{9},0,0,... }[/math]

אזי הטור שווה בעצם ל[math]\displaystyle{ \sum \frac{1}{n^2} }[/math] והוא מתכנס, אבל ל[math]\displaystyle{ nb_n }[/math] יש תת-סדרה ששואפת ל1 ולכן אינה שואפת לאפס.

שיעורי חזרה

• יום א' 23/01/11 בשעה 14:00 בחדר מחלקה
• יום ה' 27/01/11 בשעה 12:00 בחדר מחלקה

מבחן מועד א' של שנה שעברה ופתרונו

מבחן, פתרון

משפטים לפתרון תרגילי רציפות במ"ש

להוכחה:

• המשפט הראשון בתרגיל, שניתן להכליל אותו כך: תהי פונקציה רציפה בקטע A (גם לא סופי). אם יש לה גבולות סופיים בקצות הקטע (גם אם קצה הקטע הוא אינסוף) אזי היא רציפה במ"ש בקטע.
• פונקציה מחזורית שרציפה על כל הממשיים - רציפה במ"ש בכל הממשיים.
• הרכבה של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש. (יש לשים לב שהפונקציה החיצונית רציפה במ"ש על התמונה של הפנימית, למעשה).
• סכום של רציפות במ"ש הינה רציפה במ"ש (אבל כפל לא - x^2=xx).
• תהי f פונקציה רציפה. אם הנגזרת של f חסומה בקטע אזי f רציפה בו במ"ש

לשלילה:

• אם קיים [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] וקיימות שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_n,y_n \in A }[/math] המקיימות: [math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\rightarrow 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \forall n: |f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon }[/math] אזי הפונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A.
• אם פונקציה אינה חסומה בקטע סופי אזי היא אינה רציפה בו במ"ש.
• אם פונקציה אינה רציפה או אינה מוגדרת בקטע היא אינה רציפה בו במ"ש.

הבוחן ופתרונו

בוחן, פתרון

ציוני הבוחן

ציונים

לגבי הבוחן

העובדה ששאלה מסוימת הופיעה בבוחן בשנה שעברה, לא פוסלת אותה מלהופיע שוב השנה.

בוחן לתלמידים של פרופ' זלצמן

בתאריך 06/12/10 יתקיים בוחן על חשבון ההרצאה של אינפי לשתי הקבוצות של פרופ' זלצמן. (בניין 507, חדר 005 שעה 12:00)

החומר לבוחן הוא כל מה שנלמד בתרגול ובהרצאה עד ולא כולל פונקציות (חסמים, סדרות, טורים), סגנון הבוחן דומה לתרגיל (התרגיל בכיתה ותרגילי הבית)

דגשים:

1. יש לדעת לצטט במדוייק את כל ההגדרות והמשפטים שנלמדו, תהיה שאלה של ציטוט הגדרות ומשפטים.
2. יש לעבור על שיעורי הבית (ראה הודעה קודמת) תהיה שאלה מתוך שיעורי הבית (מן הסתם מהשאלות הפחות טריוויאליות).
3. פתרון הבוחן צריך להעשות על ידי הוכחות מתמטיות בלבד. טיעוניים של 'בערך' לא יקבלו ניקוד כלל.
4. ניתן להסתכל בבוחן משנה שעברה. המבנה אינו חייב להיות זהה, אבל זה תרגול טוב. פתרון הבוחן.
5. מטרת הבוחן, מלבד הציון, הינה להציב מולכם מראה של מצבכם הנוכחי. גם אם לא תצליחו בבוחן, אל תתייאשו - יש זמן לתקן עד המבחן.

בהצלחה.

דוגמא לבחירת סוג התכנסות של טור עם פרמטר

דוגמא.

ציוני תרגיל 1-4 לתלמידים של פרופ' זלצמן

ציונים

דחיית הבוחן לתלמידים של זלצמן

על מנת להקל עליכם ולא לבצע שלושה בחנים בשבוע, הוחלט לדחות בשבועיים את הבוחן באינפי לתאריך 06/12/10. הבוחן יכלול את כל החומר בסדרות ובטורים, ולא יכלול פונקציות (שתלמדו בהמשך).

דוגמאות לתרגילים על סדרות קושי

דוגמאות.

תיקון בנושא נקודות הצטברות לתלמידים של ארז שיינר

בכיתה השמטתי חלק מההגדרה, הנה ההגדרה המדוייקת:

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math]. נקודה L נקראת נקודת הצטברות של A אם לכל קבוצה פתוחה שמכילה את L (נסמן אותה ב[math]\displaystyle{ N_L }[/math]) מתקיים [math]\displaystyle{ N_L\cap A\neq\phi }[/math] וגם [math]\displaystyle{ N_L\cap A\neq \{L\} }[/math]. במילים אחרות, קיימת נקודה [math]\displaystyle{ a\in N_L\cap A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\neq L }[/math].

אני חושב שיותר פשוט להבין את ההגדרה הבאה ללא קבוצות פתוחות (אלו הגדרות שקולות):

תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq \mathbb{R} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math]. נקודה L נקראת נקודת הצטברות של A אם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ y\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0\lt |y-L|\lt \epsilon }[/math].

הגדרה: קבוצה סגורה הינה קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה.

תיקון לתרגיל 5

שימו לב לתיקון בתרגיל 5 שאלה 4 --ארז שיינר 13:58, 8 בנובמבר 2010 (IST)

קריאת פתרונות התרגילים באתר

קריאת פתרונות התרגילים המפורסמים באתר הינה בגדר חובה לכל תלמידי הקורס ללא תלות בציון תרגילי הבית שהוגשו. לעיתים קרובות טעויות מהותיות מתפספסות בבדיקה ואחרי כן טעויות אלה מוצאות את דרכן אל עבר דפי המבחן. אם נדמה לך שפתרת תרגיל מסוים בדרך מהירה יותר מאשר זו הרשומה באתר, דאג להבין גם את הדרך בפתרון שלנו.

כמובן שאם מצאתם טעות בפתרון המפורסם באתר, עליכם להודיע על כך במהרה על מנת שנוכל לתקנו.

הגדרת limsup ,liminf

תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math].

נגדיר סדרה [math]\displaystyle{ \{b_n\} }[/math] באופן הבא: [math]\displaystyle{ b_n=sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\} }[/math],

אזי [math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_n=inf\{b_1,b_2,b_3,...\} }[/math]

נגדיר סדרה [math]\displaystyle{ \{c_n\} }[/math] באופן הבא: [math]\displaystyle{ c_n=inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\} }[/math],

אזי [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n=sup\{c_1,c_2,c_3,...\} }[/math]

במילים, אנחנו מחפשים את החסמים העליונים והתחתונים של הסדרה, שנשמרים לאורך הסדרה ולא נקבעים על ידי מספר סופי של איברים, לכן אנו מסתכלים על החסם של קבוצת חסמי הסדרה אחרי השמטת n איברים הראשונים.

סדרות מונוטוניות

על מנת להוכיח שסדרה היא מונוטונית עולה, מספיק להוכיח את אחד התנאים הבאים (לכל n):

• [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\gt 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1 }[/math]

שני התנאים גוררים את אי השיוויון [math]\displaystyle{ a_{n+1}\gt a_n }[/math]

גבול של סדרה

תהי סדרת מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ \{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,... }[/math], (כך ש [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,...\in\mathbb{R} }[/math]).

לדוגמא:

[math]\displaystyle{ \{\frac{1}{2^n}\}_1^{\infty}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},... }[/math]

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: [math]\displaystyle{ 0,1,0,1,0,... }[/math] (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

הגדרת הגבול

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb{R} }[/math] נקרא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אם לכל [math]\displaystyle{ 0\lt \epsilon\in\mathbb{R} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math].

הסבר ההגדרה

נתרגם את זה למילים. למדנו ש[math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] מודד אורך, מספר טבעי [math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math] מסמל מקום בסדרה, וערך מוחלט של הפרש מודד מרחק בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:

נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math]

אם לכל אורך ([math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]) [סיר]

קיים מקום בסדרה ([math]\displaystyle{ N_{\epsilon}\in\mathbb{N} }[/math]) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל [math]\displaystyle{ n\gt N_{\epsilon} }[/math]) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] ([math]\displaystyle{ |a_n-L|\lt \epsilon }[/math]) [מתאים לו]

הגדרות

חובה לדעת את ההגדרות באופן מדוייק במהלך כל השנה. הגדרות כמו חסם מלעיל, חסם עליון, שדה שלם וכדומה. אתם גם עשויים להבחן על הגדרות אלו.

ידיעה של ההגדרות מקלה פי כמה על הבנת ההוכחות והמושגים החדשים שנלמדים בקורס, שכן מושגים, משפטים והוכחות נשענים על החומר שקדם להם.

הגשת תרגילים

הגשת תרגילים תתבצע כך:

• דפים משודכים עם שדכן בצד ימין למעלה. (ללא ניילוניות!).
• על העמוד הראשי יש לציין: שם המגיש, תעודת זהות, שם המתרגל.
• את התרגיל יש להגיש כל שבוע למתרגל בעת השיעור (החל משבוע הבא - בו תגישו את התרגיל הראשון).
• אין להשאיר תרגילים בתא המתרגל (אלא לפי אישור מפורש במקרים חריגים).

ידע נדרש

ברוכים הבאים לקורס אינפי !!!!1

על מנת להצליח בקורס, אתם נדרשים (בין היתר) לדעת היטב את הנושאים הבאים:

• טריגונומטריה (קוסינוסים, סינוסים וכדומה, מתי הפונקציות הטריגונומטריות מתאפסות, מתי מגיעות למקס/מינ, נוסחאות טריגונומטריות, רדיאנים...)
• לוגים
• אינדוקציה