משפט לגראנז' (אינפי): הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־15:19, 27 בספטמבר 2016

משפט לגראנז'

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] .

אזי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math] .

הוכחה

נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות [math]\displaystyle{ \big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big) }[/math] :

[math]\displaystyle{ y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]

נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.

[math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) }[/math]

[math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כהפרש פונקציות גזירות בקטע.

קל לראות כי [math]\displaystyle{ g(a)=g(b)=0 }[/math] . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] עבורה מתקיים [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math] .

אבל:

[math]\displaystyle{ g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]

כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

ראו גם

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 תהי <math>f</math> פונקציה רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> .
-אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .
+אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> .
 ===הוכחה===
-נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math>:
+נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>\big(a,f(a)\big)\ ,\ \big(b,f(b)\big)</math> :
-:<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)</math>
+:<math>y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
-נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
+נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
-:<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)-f(a)</math>
+:<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
+<math>g</math> רציפה ב- <math>[a,b]</math> כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב- <math>(a,b)</math> כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
-קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו- <math>g</math> מקיימת את שאר תנאי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:
+קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> . לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math> .
-:<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
+אבל:
+:<math>g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math>
 כלומר
 :<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>