שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(446 גרסאות ביניים של יותר מ־100 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
'''חשוב!!!
''' 3.2.2011
'''שלום לכולם,
'''שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים [[בשני הקרוב,7.2]] בשעה 16:00.
'''נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר.
'''עדי'''
{{הוראות דף שיחה}}
{{הוראות דף שיחה}}


=ארכיון=
=ארכיון=
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]
=שאלות=
=שאלות=




== פעולות שורה ועמודהֿ ==
== תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? ==
 
אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}=-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)
 
== חובת הגשה ==
 
כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.
:אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?
 
'''כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו
 
== תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב' ==
 
מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?
:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?
:נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
 
== שוב LCM ועוד שאלה קטנה ==
 
1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.
 
2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.
:1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)
::תודה!
 
== חיוביות בשדה המרוכבים ==
 
איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?
:לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)
::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?
:::כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)
 
== גרעין של מטריצה ==
 
שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!
 
'''עדי: <math>ker(A)=\{v\in V:Av=0\}</math>
 
== שאלה 3.30א ==
 
לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.
 
עדי
:את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math>\lambda  \le 1</math>? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST)
:גם ב-ב' זה ככה או לא?
::כן, לשנות גם את סעיף ב'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)
 
== תרגיל 10 - שאלה 3.23א' ==
 
בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיח
ואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?
:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :)
:: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)
 
== תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס ==
 
מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?
:זו המ"פ הסטנדרטית, ו-<math>V=\mathbb{C}^{n}</math>. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST)
 
== משפט או לא? ==
 
שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?)
(צל"ע=צמוד לעצמו)
:מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-<math>[T]_{B}</math> אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST)
 
::התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי),  ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!
 
== 3.27 ==
 
אפשר רמז?
 
'''עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"י המספר e
 
== ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי ==
 
מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?
 
ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?
 
 
ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"?
 
ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?
 
ובמיוחד, מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים?
 
 
'''עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית.
 
'''אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית)
 
'''ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי
 
'''אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים
 
:תודה!
 
== בילבול קטן ==
 
צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-<math>[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*</math>. זה לא אמור להיות <math>[T^*]^E_F=([T]^E_F)^*</math>?
:לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
::אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!
 
== בקשר לסקר ההוראה ==


רק כדי להיות בטוח-
כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).
דט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה, שווה לדט' של המטריצה המקורית, נכון?
:גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
:{{לא מתרגל}} לא: <math>-2=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\ne\begin{vmatrix}4&4\\6&4\end{vmatrix}=-8</math> למרות שהכפלנו את השורה הראשונה והעמודה הראשונה ב-2. עם זאת, הדט' של מט' שהפעלנו עליה החלפת שורות וגם עמודות או הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר - שווה לדט' של המטריצה המקורית (כי הוספת מכפלת שורה/עמודה בסקלר לא משנה את הדטרמיננטה והחלפת שורות k פעמים ב-A ו-k פעמים ב-<math>A^T</math> מכפילה את הדט' ב-<math>(-1)^{2k}=1</math>). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 11:39, 8 בנובמבר 2010 (IST)


::גם לא מתרגלת: אבל למדנו שאחרי כפל שורה במטריצה פי a צריך לחלק את הדטרמיננטה ב-a. אז בהנחה שכך זה גם לגבי עמודה, אם כפלת פעמיים פי 2, צריך לחלק ב-4 ואז יצא שיוויון. כך שזו לא דוגמה נגדית כלל. אז אני מצטרפת לשאלה!
== תרגיל 11 ==
:::כל שני מספרים שווים עד כדי כפל בקבוע, זה לא אומר שהם שווים באמת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:46, 8 בנובמבר 2010 (IST)
:::{{לא מתרגל}} תשובה נוספת: כמובן שדט' של מט' שהפעלנו עליה פעולות שורה '''וגם''' עמודה '''ו'''<span style="text-decoration:underline">שחילקנו אותה (את הדטרמיננטה) בכל הסקלרים שבהם הכפלנו את השורות והעמודות</span>, שווה לדט' של המטריצה המקורית, אבל זו לא הייתה השאלה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 22:12, 8 בנובמבר 2010 (IST)


אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??
:תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)


== מרחב וקטורי נוצר סופית ==
== תרגיל 11 שאלה 7 ==


מותר לנו להניח שכל המרחבים הוקטורים בתרגילים הם ממימד סופי, גם אם זה לא מצויין מפורשות? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 20:05, 8 בנובמבר 2010
אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:37, 5 בינואר 2011 (IST)


'''עדי: בגדול כן, תהיה ממוקד על שאלה ליתר בטחון.
== תרגיל 11 שאלה 1 ==


== תרגיל 4 שאלה 2 ==
כמה שאלות:
האם A נילפוטנטית?
אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A?
ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי?
תודה רבה מראש
:א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0).


בתרגיל כתוב למצוא את <math>A^{-1}</math> על ידי שימוש בפרוק <math>A=PDP^{-1}</math>. לא הבנתי מה הכוונה, הדבר היחיד הקשור שמצאתי זה ש- <math>A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}</math> אבל אם כבר מחשבים את <math>D^{-1}</math> אז פשוט יותר לחשב את <math>A^{-1}</math> בדרך ה"רגילה" (דירוג (A|I)) וזהו, לא?
:ב. לא נתון הסדר של A, אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא הסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'.


בעצם מהי הדרך הפשוטה והקצרה ביותר לחשב את <math>A^{-1}</math>?
:ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.
:עבור <math>A\in\mathbb{F}^{2\times2}</math> הדרך הפשוטה ביותר היא <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
:[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
a & b \\ c & d \\
::תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?
\end{bmatrix}^{-1} =
::ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
:::קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\
== תרגיל 11 - שאלה 5 ==
\end{bmatrix}</math>
:ועבור <math>A\in\mathbb{F}^{3\times3}</math>: <math>\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & k\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, K\\
\end{bmatrix}</math>
:כאשר <math>\begin{matrix}
A = (ek-fh) & D = (ch-bk) & G = (bf - ce) \\
B = (fg-dk) & E = (ak-cg) & H = (cd-af) \\
C = (dh-eg) & F = (bg-ah) & K = (ae-bd) \\
\end{matrix}</math>
:(מתוך ויקי האנגלית). באופן כללי עדיף לחשב לפי דירוג או adj (מתוך השיטות שכבר למדנו. בוויקיפדיה העברית כתוב שיש שיטות הרבה יותר יעילות, אבל לא נוח ליישם אותן). עם זאת, זה לא רלוונטי כי בתרגיל ביקשו '''דווקא''' לפי PDP<sup>-1</sup>.


אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv  הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.
:נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
::הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:05, 6 בינואר 2011 (IST)


::תודה על התשובה. זה בעצם <math>adj(A)/det(A)</math> ולמדנו את זה. אני לא רואה היגיון בלחשב את <math>D^{-1}</math> באמצעות שיטה לבחירתי, ואז לחשב את <math>P^{-1}</math>, ואז לכפול שלוש מטריצות, וכל זה במקום חישוב יחיד של <math>A^{-1}</math> בדרך לבחירתי. למה זה?? אגב, בטוח שהדירוג של (A|I) לא קצר יותר מחישוב <math>adj(A)/det(A)</math>?
== תרגיל 11 - שאלה 2 ==
מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ?
:(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים!


:::::מה מיוחד במטריצה D? להפוך אותה לוקח שנייה וחצי ולא צריך שום אלגוריתם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:45, 8 בנובמבר 2010 (IST)
(לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר  מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.
:מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)


:::::: אה התבלבלתי בסימון, התכוונתי להפוך את P באמצעות שיטה לבחירתי, ואז להפוך את D, ואז לכפול שלוש מטריצות. החישוב של ההפוכה ל-P הוא מסובך כמו החישוב של ההפוכה של A, לא? אז איפה ההיגיון...
::וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר).
:::::::כי עם P<sup>-1</sup> אפשר לחשב גם את A<sup>3</sup>. אמנם 3 זה לא הרבה, אבל מה אם היו שואלים אותנו על A<sup>20</sup>? או על A<sup>10000</sup>? אפילו [http://www.wolframalpha.com/input/?i={{3%2C2}%2C{4%2C10}}^10000 wolframalpha ויתר]. ובלי שום קשר - [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|תשובה?]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 00:00, 9 בנובמבר 2010 (IST)
::::::::אופס, בעצם הוא לא ויתר. פשוט אין לו כוח להציג את <''צונזר על מנת לשמור על שפיות הדף''> אבל ב-100000000 הוא נכנע.


:::::::::חח טוב השתכנעתי, תודה.
== תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות) ==


== שאלה 1 ==
האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!
איך מגיעים מכך ש <math>(A-xI)v=0</math> לזה ש A לא הפיכה? תודה!
:חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, לא צריך להראות את החישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
:{{לא מתרגל}} אתה מתכוון <math>A-xI</math> לא הפיכה? A דווקא יכולה להיות הפיכה, למשל אם A=I אז A הפיכה ועבור x=1 מתקיים <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math> (ולכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולכן (A-xI) לא הפיכה). ובאותה הזדמנות, כבר 47 שעות לא קיבלתי תשובה [[#מרחב וקטורי נוצר סופית|פה]]. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 19:11, 10 בנובמבר 2010 (IST)
::כמו כן, למה כוונתך בשאלה 1? האם כוונתך היא לשאלה הראשונה בתרגול הבית? אם כן באיזה תרגול? או שסתם לשאלה אחת מבין כלל שאלותיך? אבקש, בשמי ושמם של אחרים שלהבא תרשום את מספרה המדויק של השאלה ומאיזה תרגול היא לקוחה, בכדי שנוכל להבין לאיזו "שאלה 1" אתה מתכוון. בכל אופן אם כוונתך היא לשאלה 3.3ב מתרגול 5, הסתמך על הטענה הראשונה באותו הסעיף והוכח בעזרתה את החלק השני של הסעיף. רמז: עבור אילו ערכים של <math>|A|</math> המטריצה לא תהיה הפיכה?
::כמו כן - שאלה למתרגלים, מדוע נוצר הפיצול בין קבוצות הדיון? הרי בסופו של דבר אלו אותם השיעורים, ולכן ישאלו אותן השאלות, ובסופו של הדבר אני מאמין שאם מישהו ישאל שאלה בפורום מסוים והיא לא תיענה בו אז הוא ישאל את אותה השאלה גם בפורום השני. בברכה, [[משתמש:Gordo6|גל]].
:כן שאלה 1 מהתרגיל- מן הסתם מהתרגיל הנוכחי, תרגיל 5, ונכון, התכוונתי ל A-xI ולא לA. אפשר עזרה לגבי A-xI? (הסתדרתי בפתרון כללי של התרגיל, אך אני רק צריך עזרה בהוכחת הטענה שבשאלתי). תודה!
::{{לא מתרגל}} לא הבנתי - יש לך בעיה להוכיח ש-<math>A-xI</math> לא הפיכה? כאמור: <math>\exists v\ne\vec0:\ (A-xI)v=0</math>, לכן יש פתרון לא טריוויאלי ל-(A-xI) ולפיכך (A-xI) לא הפיכה, מש"ל. אם זו לא הבעיה - תקן אותי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 21:40, 10 בנובמבר 2010 (IST)
:::למה אם יש פתרון לא טריוויאלי אז A-xI  לא הפיכה?
::::כדאי שתחזור על החומר בלינארית 1, זה היה משפט. בכל אופן, ניתן להוכיח זאת בקלות: נניח בשלילה ש-<math>A-xI</math> הפיכה, כלומר קיימת <math>(A-xI)^{-1}</math> כך ש-<math>(A-xI)^{-1}\ (A-xI)=I</math>. נכפיל (מימין, כמובן) ב-<math>v\ne\vec0</math> ונקבל
<div style="text-align:left;"><math>\begin{align}&(A-xI)^{-1}\ (A-xI)v=Iv\\\implies&(A-xI)^{-1}\ \vec0=v\\\implies&\vec0=v\ne\vec0\end{align}</math></div>
::::בסתירה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 18:20, 11 בנובמבר 2010 (IST)


== שאלה 3.18 ==
== תרגול 11 ==


בסעיף א', מה זה אומר (הוכח שהפולינום....) "מאפס את A"?? מה זה מאפס? מאפס כשמציבים משהו? מאפס את הפולינום האופייני של A? ?
שלום רב,  


===תשובה===
בתרגול 11 '''שאלה 4''' נכתב ש-<math>J=J_{14}(x)</math>, לאחר מכן נתונים על <math>J-xI</math> ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש '''ב-<math>J</math>'''. אבל <math>J</math> היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)? למה הנתונים על <math>J-xI</math>?  
הצבת מטריצה בפולינום (כמו בלינארית 1). יהי פולינום <math>f=a_nx^n+...+a_0</math> ותהי A מטריצה ריבועית. אזי לפי הגדרה <math>f(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I</math>. קל לראות ש <math>f(A)</math> מטריצה ריבועית מאותו גודל כמו A. A מאפסת את f אם המטריצה <math>f(A)</math> הינה מטריצת האפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:23, 11 בנובמבר 2010 (IST)
:אמרו להוכיח שהפולינום מאפס את A ולא A מאפסת פולינום. ואם הכוונה היא להציב את A בפולינום עם A במקום x, אז הניסוח של השאלה ממש אבל ממש לא ברור
:עדיין לא הבנתי: מה צריך להראות? כי את העובדה ש <math>f_A(A)=0</math> לא צריך להראות בכלל, זה תמיד מתקיים על פי קיילי המילטון. אז מה כן צריך לעשות? תודה
::רשום בשאלה פולינום אופייני? רשומה מטריצה ופולינום, לכן נשאר מה להוכיח, ויש אפילו רמז. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:06, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:::ברמז מפנים אותך לשאלה שקשורה לפולינום אופייני, אבל הרגע אמרת שאין שום קשר לפולינום אופייני!
::::אתה חייב לנסות להבין יותר מאשר להסביר לי... יש קשר לפולינום אופייני, אבל לא '''נתון''' שזה פולינום אופייני. לכן אם רוצים לומר את זה צריך להסביר את זה ואז יש תרגיל + פתרון שלו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:37, 13 בנובמבר 2010 (IST)


== עזרה במושגים ==
תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


מהו הפולינום הזה שאפשר להציב בו מטריצות במקום סקלר (איך הוא נקרא\מסומן, התכונות שלו), יש לו קשר לפולינום האופייני? יש לו קשר לפולינום רגיל? ועוד 2 שאלות חשובות:
:אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)
:איך אפשר למצוא מטריצה שמאפסת פולינום? (האם יש אלגוריתם או דרך לפתרון)?
::כן, זו הכוונה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
:מה זה פולינום ש"מאפס את A"?
== תרגיל 11 ==
תודה


::יעזור לקרוא את השאלה שבדיוק נמצאת מעליך.
דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה יעזור לנו לפתור את שיעורי בית.
:::אשמח לתשובות לכל השאלות שלא ניענות בשאלה שמעליי (וגם תשובה למה זה"מאפס את A", שאני לא בטוח עדיין מהי התשובה הנכונה). תודה
דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן?
::::רשמתי שם באופן מדוייק כיצד מציבים מטריצה בפולינום (כל פולינום) ומתי אומרים שמטריצה מאפסת פולינום, תקרא היטב. לגבי איך מוצאים מטריצה מאפסת פולינום, זה בדיוק הסעיף הראשון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)
ומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס?
:::::לא, אני יודע מה זה למצוא מטריצה שמאפסת פולינום על פי ההגדרה, אבל איך אפשר למצוא את המטריצה בצורה יותר קלה מההגדרה? (אתה לא מצפה ממני לפתור 5 A '''בחמישית''' ועוד 3 A בשלישית וכו', נכון? או לעשות חזקות של מטריצה מסובכת עם מימדים nxn?)
תודה!
::::::לא מההגדרה, מהסעיף הראשון שם יש נוסחא מפורשת למטריצה שמאפסת '''פולינום כלשהו''' ... --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)
:דבר ראשון: אני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (בגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני: לא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (בהנחה שמימד ImA^2 הוא 1). אם קיבלת ש-A^2v=0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
::ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא 1? וגם, מתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker?
::ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?
::ושאלה אחרונה: אם A^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס- מה עושים? אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...
::תודה רבה!
:::(לא מתרגלת) בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה.
::::1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל 2, אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT=KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1). תמיד אפשר להשלים כי <math>ImT \subset KerT</math>  . כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את <math>ImT^{n}</math> ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר <math>A^2=0</math> אז אין שלבים באמצע.
::::2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-rank) אז מספיק לעשות מה שרשמת.
::::3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל-ImA^2? את/ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.
::::4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:32, 9 בינואר 2011 (IST)


== תרגיל 5? תרגיל 3? ==
== שאלה 6 ==


למה בכותרת של תרגיל 5 כתוב תרגיל 3? שלא יצא ששמו בטעות משהו אחר...
לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא?
תודה מראש
:תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה
::לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?
:אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי <math>(x-9)^5</math> ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
::תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?
:::כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:00, 8 בינואר 2011 (IST)


== תרגיל 5 שאלה 3.3 ==
== שאלה על הוכחה מההרצאה ==


החלק הראשון של סעיף ב' נכון רק עד כדי <math> \pm </math>, בתלות בזוגיות n. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:23, 13 בנובמבר 2010 (IST)
למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה
'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור
:מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:37, 8 בינואר 2011 (IST)
::תודה רבה!


== שאלה 3.18 א' ==
== תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון ==


עשיתי חישוב ישיר של A בריבוע, A בשלישית,..., A בחזקת n, ובסכום a0I+a1A+...+an-1A^n יוצא לי במקום מטריצת האפס, יוצא שהסכום הוא בדיוק 2A^n! זה נכון, או שהיית לי טעות? או שבכלל לא הבנתי את השאלה? קראתי בשאלות מעליי שיש קשר לפולינום האופייני אבל לא הבנתי מהו. פשוט חישבתי ישירות. גם לא הבנתי מה הקשר לתרגיל שברמז. אשמח להסבר מפורט ומובן ככל האפשר. תודה רבה מראש!
לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר [[מדיה:Linear2-Hashlama-Targil.pdf|כאן]]. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:19, 9 בינואר 2011 (IST)
:תודה! יש לי שאלה על זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...
:שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?
::לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)
== תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות ==


===תשובה===
איך יודעים באיזה סדר לשים את הוקטורים שקיבלנו במטריצה P?
(לא מתרגל/ת) כנראה הייתה טעות כי הצלחתי להוכיח את המבוקש, דבר שני איך בדיוק אפשר לחשב דבר כזה כאשר n הוא מספר כלשהו?
הכיוון הוא יותר פשוט, כמו שנכתב קודם יש קשר לפולינום האופייני, מצא את הפולינום האופייני ולפי קיילי- המילטון A מאפסת אותו, אחרי שלבים אלה ההמשך פשוט.
:חישבתי את זה ע"י חישוב A בריבוע (בעזרת שלוש נקודות כי יש המטריצה היא מגודל n על n), ואז A בשלישית, הבנת העקרון, שלוש נקודות, ואת A בחזקת n. אז הצבת המטריצות בפולינום וזה מה שיצא לי. אם זה לא נכון והפתרון הנכון היחיד הוא עם הפולינום האופייני, אשמח לעזרה בנושא, מכיוון שלא הבנתי את הקשר לפולינום האופייני, ואשמח לתשובה קצת יותר עמוקה מאשר הרמזים הקלושים והעפלוליים שכתובים בשפה מצרית עתיקה ושאותם צריכים מומחים לפענך כדי להבין מה הם אומר- כמו שארז בדרך כלל עונה. תודה
::התבוננו בדף שהעלה לכאן ד"ר צבאן בנושא המטריצה הנלווית. אפשר לומר שדף זה ממש נותן את התשובה לסעיף א... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
'''עדי: thumbs up'''


:::עדיין לא הבנתי מה צריך לעשות ב-א'.
:לפי מה שאני יודעת, (לא מתרגלת) זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור <math>P^{-1}</math>.


==3.18 ד'==
::אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת...
האם מותר להשתמש בטענה שמטריצות עם ערכים עצמיים שווים דומות?
אשמח לקבל תשובה בהקדם, תודה לעוזרים


'''עדי: זה בדיוק מה שאומר הרמז בסוגריים
:::הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת <math>ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap KerT \subset \ldots \subset \ldots \subset KerT</math> משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:52, 10 בינואר 2011 (IST)


תודה, הבנתי את הרמז אבל לא ידעתי אם מותר להשתמש בו בלי הוכחה
== שאלה על ג'רדון ==
למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?
:גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:54, 10 בינואר 2011 (IST)


== תרגיל 5 שאלה 3.3 ב ==
== בקשה - שיעור שלא העתקתי ==


אני חושבת שזה לא נכון שבהכרח <math>f_A(0)=|A|</math> כי הרי <math>f_A(0)=|0*I-A|=|-A|=(-1)^n|A|</math>. אז אם n אי זוגי, <math>f_A(0)=-|A|</math> וזה לא בהכרח שווה ל-<math>|A|</math>. אז.. איפה טעיתי?
שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד!


'''עדי:עד כדי +- זה בסדר גמור
אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 עם בוריס והתרגול של עדי.


:מה ז"א? ההגדרה של פולינום אופייני היא לא <math>f_A(x)=|xI-A|</math> אלא <math>f_A(x)=\pm|xI-A|</math>??
מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש.


::יש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|xI-A|</math> (כמו שמגדירים בהרצאה) ויש שמגדירים זאת כך <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (כמו שמגדירים בחוברת של צבאן). לכן גם "הטעות" כביכול בתרגיל, היא פשות נוסעת מהגדרות שונות. ניתן לשים לב שההבדל בין ההגדרות הוא עד כדי פלוס מינוס, שהרי: <math>|A-xI|=(-1)^n|xI-A|</math>. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
(את הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי: ella10004@walla.com)


:::העניין הוא שגם בועז צבאן מגדיר את זה <math>|xI-A|</math>. אבל בקיצור זה לא משנה ואפשר להשתמש באיזו הגדרה מתי שרוצים. תודה על ההסבר.
:אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.
::תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..?


'''עדי:  לא נכון.הגדרת הפולינום האופייני היא <math>|xI-A|</math> או <math>(-1)^n|A-xI|</math> אבל לא <math>f_A(x)=|A-xI|</math> (אלא אם המימד זוגי מין הסתם). כאשר משווים לאפס ע"מ לחפש שורשים סדר החיסור איננו משנה. בכל מקרה מה שאמרה השואלת זה לא שההגדרה של פ"א היא עד כדי +- אלא שהפתרון לסעיף זה הוא נכון עד כדי +-.'''
== המבחן ==


== שאלה לעדי ==
האם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה
:לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: [http://math-wiki.com/images/7/7a/LA.pdf דף ראשון מועד א]). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


אני (ועוד כמה) לא נגיע מחר בגלל טיול שנתי בביה"ס, ולכן אנחנו רוצים להגיש את שיעורי הבית היום. זה בסדר אם נשים אותם באחד מהתאים בבניין המתמטיקה? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 18:47, 15 בנובמבר 2010 (IST)
== משפט פיתגורס ==


:'''עדי: אני מקווה שלא פיספסתי אתכם. שימו בתא להגשות באיחור בתאים בקומת הכניסה (רשום על זה. אני חושבת שזה 103 אבל לא בטוחה אז תסתכלו על איזה תא רשום). תשלימו את השיעור ועדכנו אם תצטרכו עזרה בהבנתו.'''
בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב:
::לא פספסת, חיכיתי לך (ד"א, עד מתי האוניברסיטה פתוחה?). תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 19:50, 15 בנובמבר 2010 (IST)
" ממשפט פיתגורס: <math>||v||^2=|<v,u/||u||>|^2+|<v,v'>|^2</math> " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה!
'''לאוניברסיטה לפי דעתי אפשר להכנס 24/7.מתי המחלקה ננעלת לעומת זאת אין לי מושג...'''


'''לא שמתם בסוף?'''
'''אם  u/||u||,v  א"נ אז <math><v,u/||u||>=0</math>
:אני לא הספקתי, אז הזמנתי שליח (לגבי השאר אני לא יודע). למה את שואלת? זה לא היה בתא? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 15:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)
:אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם.


== תרגיל 5 שאלה 3.18 סעיף ג ==
''' אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? או ש <math>v=v'+u/||u||</math>
תרשום את כל המשפט.
:אוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה <math>{u/||u||}</math> שהיא א"נ, משלימים אותה לבא"נ של sp{u,v},  <math>B={u/||u||,v'}</math>. ואז "ממשפט פיתגורס"- המשוואה שרשמתי, וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ.


מהי האות שהיא המקדם של x^9? היא די דומה לכ' סופית אך זו לא בקבוצת האותיות. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 22:06, 15 בנובמבר 2010 (IST)
== משפטים/טענות למבחן ==
:זו האות ב. אם תתבונן בחוברת של צבאן, שם התרגילים כתובים באותו פונט אבל שלא עבר תאות שונות כגון סריקה והעתקה ולכן רואים יותר טוב, תראה בוודאות שזו ב. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]


::זה לא ך' באמת? הרי כתוב שם "תרגיל ארוך". פשוט ערכה שווה לערך של כ'. לא?
האם צריך לדעת את '''כל''' המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר?
:::זה בטוח כ' כי כתוב תרגיל ארוך


== שאלה על 3.18 ד' ==
:'''זו שאלה למרצים
:{{הערה|(סטודנט אחר):}} אתה מתכוון כמו במיקוד?
::אכן


איך פותרים את זה? יש דרך למצוא מטריצה אך ורק על פי הערכים העצמיים שלה?
== {{הערה|(מתוך [[88-113 סמסטר א' תשעא|דף הקורס]]):}} התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה.  ==


'''עדי:לא תמיד, אבל חשוב מה אנחנו יודעים עליה היות וכל ערכיה העצמיים שונים וכתוצאה מכך מה אנחנו יודעים על כל מט'שדומה לה
כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה.
:עכשיו התקדמתי והגעתי למשוואה שהפולינום האופייני של המט' החדשה צריכה להיות. הפוילנום האופייני צריך לצאת (x-1)(x^2-2x+2)=0. הבעיה היא עכשיו שלא נראה לי שיכול להיות מטריצה ממשית עם הפולינום האופייני הזה, נראה לי שחלק מאיברי האלכסון חייבים להיות מרוכבים כדי שזה יצא, ואני לא יודע איך פותרים עכשיו..


== שאלה 3.18, סעיפים ה' + ו' ==
'''בימים הקרובים


בסעיף ה' בשאלה נדרש לחשב את הוקטורים העצמיים של A = companion. אם כל הע"ע העצמיים של A שונים אז היא לכסינה ולכן יש מטריצה מלכסנת שהיא בנויה מן הוקטורים העצמיים שלה בעמודות.
== מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים) ==
לעומת זאת, בסעיף ו', מגדירים את ונדרמונדה להיות כך שהיא transpose של הוקטורים העצמיים שיצאו לי בה', ולכן יוצא כי מה שצריך להוכיח לא נכון. האם יש טעות בתרגיל?
:{{לא מתרגל}} לא. ביקשו להראות שהמטריצה המתקבלת אלכסונית, לא אלכסונית ''המתקבלת מליכסון A עם המלכסנת vandermonde''. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]]
:: הפרכתי את זה עכשיו. לקחתי מטריצה מסדר 2, עם ערכים עצמיים 2 ו-3 ופולינום x^2 -5x + 6. התוצאה של החישוב של מה שהיה צריך להוכיח שיוצא אלכסונית, לא יצא אלכסונית.


'''עדי:לפי דעתי אתה צודק והוונדרמונד צריך להיות משוחלף. אבדוק בהמשך כשאכתוב פתרונות
שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה
: תודה על התשובה. אגב, זה צודק <:


: בפתרונות כתבתם עבור השחלוף של ונדרמונדה. שם זה מתקיים. אני מניח שלא תרדנה לי נקודות אם הפרכתי את הטענה עבור ונדרמונדה הנתונה, נכון?'''
'''אני אפתור מבחן המייצג את החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן


'''עדי: לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור שיחלוף. כנ"ל בשאלה עם הפ"א שמציבים בו 0:לא ירד למי שהפריך את המבוקש או הוכיח עבור <math> \pm </math>.'''
== לכסון אורתוגונלי ==


== 2 דברים לגבי תרגיל 6 ==
שלום,
אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!


דבר ראשון- הסבר למושגים- מה זה אומר מטריצה אידמפוטנטית? זה כל מטריצה המקיימית A בריבוע שווה A? אם כן, אפשר דוגמה קצרה לאיך A יכולה להיות לא-I? וגם מה זה מטריצה "רגולרית"? (זה לא בסדר שזה לא מוסבר!)
ודבר שני, אפשר בבקשה, אלגוריתם מסודר, של איך מוצאים פולינום מינימלי? אני חושב שאמרת (עדי) שתעלי לאתר.
תודה רבה!


:(לא מתרגלת) בקשר למט' אידמפוטנטית אני חושבת שכן-כתוב בתרגיל 5.22
[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99 לכסון אורתוגונלי]
:ואם אני לא טועה מטריצה רגולרית זו מטריצה הפיכה


::דוגמאות לאיד': מטריצת האפס, כל מטריצה אלכסונית שעל האלכסון יש בלבד אחדות ואפסים, המטריצה <math>\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:32, 19 בנובמבר 2010 (IST)
[http://www.math-wiki.com/images/8/85/09Linear2Triangulation.pdf שילוש אורתוגונלי]
::אשמח גם את האלגוריתם למציאת פולינום מינימלי, אם אפשר. תודה!


==שאלה 1 בתרגיל 6==
== שאלה מתרגול ==
יצא לי שהפ"א מל"ל ולכן היא ניתנת לשילוש.
חישבתי לפי אלגוריתם שהוצג בתרגול (של אוהד, אבל הפורום הזה פעיל) את המט' המשולשית והיא פשוט לא יצאה משולשית. אני בטוחה שעשיתי נכון, בדקתי כמה פעמים.
לכן השאלה שלי היא, האם אפשר לכתוב כאן אלגוריתם למציאת מטריצה משולשית דומה?
הסתדרתי ><"


== התלבטויות לגבי שילוש ==
אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <Tv,v> > אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=T. תודה!


יש כמה קטעים לא מובנים לגבי שילוש מטריצה.
'''צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את <math><Tv,v> >=0</math> עבור הבסיס המלכסן האורתונ'.
נגיד התחלנו במט' שלוש על שלוש וניסינו לשלש אותה. הגענו למט' שקרובה יותר למשולשית, כך שהבלוק 2 על 2 התחתון ימני הוא המט' החדשה שצריך לשלש (1. נכון?), כעת ניסיתי לשלש את המט' 2 על 2 החדשה. הגעתי למט' המשלשת וההופכית שלה, עכשיו מה צריכה להיות המט' ש"אמורה" להיות, אם הצלחנו, משולשית? כלומר (זה די מסובך לכתוב את זה בפורום) אם המט' המקורית היא A, הנסיון לשילוש הראשון שלנו הוביל אותנו ל <math>D_1=P^{-1}AP</math>, והנסיון לשילוש השני הוביל אותנו למט' השילוש Q ו Q^-1, האם המט' שאמורה להיות משולשת D2 צריכה להיות P-1 כפול Q-1 (בתור בלוק עטוף במט' הזהות) כפול X כפול Q (בלוק בתוך הזהות) כפול P-- אם המבנה הזה נכון (2.), אז מה צריכה להיות (3.) המט' X? המט' A? המט' A' שהיא הבלוק הימני תחתון של המט' D1? תודה
'''ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T


:(לא מתרגל) הכפל ממנו תקבל את המשולשית הדומה במקרה זה הוא:
== מט' נילפוטנטית ==
<div style="text-align:left;"><math>\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&{{Q^{ - 1}}}
\end{array}} \right){P^{ - 1}}AP\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&Q
\end{array}} \right)</math></div>
:[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:07, 20 בנובמבר 2010 (IST)
::2 דברים- אתה בטוח שה-Q "יותר קרובה" במכפלה למט' המרכזית? כי לפי מה שהעתקתי מהתרגול, עשינו בתרגול ש המט' שדומה למשולשית שווה למכפלה של 5 מט' שהמט' הקרובה יותר לאמצעית היא Q והיותר רחוקה היא P.
::בנוסף, אתה בטוח שהמט' המרכזית היא A? בדקתי עכשיו טוב, ולפי מה שהבנתי המט' המרכזית היא המט' שבשורה ובעמודה הראשונות יש את השורה והעמודה הראשונות של המט' אחרי שניסינו לשלש אותה פעם אחת, ובלוק הימני תחתון יש את המט' המשולשת מסדר 2 על 2 שהגענו אליה אחרי שילוש פעם שניה. בכל מקרה, עשיתי לפי 2 הדברים שאני כתבתי (המט' המרכזית המסובכת ואז Q קרובה יותר וP רחוקה יותר) ויצא לי לא נכון, אחרי שבדקתי את מכפלת 5 המטריצות המכפלה יצאה שונה מA המקורית. אז איפשהו כנראה שטעיתי.


:::[[מדיה:09Linear2Triangulation.pdf|דוגמא לשילוש אורתוגונאלי]]. אמנם לא שילוש רגיל, אבל אם נתעלם מפעולת הנרמול זה שילוש רגיל. אולי זה יעזור לכם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:43, 20 בנובמבר 2010 (IST)
למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית?
::::אנחנו עדיין לא יודעים מה זה אורתוגונאלי, מה זה נרמול, מה הקשר לריבוי גיאומטרי ומה זה קיצורים כמו א"נ, לכן זה לא כל כך מדבר אלינו. אשמח לתשובה פשוטה יותר לגבי המשוואה הסופית שצריכה להיות. בסוף השילוש הרגיל (הראשון שלומדים) יוצא בסוף משוואה A= מכפלה של 5 מטריצות, אשמח לקבל אימות של אילו מטריצות צריכות להיות במכפלה, ואז לראות אולי איפה טעיתי כי המכפלה של המט' כפי שהעתקתי מהתרגול האחרון יצאה לי לא נכונה.
תודה!
:::::פשוט תתעלם מהמושגים שאתה לא מכיר, ותחשוב שבחרנו בסיסים רנדומליים כלשהם (במקום בסיס א"נ), האלגוריתם הוא אותו אלגוריתם, ורשום שם אילו מטריצות יש לכפול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:15, 20 בנובמבר 2010 (IST)


== שאלה קצרה ביותר ==
'''אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה
:תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)


האם A*X=A גורר ש X=I? תודה
== מה זה "דרגה דטרמיננטית"? ==


:(לא מתרגל) רק במידה וA הפיכה, אז אתה יכול לכפול בהופכית לה ולקבל I. במקרה אחר זה לא נכון, לדוגמה קח את A להיות מטריצת האפס.[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 13:48, 20 בנובמבר 2010 (IST)
יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).
::אוף, זה לא טוב לי- אני צריך להוכיח שמטריצה A היא הפיכה ולכן אני לא יכול להשתמש בזה שהיא הפיכה. אולי אפשר עזרה לגבי איך להוכיח שמט' איד' היא הפיכה? (וגם שהמט' שווה למט' ההפוכה לה)?
:לא משנה, הבנתי.
:::הטענה שמטריצה אידמפוטנטית היא הפיכה אינה נכונה. קח לדוגמה את מטריצת האפס, אידמפוטנטית אבל אינה הפיכה. יותר מזה, יש רק מקרה אחד בו מטריצה אידמפוטנטית היא הפיכה, מטריצת היחידה.[[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 15:25, 20 בנובמבר 2010 (IST)
::::צודק בהחלט, אז אני תקוע בהוכחת שאלה 2...


'''שים לב איזו משוואה המט' מאפסת, הסק מיהם ערכייה העצמיים ומה זה אומר עליה
== שאלה למתרגלים ==


== תרגיל 6 ==
האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן?
בתודה רבה!


בשאלה 5.5 ניתבקשנו למצוא פ"מ לפי אלגוריתם שכוויכול למדנו בשיעור אך בשיעור ראינו איך מוצאים פ"מ רק ע"י פ"א!!!
== דימיון בין מטריצות מייצגות ==
מה צריך לעשות???


== תרגיל 6- שאלה 1 ==
למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?


אני לא מצליח למצוא מט' משולשית עליונה שדומה ל-A.
== למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה? ==
עשיתי לפי האלגוריתם שעשינו בתרגול: מצאתי ע"ע, מצאתי מ"ע השלמתי לבסיס וכך מצאתי את p המשלשת ואת ההופכית שלה אבל אז המכפלה (p^-1)*a*(p)
לא נותנת מט' משולשית עליונה.מה עושים?
:תעשה את אותו האלגוריתם שוב על הבלוק התחתון ימני הלא משולש שיצא לך, ואז
(q^-1)*(p^-1)*a*(p)(q) תצא משולשית.


== מט' לכסינה~פ"מ ==
לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.
:{{לא מתרגל}} הוכחה אפשרית: תהא <math>A\in\mathbb F^{n\times n}</math> ויהיו <math>\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n</math> הערכים העצמיים שלה. אזי <math>\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A|</math>. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).


אם מט' לכסינה (בהתאמה לא לכסינה) מה זה אומר על הפ"מ?
::הוכחה מאוד יפה! תודה.
::רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז <math>P_A(0)</math> הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?
:::{{לא מתרגל}} לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה שכל הע"ע שלה ב-<math>\mathbb F</math>. למשל ל-<math>\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}</math> אין ע"ע ב-<math>\mathbb R</math> (ולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל בסגור האלגברי שלו (<math>\mathbb C</math>) הע"ע הם <math>\pm i</math>, ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.


== למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T? ==


'''חבר'ה תפתחו את התירגול האחרון עשינו את כל הדברים האלה:'''
ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה:
"נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.


5.5'''.קיבלתם אלגוריתם למציאת פ"מ'''


1'''.P לא אמורה לשלש, אלא רק לאפס מתחת לע"ע המתאימים לה, אח"כ יש להמשיך את התהליך'''
את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (כולל) - לא הבנתי.


'''לכסינה: אז ריבויי שורשי הפ"א הם 1 בפ"מ.'''
בבקשה עזרה!!


מתי קיבלנו אלגוריתם? בשיעור??? אני מסכם את כל השיעור והדרך היחידה שמצאנו פ"מ היא ע"י פ"א חוץ מזה לא כתבתי וגם אני לא זוכר שקיבלנו אף אלגוריתם במהלך התירגול האחרון
:יהי אופרטור T על V, נניח כי T לכסין, כלומר קיים בסיס B של V כך ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> מטריצה אלכסונית. נסמן
{B={v1,....,vn , אזי כיוון ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> אלכסונית:
<math>{\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},...,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&0&0\\
0& \ddots &0\\
0&0&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1},...,{\lambda _n}{e_n}} \right)}</math>
(אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב<math>{\left[ T \right]_B}</math> היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)


'''כן. זה מופיע גם בחוברת של צבאן בתחילת הפרק על הפ"מ.
== פתרונות של התרגילים ==


== רגולרית? ==
אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12?
זה ממש יעזור...


מישהו יכול לומר לי בבקשה מה זה מט' רגולרית????
== פתרונות 11 ו 12 !!! ==


מטריצה הפיכה
מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות
אני לא יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...


== שאלה כללית ==
== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג' ==


אם יש תרגיל בחוברת של ד"ר צבאן שצריך להוכיח משהו, האם מותר להשתמש בזה בשביל תרגיל אחר (להגיד: כמו שאומר תרגיל x)?
נתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0. צ"ל dim Span{w,v}.
ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1 או 2, תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל. אבל זה מה שלא הצלחתי למצוא, ניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.


'''זה נתון לפרשנות, תהיה יותר ספציפי
תשובה (לא מתרגלת..): הוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1.
מניחים בשלילה שהם בת"ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0.
זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...
:לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את הדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת
<math><u,u><v,v>-<u,v><v,u></math>, ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס.
::{{הערה|לא מתרגל אחר}} אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם '''יכולה''' להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל <math>\left|G_{\{\vec0,(1,0)\}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0</math>


== שאלה2 ==
== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג' ==


אפשר אולי לקבל הכוונה/רמז לשאלה 2?
אני לא מצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!
:{{לא מתרגל}} אם הפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א). אתה יכול לקחת את <i dir="ltr">J<sub>2</sub>(מספר כלשהו)</i>, ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא לכסין. {{משל}}
:אוקי, תודה רבה.


''' השאלה עם המט' האידמ'? שים לב איזו משוואה המט' מאפסת, הסק מיהם ערכייה העצמיים ומה זה אומר עליה
== עזרה בשאלה ממבחן ==


== למה? ==
השאלה: יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(A)+g(B) לכל זוג פולינומים f,g. שאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה?
:{{תשובה מתחכמת}} קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<C מגודל שלוש על שלוש.
:אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)=g(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.
:אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל <math>\R</math> אז אני לא יודע... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
::ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..


הדט' של פ"מ שווה לפ"מ בחזקת n??
נגדיר V מרחב הפולינומים מעל R
V מרחב וקטורי
נתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי.
נבנה העתקה T:VxV->M2(R)zz כך ש-
T(f,g)=f(A)+g(B)zz
ברור שאם f=pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). כלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על, כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f,g כך ש-f(A)+g(B)=C
(בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)


'''מה?
== עזרה בעוד שאלה ממבחן ==


== נכונות טענה ==
נתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. צ"ל AB=BA. למישהו יש רעיונות?
:עריכה: אני חושב שהצלחתי, A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (כך שהמט' המלכסנות P-1=P*) אבל יש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, P-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.


שלום רב,
== שאלה בקשר למבחן ==
בשאלה 3 סעיף ב אמרו: הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^3...,x^n} הוא בא"נ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ.


האם הטענה הבאה נכונה: "אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותם פולינום האופייני ופולינום המינימלי. לכן, כדי שמטריצה תהיה לכסינה, צריכים להיות לה פולינום אופייני ומינימלי זהים לאלו של מטריצה אלכסונית". במילים אחרות, הטענה אומרת שמטריצה <math>A</math> (מגודל <math>nXn</math>) לכסינה אם:
אם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, כי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס יהיה בא"נ והוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ.


1. <math>P_A(x)=(x-a_1)^{k_1}...(x-a_i)^{k_i}</math> כאשר <math>k_1+...+k_i = n</math>
עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' של A, ולא הספקתי להוכיח ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה.
מישהו מהמרצים או מהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על זה. תודה רבה
~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.


2. <math>m_A(x)=(x-a_1)...(x-a_i)</math>.
== הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה ==


תודה! [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
אם נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A+I. נקבל מטריצה לא הפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..)
בתשובה שראיתי נאמר "לכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A הוא 1-."
אתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל?
אני מבין את ההתחלה- המטריצה A+I לא הפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה.. עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה?
הבנתי- זה דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים.. תודה!! :)

גרסה אחרונה מ־19:47, 4 ביולי 2011

חשוב!!! 3.2.2011 שלום לכולם, שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים בשני הקרוב,7.2 בשעה 16:00. נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר. עדי


חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.


ארכיון

שאלות

תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"?

אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-[math]\displaystyle{ T }[/math] אנטי-צמוד לעצמו אם [math]\displaystyle{ T^{*}=-T }[/math]. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. דורון פרלמן 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)

חובת הגשה

כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.

אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. דורון פרלמן 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?

כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו

תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב'

מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?

צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. דורון פרלמן 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, עדיין צל"ע?

נכון. דורון פרלמן 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

שוב LCM ועוד שאלה קטנה

1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.

2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.

1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. דורון פרלמן 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)
תודה!

חיוביות בשדה המרוכבים

איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?

לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". דורון פרלמן 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)
אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?
כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". דורון פרלמן 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)

גרעין של מטריצה

שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!

עדי: [math]\displaystyle{ ker(A)=\{v\in V:Av=0\} }[/math]

שאלה 3.30א

לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.

עדי

את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל [math]\displaystyle{ \lambda \le 1 }[/math]? -לידור.א.- 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST)
גם ב-ב' זה ככה או לא?
כן, לשנות גם את סעיף ב'. דורון פרלמן 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 10 - שאלה 3.23א'

בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיח ואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?

כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :)
האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)

תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס

מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?

זו המ"פ הסטנדרטית, ו-[math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{n} }[/math]. דורון פרלמן 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST)

משפט או לא?

שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?) (צל"ע=צמוד לעצמו)

מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-[math]\displaystyle{ [T]_{B} }[/math] אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. דורון פרלמן 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST)
התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי), ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!

3.27

אפשר רמז?

עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"י המספר e

ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי

מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?


ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?

ובמיוחד, מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים?


עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית.

אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית)

ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי

אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים

תודה!

בילבול קטן

צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-[math]\displaystyle{ [T^*]^E_F=([T]^F_E)^* }[/math]. זה לא אמור להיות [math]\displaystyle{ [T^*]^E_F=([T]^E_F)^* }[/math]?

לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. דורון פרלמן 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!

בקשר לסקר ההוראה

כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).

גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... גל א.

תרגיל 11

אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??

תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). דורון פרלמן 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 שאלה 7

אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). דורון פרלמן 01:37, 5 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 שאלה 1

כמה שאלות: האם A נילפוטנטית? אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A? ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי? תודה רבה מראש

א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0).
ב. לא נתון הסדר של A, אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא הסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'.
ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.
דורון פרלמן 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?
ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!
קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. דורון פרלמן 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 - שאלה 5

אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.

נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). דורון פרלמן 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. דורון פרלמן 06:05, 6 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 - שאלה 2

מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ?

(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים!

(לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.

מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. דורון פרלמן 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר).

תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות)

האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!

חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, לא צריך להראות את החישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. דורון פרלמן 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

תרגול 11

שלום רב,

בתרגול 11 שאלה 4 נכתב ש-[math]\displaystyle{ J=J_{14}(x) }[/math], לאחר מכן נתונים על [math]\displaystyle{ J-xI }[/math] ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש ב-[math]\displaystyle{ J }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ J }[/math] היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)? למה הנתונים על [math]\displaystyle{ J-xI }[/math]?

תודה מראש, גל א.

אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. -לידור.א.- 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)
כן, זו הכוונה. דורון פרלמן 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11

דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה יעזור לנו לפתור את שיעורי בית. דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן? ומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס? תודה!

דבר ראשון: אני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (בגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני: לא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (בהנחה שמימד ImA^2 הוא 1). אם קיבלת ש-A^2v=0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. דורון פרלמן 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא 1? וגם, מתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker?
ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?
ושאלה אחרונה: אם A^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס- מה עושים? אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...
תודה רבה!
(לא מתרגלת) בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה.
1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל 2, אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT=KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1). תמיד אפשר להשלים כי [math]\displaystyle{ ImT \subset KerT }[/math] . כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את [math]\displaystyle{ ImT^{n} }[/math] ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר [math]\displaystyle{ A^2=0 }[/math] אז אין שלבים באמצע.
2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-rank) אז מספיק לעשות מה שרשמת.
3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל-ImA^2? את/ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.
4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. דורון פרלמן 19:32, 9 בינואר 2011 (IST)

שאלה 6

לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא? תודה מראש

תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה
לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?
אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי [math]\displaystyle{ (x-9)^5 }[/math] ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. דורון פרלמן 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?
כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. דורון פרלמן 22:00, 8 בינואר 2011 (IST)

שאלה על הוכחה מההרצאה

למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה

מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. דורון פרלמן 21:37, 8 בינואר 2011 (IST)
תודה רבה!

תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון

לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר כאן. דורון פרלמן 19:19, 9 בינואר 2011 (IST)

תודה! יש לי שאלה על זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...
שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?
לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. דורון פרלמן 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות

איך יודעים באיזה סדר לשים את הוקטורים שקיבלנו במטריצה P?

לפי מה שאני יודעת, (לא מתרגלת) זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור [math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math].
אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת...
הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת [math]\displaystyle{ ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap KerT \subset \ldots \subset \ldots \subset KerT }[/math] משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. דורון פרלמן 21:52, 10 בינואר 2011 (IST)

שאלה על ג'רדון

למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?

גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. דורון פרלמן 21:54, 10 בינואר 2011 (IST)

בקשה - שיעור שלא העתקתי

שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד!

אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 עם בוריס והתרגול של עדי.

מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש.

(את הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי: ella10004@walla.com)

אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.
תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..?

המבחן

האם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה

לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: דף ראשון מועד א). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. גל א.

משפט פיתגורס

בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב: " ממשפט פיתגורס: [math]\displaystyle{ ||v||^2=|\lt v,u/||u||\gt |^2+|\lt v,v'\gt |^2 }[/math] " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה!

אם u/||u||,v א"נ אז [math]\displaystyle{ \lt v,u/||u||\gt =0 }[/math]

אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם.

אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? או ש [math]\displaystyle{ v=v'+u/||u|| }[/math] תרשום את כל המשפט.

אוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה [math]\displaystyle{ {u/||u||} }[/math] שהיא א"נ, משלימים אותה לבא"נ של sp{u,v}, [math]\displaystyle{ B={u/||u||,v'} }[/math]. ואז "ממשפט פיתגורס"- המשוואה שרשמתי, וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ.

משפטים/טענות למבחן

האם צריך לדעת את כל המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר?

זו שאלה למרצים
(סטודנט אחר): אתה מתכוון כמו במיקוד?
אכן

(מתוך דף הקורס): התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה.

כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה.

בימים הקרובים

מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים)

שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה

אני אפתור מבחן המייצג את החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן

לכסון אורתוגונלי

שלום, אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!


לכסון אורתוגונלי

שילוש אורתוגונלי

שאלה מתרגול

אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <Tv,v> > אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=T. תודה!

צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את [math]\displaystyle{ \lt Tv,v\gt \gt =0 }[/math] עבור הבסיס המלכסן האורתונ'. ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T

מט' נילפוטנטית

למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית? תודה!

אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה

תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)

מה זה "דרגה דטרמיננטית"?

יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).

לא משנה, הבנתי.

שאלה למתרגלים

האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן? בתודה רבה!

דימיון בין מטריצות מייצגות

למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?

למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה?

לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.

(לא מתרגל/ת): הוכחה אפשרית: תהא [math]\displaystyle{ A\in\mathbb F^{n\times n} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ \lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n }[/math] הערכים העצמיים שלה. אזי [math]\displaystyle{ \lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A| }[/math]. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).
הוכחה מאוד יפה! תודה.
רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז [math]\displaystyle{ P_A(0) }[/math] הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?
(לא מתרגל/ת): לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה שכל הע"ע שלה ב-[math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math]. למשל ל-[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix} }[/math] אין ע"ע ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] (ולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל בסגור האלגברי שלו ([math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]) הע"ע הם [math]\displaystyle{ \pm i }[/math], ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.

למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T?

ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה: "נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.


את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (כולל) - לא הבנתי.

בבקשה עזרה!!

יהי אופרטור T על V, נניח כי T לכסין, כלומר קיים בסיס B של V כך ש [math]\displaystyle{ {\left[ T \right]_B} }[/math] מטריצה אלכסונית. נסמן

{B={v1,....,vn , אזי כיוון ש [math]\displaystyle{ {\left[ T \right]_B} }[/math] אלכסונית: [math]\displaystyle{ {\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},...,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}&0&0\\ 0& \ddots &0\\ 0&0&{{\lambda _n}} \end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1},...,{\lambda _n}{e_n}} \right)} }[/math] (אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב[math]\displaystyle{ {\left[ T \right]_B} }[/math] היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. -לידור.א.- 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)

פתרונות של התרגילים

אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12? זה ממש יעזור...

פתרונות 11 ו 12 !!!

מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות אני לא יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...

עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג'

נתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0. צ"ל dim Span{w,v}. ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1 או 2, תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל. אבל זה מה שלא הצלחתי למצוא, ניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.

תשובה (לא מתרגלת..): הוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1. מניחים בשלילה שהם בת"ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0. זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...

לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את הדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת

[math]\displaystyle{ \lt u,u\gt \lt v,v\gt -\lt u,v\gt \lt v,u\gt }[/math], ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס.

לא מתרגל אחר אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם יכולה להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל [math]\displaystyle{ \left|G_{\{\vec0,(1,0)\}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0 }[/math]

עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג'

אני לא מצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!

(לא מתרגל/ת): אם הפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א). אתה יכול לקחת את J2(מספר כלשהו), ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא לכסין. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
אוקי, תודה רבה.

עזרה בשאלה ממבחן

השאלה: יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(A)+g(B) לכל זוג פולינומים f,g. שאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה?

תבנית:תשובה מתחכמת קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<C מגודל שלוש על שלוש.
אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)=g(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.
אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל [math]\displaystyle{ \R }[/math] אז אני לא יודע... גל א.
ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..

נגדיר V מרחב הפולינומים מעל R V מרחב וקטורי נתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי. נבנה העתקה T:VxV->M2(R)zz כך ש- T(f,g)=f(A)+g(B)zz ברור שאם f=pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). כלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על, כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f,g כך ש-f(A)+g(B)=C (בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)

עזרה בעוד שאלה ממבחן

נתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. צ"ל AB=BA. למישהו יש רעיונות?

עריכה: אני חושב שהצלחתי, A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (כך שהמט' המלכסנות P-1=P*) אבל יש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, P-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.

שאלה בקשר למבחן

בשאלה 3 סעיף ב אמרו: הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^3...,x^n} הוא בא"נ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ.

אם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, כי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס יהיה בא"נ והוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ.

עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' של A, ולא הספקתי להוכיח ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה. מישהו מהמרצים או מהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על זה. תודה רבה ~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.

הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה

אם נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A+I. נקבל מטריצה לא הפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..) בתשובה שראיתי נאמר "לכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A הוא 1-." אתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל? אני מבין את ההתחלה- המטריצה A+I לא הפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה.. עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה? הבנתי- זה דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים.. תודה!! :)

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-113_סמסטר_א%27_תשעא/קבוצת_דיון-עדי_ניב&oldid=10876"